Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

Cực trị của hàm số ( có lời giải)

Chia sẻ: | Ngày: pdf 28 p | 932

8
3.677
views

Giá trị cực đại và gái trị cực tiểu được gọi chung là cực trị... - Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm - Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

Cực trị của hàm số ( có lời giải)
Nội dung Text

  1. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn C C TR C A HÀM S TÓM T T LÝ THUY T 1. Khái ni m c c tr hàm s : ( ) Gi s hàm s f xác ñ nh trên t p h p D D ⊂ ℝ và x 0 ∈ D () a ) x 0 ñư c g i là m t ñi m c c ñ i c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b ch a ñi m x 0 sao cho (a;b ) ⊂ D và f (x ) < f (x ) v ( ){} () i m i x ∈ a;b \ x 0 . Khi ñó f x 0 ñư c g i là giá tr c c ñ i c a 0 hàm s f . () b ) x 0 ñư c g i là m t ñi m c c ti u c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b ch a ñi m x 0 sao cho (a;b ) ⊂ D và f (x ) > f (x ) v ( ){} () i m i x ∈ a;b \ x 0 . Khi ñó f x 0 ñư c g i là giá tr c c ti u c a 0 hàm s f . Giá tr c c ñ i và giá tr c c ti u ñư c g i chung là c c tr N u x 0 là m t ñi m c c tr c a hàm s f thì ngư i ta nói r ng hàm s f ñ t c c tr t i ñi m x 0 . ( ) Như v y : ñi m c c tr ph i là m t ñi m trong c a t p h p D D ⊂ ℝ 2. ði u ki n c n ñ hàm s ñ t c c tr : () ð nh lý 1: Gi s hàm s f ñ t c c tr t i ñi m x 0 . Khi ñó , n u f có ñ o hàm t i ñi m x 0 thì f ' x 0 = 0 Chú ý : • ð o hàm f ' có th b ng 0 t i ñi m x 0 nhưng hàm s f không ñ t c c tr t i ñi m x 0 . • Hàm s có th ñ t c c tr t i m t ñi m mà t i ñó hàm s không có ñ o hàm . • Hàm s ch có th ñ t c c tr t i m t ñi m mà t i ñó ñ o hàm c a hàm s b ng 0 , ho c t i ñó hàm s không có ñ o hàm . 3. ði u ki n ñ ñ hàm s ñ t c c tr : () ð nh lý 2: Gi s hàm s f liên t c trên kho ng a;b ch a ñi m x 0 và có ñ o hàm trên các kho ng (a; x ) và (x ;b ) . Khi ñó : 0 0  f ' ( x ) < 0, x ∈ (a; x )  () 0 0 a) N u  ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . Nói m t cách khác , n u f ' x ñ i thì hàm s  f ' ( x ) > 0, x ∈ ( x ;b )  0 0 d u t âm sang dương khi x qua ñi m x 0 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . x0 x a b () − + f' x f (x ) () () fa fb () f x0 () ( )  f ' x > 0, x ∈ a; x  () 0 0 b) N u  thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . Nói m t cách khác , n u f ' x ñ i () ( ) f ' x 0 < 0, x ∈ x 0 ;b   d u t dương sang âm khi x qua ñi m x 0 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . -41-
  2. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn x0 x a b () + − f' x f (x ) () f x0 () () fa fb () () ð nh lý 3: Gi s hàm s f có ñ o hàm c p m t trên kho ng a;b ch a ñi m x 0 , f ' x 0 = 0 và f có ñ o hàm c p hai khác 0 t i ñi m x 0 . () a ) N u f '' x 0 < 0 thì hàm s f ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s b) f ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . 0 4. Quy t c tìm c c tr : Quy t c 1: Áp d ng ñ nh lý 2 () • Tìm f ' x ( ) • Tìm các ñi m x i i = 1, 2, 3... t i ñó ñ o hàm b ng 0 ho c hàm s liên t c nhưng không có ñ o hàm. a f ' (x ) . N u f ' (x ) ñ • Xét d u c i d u khi x qua ñi m x 0 thì hàm s có c c tr t i ñi m x 0 . Quy t c 2: Áp d ng ñ nh lý 3 () • Tìm f ' x ( ) () • Tìm các nghi m x i i = 1, 2, 3... c a phương trình f ' x = 0 . V i m i x tính f '' ( x ) . • i i N u f '' ( x ) < 0 thì hàm s − ñ t c c ñ i t i ñi m x i . i N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s − ñ t c c ti u t i ñi m x i . i Ví d 1 : Tìm c c tr c a các hàm s : ( ) x (x − 3 ) 1 5 () c) f x = a ) f x = x 3 − x 2 − 3x + 3 3 f (x ) = x () ( ) d) b) f x = x x + 2 Gi i : 13 5 () a) f x = x − x 2 − 3x + 3 3 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . () () Ta có f ' x = x 2 − 2x − 3 f ' x = 0 ⇔ x = −1, x = 3 Cách 1. B ng bi n thiên +∞ −1 −∞ 3 x () + 0− + f' x 0 10 () +∞ fx 3 22 −∞ − 3 -42-
  3. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 10 22 () () V y hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = , hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 3, f 3 = − 3 3 () Cách 2 : f '' x = 2x − 2 10 () () Vì f '' −1 = −4 < 0 nên hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = . 3 22 () () Vì f '' 3 = 4 > 0 hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 3, f 3 = − . 3 ( ) x x + 2 khi x ≥ 0  () ( ) b) f x = x x + 2 =  ( ) −x x + 2 khi x < 0  Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ .  2x + 2 > 0 khi x > 0 () () Ta có f ' x =  f ' x = 0 ⇔ x = −1 −2x − 2 khi x < 0  Hàm s liên t c t i x = 0 , không có ñ o hàm t i x = 0 . B ng bi n thiên +∞ −∞ −1 0 x () + − + f' x 0 f (x ) +∞ 1 −∞ 0 () () V y hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = 1 , hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 0, f 0 = 0 () ( ) c) f x = x x −3 ( )  x x − 3 khi x ≥ 0  () Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . f x =  . ( )  −x x − 3 khi x < 0  ( ) 3 x − 1  khi x > 0  2x () () Ta có f ' x =  f' x =0⇔x =1  3 − x + −x > 0 khi x < 0  2 −x  +∞ −∞ 0 1 x () + − + f' x 0 f (x ) +∞ 0 −∞ −2 () () Hàm s ñ t ñi m c c ñ i t i ñi m x = 0, f 0 = 0 , hàm s ñ t ñi m c c ti u t i ñi m x = 1, f 1 = −2 () d) f x = x -43-
  4. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn x khi x ≥ 0  () Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . f x =  . −x khi x < 0  1 khi x > 0  () Ta có f ' x =  −1 khi x < 0  B ng bi n thiên +∞ −∞ 0 x () − + f' x f (x ) +∞ +∞ 0 () Hàm s ñ t ñi m c c ñ i t i ñi m x = 0, f 0 = 0 Ví d 2 : Tìm c c tr c a các hàm s sau : () () c) f x = 2 sin 2x − 3 a) f x = x 4 − x 2 f ( x ) = x − sin 2x + 2 f ( x ) = 3 − 2 cos x − cos 2x d) b) Gi i : () a) f x = x 4 − x 2 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ño n  −2;2    4 − 2x 2 () ( ) () Ta có a ) f ' x = , x ∈ −2;2 f ' x = 0 ⇔ x = − 2, x = 2 4 − x2 () f ' x ñ i d u t âm sang dương khi x qua ñi m − 2 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = − 2, () f − 2 = −2 () 2 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = 2, f ' x ñ i d u t dương sang âm khi x qua ñi m ( 2) = 2 f Ho c dùng b ng bi n thiên hàm s ñ k t lu n: −2 −2 2 2 x () − 0+ − f' x 0 f (x ) 0 2 −2 0 () b ) f x = 3 − 2 cos x − cos 2x Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . -44-
  5. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn () ( ) Ta có f ' x = 2 sin x + 2 s in2x = 2 sin x 1 + 2 cos x sin x = 0 x = k π ()  ⇔ f' x =0⇔ ,k ∈ ℤ . cos x = − 1 = cos 2π x = ± 2π + k 2π     2 3 3 () f '' x = 2 cos x + 4 cos 2x  2π   2π  2π 2π 1 + k 2π  = 6 cos + k 2π  = 4 + k 2π , f  ± f ''  ± = −3 < 0 . Hàm s ñ t c c ñ i t i x = ± 3 3 3 2 3   () () ( ) f '' k π = 2 cos k π + 4 > 0, ∀k ∈ ℤ . Hàm s ñ t c c ti u t i x = k π , f k π = 2 1 − cos k π c) f ( x ) = 2 sin 2x − 3 Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . π π () () Ta có f ' x = 4 cos 2x f ' x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = +k ,k ∈ ℤ , 4 2   −8 khi k = 2n π π π () f ''  + k  = −8 sin  + k π  =  f '' x = −8 sin 2x , khi k = 2n + 1  8 4 2 2  π  π V y hàm s ñ t c c ñ i t i các ñi m x = + nπ ; f  + nπ  = −1 và ñ t c c ñ i t i 4 4  π π π π ( ) ( ) x = + 2n + 1 ; f  + 2n + 1  = −5 4 2 4 2 () d ) f x = x − sin 2x + 2 π + k π , k ∈ ℤ và ñ t c c ti u t i các ñi m Tương t trên hàm s ñ t c c ñ i t i các ñi m x = − 6 π + kπ , k ∈ ℤ . x= 6 Ví d 3 : ( ) x 3 − m m + 1 x + m3 + 1 ( ) 1. Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , hàm s y = f x , m = luôn x −m có c c ñ i và c c ti u . ( )( ) 2 . V i giá tr nào c a m ,hàm s y = f x , m = m + 2 x 3 + 3x 2 + mx + m có c c ñ i , c c ti u . mx 2 + x + m ( ) 3 . V i giá tr nào c a m ,hàm s y = f x , m = không có c c ñ i , c c ti u . x +m () ( ) 4 . Xác ñ nh các giá tr c a tham s k ñ ñ th c a hàm s y = f x , k = kx 4 + k − 1 x 2 + 1 − 2k ch có m t ñi m c c tr . 14 3 ( ) 5 . Xác ñ nh m ñ ñ th c a hàm s y = f x , m = y = x − mx 2 + có c c ti u mà không có c c 2 2 ñ i. Gi i : -45-
  6. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn {} Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ m . g (x ) − 2mx + m − 1 x2 2 () Ta có y ' = = , x ≠ m , g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1 (x − m ) (x − m ) 2 2 ( ) () () D u c a g x cũng là d u c a y ' và ∆ 'g = m 2 − m 2 − 1 = 1 > 0 , ∀m . Do ñó ∀m thì g x = 0 luôn có 2 nghi m phân bi t x 1 = m − 1, x 2 = m + 1 thu c t p xác ñ nh . +∞ −∞ m −1 m +1 x m () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ −∞ −∞ y ' ñ i d u t dương sang âm khi x qua ñi m x 1 = m − 1 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 1 = m − 1 y ' ñ i d u t âm sang dương khi x qua ñi m x 2 = m + 1 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x 2 = m + 1 2 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có y ' = 3 m + 2 x 2 + 6x + m Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t hay  m + 2 ≠ 0 m ≠ −2  m ≠ −2  ⇔ ⇔ ⇔ ( ) ( ) −3 < m < 1 ∆ ' = 9 − 3m m + 2 > 0 3 −m − 2m + 3 > 0 2    V y giá tr m c n tìm là −3 < m < 1, m ≠ −2 . mx 2 + 2m 2x {} 3 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm y ' = (x + m ) 2 Hàm s không có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 không ñ i d u qua nghi m , khi ñó phương trình () ( ) g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghi m ho c có nghi m kép • Xét m = 0 ⇒ y ' = 0, ∀x ≠ −m ⇒ m = 0 tho . • Xét m ≠ 0 . Khi ñó ∆ ' = m 4 () Vì ∆ ' = m 4 > 0, ∀m ≠ 0 ⇒ g x = 0 có hai nghi m phân bi t nên không có giá tr tham s m ñ () ( ) g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghi m ho c có nghi m kép V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán . 4 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có y ' = 4kx 3 − 2 k − 1 x x = 0 y' = 0 ⇔  2 (*) 2kx + k − 1 = 0  -46-
  7. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm s ch có m t c c tr khi phương trình y ' = 0 có m t nghi m duy nh t và y ' ñ i d u khi x ñi qua (*) vô nghi m hay có nghi m kép x = 0 nghi m ñó .Khi ñó phương trình 2kx 2 + k − 1 = 0 k = 0 k = 0 k ≤ 0   ⇔ k ≠ 0 ⇔ ⇔ k < 0 ∨ k ≥ 1 k ≥ 1   ∆ ' = −2k k − 1 ≤ 0 ( )     V y k ≤ 0 ∨ k ≥ 1 là giá tr c n tìm . 5 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . x = 0 Ta có y ' = 2x 3 − 2mx y' = 0 ⇔  2 () x = m *  Hàm s có c c ti u mà không có c c ñ i khi phương trình y ' = 0 có m t nghi m duy nh t và y ' ñ i (*) vô nghi m hay có nghi m kép x = 0 d u khi x ñi qua nghi m ñó Khi ñó phương trình x 2 = m ⇔m≤0 V y m ≤ 0 là giá tr c n tìm. Ví d 4 : x 2 + mx + 1 () 1. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = ñ t c c ñ i t i x = 2. x +m () ( ) 2. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = x 3 + m + 3 x 2 + 1 − m ñ t c c ñ i t i x = −1. () ( ) 3. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = x 3 − 6x 2 + 3 m + 2 x − m − 6 ñ t c c ñ i và c c ti u ñ ng th i hai giá tr c c tr cùng d u. x 2 + mx + 2 () 4. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = có ñi m c c ti u n m trên Parabol x −1 (P ) : y = x +x −4 2 Gi i : x 2 + 2mx + m 2 − 1 {} () 1. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm f ' x = , x ≠ −m (x + m ) 2 m = −3 () N u hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 thì f ' 2 = 0 ⇔ m 2 + 4m + 3 = 0 ⇔  m = −1  x = 2 x − 6x + 8 2 () () m = −3 , ta có f ' x = ,x ≠ 3 f' x =0⇔ x = 4 ( ) 2 x −3  B ng bi n thiên : +∞ −∞ 2 3 4 x () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ 1 -47-
  8. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn −∞ −∞ 5 D a vào b ng bi n thiên ta th y hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 , do ñó m = −3 tho mãn . Tương t v i m = −1 Cách 2 : x 2 + 2mx + m 2 − 1 {} () Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm f ' x = , x ≠ −m ( ) 2 x +m 2 y '' = , x ≠ −m ( ) 3 x +m Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 khi  1 1 − =0 m 2 + 4m + 3 = 0 () ( ) 2 y ' 2 = 0 m = −1 ∨ m = −3 2+m     ⇔ ⇔ m ≠ −2 ⇔ ⇔ m = −3  () m < −2 y '' 2 < 0 2    m < −2   <0  ( )  2+m 3  V y m = −3 là giá tr c n tìm. 2. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . x = 0 () ( ) ( ) () ⇒f' x =0⇔ Ta có f ' x = 3x + 2 m + 3 x = x 3x + 2m + 6 2 x = − 2m + 6   3 2m + 6 +∞ −∞ − 0 x 3 () + 0− + f' x 0 f (x ) 2m + 6 3 Hàm s ñ t c c ñ i t i x = −1 ⇔ − = −1 ⇔ m = − . 3 2 3. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có : y ' = 3x 2 − 12x + 3 m + 2 . ( ) Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆ ' = 36 − 9 m + 2 > 0 ⇔ 2−m > 0 ⇔ m < 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 y = x − 2 . 3x 2 − 12x + 3 m + 2  + 2 m − 2 x + m − 2 = x − 2 .y '+ 2 m − 2 x + m − 2   3 3 ( )( ) G i A x1; y1 , B x 2 ; y2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a phương trình () ( ) g x = 3x 2 − 12x + 3 m + 2 = 0 . Trong ñó : -48-
  9. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn  ( )() ( ) 1 y1 = x 1 − 2 .y ' x 1 + 2 m − 2 x 1 + m − 2 ( ) ⇒ y1 = 2 m − 2 x 1 + m − 2  3 () y ' x 1 = 0   ( )() ( ) 1 y2 = x 1 − 2 .y ' x 2 + 2 m − 2 x 2 + m − 2 ( ) ⇒ y2 = 2 m − 2 x 2 + m − 2  3 () y ' x 2 = 0  Theo ñ nh lý Vi-ét , ta có : x 1 + x 2 = 4, x 1x 2 = m + 2 Theo bài toán : ( ) ( ) ( ) (2x )( ) 2 y1.y2 > 0 ⇔ 2 m − 2 x 1 + m − 2  2 m − 2 x 2 + m − 2  > 0 ⇔ m − 2 + 1 2x 2 + 1 > 0    1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4m + 17 ) > 0 2 2 2 ⇔ m − 2  4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2  4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2      17 m > − ⇔ 4 m ≠ 2  17 So v i ñi u ki n bài toán , v y −< m < 2 là giá tr c n tìm . 4 {} 4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 x 2 − 2x − m − 2 () Ta có y ' = ,x ≠ 1 g x = x 2 − 2x − m − 2 ( ) 2 x −1 () Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g x = 0, x ≠ 1 có hai nghi m phân bi t khác 1 ( ) ∆ ' = 1 − −m − 2 > 0  m + 3 > 0  ⇔ ⇔ m > −3  () m ≠ −3 g 1 = −m − 3 ≠ 0    m+3 x 1 = 1 − m + 3 ⇒ y1 = 1 − m + 3 + m + 1 + =m +2−2 m +3 − m+3 Khi ñó y ' = 0 ⇔  m+3  x 2 = 1 + m + 3 ⇒ y2 = 1 + m + 3 + m + 1 + =m +2+2 m +3 m+3  B ng bi n thiên : +∞ −∞ 1 x1 x2 x () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ y1 −∞ −∞ y2 ) ( D a vào bàng bi n thiên suy ra A 1 + m + 3; m + 2 + 2 m + 3 là ñi m c c ti u c a hàm s . ) ( 2 () A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 +1+ m +3 −4 ⇔ m +3 =1 -49-
  10. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ) ( 2 () A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 + 1 + m + 3 − 4 ⇔ m + 3 = 1 ⇔ m = −2 So v i ñi u ki n bài toán ,v y m = −2 là giá tr c n tìm. Ví d 5 : () 1. Tìm các h s a, b, c, d sao cho hàm s f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñ t c c ti u t i ñi m x = 0, () () f 0 = 0 và ñ t c c ñ i t i ñi m x = 1, f 1 = 1 2. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s f ( x ) = x + ax 2 + bx + c ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m 3 x = −2 và ñ th c a hàm s ñi qua ñi m A (1; 0 ) . ax 2 + bx + ab () 3. Tìm các h s a, b sao cho hàm s f x = ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 . ax + b Gi i : () 1. Tìm các h s a, b, c, d sao cho hàm s f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñ t c c ti u t i ñi m () c ñ i t i ñi m x = 1, f (1) = 1 x = 0, f 0 = 0 và ñ t c Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . () () Ta có f ' x = 3ax 2 + 2bx + c , f '' x = 6ax + 2b () f ' 0 = 0   c = 0 c = 0  () () ⇔ ⇔ Hàm s f x ñ t c c ti u t i x = 0 khi và ch khi  1 () 2b > 0 b>0 f '' 0 > 0       () f ' 1 = 0  3a + 2b + c = 0  () () ⇔ Hàm s f x ñ t c c ñ i t i x = 1 khi và ch khi  2 () 6a + 2b < 0 f '' 1 < 0     () () () f 0 = 0 ⇒ d = 0 , f 1 = 1 ⇒ a + b + c + d = 1 hay a + b + c = 1 do d = 0 3 T (1) , ( 2 ) , ( 3 ) suy ra a = −2, b = 3, c = 0, d = 0 Ta ki m tra l i f ( x ) = −2x + 3x 3 2 Ta có f ' ( x ) = −6x + 6x , f '' ( x ) = −12x + 6 2 f '' ( 0 ) = 6 > 0 . Hàm s ñ t c c ti u t i x = 0 f '' (1) = −6 < 0 . Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 1 V y : a = −2, b = 3, c = 0, d = 0 () 2. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s f x = x 3 + ax 2 + bx + c ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m x = −2 () và ñ th c a hàm s ñi qua ñi m A 1; 0 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . () Ta có f ' x = 3x 2 + 2ax + b -50-
  11. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ()  f ' −2 = 0  4a − b = 12  () ⇔ Hàm s ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m x = −2 khi và ch khi  1 () 4a − 2b + c = 8 f −2 = 0    () () () ð th c a hàm s ñi qua ñi m A 1; 0 khi và ch khi f 1 = 0 ⇔ a + b + c + 1 = 0 2 (1) , (2 ) suy ra a = 3,b = 0, c = −4 . T a 2x 2 + 2abx + b 2 − a 2b 3. Hàm s ñã cho xác ñ nh khi ax + b ≠ 0 và có ñ o hàm y ' = (ax + b ) 2 • ði u ki n c n : Hàm s ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 khi và ch khi b 2 − a 2b = 0 b 2 − a 2b b = a 2 > 0 =0   () y ' 0 = 0 a = −2 b≠0  2  b   ( ) ⇔ 16a 2 + 8ab + b 2 − a 2b ⇔ 2 ⇔ 8a 2 a + 2 = 0 ⇔   () b = 4 16a + 8ab + b − a b = 0 y ' 4 = 0 2 2 =0  4a + a 2 ≠ 0   ( ) 2   4a + b ≠ 0 4a + b   • ði u ki n ñ : a = −2 x = 0 x 2 − 4x  ⇒ y' = y' = 0 ⇔   b = 4 x = 4 ( ) 2 −x + 2   B ng bi n thiên +∞ −∞ 0 2 4 x () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ Cð −∞ −∞ CT T b ng bi n thiên :hàm s ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 . V y a = −2, b = 4 là giá tr c n tìm. Ví d 6: () (C ) . Hãy xác ñ nh t t c 1. Cho hàm s y = f x = x 3 − 3x 2 + 2 các giá tr c a a ñ ñi m c c ñ i (C ) và ñi m c c ti u c a ñ th v hai phía khác nhau c a ñư ng tròn (phía trong và phía ngoài): (C ) : x + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 2 a x 2 + m 2x + 2m 2 − 5m + 3 () 2. Cho hàm s y = f x = . Tìm m > 0 ñ hàm s ñ t c c ti u t i x ( ) x ∈ 0;2m 3. y = f (x ) = x 3 − 3x 2 + m 2x + m. có c c ñ i , c c ti u và hai ñi m ñó ñ i x ng nhau qua -51-
  12. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 5 ñư ng th ng y = x − 2 2 ( ) x 2 − m + 1 x − m 2 + 4m − 2 4. Tìm t t c các giá tr c a tham s m thì hàm s y = f (x ) . có c c x −1 tr ñ ng th i tích các giá tr c c ñ i và c c ti u ñ t giá tr nh nh t. ( ) x 2 + m + 2 x + 3m + 2 5. Tìm t t c các giá tr c a tham s m thì hàm s y = f (x ) = có giá tr x +1 1 c c tr , ñ ng th i y CÑ + yCT > . 2 2 2 Gi i : x = 0 ⇒ y = 2 1. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = 3x 2 − 6x y' = 0 ⇔  x = 2 ⇒ y = −2  ()( ) ()( ) ð th hàm s có hai ñi m c c tr A 0;2 , B 2; −2 . Hai ñi m A 0;2 , B 2; −2 v hai phía c a hai () ñư ng tròn C a khi ( )( ) 3 ⇔ PA/(C ) .PB /(C ) < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 5a 2 + 4a + 7 < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ < a < 1 5 a a () ( )( ) + (y − 2a ) 2 2 Cách 2 : C a : x 2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 ⇔ C a : x − a =1 (C ) có tâm I (a;2a ) và bán kính R = 1 a 2  2 36 6 (a − 2 ) + (2a + 2 ) 2 2 Ta có : IB = = 5a + 4a + 8 = 5  a +  + ≥ > 1 = R ⇒ ñi m B 2 5 5  5 () n m ngoài C a , do ñó ñi m A n m trong ñư ng tròn 3 (C ) ⇔ IA < 1 ⇔ ( ) 2 a 2 + 2 − 2a < 1 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ <a <1 a 5 {} 2. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 0 và có ñ o hàm () x 2 − 2m 2 + 5m − 3 g x () y' = = 2 , x ≠ 0 V i g x = x 2 − 2m 2 + 5m − 3 Hàm s ñ t c c ti u t i 2 x x ( ) () ( ) x ∈ 0;2m ⇔ g x = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 x 1 < x 2 tho    m > 0 1 m > 0 m > 0  m < 1  <m <1     () ⇔ 2 x 1 < 0 < x 2 < 2m ⇔ 1.g 0 < 0 ⇔ −2m 2 + 5m − 3 < 0 ⇔  3   m > m > 3 1.g 2m > 0 2m 2 + 5m − 3 > 0 ()  2       2  m < −3  1  m >  2 -52-
  13. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 3 V y giá tr m c n tìm là < m < 1 ∨ m > . 2 2 3. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = 3x 2 − 6x + m 2 . Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 m2 ⇔ ∆ ' = 9 − 3m 2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3 .Vi-ét, ta có x 1 + x 2 = 2 x 1.x 2 = , . 3 ( )( ) G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s và I là trung ñi m c a ño n AB . ðư ng th ng AB có h s góc ( ) ( ) y 2 − y1 x 2 − x 1 − 3 x 2 − x 1 + m x 2 − x 1 3 3 2 2 2 ( ) ( ) 2 kAB = = = x1 + x 2 − x 1x 2 − 3 x 1 + x 2 + m 2 x 2 − x1 x 2 − x1 2m 2 − 6 m2 kAB = 4 − − 6 + m2 = 3 3 1 5 1 () ðư ng th ng y = x − ∆ có h s góc k = 2 2 2 AB ⊥ ∆  ( )( ) () Hai ñi m A x1; y1 , B x 2 ; y2 ñ i x ng nhau qua ñư ng th ng ∆ khi và ch khi  I ∈ ∆  1  2m − 6  2 • AB ⊥ ∆ ⇔ kAB .k = −1 ⇔ .   = −1 ⇔ m = 0 2 3  () x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ A 0; 0 ( ) y' = 0 ⇔  1 • m = 0 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x ⇒ I 1; −2 1 () x 2 = 2 ⇒ y2 = −4 ⇒ B 2; −4   ( ) D th y I 1; −2 ∈ ∆ V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán . {} 4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 . g (x ) x − 2x + m − 3m + 3 2 2 g ( x ) = x − 2x + m − 3m + 3 Ta có y ' = = ,x ≠ 1 2 2 ( x − 1) ( x − 1) 2 2 Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g ( x ) = 0, x ≠ 1 có hai nghi m phân bi t x , x khác 1 . 1 2 2 ∆ ' > 0 −m + 3m − 2 > 0  ⇔ ⇔ 2 ⇔1<m <2 () g 1 ≠0 m − 3m + 2 ≠ 0     A ( x ; y ) , B ( x ; y ) là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a phương trình Gi 1 1 2 2 () g x = 0, x ≠ 1 . x = 1 − −m 2 + 3m − 2 ⇒ y = 1 − m + 2 −m 2 + 3m − 2 1 Khi ñó y ' = 0 ⇔ 1 x = 1 + −m + 3m − 2 ⇒ y = 1 − m − 2 −m 2 + 3m − 2 2 2 2 )( ) ( ( ) ( ) 2 y1.y2 = 1 − m + 2 −m 2 + 3m − 2 1 − m − 2 −m 2 + 3m − 2 = 1 − m − 4 −m 2 + 3m − 2 -53-
  14. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 2  7 4 4 4 7 y1.y2 = 5m 2 − 14m + 9 = 5  m −  − ≥ − ⇒ min y1.y2 = − khi m = 5 5 5 5 5  7 So v i ñi u ki n , v y m = là giá tr c n tìm . 5 {} 5. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −1 . () gx x 2 + 2x − 2m () Ta có : y ' = = , x ≠ −1 g x = x 2 + 2x − 2m ( ) ( x + 1) 2 2 x +1 () Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g x = 0, x ≠ −1 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 khác   ∆ ' > 0 2m + 1 > 0 1 −1 ⇔  ⇔ ⇔m >− ()  −2m − 1 ≠ 0 g −1 ≠ 0 2   ( )( ) G i A x 1; y1 = 2x 1 + m + 2 , B x 2 ; y2 = 2x 2 + m + 2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là a phương trình g ( x ) = 0, x ≠ −1 nghi m c Theo ñ nh lý Vi- ét x 1 + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m Theo bài toán : ) + (2x + m + 2 ) = 4 (x + x ) + 4 (m + 2 )(x + x ) + 2 (m + 2 ) ( 2 2 2 y CÑ + yCT = y1 + y2 = 2x 1 + m + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 y1 + y 2 = 4  x 1 + x 2  + 4 m + 2 x + x + 2 m + 2 = 4 4 + 4m − 8 m + 2 + 2 m + 2 ( ) ( )( )( )( )( )( ) 2 2 2 − 2x 1x 2 2 2     1 2 y1 + y2 = 2m 2 + 16m + 8 2 2 1 1 () () Xét f m = 2m 2 + 16m + 8, m > − f ' m = 4m + 16 > 0, ∀m > − 2 2 1   1 1 1  () () Do ñó hàm s f m ñ ng bi n trên kho ng m ∈  − ; +∞  và f m > f  −  = , m ∈  − ; +∞  2  2 2 2   1  1 V y y CÑ + yCT > , m ∈  − ; +∞  2 2 2 2  Ví d 7: 1 1 ( ) ( ) 1. V i giá tr nào c a m thì ñ th c a hàm s y = mx 3 − m − 1 x 2 + 3 m − 2 x + có c c ñ i , 3 3 c c ti u ñ ng th i hoành ñ c c ñ i c c ti u x 1, x 2 th a x 1 + 2x 2 = 1 ( ) mx 2 + m 2 + 1 x + 4m 3 + m 2. V i giá tr nào c a m thì ñ th c a hàm s y = tương ng có m t x +m () (IV ) c II và m t ñi m c c tr thu c góc ph n tư th ñi m c c tr thu c góc ph n tư th am t ph ng t a ñ . Gi i : 1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . -54-
  15. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( ) ( ) Ta có y ' = mx − 2 m − 1 x + 3 m − 2 2 Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' ñ i d u hai l n qua nghi m x , t c là phương trình ( ) ( ) mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 m ≠ 0  m ≠ 0  m ≠ 0  ⇔ ⇔ 2 − 6  2+ 6 ( ) ( ) 2 −2m + 4m + 1 > 0 2 ∆ ' = m − 1 − 3m m − 2 > 0 <m <    2 2 Theo ñ nh lý Vi – ét và yêu c u bài toán, ta có:   x = 3m − 4 () x 1 + 2x 2 = 1 gt  1 m ()   2 2 m −1  2−m m=  ( ) ⇔ 3m − 8m + 4 = 0 m ≠ 0 ⇔  x1 + x 2 = ⇔ x 2 = 2  3  m m   m =2 ( ) ( )   3 m −2  3m − 4   2 − m  3 m − 2  x 1.x 2 = =    m  m   m  m 2 So v i ñi u ki n bài toán , v y m = ∨ m = 2 là giá tr c n tìm . 3 4m 3 {} ( ) 2. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và y = mx + 1 + m≠0 x +m mx 2 + 2m 2x − 3m 3 Ta có : y ' = , x ≠ −m (x + m ) 2 G i A ( x ; y ) , B ( x ; y ) là các ñi m c c tr c ( ) a ñ th hàm s thì x 1, x 2 x 1 < x 2 là nghi m c a phương 1 1 2 2 trình g ( x ) = mx + 2m x − 3m = 0, x ≠ −m 2 2 3 (II ) và m ð th c a hàm s có m t ñi m c c tr thu c góc ph n tư th t ñi m c c tr thu c góc ph n tư (IV ) c th a m t ph ng t a ñ khi (1 ) • x < 0 < x A thuoäc goùc phaàn tö thöù (II)  1 2   (2) ⇔ ⇔ • y2 < 0 < y1 B thuoäc goùc phaàn tö thöù (IV) • Heäsoá goùc cuûa tieäm caän xieân nhoû hôn 0 ( 3)    (1) ⇔ m.g ( 0 ) < 0 ⇔ −3m < 0 ⇔ m ≠ 0 (a ) 4 (2 ) ⇔ ð th c a hàm s không c t tr c Ox ⇔ mx + (m ) (x ≠ −m ) vô + 1 x + 4m 3 + m = 0 2 2 nghi m  1 m < − m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0    (b ) 5 ⇔ 2 1⇔ ⇔ ⇔ ( ) ( ) 2 −15m − 2m + 1 < 0 4 2  m > 1 ∆ = m + 1 − 4m 4m + m < 0 2 3   m >   5  5 ( 3 ) ⇔ m < 0 (c ) -55-
  16. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 ()()() T a b c suy ra m < − là giá tr c n tìm. 5 Ví d 8: () () ( ) ( ) Cho hàm s f x = x 3 + m − 1 x 2 − m + 2 x − 1 , có ñ th là C m , m là tham s . 1. Ch ng minh r ng hàm s luôn có m t c c ñ i , m t c c ti u . () 2. Khi m = 1 , ñ th hàm s là C () () x a ). Vi t phương trình ñư ng th ng d vuông góc v i ñư ng th ng y = và ti p xúc v i ñ th C . 3 () b ). Vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr c a C . Gi i : Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . () ( ) ( ) 1. Ta có f ' x = 3x 2 + 2 m − 1 x − m + 2 . () Vì ∆ ' = m 2 + m + 7 > 0, ∀m ∈ ℝ nên phương trình f ' x = 0 luôn có hai nghi m phân bi t . Do ñó ñ th c a hàm s luôn có m t c c ñ i , m t c c ti u v i m i giá tr c a tham s m . ( ) () 2. m = 1 ⇒ C : f x = x 3 − 3x − 1 i M ( x ; y ) là to () (C ) a ). G ñ ti p ñi m c a ñư ng th ng d và ñ th 0 0 () x ⇒ y 0 = x 0 − 3x 0 − 1, y 0 ' = 3x 0 − 3 . ðư ng th ng d vuông góc v i ñư ng th ng y = 3 2 khi 3 1 y 0 '   = −1 ⇔ 3x 0 − 3 = −3 ⇔ x 0 = 0 ⇔ x 0 = 0, y 0 = −1 2 2 3 () (C ) t i ñi m ( 0; −1) . V y ñư ng th ng d : y = −3x − 1 và ti p xúc v i ñ th () ( ) c ti u là B (1; −3 ) . Do ñó ñư b ). ð th C có ñi m c c ñ i là A −1;1 , ñi m c ng th ng qua AB là : y = −2x − 1 . Ví d 9: ( ) () ( ) 1. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s f x = x 3 − 2m + 1 x 2 + m 2 − 3m + 2 x + 4 có hai ñi m c c ñ i và c c ti u n m v hai phía tr c tung . ( ) x 2 − m + 1 x + 3m + 2 () 2. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s f x = có hai ñi m c c ñ i và x −1 c c ti u cùng d u . ( ) () ( ) 3. Cho hàm s y = f x = −x 3 + 3 m + 1 x 2 − 3m 2 + 7m − 1 x + m 2 − 1 .ð nh m ñ hàm s ñ t c c ti u t i m t ñi m có hoành ñ nh hơn 1. x 2 + 2mx + 2 () 4. Tìm giá tr c a m ñ ñ th hàm s f x = có ñi m c c ñ i, ñi m c c ti u và x +1 kho ng cách t hai ñi m ñó ñ n ñư ng th ng ∆ : x + y + 2 = 0 b ng nhau. Gi i : () ( ) 1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm f ' x = 3x 2 − 2 2m + 1 x + m 2 − 3m + 2 -56-
  17. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm s có hai ñi m c c ñ i và c c ti u n m v hai phía tr c tung khi và ch khi phương trình () () f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 tho mãn x 1 < 0 < x 2 ⇔ 3.f ' 0 < 0 ⇔ m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2 V y giá tr c n tìm là 1 < m < 2 . x 2 − 2x − 2m − 1 {} () 2. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 và có ñ o hàm f ' x = ,x ≠ 1 ( ) 2 x −1 () Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 hay phương trình () g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 , khi ñó   ∆ ' > 0 2m + 2 > 0 (1 ) ⇔ ⇔ m > −1  () −2m − 2 ≠ 0 g 1 ≠ 0   ( )( ) () là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a g x = 0 G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2  2m + 2 x 1 = 1 − 2m + 2 ⇒ y1 = 1 − 2m + 2 − m + = 1 − m − 2 2m + 2 − 2m + 2  Khi ñó: y ' = 0 ⇔ 2m + 2  x 2 = 1 + 2m + 2 ⇒ y2 = 1 + 2m + 2 − m + = 1 − m + 2 2m + 2 2m + 2  Hai giá tr c c tr cùng d u khi )( ) ( ( ) ( ) 2 y1.y2 > 0 ⇔ 1 − m − 2 2m + 2 1 − m + 2 2m + 2 > 0 ⇔ 1 − m − 4 2m + 2 > 0 (2 ) ⇔ m 2 − 10m − 7 > 0 ⇔ m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 (1) và (2 ) suy ra −1 < m < 5 − 4 2 ∨m >5+4 2 T x 2 − 2x − 2m − 1 {} () Cách khác : Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 và có ñ o hàm f ' x = ,x ≠ 1 ( x − 1) 2 () Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 hay phương trình   ∆ ' > 0 2m + 2 > 0 () g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔  ⇔ ⇔ m > −1  () −2m − 2 ≠ 0 g 1 ≠ 0   Hai giá tr c c tr cùng d u khi ñ th c a hàm s y = 0 c t tr c hoành t i hai ñi m phân bi t x ≠ 1 hay ( ) (x ≠ 1) có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 . T phương trình x 2 − m + 1 x + 3m + 2 = 0 c là  m < 5 − 4 2 ∆ = m + 1 2 − 4 3m + 2 > 0 ( ) ( )  m 2 − 10m − 7 > 0    ⇔ ⇔ ⇔  m > 5 + 4 2 ( )  2m + 2 ≠ 0 1 − m + 1 + 3m + 2 ≠ 0   m ≠ −1  So v i ñi u ki n , giá tr −1 < m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 là giá tr c n tìm . -57-
  18. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( ) () ( ) 3. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm f ' x = −3x + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 .Hàm s 2 ( ) () ( ) ñ t c c ti u t i m t ñi m có hoành ñ nh hơn 1 ⇔ f ' x = −3x 2 + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 = 0 có hai nghi m x 1, x 2 tho mãn ñi u ki n : () ()  1 ⇔ −3.f ' 1 < 0 ( ) 3 3m 2 + m − 4 < 0     ( )  9 m + 1 2 − 3 3m 2 + 7m − 1 > 0 ( ) () x < 1 < x ∆ ' > 0 1   ⇔  1 ⇔ 2  ( ) () () ()  3 3m 2 + m − 4 ≥ 0 x1 < x 2 ≤ 1 2 2 ⇔  −3.f ' 1 ≥ 0     S   m + 1 < 1  <1   2  4 4 − < m < 1 − < m < 1 3 4 3 − < m < 1 m < 4    −3m + 12 > 0 ⇔ 3 ⇔  ⇔ ⇔m <1  4 m ≤ − 4  3m 2 + m − 4 ≥ 0 m ≤ − ∨m ≥1     3  3  m < 0  m < 0   x 2 + 2x + 2m − 2 {} () 4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −1 và có ñ o hàm f ' x = , x ≠ −1 ( ) 2 x +1 () Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi f ' x ñ i d u hai l n qua nghi m x hay phương trình () g x = x 2 + 2x + 2m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t khác −1 ∆ ' > 0  3 − 2m > 0  3 ⇔ ⇔ ⇔m< () 2m − 3 ≠ 0 g −1 ≠ 0 2   A (x ; y )( ) = 2x 1 + 2m , B x 2 ; y2 = 2x 2 + 2m là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là Gi 1 1 a phương trình g ( x ) = 0, x ≠ 1 . Theo ñ nh lý Vi ét x + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m nghi m c 1 Theo yêu c u bài toán x 1 + y1 + 2 x 2 + y2 + 2 ( ) ( ) d A, ∆ = d B, ∆ ⇔ = ⇔ 3x 1 + 2m + 2 = 3x 2 + 2m + 2 2 2 ( ) = ( 3x ) ( ) − ( 3x ) 2 2 2 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 + 2m + 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 + 2m + 2 =0 2 2 1 ( )( ) ( ) (x ) () ⇔ x 1 − x 2 3 x 1 + x 2 + 4m + 4  = 0 ⇔ 3 x 1 + x 2 + 4m + 4 = 0 ≠ x 2 ⇔ 3 −2 + 4m + 4 = 0 ⇔ m =   1 2 1 So v i ñi u ki n, v y m = là giá tr c n tìm . 2 Ví d 10: 1. Ch ng t r ng ch có m t ñi m A duy nh t trên m t ph ng to ñ sao cho nó là ñi m c c ñ i c a ( ) x2 − m m + 1 x + m3 + 1 () ñ th f x = ng v i m t giá tr thích h p c a m và cũng là ñi m c c x −m ti u c a ñ th ng v i m t giá tr thích h p khác. Tìm to ñ c a A . -58-
  19. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 2. Tìm m ñ ñ th c a hàm s y = x − 2mx + 2m + m có c c ñ i , c c ti u ñ ng th i các ñi m 4 2 4 c c tr l p thành tam giác ñ u. Gi i : {} Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ m . x 2 − 2mx + m 2 − 1 () () Ta có f ' x = ,x ≠ m g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1 ∆g = 1 > 0, ∀m (x − m ) 2 ( ) () x = m − 1 ⇒ f x = −m 2 + m − 2 ⇒ M m − 1; −m 2 + m − 2 () Do ñó f ' x = 0 ⇔  1 1 ( ) () x 2 = m + 1 ⇒ f x 2 = −m 2 + m + 2 ⇒ N m + 1; −m 2 + m + 2  ( ) ng v i giá tr m = m1 thì A là ñi m c c ñ i và ng v i giá tr m = m2 thì A ð t A x 0 ; y 0 .Gi s là ñi m c c ti u c a ñ th hàm s x = m1 − 1 x = m2 + 1   Ta có:  0 ; 0 y 0 = −m1 + m1 − 2 y 0 = −m2 + m2 + 2 2 2    m − 1 = m2 + 1 m − m2 = 2  ⇔ 1 Theo bài toán , ta có :  1 2 ( )( ) −m1 + m1 − 2 = −m2 + m2 + 2  m1 − m2 m1 + m2 − 1 = −4 2     1 1 m1 = x 0 = − m1 − m2 = 2 2 ⇒ A− 1;− 7    2 ⇒ ⇔ ⇔    m1 + m2 = −1 m = − 3 y = − 7  2 4  2 0   2 4  1 7 V y A  − ; −  là ñi m duy nh t c n tìm tho yêu c u bài toán .  2 4 2. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ x = 0 ( ) Ta có y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m y' = 0 ⇔  2 () x = m *  ð th hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 có 3 nghi m phân bi t và y ' ñ i d u khi x qua các () nghi m ñó , khi ñó phương trình * có hai nghi m phân bi t khác 0 ⇔ m > 0 Khi ñó : ( ) x = 0 ⇒ y = m 4 + 2m ⇒ A 0; m 4 + 2m y' = 0 ⇔  )( ) ( x = ± m ⇒ y = m 4 − m 2 + 2m ⇒ B − m ; m 4 − m 2 + 2m ,C m ; m 4 − m 2 + 2m  Hàm s có 3 c c tr A, B,C l p thành tam giác ñ u AB = AC  ( ) ( ) ⇔ ⇔ AB 2 = BC 2 ⇔ m + m 4 = 4m ⇔ m m 3 − 3 = 0 ⇔ m = 3 3 m > 0 AB = BC  V y m = 3 3 là giá tr c n tìm . Ví d 11: 1. Xác ñ nh tham s a ñ hàm s sau có c c ñ i: y = −2x + 2 + a x 2 − 4x + 5 Gi i : -59-
  20. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( ) a x −2 a 1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = −2 + y '' = (x ) x 2 − 4x + 5 3 − 4x + 5 2 ( )  a x −2  x 2 − 4x + 5 () (1) a y ' x = 0  0 =2 0  2 = 0 Hàm s ñ t c c ñ i t i x = x 0 ⇔  ⇔  x − 4x + 5 ⇔ 0 x0 − 2 () 2 y '' x 0 < 0 0 0  a < 0  a < 0   () V i a < 0 thì 1 ⇒ x 0 < 2 . x 0 − 4x 0 + 5 2 () Xét hàm s : f x 0 = , x0 < 2 x0 − 2 x 0 − 4x 0 + 5 x 0 − 4x 0 + 5 2 2 () () lim f x 0 = lim = −1 , lim f x 0 = lim = −∞ x0 − 2 x0 − 2 − − x →−∞ x →−∞ x →2 x →2 −2 () ( ) Ta có f ' x 0 = < 0, ∀x 0 ∈ −∞;2 ( ) 2 x0 − 2 x 0 − 4x 0 + 5 2 B ng bi n thiên : −∞ 2 x () − f' x f (x ) −1 −∞ () a Phương trình 1 có nghi m x 0 < 2 ⇔ < −1 ⇔ a < −2 2 BÀI T P T LUY N 1. Tìm c c tr c a các hàm s sau : () 1 () f ) f x = 8 − x2 a ) f x = x 3 + 2x 2 + 3x − 1 3 () x g) f x = 2 13 () b) f x = x − x 2 + 2x − 10 x +1 3 x3 () h) f x = 1 () c) f x = x + x +1 x () i) f x = 5 − x 2 1 1 () d) f x = x 5 − x 3 + 2 j ) f (x ) = x + x2 − 1 5 3 x 2 − 3x + 3 () 1 4 k ) f (x ) = x e) f x = − x 2 − 3x + 3 x −1 3 3 2. Tìm c c tr c a các hàm s sau : -60-
Đồng bộ tài khoản