Cực trị của hàm số ( có lời giải)

Chia sẻ: Nguyen Quang Nhat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

8
3.682
lượt xem
934
download

Cực trị của hàm số ( có lời giải)

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giá trị cực đại và gái trị cực tiểu được gọi chung là cực trị... - Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm - Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Cực trị của hàm số ( có lời giải)

  1. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn C C TR C A HÀM S TÓM T T LÝ THUY T 1. Khái ni m c c tr hàm s : ( ) Gi s hàm s f xác ñ nh trên t p h p D D ⊂ ℝ và x 0 ∈ D () a ) x 0 ñư c g i là m t ñi m c c ñ i c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b ch a ñi m x 0 sao cho (a;b ) ⊂ D và f (x ) < f (x ) v ( ){} () i m i x ∈ a;b \ x 0 . Khi ñó f x 0 ñư c g i là giá tr c c ñ i c a 0 hàm s f . () b ) x 0 ñư c g i là m t ñi m c c ti u c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b ch a ñi m x 0 sao cho (a;b ) ⊂ D và f (x ) > f (x ) v ( ){} () i m i x ∈ a;b \ x 0 . Khi ñó f x 0 ñư c g i là giá tr c c ti u c a 0 hàm s f . Giá tr c c ñ i và giá tr c c ti u ñư c g i chung là c c tr N u x 0 là m t ñi m c c tr c a hàm s f thì ngư i ta nói r ng hàm s f ñ t c c tr t i ñi m x 0 . ( ) Như v y : ñi m c c tr ph i là m t ñi m trong c a t p h p D D ⊂ ℝ 2. ði u ki n c n ñ hàm s ñ t c c tr : () ð nh lý 1: Gi s hàm s f ñ t c c tr t i ñi m x 0 . Khi ñó , n u f có ñ o hàm t i ñi m x 0 thì f ' x 0 = 0 Chú ý : • ð o hàm f ' có th b ng 0 t i ñi m x 0 nhưng hàm s f không ñ t c c tr t i ñi m x 0 . • Hàm s có th ñ t c c tr t i m t ñi m mà t i ñó hàm s không có ñ o hàm . • Hàm s ch có th ñ t c c tr t i m t ñi m mà t i ñó ñ o hàm c a hàm s b ng 0 , ho c t i ñó hàm s không có ñ o hàm . 3. ði u ki n ñ ñ hàm s ñ t c c tr : () ð nh lý 2: Gi s hàm s f liên t c trên kho ng a;b ch a ñi m x 0 và có ñ o hàm trên các kho ng (a; x ) và (x ;b ) . Khi ñó : 0 0  f ' ( x ) < 0, x ∈ (a; x )  () 0 0 a) N u  ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . Nói m t cách khác , n u f ' x ñ i thì hàm s  f ' ( x ) > 0, x ∈ ( x ;b )  0 0 d u t âm sang dương khi x qua ñi m x 0 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . x0 x a b () − + f' x f (x ) () () fa fb () f x0 () ( )  f ' x > 0, x ∈ a; x  () 0 0 b) N u  thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . Nói m t cách khác , n u f ' x ñ i () ( ) f ' x 0 < 0, x ∈ x 0 ;b   d u t dương sang âm khi x qua ñi m x 0 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . -41-
  2. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn x0 x a b () + − f' x f (x ) () f x0 () () fa fb () () ð nh lý 3: Gi s hàm s f có ñ o hàm c p m t trên kho ng a;b ch a ñi m x 0 , f ' x 0 = 0 và f có ñ o hàm c p hai khác 0 t i ñi m x 0 . () a ) N u f '' x 0 < 0 thì hàm s f ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s b) f ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . 0 4. Quy t c tìm c c tr : Quy t c 1: Áp d ng ñ nh lý 2 () • Tìm f ' x ( ) • Tìm các ñi m x i i = 1, 2, 3... t i ñó ñ o hàm b ng 0 ho c hàm s liên t c nhưng không có ñ o hàm. a f ' (x ) . N u f ' (x ) ñ • Xét d u c i d u khi x qua ñi m x 0 thì hàm s có c c tr t i ñi m x 0 . Quy t c 2: Áp d ng ñ nh lý 3 () • Tìm f ' x ( ) () • Tìm các nghi m x i i = 1, 2, 3... c a phương trình f ' x = 0 . V i m i x tính f '' ( x ) . • i i N u f '' ( x ) < 0 thì hàm s − ñ t c c ñ i t i ñi m x i . i N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s − ñ t c c ti u t i ñi m x i . i Ví d 1 : Tìm c c tr c a các hàm s : ( ) x (x − 3 ) 1 5 () c) f x = a ) f x = x 3 − x 2 − 3x + 3 3 f (x ) = x () ( ) d) b) f x = x x + 2 Gi i : 13 5 () a) f x = x − x 2 − 3x + 3 3 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . () () Ta có f ' x = x 2 − 2x − 3 f ' x = 0 ⇔ x = −1, x = 3 Cách 1. B ng bi n thiên +∞ −1 −∞ 3 x () + 0− + f' x 0 10 () +∞ fx 3 22 −∞ − 3 -42-
  3. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 10 22 () () V y hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = , hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 3, f 3 = − 3 3 () Cách 2 : f '' x = 2x − 2 10 () () Vì f '' −1 = −4 < 0 nên hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = . 3 22 () () Vì f '' 3 = 4 > 0 hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 3, f 3 = − . 3 ( ) x x + 2 khi x ≥ 0  () ( ) b) f x = x x + 2 =  ( ) −x x + 2 khi x < 0  Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ .  2x + 2 > 0 khi x > 0 () () Ta có f ' x =  f ' x = 0 ⇔ x = −1 −2x − 2 khi x < 0  Hàm s liên t c t i x = 0 , không có ñ o hàm t i x = 0 . B ng bi n thiên +∞ −∞ −1 0 x () + − + f' x 0 f (x ) +∞ 1 −∞ 0 () () V y hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = 1 , hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 0, f 0 = 0 () ( ) c) f x = x x −3 ( )  x x − 3 khi x ≥ 0  () Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . f x =  . ( )  −x x − 3 khi x < 0  ( ) 3 x − 1  khi x > 0  2x () () Ta có f ' x =  f' x =0⇔x =1  3 − x + −x > 0 khi x < 0  2 −x  +∞ −∞ 0 1 x () + − + f' x 0 f (x ) +∞ 0 −∞ −2 () () Hàm s ñ t ñi m c c ñ i t i ñi m x = 0, f 0 = 0 , hàm s ñ t ñi m c c ti u t i ñi m x = 1, f 1 = −2 () d) f x = x -43-
  4. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn x khi x ≥ 0  () Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . f x =  . −x khi x < 0  1 khi x > 0  () Ta có f ' x =  −1 khi x < 0  B ng bi n thiên +∞ −∞ 0 x () − + f' x f (x ) +∞ +∞ 0 () Hàm s ñ t ñi m c c ñ i t i ñi m x = 0, f 0 = 0 Ví d 2 : Tìm c c tr c a các hàm s sau : () () c) f x = 2 sin 2x − 3 a) f x = x 4 − x 2 f ( x ) = x − sin 2x + 2 f ( x ) = 3 − 2 cos x − cos 2x d) b) Gi i : () a) f x = x 4 − x 2 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ño n  −2;2    4 − 2x 2 () ( ) () Ta có a ) f ' x = , x ∈ −2;2 f ' x = 0 ⇔ x = − 2, x = 2 4 − x2 () f ' x ñ i d u t âm sang dương khi x qua ñi m − 2 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = − 2, () f − 2 = −2 () 2 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = 2, f ' x ñ i d u t dương sang âm khi x qua ñi m ( 2) = 2 f Ho c dùng b ng bi n thiên hàm s ñ k t lu n: −2 −2 2 2 x () − 0+ − f' x 0 f (x ) 0 2 −2 0 () b ) f x = 3 − 2 cos x − cos 2x Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . -44-
  5. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn () ( ) Ta có f ' x = 2 sin x + 2 s in2x = 2 sin x 1 + 2 cos x sin x = 0 x = k π ()  ⇔ f' x =0⇔ ,k ∈ ℤ . cos x = − 1 = cos 2π x = ± 2π + k 2π     2 3 3 () f '' x = 2 cos x + 4 cos 2x  2π   2π  2π 2π 1 + k 2π  = 6 cos + k 2π  = 4 + k 2π , f  ± f ''  ± = −3 < 0 . Hàm s ñ t c c ñ i t i x = ± 3 3 3 2 3   () () ( ) f '' k π = 2 cos k π + 4 > 0, ∀k ∈ ℤ . Hàm s ñ t c c ti u t i x = k π , f k π = 2 1 − cos k π c) f ( x ) = 2 sin 2x − 3 Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . π π () () Ta có f ' x = 4 cos 2x f ' x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = +k ,k ∈ ℤ , 4 2   −8 khi k = 2n π π π () f ''  + k  = −8 sin  + k π  =  f '' x = −8 sin 2x , khi k = 2n + 1  8 4 2 2  π  π V y hàm s ñ t c c ñ i t i các ñi m x = + nπ ; f  + nπ  = −1 và ñ t c c ñ i t i 4 4  π π π π ( ) ( ) x = + 2n + 1 ; f  + 2n + 1  = −5 4 2 4 2 () d ) f x = x − sin 2x + 2 π + k π , k ∈ ℤ và ñ t c c ti u t i các ñi m Tương t trên hàm s ñ t c c ñ i t i các ñi m x = − 6 π + kπ , k ∈ ℤ . x= 6 Ví d 3 : ( ) x 3 − m m + 1 x + m3 + 1 ( ) 1. Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , hàm s y = f x , m = luôn x −m có c c ñ i và c c ti u . ( )( ) 2 . V i giá tr nào c a m ,hàm s y = f x , m = m + 2 x 3 + 3x 2 + mx + m có c c ñ i , c c ti u . mx 2 + x + m ( ) 3 . V i giá tr nào c a m ,hàm s y = f x , m = không có c c ñ i , c c ti u . x +m () ( ) 4 . Xác ñ nh các giá tr c a tham s k ñ ñ th c a hàm s y = f x , k = kx 4 + k − 1 x 2 + 1 − 2k ch có m t ñi m c c tr . 14 3 ( ) 5 . Xác ñ nh m ñ ñ th c a hàm s y = f x , m = y = x − mx 2 + có c c ti u mà không có c c 2 2 ñ i. Gi i : -45-
  6. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn {} Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ m . g (x ) − 2mx + m − 1 x2 2 () Ta có y ' = = , x ≠ m , g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1 (x − m ) (x − m ) 2 2 ( ) () () D u c a g x cũng là d u c a y ' và ∆ 'g = m 2 − m 2 − 1 = 1 > 0 , ∀m . Do ñó ∀m thì g x = 0 luôn có 2 nghi m phân bi t x 1 = m − 1, x 2 = m + 1 thu c t p xác ñ nh . +∞ −∞ m −1 m +1 x m () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ −∞ −∞ y ' ñ i d u t dương sang âm khi x qua ñi m x 1 = m − 1 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 1 = m − 1 y ' ñ i d u t âm sang dương khi x qua ñi m x 2 = m + 1 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x 2 = m + 1 2 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có y ' = 3 m + 2 x 2 + 6x + m Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t hay  m + 2 ≠ 0 m ≠ −2  m ≠ −2  ⇔ ⇔ ⇔ ( ) ( ) −3 < m < 1 ∆ ' = 9 − 3m m + 2 > 0 3 −m − 2m + 3 > 0 2    V y giá tr m c n tìm là −3 < m < 1, m ≠ −2 . mx 2 + 2m 2x {} 3 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm y ' = (x + m ) 2 Hàm s không có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 không ñ i d u qua nghi m , khi ñó phương trình () ( ) g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghi m ho c có nghi m kép • Xét m = 0 ⇒ y ' = 0, ∀x ≠ −m ⇒ m = 0 tho . • Xét m ≠ 0 . Khi ñó ∆ ' = m 4 () Vì ∆ ' = m 4 > 0, ∀m ≠ 0 ⇒ g x = 0 có hai nghi m phân bi t nên không có giá tr tham s m ñ () ( ) g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghi m ho c có nghi m kép V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán . 4 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có y ' = 4kx 3 − 2 k − 1 x x = 0 y' = 0 ⇔  2 (*) 2kx + k − 1 = 0  -46-
  7. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm s ch có m t c c tr khi phương trình y ' = 0 có m t nghi m duy nh t và y ' ñ i d u khi x ñi qua (*) vô nghi m hay có nghi m kép x = 0 nghi m ñó .Khi ñó phương trình 2kx 2 + k − 1 = 0 k = 0 k = 0 k ≤ 0   ⇔ k ≠ 0 ⇔ ⇔ k < 0 ∨ k ≥ 1 k ≥ 1   ∆ ' = −2k k − 1 ≤ 0 ( )     V y k ≤ 0 ∨ k ≥ 1 là giá tr c n tìm . 5 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . x = 0 Ta có y ' = 2x 3 − 2mx y' = 0 ⇔  2 () x = m *  Hàm s có c c ti u mà không có c c ñ i khi phương trình y ' = 0 có m t nghi m duy nh t và y ' ñ i (*) vô nghi m hay có nghi m kép x = 0 d u khi x ñi qua nghi m ñó Khi ñó phương trình x 2 = m ⇔m≤0 V y m ≤ 0 là giá tr c n tìm. Ví d 4 : x 2 + mx + 1 () 1. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = ñ t c c ñ i t i x = 2. x +m () ( ) 2. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = x 3 + m + 3 x 2 + 1 − m ñ t c c ñ i t i x = −1. () ( ) 3. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = x 3 − 6x 2 + 3 m + 2 x − m − 6 ñ t c c ñ i và c c ti u ñ ng th i hai giá tr c c tr cùng d u. x 2 + mx + 2 () 4. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = có ñi m c c ti u n m trên Parabol x −1 (P ) : y = x +x −4 2 Gi i : x 2 + 2mx + m 2 − 1 {} () 1. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm f ' x = , x ≠ −m (x + m ) 2 m = −3 () N u hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 thì f ' 2 = 0 ⇔ m 2 + 4m + 3 = 0 ⇔  m = −1  x = 2 x − 6x + 8 2 () () m = −3 , ta có f ' x = ,x ≠ 3 f' x =0⇔ x = 4 ( ) 2 x −3  B ng bi n thiên : +∞ −∞ 2 3 4 x () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ 1 -47-
  8. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn −∞ −∞ 5 D a vào b ng bi n thiên ta th y hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 , do ñó m = −3 tho mãn . Tương t v i m = −1 Cách 2 : x 2 + 2mx + m 2 − 1 {} () Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm f ' x = , x ≠ −m ( ) 2 x +m 2 y '' = , x ≠ −m ( ) 3 x +m Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 khi  1 1 − =0 m 2 + 4m + 3 = 0 () ( ) 2 y ' 2 = 0 m = −1 ∨ m = −3 2+m     ⇔ ⇔ m ≠ −2 ⇔ ⇔ m = −3  () m < −2 y '' 2 < 0 2    m < −2   <0  ( )  2+m 3  V y m = −3 là giá tr c n tìm. 2. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . x = 0 () ( ) ( ) () ⇒f' x =0⇔ Ta có f ' x = 3x + 2 m + 3 x = x 3x + 2m + 6 2 x = − 2m + 6   3 2m + 6 +∞ −∞ − 0 x 3 () + 0− + f' x 0 f (x ) 2m + 6 3 Hàm s ñ t c c ñ i t i x = −1 ⇔ − = −1 ⇔ m = − . 3 2 3. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có : y ' = 3x 2 − 12x + 3 m + 2 . ( ) Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆ ' = 36 − 9 m + 2 > 0 ⇔ 2−m > 0 ⇔ m < 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 y = x − 2 . 3x 2 − 12x + 3 m + 2  + 2 m − 2 x + m − 2 = x − 2 .y '+ 2 m − 2 x + m − 2   3 3 ( )( ) G i A x1; y1 , B x 2 ; y2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a phương trình () ( ) g x = 3x 2 − 12x + 3 m + 2 = 0 . Trong ñó : -48-
  9. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn  ( )() ( ) 1 y1 = x 1 − 2 .y ' x 1 + 2 m − 2 x 1 + m − 2 ( ) ⇒ y1 = 2 m − 2 x 1 + m − 2  3 () y ' x 1 = 0   ( )() ( ) 1 y2 = x 1 − 2 .y ' x 2 + 2 m − 2 x 2 + m − 2 ( ) ⇒ y2 = 2 m − 2 x 2 + m − 2  3 () y ' x 2 = 0  Theo ñ nh lý Vi-ét , ta có : x 1 + x 2 = 4, x 1x 2 = m + 2 Theo bài toán : ( ) ( ) ( ) (2x )( ) 2 y1.y2 > 0 ⇔ 2 m − 2 x 1 + m − 2  2 m − 2 x 2 + m − 2  > 0 ⇔ m − 2 + 1 2x 2 + 1 > 0    1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4m + 17 ) > 0 2 2 2 ⇔ m − 2  4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2  4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2      17 m > − ⇔ 4 m ≠ 2  17 So v i ñi u ki n bài toán , v y −< m < 2 là giá tr c n tìm . 4 {} 4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 x 2 − 2x − m − 2 () Ta có y ' = ,x ≠ 1 g x = x 2 − 2x − m − 2 ( ) 2 x −1 () Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g x = 0, x ≠ 1 có hai nghi m phân bi t khác 1 ( ) ∆ ' = 1 − −m − 2 > 0  m + 3 > 0  ⇔ ⇔ m > −3  () m ≠ −3 g 1 = −m − 3 ≠ 0    m+3 x 1 = 1 − m + 3 ⇒ y1 = 1 − m + 3 + m + 1 + =m +2−2 m +3 − m+3 Khi ñó y ' = 0 ⇔  m+3  x 2 = 1 + m + 3 ⇒ y2 = 1 + m + 3 + m + 1 + =m +2+2 m +3 m+3  B ng bi n thiên : +∞ −∞ 1 x1 x2 x () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ y1 −∞ −∞ y2 ) ( D a vào bàng bi n thiên suy ra A 1 + m + 3; m + 2 + 2 m + 3 là ñi m c c ti u c a hàm s . ) ( 2 () A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 +1+ m +3 −4 ⇔ m +3 =1 -49-
  10. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ) ( 2 () A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 + 1 + m + 3 − 4 ⇔ m + 3 = 1 ⇔ m = −2 So v i ñi u ki n bài toán ,v y m = −2 là giá tr c n tìm. Ví d 5 : () 1. Tìm các h s a, b, c, d sao cho hàm s f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñ t c c ti u t i ñi m x = 0, () () f 0 = 0 và ñ t c c ñ i t i ñi m x = 1, f 1 = 1 2. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s f ( x ) = x + ax 2 + bx + c ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m 3 x = −2 và ñ th c a hàm s ñi qua ñi m A (1; 0 ) . ax 2 + bx + ab () 3. Tìm các h s a, b sao cho hàm s f x = ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 . ax + b Gi i : () 1. Tìm các h s a, b, c, d sao cho hàm s f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñ t c c ti u t i ñi m () c ñ i t i ñi m x = 1, f (1) = 1 x = 0, f 0 = 0 và ñ t c Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . () () Ta có f ' x = 3ax 2 + 2bx + c , f '' x = 6ax + 2b () f ' 0 = 0   c = 0 c = 0  () () ⇔ ⇔ Hàm s f x ñ t c c ti u t i x = 0 khi và ch khi  1 () 2b > 0 b>0 f '' 0 > 0       () f ' 1 = 0  3a + 2b + c = 0  () () ⇔ Hàm s f x ñ t c c ñ i t i x = 1 khi và ch khi  2 () 6a + 2b < 0 f '' 1 < 0     () () () f 0 = 0 ⇒ d = 0 , f 1 = 1 ⇒ a + b + c + d = 1 hay a + b + c = 1 do d = 0 3 T (1) , ( 2 ) , ( 3 ) suy ra a = −2, b = 3, c = 0, d = 0 Ta ki m tra l i f ( x ) = −2x + 3x 3 2 Ta có f ' ( x ) = −6x + 6x , f '' ( x ) = −12x + 6 2 f '' ( 0 ) = 6 > 0 . Hàm s ñ t c c ti u t i x = 0 f '' (1) = −6 < 0 . Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 1 V y : a = −2, b = 3, c = 0, d = 0 () 2. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s f x = x 3 + ax 2 + bx + c ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m x = −2 () và ñ th c a hàm s ñi qua ñi m A 1; 0 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . () Ta có f ' x = 3x 2 + 2ax + b -50-
  11. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ()  f ' −2 = 0  4a − b = 12  () ⇔ Hàm s ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m x = −2 khi và ch khi  1 () 4a − 2b + c = 8 f −2 = 0    () () () ð th c a hàm s ñi qua ñi m A 1; 0 khi và ch khi f 1 = 0 ⇔ a + b + c + 1 = 0 2 (1) , (2 ) suy ra a = 3,b = 0, c = −4 . T a 2x 2 + 2abx + b 2 − a 2b 3. Hàm s ñã cho xác ñ nh khi ax + b ≠ 0 và có ñ o hàm y ' = (ax + b ) 2 • ði u ki n c n : Hàm s ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 khi và ch khi b 2 − a 2b = 0 b 2 − a 2b b = a 2 > 0 =0   () y ' 0 = 0 a = −2 b≠0  2  b   ( ) ⇔ 16a 2 + 8ab + b 2 − a 2b ⇔ 2 ⇔ 8a 2 a + 2 = 0 ⇔   () b = 4 16a + 8ab + b − a b = 0 y ' 4 = 0 2 2 =0  4a + a 2 ≠ 0   ( ) 2   4a + b ≠ 0 4a + b   • ði u ki n ñ : a = −2 x = 0 x 2 − 4x  ⇒ y' = y' = 0 ⇔   b = 4 x = 4 ( ) 2 −x + 2   B ng bi n thiên +∞ −∞ 0 2 4 x () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ Cð −∞ −∞ CT T b ng bi n thiên :hàm s ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 . V y a = −2, b = 4 là giá tr c n tìm. Ví d 6: () (C ) . Hãy xác ñ nh t t c 1. Cho hàm s y = f x = x 3 − 3x 2 + 2 các giá tr c a a ñ ñi m c c ñ i (C ) và ñi m c c ti u c a ñ th v hai phía khác nhau c a ñư ng tròn (phía trong và phía ngoài): (C ) : x + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 2 a x 2 + m 2x + 2m 2 − 5m + 3 () 2. Cho hàm s y = f x = . Tìm m > 0 ñ hàm s ñ t c c ti u t i x ( ) x ∈ 0;2m 3. y = f (x ) = x 3 − 3x 2 + m 2x + m. có c c ñ i , c c ti u và hai ñi m ñó ñ i x ng nhau qua -51-
  12. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 5 ñư ng th ng y = x − 2 2 ( ) x 2 − m + 1 x − m 2 + 4m − 2 4. Tìm t t c các giá tr c a tham s m thì hàm s y = f (x ) . có c c x −1 tr ñ ng th i tích các giá tr c c ñ i và c c ti u ñ t giá tr nh nh t. ( ) x 2 + m + 2 x + 3m + 2 5. Tìm t t c các giá tr c a tham s m thì hàm s y = f (x ) = có giá tr x +1 1 c c tr , ñ ng th i y CÑ + yCT > . 2 2 2 Gi i : x = 0 ⇒ y = 2 1. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = 3x 2 − 6x y' = 0 ⇔  x = 2 ⇒ y = −2  ()( ) ()( ) ð th hàm s có hai ñi m c c tr A 0;2 , B 2; −2 . Hai ñi m A 0;2 , B 2; −2 v hai phía c a hai () ñư ng tròn C a khi ( )( ) 3 ⇔ PA/(C ) .PB /(C ) < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 5a 2 + 4a + 7 < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ < a < 1 5 a a () ( )( ) + (y − 2a ) 2 2 Cách 2 : C a : x 2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 ⇔ C a : x − a =1 (C ) có tâm I (a;2a ) và bán kính R = 1 a 2  2 36 6 (a − 2 ) + (2a + 2 ) 2 2 Ta có : IB = = 5a + 4a + 8 = 5  a +  + ≥ > 1 = R ⇒ ñi m B 2 5 5  5 () n m ngoài C a , do ñó ñi m A n m trong ñư ng tròn 3 (C ) ⇔ IA < 1 ⇔ ( ) 2 a 2 + 2 − 2a < 1 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ <a <1 a 5 {} 2. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 0 và có ñ o hàm () x 2 − 2m 2 + 5m − 3 g x () y' = = 2 , x ≠ 0 V i g x = x 2 − 2m 2 + 5m − 3 Hàm s ñ t c c ti u t i 2 x x ( ) () ( ) x ∈ 0;2m ⇔ g x = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 x 1 < x 2 tho    m > 0 1 m > 0 m > 0  m < 1  <m <1     () ⇔ 2 x 1 < 0 < x 2 < 2m ⇔ 1.g 0 < 0 ⇔ −2m 2 + 5m − 3 < 0 ⇔  3   m > m > 3 1.g 2m > 0 2m 2 + 5m − 3 > 0 ()  2       2  m < −3  1  m >  2 -52-
  13. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 3 V y giá tr m c n tìm là < m < 1 ∨ m > . 2 2 3. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = 3x 2 − 6x + m 2 . Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 m2 ⇔ ∆ ' = 9 − 3m 2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3 .Vi-ét, ta có x 1 + x 2 = 2 x 1.x 2 = , . 3 ( )( ) G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s và I là trung ñi m c a ño n AB . ðư ng th ng AB có h s góc ( ) ( ) y 2 − y1 x 2 − x 1 − 3 x 2 − x 1 + m x 2 − x 1 3 3 2 2 2 ( ) ( ) 2 kAB = = = x1 + x 2 − x 1x 2 − 3 x 1 + x 2 + m 2 x 2 − x1 x 2 − x1 2m 2 − 6 m2 kAB = 4 − − 6 + m2 = 3 3 1 5 1 () ðư ng th ng y = x − ∆ có h s góc k = 2 2 2 AB ⊥ ∆  ( )( ) () Hai ñi m A x1; y1 , B x 2 ; y2 ñ i x ng nhau qua ñư ng th ng ∆ khi và ch khi  I ∈ ∆  1  2m − 6  2 • AB ⊥ ∆ ⇔ kAB .k = −1 ⇔ .   = −1 ⇔ m = 0 2 3  () x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ A 0; 0 ( ) y' = 0 ⇔  1 • m = 0 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x ⇒ I 1; −2 1 () x 2 = 2 ⇒ y2 = −4 ⇒ B 2; −4   ( ) D th y I 1; −2 ∈ ∆ V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán . {} 4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 . g (x ) x − 2x + m − 3m + 3 2 2 g ( x ) = x − 2x + m − 3m + 3 Ta có y ' = = ,x ≠ 1 2 2 ( x − 1) ( x − 1) 2 2 Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g ( x ) = 0, x ≠ 1 có hai nghi m phân bi t x , x khác 1 . 1 2 2 ∆ ' > 0 −m + 3m − 2 > 0  ⇔ ⇔ 2 ⇔1<m <2 () g 1 ≠0 m − 3m + 2 ≠ 0     A ( x ; y ) , B ( x ; y ) là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a phương trình Gi 1 1 2 2 () g x = 0, x ≠ 1 . x = 1 − −m 2 + 3m − 2 ⇒ y = 1 − m + 2 −m 2 + 3m − 2 1 Khi ñó y ' = 0 ⇔ 1 x = 1 + −m + 3m − 2 ⇒ y = 1 − m − 2 −m 2 + 3m − 2 2 2 2 )( ) ( ( ) ( ) 2 y1.y2 = 1 − m + 2 −m 2 + 3m − 2 1 − m − 2 −m 2 + 3m − 2 = 1 − m − 4 −m 2 + 3m − 2 -53-
  14. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 2  7 4 4 4 7 y1.y2 = 5m 2 − 14m + 9 = 5  m −  − ≥ − ⇒ min y1.y2 = − khi m = 5 5 5 5 5  7 So v i ñi u ki n , v y m = là giá tr c n tìm . 5 {} 5. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −1 . () gx x 2 + 2x − 2m () Ta có : y ' = = , x ≠ −1 g x = x 2 + 2x − 2m ( ) ( x + 1) 2 2 x +1 () Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g x = 0, x ≠ −1 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 khác   ∆ ' > 0 2m + 1 > 0 1 −1 ⇔  ⇔ ⇔m >− ()  −2m − 1 ≠ 0 g −1 ≠ 0 2   ( )( ) G i A x 1; y1 = 2x 1 + m + 2 , B x 2 ; y2 = 2x 2 + m + 2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là a phương trình g ( x ) = 0, x ≠ −1 nghi m c Theo ñ nh lý Vi- ét x 1 + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m Theo bài toán : ) + (2x + m + 2 ) = 4 (x + x ) + 4 (m + 2 )(x + x ) + 2 (m + 2 ) ( 2 2 2 y CÑ + yCT = y1 + y2 = 2x 1 + m + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 y1 + y 2 = 4  x 1 + x 2  + 4 m + 2 x + x + 2 m + 2 = 4 4 + 4m − 8 m + 2 + 2 m + 2 ( ) ( )( )( )( )( )( ) 2 2 2 − 2x 1x 2 2 2     1 2 y1 + y2 = 2m 2 + 16m + 8 2 2 1 1 () () Xét f m = 2m 2 + 16m + 8, m > − f ' m = 4m + 16 > 0, ∀m > − 2 2 1   1 1 1  () () Do ñó hàm s f m ñ ng bi n trên kho ng m ∈  − ; +∞  và f m > f  −  = , m ∈  − ; +∞  2  2 2 2   1  1 V y y CÑ + yCT > , m ∈  − ; +∞  2 2 2 2  Ví d 7: 1 1 ( ) ( ) 1. V i giá tr nào c a m thì ñ th c a hàm s y = mx 3 − m − 1 x 2 + 3 m − 2 x + có c c ñ i , 3 3 c c ti u ñ ng th i hoành ñ c c ñ i c c ti u x 1, x 2 th a x 1 + 2x 2 = 1 ( ) mx 2 + m 2 + 1 x + 4m 3 + m 2. V i giá tr nào c a m thì ñ th c a hàm s y = tương ng có m t x +m () (IV ) c II và m t ñi m c c tr thu c góc ph n tư th ñi m c c tr thu c góc ph n tư th am t ph ng t a ñ . Gi i : 1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . -54-
  15. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( ) ( ) Ta có y ' = mx − 2 m − 1 x + 3 m − 2 2 Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' ñ i d u hai l n qua nghi m x , t c là phương trình ( ) ( ) mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 m ≠ 0  m ≠ 0  m ≠ 0  ⇔ ⇔ 2 − 6  2+ 6 ( ) ( ) 2 −2m + 4m + 1 > 0 2 ∆ ' = m − 1 − 3m m − 2 > 0 <m <    2 2 Theo ñ nh lý Vi – ét và yêu c u bài toán, ta có:   x = 3m − 4 () x 1 + 2x 2 = 1 gt  1 m ()   2 2 m −1  2−m m=  ( ) ⇔ 3m − 8m + 4 = 0 m ≠ 0 ⇔  x1 + x 2 = ⇔ x 2 = 2  3  m m   m =2 ( ) ( )   3 m −2  3m − 4   2 − m  3 m − 2  x 1.x 2 = =    m  m   m  m 2 So v i ñi u ki n bài toán , v y m = ∨ m = 2 là giá tr c n tìm . 3 4m 3 {} ( ) 2. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và y = mx + 1 + m≠0 x +m mx 2 + 2m 2x − 3m 3 Ta có : y ' = , x ≠ −m (x + m ) 2 G i A ( x ; y ) , B ( x ; y ) là các ñi m c c tr c ( ) a ñ th hàm s thì x 1, x 2 x 1 < x 2 là nghi m c a phương 1 1 2 2 trình g ( x ) = mx + 2m x − 3m = 0, x ≠ −m 2 2 3 (II ) và m ð th c a hàm s có m t ñi m c c tr thu c góc ph n tư th t ñi m c c tr thu c góc ph n tư (IV ) c th a m t ph ng t a ñ khi (1 ) • x < 0 < x A thuoäc goùc phaàn tö thöù (II)  1 2   (2) ⇔ ⇔ • y2 < 0 < y1 B thuoäc goùc phaàn tö thöù (IV) • Heäsoá goùc cuûa tieäm caän xieân nhoû hôn 0 ( 3)    (1) ⇔ m.g ( 0 ) < 0 ⇔ −3m < 0 ⇔ m ≠ 0 (a ) 4 (2 ) ⇔ ð th c a hàm s không c t tr c Ox ⇔ mx + (m ) (x ≠ −m ) vô + 1 x + 4m 3 + m = 0 2 2 nghi m  1 m < − m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0    (b ) 5 ⇔ 2 1⇔ ⇔ ⇔ ( ) ( ) 2 −15m − 2m + 1 < 0 4 2  m > 1 ∆ = m + 1 − 4m 4m + m < 0 2 3   m >   5  5 ( 3 ) ⇔ m < 0 (c ) -55-
  16. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 ()()() T a b c suy ra m < − là giá tr c n tìm. 5 Ví d 8: () () ( ) ( ) Cho hàm s f x = x 3 + m − 1 x 2 − m + 2 x − 1 , có ñ th là C m , m là tham s . 1. Ch ng minh r ng hàm s luôn có m t c c ñ i , m t c c ti u . () 2. Khi m = 1 , ñ th hàm s là C () () x a ). Vi t phương trình ñư ng th ng d vuông góc v i ñư ng th ng y = và ti p xúc v i ñ th C . 3 () b ). Vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr c a C . Gi i : Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . () ( ) ( ) 1. Ta có f ' x = 3x 2 + 2 m − 1 x − m + 2 . () Vì ∆ ' = m 2 + m + 7 > 0, ∀m ∈ ℝ nên phương trình f ' x = 0 luôn có hai nghi m phân bi t . Do ñó ñ th c a hàm s luôn có m t c c ñ i , m t c c ti u v i m i giá tr c a tham s m . ( ) () 2. m = 1 ⇒ C : f x = x 3 − 3x − 1 i M ( x ; y ) là to () (C ) a ). G ñ ti p ñi m c a ñư ng th ng d và ñ th 0 0 () x ⇒ y 0 = x 0 − 3x 0 − 1, y 0 ' = 3x 0 − 3 . ðư ng th ng d vuông góc v i ñư ng th ng y = 3 2 khi 3 1 y 0 '   = −1 ⇔ 3x 0 − 3 = −3 ⇔ x 0 = 0 ⇔ x 0 = 0, y 0 = −1 2 2 3 () (C ) t i ñi m ( 0; −1) . V y ñư ng th ng d : y = −3x − 1 và ti p xúc v i ñ th () ( ) c ti u là B (1; −3 ) . Do ñó ñư b ). ð th C có ñi m c c ñ i là A −1;1 , ñi m c ng th ng qua AB là : y = −2x − 1 . Ví d 9: ( ) () ( ) 1. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s f x = x 3 − 2m + 1 x 2 + m 2 − 3m + 2 x + 4 có hai ñi m c c ñ i và c c ti u n m v hai phía tr c tung . ( ) x 2 − m + 1 x + 3m + 2 () 2. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s f x = có hai ñi m c c ñ i và x −1 c c ti u cùng d u . ( ) () ( ) 3. Cho hàm s y = f x = −x 3 + 3 m + 1 x 2 − 3m 2 + 7m − 1 x + m 2 − 1 .ð nh m ñ hàm s ñ t c c ti u t i m t ñi m có hoành ñ nh hơn 1. x 2 + 2mx + 2 () 4. Tìm giá tr c a m ñ ñ th hàm s f x = có ñi m c c ñ i, ñi m c c ti u và x +1 kho ng cách t hai ñi m ñó ñ n ñư ng th ng ∆ : x + y + 2 = 0 b ng nhau. Gi i : () ( ) 1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm f ' x = 3x 2 − 2 2m + 1 x + m 2 − 3m + 2 -56-
  17. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm s có hai ñi m c c ñ i và c c ti u n m v hai phía tr c tung khi và ch khi phương trình () () f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 tho mãn x 1 < 0 < x 2 ⇔ 3.f ' 0 < 0 ⇔ m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2 V y giá tr c n tìm là 1 < m < 2 . x 2 − 2x − 2m − 1 {} () 2. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 và có ñ o hàm f ' x = ,x ≠ 1 ( ) 2 x −1 () Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 hay phương trình () g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 , khi ñó   ∆ ' > 0 2m + 2 > 0 (1 ) ⇔ ⇔ m > −1  () −2m − 2 ≠ 0 g 1 ≠ 0   ( )( ) () là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a g x = 0 G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2  2m + 2 x 1 = 1 − 2m + 2 ⇒ y1 = 1 − 2m + 2 − m + = 1 − m − 2 2m + 2 − 2m + 2  Khi ñó: y ' = 0 ⇔ 2m + 2  x 2 = 1 + 2m + 2 ⇒ y2 = 1 + 2m + 2 − m + = 1 − m + 2 2m + 2 2m + 2  Hai giá tr c c tr cùng d u khi )( ) ( ( ) ( ) 2 y1.y2 > 0 ⇔ 1 − m − 2 2m + 2 1 − m + 2 2m + 2 > 0 ⇔ 1 − m − 4 2m + 2 > 0 (2 ) ⇔ m 2 − 10m − 7 > 0 ⇔ m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 (1) và (2 ) suy ra −1 < m < 5 − 4 2 ∨m >5+4 2 T x 2 − 2x − 2m − 1 {} () Cách khác : Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 và có ñ o hàm f ' x = ,x ≠ 1 ( x − 1) 2 () Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 hay phương trình   ∆ ' > 0 2m + 2 > 0 () g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔  ⇔ ⇔ m > −1  () −2m − 2 ≠ 0 g 1 ≠ 0   Hai giá tr c c tr cùng d u khi ñ th c a hàm s y = 0 c t tr c hoành t i hai ñi m phân bi t x ≠ 1 hay ( ) (x ≠ 1) có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 . T phương trình x 2 − m + 1 x + 3m + 2 = 0 c là  m < 5 − 4 2 ∆ = m + 1 2 − 4 3m + 2 > 0 ( ) ( )  m 2 − 10m − 7 > 0    ⇔ ⇔ ⇔  m > 5 + 4 2 ( )  2m + 2 ≠ 0 1 − m + 1 + 3m + 2 ≠ 0   m ≠ −1  So v i ñi u ki n , giá tr −1 < m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 là giá tr c n tìm . -57-
  18. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( ) () ( ) 3. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm f ' x = −3x + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 .Hàm s 2 ( ) () ( ) ñ t c c ti u t i m t ñi m có hoành ñ nh hơn 1 ⇔ f ' x = −3x 2 + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 = 0 có hai nghi m x 1, x 2 tho mãn ñi u ki n : () ()  1 ⇔ −3.f ' 1 < 0 ( ) 3 3m 2 + m − 4 < 0     ( )  9 m + 1 2 − 3 3m 2 + 7m − 1 > 0 ( ) () x < 1 < x ∆ ' > 0 1   ⇔  1 ⇔ 2  ( ) () () ()  3 3m 2 + m − 4 ≥ 0 x1 < x 2 ≤ 1 2 2 ⇔  −3.f ' 1 ≥ 0     S   m + 1 < 1  <1   2  4 4 − < m < 1 − < m < 1 3 4 3 − < m < 1 m < 4    −3m + 12 > 0 ⇔ 3 ⇔  ⇔ ⇔m <1  4 m ≤ − 4  3m 2 + m − 4 ≥ 0 m ≤ − ∨m ≥1     3  3  m < 0  m < 0   x 2 + 2x + 2m − 2 {} () 4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −1 và có ñ o hàm f ' x = , x ≠ −1 ( ) 2 x +1 () Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi f ' x ñ i d u hai l n qua nghi m x hay phương trình () g x = x 2 + 2x + 2m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t khác −1 ∆ ' > 0  3 − 2m > 0  3 ⇔ ⇔ ⇔m< () 2m − 3 ≠ 0 g −1 ≠ 0 2   A (x ; y )( ) = 2x 1 + 2m , B x 2 ; y2 = 2x 2 + 2m là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là Gi 1 1 a phương trình g ( x ) = 0, x ≠ 1 . Theo ñ nh lý Vi ét x + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m nghi m c 1 Theo yêu c u bài toán x 1 + y1 + 2 x 2 + y2 + 2 ( ) ( ) d A, ∆ = d B, ∆ ⇔ = ⇔ 3x 1 + 2m + 2 = 3x 2 + 2m + 2 2 2 ( ) = ( 3x ) ( ) − ( 3x ) 2 2 2 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 + 2m + 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 + 2m + 2 =0 2 2 1 ( )( ) ( ) (x ) () ⇔ x 1 − x 2 3 x 1 + x 2 + 4m + 4  = 0 ⇔ 3 x 1 + x 2 + 4m + 4 = 0 ≠ x 2 ⇔ 3 −2 + 4m + 4 = 0 ⇔ m =   1 2 1 So v i ñi u ki n, v y m = là giá tr c n tìm . 2 Ví d 10: 1. Ch ng t r ng ch có m t ñi m A duy nh t trên m t ph ng to ñ sao cho nó là ñi m c c ñ i c a ( ) x2 − m m + 1 x + m3 + 1 () ñ th f x = ng v i m t giá tr thích h p c a m và cũng là ñi m c c x −m ti u c a ñ th ng v i m t giá tr thích h p khác. Tìm to ñ c a A . -58-
  19. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 2. Tìm m ñ ñ th c a hàm s y = x − 2mx + 2m + m có c c ñ i , c c ti u ñ ng th i các ñi m 4 2 4 c c tr l p thành tam giác ñ u. Gi i : {} Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ m . x 2 − 2mx + m 2 − 1 () () Ta có f ' x = ,x ≠ m g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1 ∆g = 1 > 0, ∀m (x − m ) 2 ( ) () x = m − 1 ⇒ f x = −m 2 + m − 2 ⇒ M m − 1; −m 2 + m − 2 () Do ñó f ' x = 0 ⇔  1 1 ( ) () x 2 = m + 1 ⇒ f x 2 = −m 2 + m + 2 ⇒ N m + 1; −m 2 + m + 2  ( ) ng v i giá tr m = m1 thì A là ñi m c c ñ i và ng v i giá tr m = m2 thì A ð t A x 0 ; y 0 .Gi s là ñi m c c ti u c a ñ th hàm s x = m1 − 1 x = m2 + 1   Ta có:  0 ; 0 y 0 = −m1 + m1 − 2 y 0 = −m2 + m2 + 2 2 2    m − 1 = m2 + 1 m − m2 = 2  ⇔ 1 Theo bài toán , ta có :  1 2 ( )( ) −m1 + m1 − 2 = −m2 + m2 + 2  m1 − m2 m1 + m2 − 1 = −4 2     1 1 m1 = x 0 = − m1 − m2 = 2 2 ⇒ A− 1;− 7    2 ⇒ ⇔ ⇔    m1 + m2 = −1 m = − 3 y = − 7  2 4  2 0   2 4  1 7 V y A  − ; −  là ñi m duy nh t c n tìm tho yêu c u bài toán .  2 4 2. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ x = 0 ( ) Ta có y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m y' = 0 ⇔  2 () x = m *  ð th hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 có 3 nghi m phân bi t và y ' ñ i d u khi x qua các () nghi m ñó , khi ñó phương trình * có hai nghi m phân bi t khác 0 ⇔ m > 0 Khi ñó : ( ) x = 0 ⇒ y = m 4 + 2m ⇒ A 0; m 4 + 2m y' = 0 ⇔  )( ) ( x = ± m ⇒ y = m 4 − m 2 + 2m ⇒ B − m ; m 4 − m 2 + 2m ,C m ; m 4 − m 2 + 2m  Hàm s có 3 c c tr A, B,C l p thành tam giác ñ u AB = AC  ( ) ( ) ⇔ ⇔ AB 2 = BC 2 ⇔ m + m 4 = 4m ⇔ m m 3 − 3 = 0 ⇔ m = 3 3 m > 0 AB = BC  V y m = 3 3 là giá tr c n tìm . Ví d 11: 1. Xác ñ nh tham s a ñ hàm s sau có c c ñ i: y = −2x + 2 + a x 2 − 4x + 5 Gi i : -59-
  20. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( ) a x −2 a 1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = −2 + y '' = (x ) x 2 − 4x + 5 3 − 4x + 5 2 ( )  a x −2  x 2 − 4x + 5 () (1) a y ' x = 0  0 =2 0  2 = 0 Hàm s ñ t c c ñ i t i x = x 0 ⇔  ⇔  x − 4x + 5 ⇔ 0 x0 − 2 () 2 y '' x 0 < 0 0 0  a < 0  a < 0   () V i a < 0 thì 1 ⇒ x 0 < 2 . x 0 − 4x 0 + 5 2 () Xét hàm s : f x 0 = , x0 < 2 x0 − 2 x 0 − 4x 0 + 5 x 0 − 4x 0 + 5 2 2 () () lim f x 0 = lim = −1 , lim f x 0 = lim = −∞ x0 − 2 x0 − 2 − − x →−∞ x →−∞ x →2 x →2 −2 () ( ) Ta có f ' x 0 = < 0, ∀x 0 ∈ −∞;2 ( ) 2 x0 − 2 x 0 − 4x 0 + 5 2 B ng bi n thiên : −∞ 2 x () − f' x f (x ) −1 −∞ () a Phương trình 1 có nghi m x 0 < 2 ⇔ < −1 ⇔ a < −2 2 BÀI T P T LUY N 1. Tìm c c tr c a các hàm s sau : () 1 () f ) f x = 8 − x2 a ) f x = x 3 + 2x 2 + 3x − 1 3 () x g) f x = 2 13 () b) f x = x − x 2 + 2x − 10 x +1 3 x3 () h) f x = 1 () c) f x = x + x +1 x () i) f x = 5 − x 2 1 1 () d) f x = x 5 − x 3 + 2 j ) f (x ) = x + x2 − 1 5 3 x 2 − 3x + 3 () 1 4 k ) f (x ) = x e) f x = − x 2 − 3x + 3 x −1 3 3 2. Tìm c c tr c a các hàm s sau : -60-
Đồng bộ tài khoản