Cực trị của hàm số ( có lời giải)

Chia sẻ: maiyeunh0c_nt

Giá trị cực đại và gái trị cực tiểu được gọi chung là cực trị... - Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm - Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Cực trị của hàm số ( có lời giải)

Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
C C TR C A HÀM S
TÓM T T LÝ THUY T
1. Khái ni m c c tr hàm s :
( )
Gi s hàm s f xác ñ nh trên t p h p D D ⊂ ℝ và x 0 ∈ D

()
a ) x 0 ñư c g i là m t ñi m c c ñ i c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b ch a ñi m x 0 sao cho

(a;b ) ⊂ D và f (x ) < f (x ) v ( ){} ()
i m i x ∈ a;b \ x 0 . Khi ñó f x 0 ñư c g i là giá tr c c ñ i c a
0

hàm s f .
()
b ) x 0 ñư c g i là m t ñi m c c ti u c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b ch a ñi m x 0 sao cho

(a;b ) ⊂ D và f (x ) > f (x ) v ( ){} ()
i m i x ∈ a;b \ x 0 . Khi ñó f x 0 ñư c g i là giá tr c c ti u c a
0

hàm s f .
Giá tr c c ñ i và giá tr c c ti u ñư c g i chung là c c tr
N u x 0 là m t ñi m c c tr c a hàm s f thì ngư i ta nói r ng hàm s f ñ t c c tr t i ñi m x 0 .
( )
Như v y : ñi m c c tr ph i là m t ñi m trong c a t p h p D D ⊂ ℝ
2. ði u ki n c n ñ hàm s ñ t c c tr :
()
ð nh lý 1: Gi s hàm s f ñ t c c tr t i ñi m x 0 . Khi ñó , n u f có ñ o hàm t i ñi m x 0 thì f ' x 0 = 0
Chú ý :
• ð o hàm f ' có th b ng 0 t i ñi m x 0 nhưng hàm s f không ñ t c c tr t i ñi m x 0 .
• Hàm s có th ñ t c c tr t i m t ñi m mà t i ñó hàm s không có ñ o hàm .
• Hàm s ch có th ñ t c c tr t i m t ñi m mà t i ñó ñ o hàm c a hàm s b ng 0 , ho c t i ñó hàm
s không có ñ o hàm .
3. ði u ki n ñ ñ hàm s ñ t c c tr :
()
ð nh lý 2: Gi s hàm s f liên t c trên kho ng a;b ch a ñi m x 0 và có ñ o hàm trên các kho ng

(a; x ) và (x ;b ) . Khi ñó :
0 0

 f ' ( x ) < 0, x ∈ (a; x )

()
0 0
a) N u  ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . Nói m t cách khác , n u f ' x ñ i
thì hàm s
 f ' ( x ) > 0, x ∈ ( x ;b )
 0 0

d u t âm sang dương khi x qua ñi m x 0 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x 0 .
x0
x a b
() − +
f' x

f (x ) () ()
fa fb

()
f x0


() ( )
 f ' x > 0, x ∈ a; x

()
0 0
b) N u  thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . Nói m t cách khác , n u f ' x ñ i
() ( )
f ' x 0 < 0, x ∈ x 0 ;b


d u t dương sang âm khi x qua ñi m x 0 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 .

-41-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
x0
x a b
() + −
f' x

f (x ) ()
f x0

() ()
fa fb

() ()
ð nh lý 3: Gi s hàm s f có ñ o hàm c p m t trên kho ng a;b ch a ñi m x 0 , f ' x 0 = 0 và f có ñ o
hàm c p hai khác 0 t i ñi m x 0 .
()
a ) N u f '' x 0 < 0 thì hàm s f ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 .

N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s
b) f ñ t c c ti u t i ñi m x 0 .
0

4. Quy t c tìm c c tr :
Quy t c 1: Áp d ng ñ nh lý 2
()
• Tìm f ' x

( )
• Tìm các ñi m x i i = 1, 2, 3... t i ñó ñ o hàm b ng 0 ho c hàm s liên t c nhưng không có ñ o hàm.

a f ' (x ) . N u f ' (x ) ñ
• Xét d u c i d u khi x qua ñi m x 0 thì hàm s có c c tr t i ñi m x 0 .
Quy t c 2: Áp d ng ñ nh lý 3
()
• Tìm f ' x

( ) ()
• Tìm các nghi m x i i = 1, 2, 3... c a phương trình f ' x = 0 .

V i m i x tính f '' ( x ) .
• i i

N u f '' ( x ) < 0 thì hàm s
− ñ t c c ñ i t i ñi m x i .
i

N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s
− ñ t c c ti u t i ñi m x i .
i

Ví d 1 : Tìm c c tr c a các hàm s :
( ) x (x − 3 )
1 5
() c) f x =
a ) f x = x 3 − x 2 − 3x +
3 3
f (x ) = x
() ( ) d)
b) f x = x x + 2
Gi i :
13 5
()
a) f x = x − x 2 − 3x +
3 3
Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ .
() ()
Ta có f ' x = x 2 − 2x − 3 f ' x = 0 ⇔ x = −1, x = 3
Cách 1. B ng bi n thiên
+∞
−1
−∞ 3
x
() + 0− +
f' x 0
10
() +∞
fx
3
22
−∞ −
3
-42-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
10 22
() ()
V y hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = , hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 3, f 3 = −
3 3
()
Cách 2 : f '' x = 2x − 2
10
() ()
Vì f '' −1 = −4 < 0 nên hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = .
3
22
() ()
Vì f '' 3 = 4 > 0 hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 3, f 3 = − .
3
( )
x x + 2 khi x ≥ 0

() ( )
b) f x = x x + 2 = 
( )
−x x + 2 khi x < 0

Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ .

2x + 2 > 0 khi x > 0
() ()
Ta có f ' x =  f ' x = 0 ⇔ x = −1
−2x − 2 khi x < 0

Hàm s liên t c t i x = 0 , không có ñ o hàm t i x = 0 .
B ng bi n thiên
+∞
−∞ −1 0
x
() + − +
f' x 0

f (x ) +∞
1

−∞ 0
() ()
V y hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = 1 , hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 0, f 0 = 0

() ( )
c) f x = x x −3

( )
 x x − 3 khi x ≥ 0

()
Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . f x =  .
( )
 −x x − 3 khi x < 0

( )
3 x − 1
 khi x > 0
 2x
() ()
Ta có f ' x =  f' x =0⇔x =1
 3 − x + −x > 0 khi x < 0
 2 −x


+∞
−∞ 0 1
x
() + − +
f' x 0

f (x ) +∞
0

−∞ −2

() ()
Hàm s ñ t ñi m c c ñ i t i ñi m x = 0, f 0 = 0 , hàm s ñ t ñi m c c ti u t i ñi m x = 1, f 1 = −2

()
d) f x = x

-43-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
x khi x ≥ 0

()
Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . f x =  .
−x khi x < 0

1 khi x > 0

()
Ta có f ' x = 
−1 khi x < 0

B ng bi n thiên
+∞
−∞ 0
x
() − +
f' x

f (x ) +∞ +∞

0
()
Hàm s ñ t ñi m c c ñ i t i ñi m x = 0, f 0 = 0
Ví d 2 : Tìm c c tr c a các hàm s sau :

()
() c) f x = 2 sin 2x − 3
a) f x = x 4 − x 2
f ( x ) = x − sin 2x + 2
f ( x ) = 3 − 2 cos x − cos 2x d)
b)
Gi i :
()
a) f x = x 4 − x 2
Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ño n  −2;2 
 
4 − 2x 2

() ( ) ()
Ta có a ) f ' x = , x ∈ −2;2 f ' x = 0 ⇔ x = − 2, x = 2
4 − x2
()
f ' x ñ i d u t âm sang dương khi x qua ñi m − 2 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = − 2,

()
f − 2 = −2

() 2 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = 2,
f ' x ñ i d u t dương sang âm khi x qua ñi m

( 2) = 2
f
Ho c dùng b ng bi n thiên hàm s ñ k t lu n:
−2 −2 2 2
x
() − 0+ −
f' x 0

f (x ) 0 2



−2 0

()
b ) f x = 3 − 2 cos x − cos 2x
Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ .


-44-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
() ( )
Ta có f ' x = 2 sin x + 2 s in2x = 2 sin x 1 + 2 cos x
sin x = 0 x = k π
()  ⇔
f' x =0⇔ ,k ∈ ℤ .
cos x = − 1 = cos 2π x = ± 2π + k 2π
 
 
2 3 3
()
f '' x = 2 cos x + 4 cos 2x
 2π   2π 
2π 2π 1
+ k 2π  = 6 cos + k 2π  = 4
+ k 2π , f  ±
f ''  ± = −3 < 0 . Hàm s ñ t c c ñ i t i x = ±
3 3 3 2
3
 
() () ( )
f '' k π = 2 cos k π + 4 > 0, ∀k ∈ ℤ . Hàm s ñ t c c ti u t i x = k π , f k π = 2 1 − cos k π

c) f ( x ) = 2 sin 2x − 3
Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ .
π π
() ()
Ta có f ' x = 4 cos 2x f ' x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = +k ,k ∈ ℤ
,
4 2

 −8 khi k = 2n
π π π
() f ''  + k  = −8 sin  + k π  = 
f '' x = −8 sin 2x ,
khi k = 2n + 1
 8
4 2 2 
π 
π
V y hàm s ñ t c c ñ i t i các ñi m x = + nπ ; f  + nπ  = −1 và ñ t c c ñ i t i
4 4 
π π π
π
( ) ( )
x = + 2n + 1 ; f  + 2n + 1  = −5
4 2 4 2
()
d ) f x = x − sin 2x + 2
π
+ k π , k ∈ ℤ và ñ t c c ti u t i các ñi m
Tương t trên hàm s ñ t c c ñ i t i các ñi m x = −
6
π
+ kπ , k ∈ ℤ .
x=
6
Ví d 3 :
( )
x 3 − m m + 1 x + m3 + 1
( )
1. Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , hàm s y = f x , m = luôn
x −m
có c c ñ i và c c ti u .
( )( )
2 . V i giá tr nào c a m ,hàm s y = f x , m = m + 2 x 3 + 3x 2 + mx + m có c c ñ i , c c ti u .
mx 2 + x + m
( )
3 . V i giá tr nào c a m ,hàm s y = f x , m = không có c c ñ i , c c ti u .
x +m
() ( )
4 . Xác ñ nh các giá tr c a tham s k ñ ñ th c a hàm s y = f x , k = kx 4 + k − 1 x 2 + 1 − 2k ch
có m t ñi m c c tr .
14 3
( )
5 . Xác ñ nh m ñ ñ th c a hàm s y = f x , m = y = x − mx 2 + có c c ti u mà không có c c
2 2
ñ i.

Gi i :

-45-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
{}
Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ m .
g (x )
− 2mx + m − 1
x2 2

()
Ta có y ' = = , x ≠ m , g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1
(x − m ) (x − m )
2 2




( ) ()
()
D u c a g x cũng là d u c a y ' và ∆ 'g = m 2 − m 2 − 1 = 1 > 0 , ∀m . Do ñó ∀m thì g x = 0
luôn có 2 nghi m phân bi t x 1 = m − 1, x 2 = m + 1 thu c t p xác ñ nh .
+∞
−∞ m −1 m +1
x m
() + − − +
f' x 0 0

f (x ) +∞ +∞

−∞ −∞
y ' ñ i d u t dương sang âm khi x qua ñi m x 1 = m − 1 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 1 = m − 1
y ' ñ i d u t âm sang dương khi x qua ñi m x 2 = m + 1 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x 2 = m + 1
2 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ .
( )
Ta có y ' = 3 m + 2 x 2 + 6x + m
Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t hay

m + 2 ≠ 0 m ≠ −2 
m ≠ −2

⇔ ⇔ ⇔
( )
( ) −3 < m < 1
∆ ' = 9 − 3m m + 2 > 0 3 −m − 2m + 3 > 0
2

 
V y giá tr m c n tìm là −3 < m < 1, m ≠ −2 .
mx 2 + 2m 2x
{}
3 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm y ' =
(x + m )
2



Hàm s không có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 không ñ i d u qua nghi m , khi ñó phương trình
() ( )
g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghi m ho c có nghi m kép
• Xét m = 0 ⇒ y ' = 0, ∀x ≠ −m ⇒ m = 0 tho .
• Xét m ≠ 0 . Khi ñó ∆ ' = m 4
()
Vì ∆ ' = m 4 > 0, ∀m ≠ 0 ⇒ g x = 0 có hai nghi m phân bi t nên không có giá tr tham s m ñ

() ( )
g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghi m ho c có nghi m kép
V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán .
4 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ .
( )
Ta có y ' = 4kx 3 − 2 k − 1 x
x = 0
y' = 0 ⇔  2
(*)
2kx + k − 1 = 0





-46-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
Hàm s ch có m t c c tr khi phương trình y ' = 0 có m t nghi m duy nh t và y ' ñ i d u khi x ñi qua
(*) vô nghi m hay có nghi m kép x = 0
nghi m ñó .Khi ñó phương trình 2kx 2 + k − 1 = 0
k = 0
k = 0 k ≤ 0


⇔ k ≠ 0 ⇔ ⇔
k < 0 ∨ k ≥ 1 k ≥ 1
  ∆ ' = −2k k − 1 ≤ 0
( ) 



V y k ≤ 0 ∨ k ≥ 1 là giá tr c n tìm .
5 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ .
x = 0
Ta có y ' = 2x 3 − 2mx y' = 0 ⇔  2
()
x = m *

Hàm s có c c ti u mà không có c c ñ i khi phương trình y ' = 0 có m t nghi m duy nh t và y ' ñ i
(*) vô nghi m hay có nghi m kép x = 0
d u khi x ñi qua nghi m ñó Khi ñó phương trình x 2 = m
⇔m≤0
V y m ≤ 0 là giá tr c n tìm.

Ví d 4 :
x 2 + mx + 1
()
1. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = ñ t c c ñ i t i x = 2.
x +m
() ( )
2. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = x 3 + m + 3 x 2 + 1 − m ñ t c c ñ i t i
x = −1.
() ( )
3. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = x 3 − 6x 2 + 3 m + 2 x − m − 6 ñ t c c ñ i và
c c ti u ñ ng th i hai giá tr c c tr cùng d u.
x 2 + mx + 2
()
4. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = có ñi m c c ti u n m trên Parabol
x −1
(P ) : y = x +x −4
2




Gi i :
x 2 + 2mx + m 2 − 1
{} ()
1. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm f ' x = , x ≠ −m
(x + m )
2



m = −3
()
N u hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 thì f ' 2 = 0 ⇔ m 2 + 4m + 3 = 0 ⇔ 
m = −1

x = 2
x − 6x + 8
2

() ()
m = −3 , ta có f ' x = ,x ≠ 3 f' x =0⇔
x = 4
( )
2
x −3 
B ng bi n thiên :
+∞
−∞ 2 3 4
x
() + − − +
f' x 0 0

f (x ) +∞ +∞
1

-47-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
−∞ −∞ 5

D a vào b ng bi n thiên ta th y hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 , do ñó m = −3 tho mãn .
Tương t v i m = −1
Cách 2 :
x 2 + 2mx + m 2 − 1
{} ()
Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm f ' x = , x ≠ −m
( )
2
x +m
2
y '' = , x ≠ −m
( )
3
x +m
Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 khi
 1
1 − =0 m 2 + 4m + 3 = 0
() ( )
2
y ' 2 = 0 m = −1 ∨ m = −3
2+m
 
 
⇔ ⇔ m ≠ −2 ⇔ ⇔ m = −3

() m < −2
y '' 2 < 0 2 
  m < −2 
 0
⇔ 2−m > 0 ⇔ m < 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
y = x − 2 . 3x 2 − 12x + 3 m + 2  + 2 m − 2 x + m − 2 = x − 2 .y '+ 2 m − 2 x + m − 2
 
3 3
( )( )
G i A x1; y1 , B x 2 ; y2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a phương trình

() ( )
g x = 3x 2 − 12x + 3 m + 2 = 0 .
Trong ñó :


-48-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

( )() ( )
1
y1 = x 1 − 2 .y ' x 1 + 2 m − 2 x 1 + m − 2
( )
⇒ y1 = 2 m − 2 x 1 + m − 2
 3
()
y ' x 1 = 0


( )() ( )
1
y2 = x 1 − 2 .y ' x 2 + 2 m − 2 x 2 + m − 2
( )
⇒ y2 = 2 m − 2 x 2 + m − 2
 3
()
y ' x 2 = 0

Theo ñ nh lý Vi-ét , ta có : x 1 + x 2 = 4, x 1x 2 = m + 2
Theo bài toán :
( ) ( ) ( ) (2x )( )
2
y1.y2 > 0 ⇔ 2 m − 2 x 1 + m − 2  2 m − 2 x 2 + m − 2  > 0 ⇔ m − 2 + 1 2x 2 + 1 > 0
   1


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4m + 17 ) > 0
2 2 2
⇔ m − 2  4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2  4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2
   
 17
m > −
⇔ 4
m ≠ 2

17
So v i ñi u ki n bài toán , v y −< m < 2 là giá tr c n tìm .
4
{}
4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1
x 2 − 2x − m − 2
()
Ta có y ' = ,x ≠ 1 g x = x 2 − 2x − m − 2
( )
2
x −1

()
Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g x = 0, x ≠ 1 có hai nghi m phân bi t khác 1

( )
∆ ' = 1 − −m − 2 > 0 
m + 3 > 0

⇔ ⇔ m > −3

() m ≠ −3
g 1 = −m − 3 ≠ 0 

 m+3
x 1 = 1 − m + 3 ⇒ y1 = 1 − m + 3 + m + 1 + =m +2−2 m +3
− m+3
Khi ñó y ' = 0 ⇔ 
m+3

x 2 = 1 + m + 3 ⇒ y2 = 1 + m + 3 + m + 1 + =m +2+2 m +3
m+3

B ng bi n thiên :
+∞
−∞ 1
x1 x2
x
() + − − +
f' x 0 0

f (x ) +∞ +∞
y1

−∞ −∞ y2


)
(
D a vào bàng bi n thiên suy ra A 1 + m + 3; m + 2 + 2 m + 3 là ñi m c c ti u c a hàm s .

)
(
2
()
A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 +1+ m +3 −4 ⇔ m +3 =1


-49-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn

)
(
2
()
A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 + 1 + m + 3 − 4 ⇔ m + 3 = 1 ⇔ m = −2
So v i ñi u ki n bài toán ,v y m = −2 là giá tr c n tìm.

Ví d 5 :

()
1. Tìm các h s a, b, c, d sao cho hàm s f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñ t c c ti u t i ñi m x = 0,

() ()
f 0 = 0 và ñ t c c ñ i t i ñi m x = 1, f 1 = 1

2. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s f ( x ) = x + ax 2 + bx + c ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m
3



x = −2 và ñ th c a hàm s ñi qua ñi m A (1; 0 ) .
ax 2 + bx + ab
()
3. Tìm các h s a, b sao cho hàm s f x = ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 .
ax + b
Gi i :
()
1. Tìm các h s a, b, c, d sao cho hàm s f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñ t c c ti u t i ñi m

() c ñ i t i ñi m x = 1, f (1) = 1
x = 0, f 0 = 0 và ñ t c
Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ .
() ()
Ta có f ' x = 3ax 2 + 2bx + c , f '' x = 6ax + 2b

()
f ' 0 = 0  
c = 0 c = 0

()
() ⇔ ⇔
Hàm s f x ñ t c c ti u t i x = 0 khi và ch khi  1
()
2b > 0 b>0
f '' 0 > 0  
  

()
f ' 1 = 0 
3a + 2b + c = 0

()
() ⇔
Hàm s f x ñ t c c ñ i t i x = 1 khi và ch khi  2
()
6a + 2b < 0
f '' 1 < 0 
 

() () ()
f 0 = 0 ⇒ d = 0 , f 1 = 1 ⇒ a + b + c + d = 1 hay a + b + c = 1 do d = 0 3

T (1) , ( 2 ) , ( 3 ) suy ra a = −2, b = 3, c = 0, d = 0

Ta ki m tra l i f ( x ) = −2x + 3x
3 2



Ta có f ' ( x ) = −6x + 6x , f '' ( x ) = −12x + 6
2



f '' ( 0 ) = 6 > 0 . Hàm s ñ t c c ti u t i x = 0

f '' (1) = −6 < 0 . Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 1
V y : a = −2, b = 3, c = 0, d = 0
()
2. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s f x = x 3 + ax 2 + bx + c ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m x = −2

()
và ñ th c a hàm s ñi qua ñi m A 1; 0 .
Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ .
()
Ta có f ' x = 3x 2 + 2ax + b




-50-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
()
 f ' −2 = 0 
4a − b = 12

()
⇔
Hàm s ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m x = −2 khi và ch khi  1
()
4a − 2b + c = 8
f −2 = 0
 

() () ()
ð th c a hàm s ñi qua ñi m A 1; 0 khi và ch khi f 1 = 0 ⇔ a + b + c + 1 = 0 2

(1) , (2 ) suy ra a = 3,b = 0, c = −4 .
T
a 2x 2 + 2abx + b 2 − a 2b
3. Hàm s ñã cho xác ñ nh khi ax + b ≠ 0 và có ñ o hàm y ' =
(ax + b )
2



• ði u ki n c n :
Hàm s ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 khi và ch khi
b 2 − a 2b = 0
b 2 − a 2b
b = a 2 > 0
=0 

()
y ' 0 = 0 a = −2
b≠0 
2
 b  
( )
⇔ 16a 2 + 8ab + b 2 − a 2b ⇔ 2 ⇔ 8a 2 a + 2 = 0 ⇔ 

() b = 4
16a + 8ab + b − a b = 0
y ' 4 = 0
2 2
=0
 4a + a 2 ≠ 0 

( )
2

 4a + b ≠ 0
4a + b
 

• ði u ki n ñ :
a = −2 x = 0
x 2 − 4x

⇒ y' = y' = 0 ⇔ 

b = 4 x = 4
( )
2
−x + 2
 
B ng bi n thiên

+∞
−∞ 0 2 4
x
() + − − +
f' x 0 0

f (x ) +∞ +∞


−∞ −∞ CT

T b ng bi n thiên :hàm s ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 . V y a = −2, b = 4 là giá tr c n tìm.


Ví d 6:

() (C ) . Hãy xác ñ nh t t c
1. Cho hàm s y = f x = x 3 − 3x 2 + 2 các giá tr c a a ñ ñi m c c ñ i

(C )
và ñi m c c ti u c a ñ th v hai phía khác nhau c a ñư ng tròn (phía trong và phía ngoài):

(C ) : x + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0
2
a

x 2 + m 2x + 2m 2 − 5m + 3
()
2. Cho hàm s y = f x = . Tìm m > 0 ñ hàm s ñ t c c ti u t i
x
( )
x ∈ 0;2m
3. y = f (x ) = x 3 − 3x 2 + m 2x + m. có c c ñ i , c c ti u và hai ñi m ñó ñ i x ng nhau qua


-51-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
1 5
ñư ng th ng y = x −
2 2
( )
x 2 − m + 1 x − m 2 + 4m − 2
4. Tìm t t c các giá tr c a tham s m thì hàm s y = f (x ) . có c c
x −1
tr ñ ng th i tích các giá tr c c ñ i và c c ti u ñ t giá tr nh nh t.
( )
x 2 + m + 2 x + 3m + 2
5. Tìm t t c các giá tr c a tham s m thì hàm s y = f (x ) = có giá tr
x +1
1
c c tr , ñ ng th i y CÑ + yCT > .
2 2

2
Gi i :
x = 0 ⇒ y = 2
1. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = 3x 2 − 6x y' = 0 ⇔ 
x = 2 ⇒ y = −2

()( ) ()( )
ð th hàm s có hai ñi m c c tr A 0;2 , B 2; −2 . Hai ñi m A 0;2 , B 2; −2 v hai phía c a hai

()
ñư ng tròn C a khi

( )( ) 3
⇔ PA/(C ) .PB /(C ) < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 5a 2 + 4a + 7 < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ < a < 1
5
a a



() ( )( ) + (y − 2a )
2 2
Cách 2 : C a : x 2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 ⇔ C a : x − a =1

(C ) có tâm I (a;2a ) và bán kính R = 1
a

2
 2 36 6
(a − 2 ) + (2a + 2 )
2 2
Ta có : IB = = 5a + 4a + 8 = 5  a +  + ≥ > 1 = R ⇒ ñi m B
2

5 5
 5
()
n m ngoài C a , do ñó ñi m A n m trong ñư ng tròn
3
(C ) ⇔ IA < 1 ⇔ ( )
2
a 2 + 2 − 2a < 1 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ 0 ⇔ − 3 < m < 3 .Vi-ét, ta có x 1 + x 2 = 2 x 1.x 2 =
,
.
3
( )( )
G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s và I là trung ñi m c a ño n AB .
ðư ng th ng AB có h s góc
( ) ( )
y 2 − y1 x 2 − x 1 − 3 x 2 − x 1 + m x 2 − x 1
3 3 2 2 2

( ) ( )
2
kAB = = = x1 + x 2 − x 1x 2 − 3 x 1 + x 2 + m 2
x 2 − x1 x 2 − x1
2m 2 − 6
m2
kAB = 4 − − 6 + m2 =
3 3
1 5 1
()
ðư ng th ng y = x − ∆ có h s góc k =
2 2 2
AB ⊥ ∆

( )( ) ()
Hai ñi m A x1; y1 , B x 2 ; y2 ñ i x ng nhau qua ñư ng th ng ∆ khi và ch khi 
I ∈ ∆

1  2m − 6 
2
• AB ⊥ ∆ ⇔ kAB .k = −1 ⇔ .   = −1 ⇔ m = 0
2 3 
()
x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ A 0; 0
( )
y' = 0 ⇔  1
• m = 0 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x ⇒ I 1; −2
1

()
x 2 = 2 ⇒ y2 = −4 ⇒ B 2; −4


( )
D th y I 1; −2 ∈ ∆
V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán .
{}
4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 .
g (x )
x − 2x + m − 3m + 3
2 2
g ( x ) = x − 2x + m − 3m + 3
Ta có y ' = = ,x ≠ 1 2 2


( x − 1) ( x − 1)
2 2



Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g ( x ) = 0, x ≠ 1 có hai nghi m phân bi t x , x khác 1 .
1 2

2
∆ ' > 0 −m + 3m − 2 > 0

⇔ ⇔ 2 ⇔1 0, ∀m > −
2 2
1   1 1 1 
()
()
Do ñó hàm s f m ñ ng bi n trên kho ng m ∈  − ; +∞  và f m > f  −  = , m ∈  − ; +∞ 
2  2 2 2
 
1 
1
V y y CÑ + yCT > , m ∈  − ; +∞ 
2 2

2 2 
Ví d 7:
1 1
( ) ( )
1. V i giá tr nào c a m thì ñ th c a hàm s y = mx 3 − m − 1 x 2 + 3 m − 2 x + có c c ñ i ,
3 3
c c ti u ñ ng th i hoành ñ c c ñ i c c ti u x 1, x 2 th a x 1 + 2x 2 = 1

( )
mx 2 + m 2 + 1 x + 4m 3 + m
2. V i giá tr nào c a m thì ñ th c a hàm s y = tương ng có m t
x +m
() (IV ) c
II và m t ñi m c c tr thu c góc ph n tư th
ñi m c c tr thu c góc ph n tư th am t
ph ng t a ñ .

Gi i :
1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ .
-54-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
( ) ( )
Ta có y ' = mx − 2 m − 1 x + 3 m − 2
2


Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' ñ i d u hai l n qua nghi m x , t c là phương trình
( ) ( )
mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2
m ≠ 0

m ≠ 0 
m ≠ 0 
⇔ ⇔ 2 − 6
 2+ 6
( ) ( )
2
−2m + 4m + 1 > 0
2
∆ ' = m − 1 − 3m m − 2 > 0 0 2m + 2 > 0
(1 )
⇔ ⇔ m > −1

() −2m − 2 ≠ 0
g 1 ≠ 0 

( )( ) ()
là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a g x = 0
G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2
 2m + 2
x 1 = 1 − 2m + 2 ⇒ y1 = 1 − 2m + 2 − m + = 1 − m − 2 2m + 2
− 2m + 2

Khi ñó: y ' = 0 ⇔
2m + 2

x 2 = 1 + 2m + 2 ⇒ y2 = 1 + 2m + 2 − m + = 1 − m + 2 2m + 2
2m + 2

Hai giá tr c c tr cùng d u khi
)( )
( ( ) ( )
2
y1.y2 > 0 ⇔ 1 − m − 2 2m + 2 1 − m + 2 2m + 2 > 0 ⇔ 1 − m − 4 2m + 2 > 0

(2 )
⇔ m 2 − 10m − 7 > 0 ⇔ m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2

(1) và (2 ) suy ra −1 < m < 5 − 4 2 ∨m >5+4 2
T
x 2 − 2x − 2m − 1
{} ()
Cách khác : Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 và có ñ o hàm f ' x = ,x ≠ 1
( x − 1)
2




()
Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 hay phương trình
 
∆ ' > 0 2m + 2 > 0
()
g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔  ⇔ ⇔ m > −1

() −2m − 2 ≠ 0
g 1 ≠ 0 

Hai giá tr c c tr cùng d u khi ñ th c a hàm s y = 0 c t tr c hoành t i hai ñi m phân bi t x ≠ 1 hay
( ) (x ≠ 1) có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 . T
phương trình x 2 − m + 1 x + 3m + 2 = 0 c là
 m < 5 − 4 2
∆ = m + 1 2 − 4 3m + 2 > 0
( ) ( ) 
m 2 − 10m − 7 > 0
  
⇔ ⇔ ⇔  m > 5 + 4 2
( ) 
2m + 2 ≠ 0
1 − m + 1 + 3m + 2 ≠ 0 

m ≠ −1

So v i ñi u ki n , giá tr −1 < m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 là giá tr c n tìm .




-57-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
( )
() ( )
3. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm f ' x = −3x + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 .Hàm s 2



( )
() ( )
ñ t c c ti u t i m t ñi m có hoành ñ nh hơn 1 ⇔ f ' x = −3x 2 + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 = 0
có hai nghi m x 1, x 2 tho mãn ñi u ki n :

() ()
 1 ⇔ −3.f ' 1 < 0
( )
3 3m 2 + m − 4 < 0
 


( )
 9 m + 1 2 − 3 3m 2 + 7m − 1 > 0 ( )
()
x < 1 < x ∆ ' > 0
1  
⇔ 
1 ⇔
2

( )
() () ()
 3 3m 2 + m − 4 ≥ 0
x1 < x 2 ≤ 1 2 2 ⇔  −3.f ' 1 ≥ 0

  
S
  m + 1 < 1
 0 ⇔ 3
⇔ 
⇔ ⇔m 0, ∀m
(x − m )
2




( )
()
x = m − 1 ⇒ f x = −m 2 + m − 2 ⇒ M m − 1; −m 2 + m − 2
()
Do ñó f ' x = 0 ⇔  1 1

( )
()
x 2 = m + 1 ⇒ f x 2 = −m 2 + m + 2 ⇒ N m + 1; −m 2 + m + 2

( ) ng v i giá tr m = m1 thì A là ñi m c c ñ i và ng v i giá tr m = m2 thì A
ð t A x 0 ; y 0 .Gi s
là ñi m c c ti u c a ñ th hàm s
x = m1 − 1 x = m2 + 1
 
Ta có:  0 ; 0
y 0 = −m1 + m1 − 2 y 0 = −m2 + m2 + 2
2 2
 

m − 1 = m2 + 1 m − m2 = 2

⇔ 1
Theo bài toán , ta có :  1 2
( )( )
−m1 + m1 − 2 = −m2 + m2 + 2  m1 − m2 m1 + m2 − 1 = −4
2
 
 
1 1
m1 = x 0 = −
m1 − m2 = 2
2 ⇒ A− 1;− 7 
  2 ⇒
⇔ ⇔   
m1 + m2 = −1 m = − 3 y = − 7  2 4

2 0
 
2 4
 1 7
V y A  − ; −  là ñi m duy nh t c n tìm tho yêu c u bài toán .
 2 4
2. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ
x = 0
( )
Ta có y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m y' = 0 ⇔  2
()
x = m *

ð th hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 có 3 nghi m phân bi t và y ' ñ i d u khi x qua các
()
nghi m ñó , khi ñó phương trình * có hai nghi m phân bi t khác 0 ⇔ m > 0
Khi ñó :
( )
x = 0 ⇒ y = m 4 + 2m ⇒ A 0; m 4 + 2m
y' = 0 ⇔ 
)( )
(
x = ± m ⇒ y = m 4 − m 2 + 2m ⇒ B − m ; m 4 − m 2 + 2m ,C m ; m 4 − m 2 + 2m

Hàm s có 3 c c tr A, B,C l p thành tam giác ñ u
AB = AC

( ) ( )
⇔ ⇔ AB 2 = BC 2 ⇔ m + m 4 = 4m ⇔ m m 3 − 3 = 0 ⇔ m = 3 3 m > 0
AB = BC

V y m = 3 3 là giá tr c n tìm .

Ví d 11:
1. Xác ñ nh tham s a ñ hàm s sau có c c ñ i: y = −2x + 2 + a x 2 − 4x + 5
Gi i :
-59-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
( )
a x −2 a
1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = −2 + y '' =
(x )
x 2 − 4x + 5 3
− 4x + 5
2



( )
 a x −2  x 2 − 4x + 5
() (1)
a
y ' x = 0  0
=2 0
 2 =
0
Hàm s ñ t c c ñ i t i x = x 0 ⇔  ⇔  x − 4x + 5 ⇔
0
x0 − 2
() 2
y '' x 0 < 0
0 0
 a < 0

a < 0 

()
V i a < 0 thì 1 ⇒ x 0 < 2 .

x 0 − 4x 0 + 5
2

()
Xét hàm s : f x 0 = , x0 < 2
x0 − 2
x 0 − 4x 0 + 5 x 0 − 4x 0 + 5
2 2

() ()
lim f x 0 = lim = −1 , lim f x 0 = lim = −∞
x0 − 2 x0 − 2
− −
x →−∞ x →−∞ x →2 x →2


−2
() ( )
Ta có f ' x 0 = < 0, ∀x 0 ∈ −∞;2
( )
2
x0 − 2 x 0 − 4x 0 + 5
2


B ng bi n thiên :
−∞ 2
x
() −
f' x

f (x ) −1
−∞

() a
Phương trình 1 có nghi m x 0 < 2 ⇔ < −1 ⇔ a < −2
2

BÀI T P T LUY N

1. Tìm c c tr c a các hàm s sau :
()
1
() f ) f x = 8 − x2
a ) f x = x 3 + 2x 2 + 3x − 1
3
() x
g) f x = 2
13
()
b) f x = x − x 2 + 2x − 10 x +1
3 x3
()
h) f x =
1
()
c) f x = x + x +1
x
()
i) f x = 5 − x 2
1 1
()
d) f x = x 5 − x 3 + 2
j ) f (x ) = x + x2 − 1
5 3
x 2 − 3x + 3
() 1 4
k ) f (x ) = x
e) f x = − x 2 − 3x +
3
x −1 3 3

2. Tìm c c tr c a các hàm s sau :




-60-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
( )
a ) f x = 2x 3 − 9x 2 + 12x + 3 x 2 + 8x − 24
()
e) f x =
( ) x2 − 4
b) f x = 3x 4 − 4x 3 − 24x 2 + 48 − 3
()
x
( ) f) f x = 2
c) f x = −5x 3 + 3x 2 − 4x + 5
x +4
()
9
( ) g) f x = x 3 − x
d) f x = x − 3 +
x −2
()
h ) f x = x 2 − 2 | x | +2


()
Hư ng d n : h ) f x = x 2 − 2 | x | +2
x 2 + 2x + 2 
khi x < 0 2x + 2 khi x < 0

() ()
f x = 2 ⇒f' x =
2x − 2 khi x > 0
x − 2x + 2 khi x ≥ 0 

()
f ' x = 0 ⇔ x = −1, x = 1

() ( )()
Hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m A 0;2 và ñ t c c ti u t i các ñi m B −1;1 ,C 1;1
3. Ch ng minh r ng v i m i m ñ th c a hàm s y = 4x 3 − mx 2 − 3x + m luôn có c c ñ i , c c ti u
và xC Ñ .xCT < 0

() ()
q
4. Cho hàm s f x = x + p + *
x +1
()
a ) Tìm các s th c p, q sao cho hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −2 và f −2 = −2 .
a1 ) Trư ng h p p = q = 1 , g i M , N là ñi m c c ñ i , c c ti u c a hàm s . Tính ñ dài MN
() (*) t i K thu
a2 ) Trư ng h p p = q = 1 ,m t ñư ng th ng t luôn ti p xúc v i ñ th hàm s c ñ th

(* ) ñ ng th i c t hai tr c t a ñ t i hai ñi m phân bi t E , F . Tìm t a ñ ñi m K ñ K là trung
hàm s
ñi m EF
b ) Gi s x 1; x 2 l n lư t là hoành ñ c c ñ i , c c ti u c a hàm s . Tìm các s th c p, q sao cho
1
() ()
b1 ) x 1 = 2x 2 và f x = f x2
2
1


A ( x ; f ( x ) ) ñ n ñư ng th ng y = x + p và x + 1 = 0 b ng nhau .
b2 ) Kho ng cách t 1 1

Hư ng d n :
()
a ) Tìm các s th c p, q sao cho hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −2 và f −2 = −2 .

() q
f ' x =1− , x ≠ −1
( x + 1)
2




() () q
• q ≤ 0 thì f ' x > 0, ∀x ≠ −1 . Do ñó hàm s f x = x + p + ñ ng bi n trên m i kho ng
x +1
( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) . Hàm s không có c c ñ i , c c ti u .




-61-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
( x + 1 ) − q , x ≠ −1 ⇒ f ' x = 0 ⇔ x
2


() ()
• q > 0 thì f ' x = = −1 − p , x 2 = −1 + p . Hàm s ñ t c c
( x + 1)
1
2



x = −2 
q = 1

()
ñ i t i ñi m x = −2 và f −2 = −2 khi  1 ⇔
() p = 1
 f −2 = −2 

1 2
() ( ) ( )
5. Cho hàm s f x = x 3 + m − 1 x 2 + 2m − 3 x −
3 3
a ) Ch ng minh r ng m ≠ 2 thì ñ th c a hàm s luôn có c c ñ i và c c ti u . Vi t phương trình qua
hai ñi m c c ñ i và c c ti u ñó .
b ) Gi s hoành ñ c c ñ i, c c ti u là x 1, x 2 . Tìm m ñ :
b1 ) x 1 + 3x 2 = 5 b2 ) 4x 1 − 5x 2 = 2 b3 ) x 12 + x 22 = 5 b4 ) x 1 + x 22 ≤ 3
c) Tìm m ñ :
c1 ) x 1 < 0 < x 2 < 1 c2 ) x 1 < x 2 < 1 c 3 ) −2 < x 1 < x 2 < 0 c4 ) x 1 < 0 < 1 < x 2 < 2
Lưu ý : ð làm ñư c câu c) h c sinh xem l i so sánh nghi m phương trình b c hai ñã ñ c p sách ñ i s
9 và có nh c l i ñ i s 10.
()
6. Cho hàm s f x = x 3 + px + q
a ) V i ñi u ki n nào ñ hàm s f có m t c c ñ i và m t c c ti u ?.
b ) Ch ng minh r ng n u giá tr c c ñ i và giá tr c c ti u trái d u thì phương trình x 3 + px + q = 0 có
3 nghi m phân bi t?.
c) Ch ng minh r ng ñi u ki n c n và ñ ñ phương trình x 3 + px + q = 0 có ba nghi m phân bi t là
4 p 3 + 27q 2 < 0
Hư ng d n :
a) p < 0
 p  p
c ) f  − −  .f  −  0 ⇔ b >
 5a  5
5 5 9 81
N u a > 0 , x0 = − là ñi m c c ñ i khi x 0 = − = − ⇔a = , giá tr c c ti u là s dương nên
9 9 5a 25
1 400
()
f xCT = f   > 0 ⇔ b >
243
a 
 
9 81
a = − a =
 
5 25
Vy 
;
36 400
b > b >
 
 
5 243
b ) a = −3, b = 0, c = 1 d ) a = 2, b = −3, c = 0
c) a = −3, b = 3

() ( )
8. Cho hàm s f x = x 3 − 3mx 2 + 3 2m − 1 x + 1, m là tham s
a ) Xác ñ nh m ñ hàm s ñ ng bi n trên t p xác ñ nh .
()
b ) Xác ñ nh m ñ f '' x > 6x .
9.
( ) ( )
a ) ð nh a ñ ñ th c a hàm s y = 2x 3 − 3 2a + 1 x 2 + 6a a + 1 x + 1 có giá tr y CÑ > 1
ðáp s :
3
a) − < a ≠ 0
2

10. Xác ñ nh kho ng ñơn ñi u và c c tr ( n u có ) c a hàm s :
() ()
a ) f x = sin 2x c) f x = sin2 x − 3 cos x , x ∈ 0; π 
 
()
f ( x ) = sin x + cos x d ) f x = 2 sin x + cos 2x , x ∈ 0; π 
 
b)
Hư ng d n :
()
a ) f x = sin 2x
Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ

-63-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
π π
() ()
Ta có f ' x = 2 cos 2x , f ' x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = +l
,l ∈ ℤ
4 2
π  −4 khi l = 2k
π π π 
()
f '' x = −4 sin 2x , f ''  + l  = −4 sin  + l  =  ,k ∈ℤ
2  4 khi l = 2k + 1
4 2 4 
π
(k ∈ ℤ ) là ñi m c
+ kπ
V yx= c ñ i c a hàm s .
4

( )
+ k π k ∈ ℤ là ñi m c c ti u c a hàm s .
x=
4
() () ( )
M t bài toán tương t : f x = sin 2x − x , ñ ý xét f ' x = 0, x ∈ −π , π ⇒ x = ?

()
b ) f x = sin x + cos x
Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ
 π  π π
() () () (k ∈ ℤ )
f x = sin x + cos x = 2 sin  x +  ⇒ f ' x = 2 cos  x +  , f ' x = 0 ⇔ x = + k π
4 4 4
 

 − 2 khi k = 2n
 π π  π
()
f '' x = − 2 sin  x +  ⇒ f ''  + k π  = − 2 sin  + k π  = 
  2 khi k = 2n + 1
4 4 2
  
π
(n ∈ ℤ ) là ñi m c
+ n 2π
V yx= c ñ i c a hàm s .
4
π
( ) (n ∈ ℤ ) là ñi m c
+ 2n + 1 π
x= c ti u c a hàm s .
4
()
c) f x = sin2 x − 3 cos x , x ∈ 0; π 
 
)
(
f ( x ) = sin () ()
x − 3 cos x ⇒ f ' x = sin x 2 cos x + 3 , x ∈ 0; π
2




3
() () ()
Vì x ∈ 0; π ⇒ sin x > 0 nên trong kho ng 0; π : f ' x = 0 ⇔ cos x = − ⇔x =
2 6
 5π   5π 
()
• f ' x > 0, x ∈  0;  ⇒ hàm s ñ ng bi n trên ño n 0; 
 6  6
 5π   5π 
()
• f ' x < 0, x ∈  ; π  ⇒ hàm s ñ ng bi n trên ño n  ; π 
6 6
 
  5π 
()
 f ' x > 0, x ∈  0; 
  6 5π  5π  7 3
• Vì   5π  nên hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = = =1
,f 
()
 f ' x < 0, x ∈  ; π  6 6 4 4
 6 


 5π  1
 = ... = − < 0
Ho c có th ki m tra f '' 
6 2
()
d ) f x = 2 sin x + cos 2x , x ∈ 0; π 
 
() () ( ) ()
f x = 2 sin x + cos 2x ⇒ f ' x = 2 cos x 1 − 2 sin x , x ∈ 0; π
-64-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
 π
x =
2
cos x = 0 
π
() ()
Trong kho ng 0; π : f ' x = 0 ⇔  ⇔ x =
sin x = 1  6

  5π
2
x =
6

Tương t câu a ) h c sinh t xác ñ nh kho ng ñơn ñi u hàm s ; hàm s ñ t c c ti u t i
π  π  3  5π  3
π π 5π
x= , f   = 1 , hàm s ñ t c c ñ i t i các ñi m x = , f   = và x = = .
,f 
2 2 6 6 2 6 6 2



M TS D NG TOÁN TRONG KỲ THI TÚ TÀI &TUY N SINH ð I H C

1. Tìm c c tr c a hàm s :
() ()
a ) f x = x .e −x d ) f x = 3x + 10 − x 2

f (x ) =
3
() 3 sin x + cos x
e)
b) f x = x + 3 2
x
2
f ( x ) = −2x + 3 x +1
2
c)
2. Tìm m ñ ñ th c a hàm s có c c tr :
x 2 + mx − m x 2 + (m − 1)x − m
() ()
a) y = f x = b) y = f x =
x +m x +1

3. Tìm m ñ ñ th c a hàm s :
()
a ) y = f x = x 3 + mx 2 + 7x + 3 có c c tr .

( ) 1 x − 2x 3
b) y = f x = + (m + 2)x 2 − (m + 6)x + 1 có ba c c tr .
4 3

4 2
y = f ( x ) = −2x + m x 2 + 1 có c c ti u.
c)
x 2 − 2x + m + 2
()
d) y = f x = có c c ñ i , c c ti u .
x +m −1
4. Xác ñ nh m ñ ñ th c a hàm s luôn có c c ñ i , c c ti u?.
( )
a ) y = x 3 + mx 2 + 3mx + 5 mx 2 + m + 1 x + 1
c) y =
x 2 + 2mx − m mx + 2
b) y =
x +m

ðáp s :
a) m < 0 ∨ m > 9 c) m < 2, m ≠ 0
b ) −1 < m < 0

5. Ch ng minh r ng v i m i m thì ñ th c a hàm s luôn có c c ñ i , c c ti u ?.


-65-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
− mx + m
x2
4
() ()
a ) y = f x = x 4 − mx 3 − 2x 2 c) y = f x =
x −1
3
x + mx + 2m − 3
2

()
b) y = f x =
x +2
6.
x 2 + 2m 2x + m 2
( )
a ) V i giá tr nào c a m ,hàm s y = f x , m = có c c ñ i , c c ti u
x +1
( )( )
b ) V i giá tr nào c a m ,hàm s y = f x , m = m − 3 x 3 − 2mx 2 + 3 không có c c ñ i , c c ti u

ðáp s :
a ) −1 < m < 1 b) m = 0



7. Tìm m ñ ñ th c a hàm s :
()
a ) y = f x = x 3 + 2mx 2 + m 2 ñ t c c ñ i t i x = 1

( ) x + 3mx1+ 5 ñ t c c ñ i t i x = −1 − 3
2
b) y = f x =
mx +
y = f ( x ) = x − (m + 3 ) x + mx + m + 5 ñ t c c ti u t i x = 2
3 2
c)

y = f ( x ) = − (m + 5m ) x + 6mx + 6x − 6 ñ t c c ñ i t i x = 1
2 3 2
d)
x + ( m − 1) x + 1
2

y = f (x ) = ñ tc cñ i t i x =2
e)
x +m −1

8. Tìm m ñ ñ th c a hàm s :
x 2 + mx + 2m − 3
()
a) y = f x = có c c ñ i , c c ti u ñ i x ng nhau qua ñư ng th ng
x +2
x + 2y + 8 = 0 .
()
b ) y = f x = x 3 − 6x 2 + 3(m + 2)x − m − 6. có hai c c tr trái d u .
2x 2 − 3x + m
()
c) y = f x = có c c ñ i , c c ti u tho mãn yCD − yCT > 8 .
x −1
−x 2 + 3x + 2m
() có c c ñ i , c c ti u tho mãn yCD − yCT = 4 .
d) y = f x =
x −4

9. Tìm m ñ ñ th c a hàm s :
2x 2 + (2m + 3)x + m 2 + 4m
() có c c ñ i , c c ti u tho mãn yCD .yCT < 0 .
a) y = f x =
x +m
1
()
b ) y = f x = x 3 + (m + 3)x 2 + 4(m + 3)x + m 2 − m có hoành ñ c c ñ i x 1 , c c ti u x 2 tho
3
mãn x 1 < −1 < x 2 .


-66-
Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn
1 1
()
c) y = f x = mx 3 − (m − 1)x 2 + 3(m − 2)x + có hoành ñ c c ñ i x 1 , c c ti u x 2 tho mãn
3 3
x 1 + 2x 2 = 1 .
()
y = f x = 2x 3 + mx 2 − 12x − 13 có ñi m c c ñ i, ñi m c c ti u cách ñ u tr c tung.
d)
e ) y = x 3 − 3x 2 + 3mx + 1 − m có c c tr mà hoành ñ c c tr nh hơn 2
ðáp s
e) 0 < m < 1


10. Tìm m ñ ñ th c a hàm s :
−x 2 + 3x + m
() có giá tr c c ñ i , c c ti u ñ ng th i yCT − y CÑ = 4
a) y = f x =
x −4
( ) ( )
( )
b ) y = x 3 + 2 m − 1 x 2 + m 2 − 4m + 1 x − 2 m 2 + 1 có c c ñ i , c c ti u x 1, x 2 th a mãn ñi u
1 1 1
( )
+ = x1 + x 2
ki n
x1 x2 2

( ) ( )
m3
c) y = x − m + 1 x 2 + m − 5 x − 1 có c c ñ i , c c ti u x 1, x 2 ñ ng th i hoành ñ c c ñ i,
3
( )
x x + 3 x + x − 4 < 0

c c ti u th a mãn ñi u ki n  1 2 2 1 2

x 1 + x 2 > 24
2


( ) ( )
d ) y = x 3 − 6x 2 + 3mx + 2 − m có ñi m c c ñ i M 1 x 1; y1 và ñi m c c ti u M 2 x 2 ; y2 th a mãn
y1 − y2
0 ⇔ m < −2 ∨ m > 0 ⇔ m < −2
S 
1 1
 =− >m m < −
2 
2 2
g) 0 < m < 4




-68-
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản