Đại cương Vectơ

Chia sẻ: Đoàn Thị Trang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

0
62
lượt xem
15
download

Đại cương Vectơ

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

1.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD . Chứng minh rằng CDGH là hình bình hành 2.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác a)Gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm O. Chứng minh rằng BD = HC b)Gọi K là trung điểm của AH và I là trung điểm của BC,chứng minh OK = IH 3.Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Đường chéo BD lần lượt cắt AF và CE tại...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đại cương Vectơ

  1. Phạm Viết Sĩ Đại cương về vectơ +,– 1.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng 7.Cho hai vectơ và ≠ .Tìm điều kiện của và để: AD . Chứng minh rằng CDGH là hình bình hành a) = + b) = 2.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác 8.Cho 3 điểm O,A,B không thẳng hàng.Với điều kiện nào thì vectơ + nằm a)Gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm O. Chứng minh rằng BD = HC trên đường phân giác của góc AOB b)Gọi K là trung điểm của AH và I là trung điểm của BC,chứng minh 9. Chứng minh rằng : = ⇔ trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng OK = IH nhau 3.Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh 10.Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm O.Qua O kẻ các AB và CD. Đường chéo BD lần lượt cắt AF và CE tại M và N. chứng minh đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành cắt AB và DC tại M rằng : và N, cắt AD và BC tại E và F. Chứng minh rằng : DM = MN = NB a) + = + 4.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Dựng AD = GC và DE = GB b) = + Chứng minh rằng GE = 0 11.Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O 5.Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O). a)Hãy xác định các điểm M ,N ,P sao cho: Gọi H là giao điểm của AO và BC.Trên đường trung trực của đoạn AH lấy 1 =+ ;=+ ; =+ điểm M.Từ M kẻ tiếp tuyến MD với (O). Chứng minh rằng : |MA| = | MF | b)Chứng minh rằng + + = Các phép toán vectơ 12.Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A ;B’ là điểm đối 1.Rút gọn các biểu thức sau: xứng với C qua B ;C’ là điểm đối xứng với A qua C . Chứng minh rằng với một điểm O bất kỳ ta có : + + = + + a)OM – ON + AD + MD + EK – EP – MD 13.Cho n điểm trên mặt phẳng .Bạn An ký hiệu chúng là A1, A2, …, An. Bạn b)+ – + + + Bình ký hiệu chúng là B1, B2, …, Bn. c) + + – + – + 2. Chứng minh rằng Chứng minh rằng : ++...+= 14.Cho tứ giác ABCD, gọi I và J là trung điểm AC và BD a) + = + a)Chứng minh rằng + = 2 b) + = + b)Xác định điểm M sao cho + + 2= c) + + = + c)Xác định điểm N sao cho +++= d) + + = + + = + + 15.Cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’. Gọi M ,N ,P ,Q lần lượt là e) + + + = + + 3.Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý . Chứng minh rằng : trung điểm của AA’,BB’ ,CC’ ,DD’. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình +=+ hành 4.Cho tam giác ABC, Bên ngoài của tam giác ta vẽ các hình bình hành ABIJ 16.Cho hai điểm phân biệt A và B.Tìm quĩ tích các điểm M thỏa mãn: ,BCPQ ,CARS. Chứng minh rằng : + + = = 5.Cho tam giác ABC có trung tuyến AM.Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F 17.Cho tam giác ABC sao cho AE = EF = FC. Gọi N là giao điểm của AM và BE.Tính tổng a)Xác định điểm I sao cho : + 2 = b)Xác định điểm K sao cho : + 2 = +++ 6.Cho tam giác đều ABC cạnh a.Tính độ dài của các vectơ + , 18.Cho tam giác ABC -1-
  2. Phạm Viết Sĩ a)Tìm điểm M thoả mãn : – + = 30.Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có cùng đỉnh A. Chứng minh b)Tìm điểm N thoả mãn : = + + rằng : c)Tìm điểm K thoả mãn :+ + + = a) + + = d)Tìm điểm M thoả mãn :+ – 2 = b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm e)Tìm điểm N thoả mãn :+ + 2 = 31.Cho tam giác ABC. Gọi M ,N ,P là các điểm được xác định như sau: f)Tìm điểm P thoả mãn : – + 2 = =3;=3;=3 19.Cho hình bình hành ABCD. Tìm điểm M thoả mãn: a)Chứng minh rằng : 2 = 3 – ∀O 4= + + b)Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm 20.Cho lục giác ABCDEF .Tìm điểm O thoả mãn : 32.Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC +++ ++ = Chứng minh rằng : = + 21.Cho tam giác ABC 33.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AG và a)Xác định các điểm D,E thoả mãn: 4 – = ; + 2= K là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AB = 5AK b)Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn: |4 – | = |+ 2| a)Tính các vectơ ,,,theo hai vectơ và 22.Cho hai điểm phân biệt A,B b)Chứng minh rằng 3 điểm C,I ,K thẳng hàng a)Hãy xác định các điểm P,Q,R thoả: 34.Cho 3 điểm phân biệt A, B, C. 2+3= ;–2+ = ;–3= a)Chứng minh rằng nếu có một điểm I và một số t sao cho b)Với điểm O bất kỳ,chứng minh rằng : = t+ (1 – t) thì ∀ điểm M ta đều có : = t+ (1 – t) = + ; = 2– ;= – + b)Chứng minh rằng : = t+ (1 – t) ⇔ A, B, C thẳng hàng 23.Cho tam giác ABC,xác định các điểm G,P,Q,R,S sao cho 35.Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điểm A B cố định. Chứng + + = ;2+ + = ;+ 3+ 2 = minh rằng điểm M ∈d ⇔ có số α sao cho: = α+ (1 – α) – + = ; 5– 2– = Với điều kiện nào của α thì M ∈ đoạn thẳng AB 24.Cho hình bình hành ABCD, chứng minh rằng + = + 36.Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, 25.Cho lục giác đều ABCDEF , M là điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng BC, CA theo các tỉ số m, n, p ≠ 1. Chứng minh rằng : ++=++ a)M, N, P thẳng hàng ⇔ m.n.p = 1 (định lý Mênêlauýt) 26.Cho tam giác ABC, Gọi M ,N ,P lần lượt là trung điểm BC, CA ,AB b)AN, CM, BP đồng qui hoặc song song ⇔ m.n.p = – 1(định lý Xêva) Chứng minh rằng : + + = 37.Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm trên cạnh AC 27.Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN BC, CD, DE. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của MP và NQ a)Chứng minh rằng : = + Chứng minh rằng : IJ // AE và IJ = AE b)Gọi D là trung điểm BC,chứng minh rằng : = + 28.Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G’ 38.Cho tam giác ABC ,M là điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng vectơ a)Chứng minh rằng : + + = 3 = – 3+ 2 không phụ thuộc vào vị trí điểm M b)Từ đó suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm 39.Cho tam giác ABC.Trên các cạnh BC ,CA ,AB lấy các điểm M,N,P sao cho 29.Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh BM = MC , CN = NA , AP = BP AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng a)Chứng minh rằng : = (2+ ) ; = (2+ ) trọng tâm = (2+ ) -2-
  3. Phạm Viết Sĩ b)Chứng minh rằng : + + = và ++= 40*.Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng c)Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng = 3 Kết luận gì về ba điểm O, H ,G ++++= 41*.Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC 50*.Trong đường tròn (O) cho 3 dây cung song song AA1 ,BB1 ,CC1 . Chứng ,CA ,AB .Đặt = ; = .Tính các vectơ ; ; theo các vectơ và minh rằng trực tâm của ba tam giác ABC1 ,BCA1 ,và CAB1 thẳng hàng 42* Cho tam giác ABC .Đặt = ;= . Lấy các điểm A’ và B’ sao cho = m ; = n. 51*.Cho hai điểm A và B cố định, M là điểm tuỳ ý và P là điểm xác định bởi : Gọi I là giao điểm của A’B và B’A. Hãy tính vectơ theo hai vectơ và = +3 43*.Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b Chứng minh rằng đường thẳng MP đi qua một điểm cố định a)Gọi CM là đường phân giác trong của góc C. Hãy tính vectơ theo các vectơ 52*.Cho tam giác ABC .Gọi M ,N ,P là những điểm xác định bởi: = k ; = k ; = k (k ≠ 1) và b)Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng : a)Vẽ các điểm M,N,P khi k = 3 a + b+ c= b)Với k tuỳ ý khác 1,chứng minh rằng : (k – 1) = k – với O là một điểm tuỳ ý 44*.Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với c)Chứng minh rằng ∀ k ≠ 1,hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm AB cắt các đoạn thẳng AM, AC, BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm 53*.Gọi I và J là trung điểm các đoạn AB và CD ,M và N là các điểm xác định trên cạnh AB sao cho FG//AC. Chứng minh rằng = . Suy ra hai tam giác ADE bởi + k = ; + k = (k ≠ – 1).Gọi O là trung điểm MN và BFG có diện tích bằng nhau a)Chứng minh rằng : = ( + ) và = ( + ) 45*.Cho hình thang ABCD có các cạnh đáy là AB và CD. Chứng minh rằng b)Từ đó chứng minh : + k = .Kết luận gì về ba điểm O , I , J ? nếu cho trước một điểm M nằm trên cạnh AD thì sẽ tìm được một điểm N c)Gọi P và Q là hai điểm xác định bởi + k = và + k = nằm trên cạnh BC sao cho AN//MC và DN//MB Chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn PQ 46*.Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A’, 54.Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho vectơ B’, C’ sao cho A’B = 2A’C; B’C = 2B’A; C’A = 2C’B. Gọi M = AA’  BB’; = + + 2có độ dài nhỏ nhất N = AA’  CC’; P = BB’  CC’ 55*.Cho tứ giác ABCD. Với số k tuỳ ý,ta lấy các điểm M và N sao cho a)So sánh các đoạn thẳng AM, MN, NA’ = kvà = k.Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN b)So sánh diện tích hai tam giác ABC và MNP 56.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ,chứng minh rằng : 47*.Cho tam giác đều ABC tâm O và M là điểm tuỳ ý bên trong của tam giác. a) + + = b) = (+ ) Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của M xuống 3 cạnh . Chứng minh rằng : 57.Cho ba vectơ ;; có độ dài bằng nhau và ++= + + = .Tính các góc AOB ;BOC ;COA 48*.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý 58.Gọi G,G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’ a)Chứng minh rằng vectơ = + 2 – 3 không phụ thuộc vị trí điểm M a)Chứng minh rằng : + + = 3 b)Dựng điểm D sao cho = ,CD cắt AB tại K. Chứng minh rằng b)Gọi M,N,P là các điểm thoả: = , = , = + 2 = và = 3 Chứng minh rằng các tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm 49*.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam 59.Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là các điểm chia các đoạn thẳng giác , gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm O AB,BC,CA theo cùng một tỉ số k ≠ 1 . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và a) Chứng minh rằng HBDC là hình bình hành MNP có cùng trọng tâm b) Chứng minh rằng + + = 2 60.Cho tam giác ABC và hai điểm M,N thoả: 2+ 3 = -3-
  4. Phạm Viết Sĩ và + 3 = . Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của tam 70.Cho hình bình hành ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = AB ,F là điểm trên cạnh AC sao cho AF = AC. Chứng minh rằng E,D,F thẳng hàng giác ABC 71.Cho tam giác ABC có trực tâm H,các đường cao là AA’ ,BB’ ,CC’. Chứng 61.Cho tam giác ABC và 3 vectơ cố định ;;. Với mỗi số t ∈ R,lấy các điểm A’, minh rằng : B’ ,C’ sao cho = t, = t, = t.Tìm quĩ tích trọng tâm G của tam giác A’B’C’ khi t a) tanB. + tanC. = 0 thay đổi b) tanA. + tanB. + tanC. = 62.Cho tam giác ABC và một điểm O bất kỳ. Chứng minh rằng ∀điểm M ta 72.Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M ,N thỏa 3 = , luôn luôn tìm được 3 số α, β, γ sao cho: α + β + γ = 1 và 2= = α+ β+ γ .Nếu điểm M trùng với trọng tâm của tam giác ABC thì các số α, β, a) Tính theo và γ bằng bao nhiêu? b) Gọi I và J là hai điểm thỏa = α , = β 63.Cho các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm G . Gọi G1,G2,G3 lần Tính , theo , α , β lượt là trọng tâm của các tam giác BCA’ ; CAB’ ; ABC’ 73.Cho tam giác ABC, M là điểm trên AC sao cho = ,G là trọng tâm tam giác Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác G1G2G3 ABC, MG cắt đường thẳng AB tại N.Tính 64.Cho tam giác ABC, M là điểm đối xứng của trọng tâm G qua B. Phân tích 74.Cho tg ABC.Tìm tập hợp các điểm M thỏa theo và a) = b) + 2 – 3 = 65.Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi D và E là các điểm xác định bởi: =2;5=2 a)Tính và theo và Toạ độ trên trục b)Chứng minh rằng 3 điểm D,E,G thẳng hàng 1.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C lần lượt có toạ độ là 2,– 3,1 c)Gọi K là trung điểm DE và M là điểm xác định bởi = x a)Tính , – 2 , Tính ; theo ; và x và xác định x để A,K,M thẳng hàng b)Tìm toạ độ trung điểm I của AB 66. Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi H là điểm đối xứng với G qua C và c)M là điểm đối xứng với A qua B, N là điểm đối xứng với M qua A .Tìm N K là các điểm đối xứng với A qua B 2.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C lần lượt có toạ độ là 1,– 3,5 a)Chứng minh rằng: 3= 5 – a)Tìm toạ độ điểm D sao cho = 3 b)Chứng minh rằng: 3 = 5 + 2 b)Tìm toạ độ điểm M sao cho + + = 0 c)Gọi M là điểm xác định bởi = x xác định x để H,K,M thẳng hàng c)Tìm toạ độ điểm N sao cho 2 – + 5 = 0 67.Cho tam giác ABC. M là điểm sao cho = 3 ,N là điểm sao cho = 3, L là 3.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C và I là trung điểm BC,chứng minh rằng : điểm sao cho = x . Xác định x để M,N,L thẳng hàng a) + = 2 68.Cho tam giác ABC , M là điểm thỏa mãn = – 2 và N là điểm thỏa = x – b) . = 2 – 2 a)Xác định x để A ,M ,N thẳng hàng c) 2 + 2 = 2(2 + 2 ) b)Xác định x để MN đi qua trung điểm I của BC.Tính tỉ số d) 2 – 2 = 2. 69.Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho CI = CA, J là điểm thỏa 4.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C,D , chứng minh rằng : =– a) . + . + . = 0 a)Chứng minh rằng : = – b) AB2. + AC2. + AD2. + .. = 0 b)Chứng minh rằng B ,I ,J thẳng hàng 5.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B lần lượt có toạ độ là – 1, 2 c) Dựng điểm J thỏa mãn điều kiện bài toán -4-
  5. Phạm Viết Sĩ a)Tìm toạ độ các điểm C,D sao cho : = – 2 và = 2 12.Cho các điểm A(1;1) ,B(3;2) ,C(m + 4;2m + 1),Tìm m để A ,B ,C thẳng b)Gọi I,J là trung điểm của AB và CD ,chứng minh rằng hàng 13.Cho 3 điểm A(– 1;8) ,B(1;6) ,C(3;4). Chứng minh rằng: A ,B ,C thẳng hàng 2 2 2 2 AB + CD = 4IJ ; IA = . ; .= . 14.Cho 4 điểm A(0;1) ,B(1;3) ,C(2;7), D(0;3). Chứng minh rằng: hai đường thẳng AB và CD song song Tọa độ Oxy 15.Cho 4 điểm A(– 2;– 3) ,B(3;7) ,C(0;3), D(– 4;– 5). Chứng minh rằng: hai đường thẳng AB và CD song song 16.Cho các điểm A(– 4;5) , B(1;2) ,C(2;– 3) 1.Cho = (1;3), = (2;– 5), = (4;1) a)Tìm tọa độ vectơ = 2 – + 3 a)Chứng minh rằng: ba điểm A ,B ,C tạo thành một tam giác b)Tìm tọa độ vectơ sao cho + = – b)Tìm tọa độ điểm D sao cho = – 3 + c)Tìm các số k và h sao cho = k + h c)Tìm tọa độ điểm E sao cho O là trọng tâm của tam giác ABE 2.Cho = 2– 3 và = k + 4. Tìm các giá trị của k để hai vectơ và cùng phương 17.Cho tam giác ABC ,các cạnh BC ,CA ,AB lần lượt có trung điểm là M(– 3.Cho các vectơ = (– 1;4),= (2;– 3),= (1;6) Phân tích theo và 2;1) ,N(1;– 3) ,P(2;2) 4.Cho 3 vectơ = (m;m) , = (m – 4;1) , = (2m + 1;3m – 4). a)Tìm tọa độ các đỉnh A ,B ,C Tìm m để + cùng phương với b)Chứng minh rằng: các tam giác ABC và MNP có trọng tâm trùng nhau 5.Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương không?Nếu cùng phương thì có cùng hướng không? Đề kiểm tra a) = (2;3) , = (– 10;– 15) b) = (2;3) , = (– 10;– 15) c) = (0;7) , = (0;8) d) = (– 2;1) , = (– 6;3) Đề 1(CB) e) = (0;5) , = (3;0) 6.Cho các vectơ = (3;1) , = (2;1) = (4;1) 1.Cho hình bình hành ABCD tâm O.Tính các vectơ sau: Tìm các số x,y sao cho x.+ y. + 7 = a) + + + b) + + c) – 7.Cho các điểm A(– 3;2) ,B(2;4) ,C(3;– 2). 2.Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh a)Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC AB ,BC ,CD ,DA. Chứng minh rằng: b)Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD a) = b= + c) Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành 3.Cho tg ABC có trọng tâm G.Gọi M ,N ,P lần lượt là trung điểm các cạnh AB 8.Cho 3 điểm A(– 2;– 3) ,B(2;1) ,C(2;– 1) ,BC ,CA. Chứng minh rằng: + + = a)Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành 4.Xét ba điểm sau có thẳng hàng không: A(2;– 3) , B(5;1) , C(8;5) b)Gọi E là điểm đối xứng với D qua A. Chứng minh rằng ACBE là hình bình Đề 2(CB) 1.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O hành 9.Cho tam giác ABC có A(– 1;1), B(5;– 3), đỉnh C nằm trên trục Oy và trọng a) Chứng minh rằng: = tâm G nằm trên trục Ox. Tìm toạ độ đỉnh C b)Với điểm M tùy ý,chứng minh rằng: + = + 0 10Cho tam giác ABC biết trọng tâm G(1;2),trung điểm của BC là D(– 1;– 1), 2.Cho tam giác ABC.Gọi I là trung điểm của BC ,K là trung điểm của BI trung điểm cạnh AC là E(3;4).Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C Chứng minh rằng: = + 11.Cho các điểm A(2;3) ,B(9;4) ,M(x;– 2) Tìm x để 3 điểm A,B,M thẳng hàng -5-
  6. Phạm Viết Sĩ 3.Cho tam giác đều ABC cá cạnh bằng 1,điểm O trùng với gốc tọa độ, cạnh 9. Tam giác ABC có AB = 4 ,AC = 8 và góc A = 60o .Trên tia AC lấy điểm M AB song song với Ox,A là điểm có tọa độ dương.Tính tọa độ hai đỉnh A và B và đặt = k.Tìm k để BM vuông góc với trung tuyến AD của tam giác ABC Đề 3 (NC) 10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a và hai trung tuyến BM, CN 1. Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có cùng đỉnh A. Chứng minh vuông góc nhau . Tính cosA rằng : 11. Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11 a) + = a)Tính . b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm b)Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N sao 2.Trong mo Oxy cho hai điểm A(1;4) và B(2;2). Đường thẳng đi qua hai điểm cho AN = 4.Tính . A và B cắt trục Ox tại M và cắt trục Oy tại N.Tính diện tích tam giác OMN 12.Cho O là trung điểm AB,M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng : Đề 4(NC) . = OM2 – OA2 1.Cho tam giác OAB.Đặt = , = .Gọi C ,D ,E là các điểm sao cho = 2 , = ; = 13.Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm thuộc cạnh BC.Tính . a)Hãy biểu thị các vectơ ,, qua các vectơ và và . b)Chứng minh rằng: ba điểm C ,D ,E thẳng hàng 14.Cho tứ giác ABCD , I là trung điểm BC, chứng minh rằng : a) . = IA2 – IB2 2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm G(1;2).Tìm tọa độ điểm A ∈ Ox và điểm B b) . = (AB2 + AC2 – BC2) ∈ Oy sao cho G là trọng tâm tam giác OAB c) . = (AD2 + BC2 – AC2 – BD2) 15.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng : Tích vô hướng MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 1.Cho hai vectơ và. Chứng minh rằng : 16.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c. Gọi G là trọng tâm,hãy tính:   2 2 2   2 2  2    2  2  .=  a + b − a − b  =  a + b − a − b  =  a + b − a − b  a) . b). c) . + . + .     d) Chứng minh rằng : . + . + . = – (a2 + b2 + c2) 2.Cho hai vectơ , có = 5 , = 12 và = 13.Tính tích vô hướng .( + ) và suy ra e)Tính AG theo a ,b ,c góc giữa hai vectơ và + 17.Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng : 3.Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi H là trung điểm BC,tính . + . + .= 0 a) . b). c) . 18.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N là hai điểm trên 4.Cho hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.Tính: (O) và I = AM∩BN. Chứng minh rằng : a). b). c) . a) . = . o 5. Tam giác ABC có AC = 9 ,BC = 5 ,C = 90 ,tính . b) . = . 6. Tam giác ABC có AB = 5 ,AC = 4 ,A = 120o c) . + .= 4R2 b) Gọi M là trung điểm AC tính . a)tính . 19.Cho 4 điểm A,B,C,D tuỳ ý 7. Tam giác ABC có AB = 5 ,BC = 7 ,CA = 8 a) Chứng minh rằng : .+ .+ .= 0 a)Tính . rồi suy ra giá trị góc A b)Từ đó chứng minh rằng trong một tam giác,ba đường cao đồng qui b)Tính . 20.Cho tam giác ABC cân tại A.Gọi H là trung điểm của BC,và D là hình c)Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = CA .Tính . chiếu của H trên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM ⊥ BD 8.Cho hai vectơ và thỏa mãn || = 3 , || = 5 và (,) = 120o Với giá trị nào của m thì hai vectơ + m và – mvuông góc nhau -6-
  7. Phạm Viết Sĩ 21.Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm BC và CD. 31.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M,gọi P là trung điểm đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng : AN ⊥ DM Chứng minh rằng MP ⊥ BC ⇔ .= . 22.Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC, 32*. Xác định dạng của tam giác ABC biết rằng: M và N lần lượt là trung điểm của AK và DC . Chứng minh rằng : BM ⊥ MN (.) + (.) +(.) = 23.Cho hình thang ABCD vuông tại A và B. AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b 33.Cho hình vuông ABCD,điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM = Tìm điều kiện giữa a ,b ,h để N là trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân a) AC ⊥ BD b) IA ⊥ IB với I là trung điểm CD 34.Cho AA’ là một dây cung của đường tròn (O) và M là một điểm nằm trên 24.Cho tam giác ABC có AB = 3 ;AC = 6 và A = 45 . Gọi L là chân đường o dây cung đó. Chứng minh rằng 2.= MA(MA – MA’) phân giác trong của góc A 35.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M sao cho a)Tính . các góc AMB ,BMC ,CMA đều bằng 120o .Các đường thẳng AM ,BM ,CM b)Tính theo và ⇒ độ dài của AL cắt đường tròn (O) lần lượt tại A’ ,B’ ,C’. Chứng minh rằng: c)M là điểm trên cạnh AC sao cho AM = x. Tìm x để AL ⊥ BM MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’ o 25.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a và A = 120 36*.Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với C a) Tính BC và . qua đường thẳng AB , M là trung điểm cạnh CB b)Gọi N là điểm trên cạnh BC sao cho BN = x. Tính theo và ,x a)Xác định trên đường thẳng AC một điểm N sao cho tam giác MDN vuông c)Tìm x để AN ⊥ BM tại D.Tính diện tích tam giác đó. 26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng: b)Xác định trên đường thẳng AC một điểm P sao cho tam giác MPD vuông tại AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = 2. M.Tính diện tích tam giác đó. 27.Cho tam giác ABC có H là trực tâm và M là trung điểm của BC c) Tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD Chứng minh rằng : . = BC2 37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là điểm tuỳ ý,chứng minh rằng : 28.Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H ,K lần lượt là a) + = + trực tâm của các tam giác ABO và CDO; I và J là trung điểm của AD và BC. b) . = . Chứng minh rằng HK ⊥ IJ c) MA2 + MC2 = MB2 + MD2 28.Cho đường tròn (O;R) và hai dây cung AA’ ,BB’ vuông góc nhau tại S. Gọi d) MA2 + . = 2. M là trung điểm của AB. chứng minh rằng: SM ⊥ A’B’ I 38.Cho tam giác ABC và các hình vuông ABED, ACHI ,BCGH 29.Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích những điểm M thoả mãn : Chứng minh rằng : a) . = . D a) (+ ).= 0 H 2 b) MA + . + . = 0 b) (+ + ).= 0 c) MA2 = . c) + + = A E d) (+ ).(+ ) = 0 d) + + = e) ( – ).(2 – ) = 0 39.Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Gọi M là điểm trên cạnh 30.Cho điểm A cố định nằm ngoài đường thẳng ∆ , H là hình chiếu của A trên BC sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnhBAB sao cho BN = 2AN C ∆ .Với mỗi điểm M trên ∆ , ta lấy điểm N trên tia AM sao cho . = AH2. Tìm quĩ a) Tính vectơ vàtheo hai vectơ và tích các điểm N b)Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c sao cho AM ⊥ CN -7- F G
  8. Phạm Viết Sĩ 40.a)Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm (O,R). M là một a)Chứng minh rằng vectơ = + 2 – 3 không phụ thuộc vị trí điểm M điểm tuỳ ý trên đường tròn . Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, chứng minh rằng : b) Tổng quát bài toán trên cho một đa giác đều n cạnh 2MA2 + MB2 – 3MC2 = 2. 41*.Cho lục giác đều A1A2…A6 nội tiếp trong đường tròn (O,R) và một điểm c)Tìm quĩ tích điểm M sao cho 2MA2 + MB2 = 3MC2 M thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng : 49.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1) ˆ Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông cân tại A ˆ A + cos MOA + …+ cos MOA 6 = 0 ˆ a) cos MO 1 2 50 .Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1) b) MA12 + MA22+ …+ MA62 là một hằng số ( = 12R2) a)Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành 42*.Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O,R) ,M là một điểm b)Kẻ đường cao AH .Tìm tọa độ chân đường cao H bất kỳ trên đường tròn 51.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) và a)Chứng minh rằng : MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 D(0;– 2). Chứng minh rằng: tứ giác ABCD là hình thang cân b)Chứng minh rằng : MA2 + 2. = 3R2 52.Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0) c)Suy ra nếu M ở trên cung nhỏ BC thì MA = MB + MC a)Chứng minh rằng: 3 điểm A ,B ,C tạo thành một tam giác 43.Cho tam giác ABC có A = 60o ,AB = 6 ,AC = 8 , gọi M là trung điểm BC b)Tính góc B của tam giác ABC a)Tính độ dài đoạn AM và độ dài đường phân giác trong của góc A 53.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M 44*. Tam giác ABC có tính chất gì,biết rằng: thay đổi trên trục hoành.Tìm giá trị nhỏ nhất của (.)+ (.)+ (.) = 54.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6). 45.Cho tam giác ABC có AB = AC = 5 , góc BAC = 120 nội tiếp trong đường o Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn tròn tâm I. Gọi D là trung điểm AB và E là trọng tâm của tam giác ADC 55.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5). a)Tính . Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn b)AH là đường cao của tam giác ABC.Tính theo và c)Chứng minh rằng IE ⊥ CD 46.Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M ,N ,P ,Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AC, BD, BC và AD. Đặt = , = , = a)Chứng minh rằng : = ( + – ) ; = ( + – ) b)Chứng minh rằng :nếu MN = PQ thì AB ⊥ CD.Điều ngược lại có đúng không? 47.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a ,b ,c. Gọi D là trung điểm AB và I là điểm thỏa + 3 – 2 = a)Chứng minh rằng BCDI là hình bình hành b)Tính . theo a ,b ,c c)M là một điểm tùy ý, chứng minh rằng : MA2 + 3MB2 – 2MC2 = 2MI2 + IA2 + 3IB2 – 2IC2 d)Khi M chạy trên đường thẳng (d) cố định,hãy tìm vị trí của M để biểu thức MA2 + 3MB2 – 2MC2 nhỏ nhất 48.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý -8-
Đồng bộ tài khoản