Đại số Nguyễn Tất Thu P2

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

0
185
lượt xem
82
download

Đại số Nguyễn Tất Thu P2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại số Nguyễn Tất Thu P2 nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đại số Nguyễn Tất Thu P2

  1. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s   un = un −1 + a.vn −1 un + aun −1 = (un −1 + aun −1 ) 2 2 2 Ta có:  ⇒  a .vn = 2 a .vn −1un −1 un − aun −1 = (un −1 − aun −1 ) 2    1 2n − 1 n −1  un = (α + β a )  + (α − β a )2  ⇒ 2  . 1  n −1 n −1  vn = (α + β a )2 − (α − β a )2    2 a   x1 = α  2) Áp d ng k t qu trên ta tìm ñư c CTTQ c a dãy (xn ) :  x n −1 + a . 2 x n =  2x n −1 u = u 2 + a.v 2 ; u = α  Xét hai dãy (un ),(vn ) :  n n −1 n −1 1 vn = 2vn −1un −1  ; v1 = 1 n −1 n −1 un (α + a )2 + (α − a )2 Khi ñó: x n = = a . vn 2n − 1 2n − 1 (α + a ) + (α − a ) u1 = 1  Ví d 1.23: Cho dãy (un ) :  . Tìm un ? un = 5un −1 + 24un −1 − 8 ∀n ≥ 2 2  Gi i: Ta có: u2 = 9; u3 = 89; u4 = 881 . Gi s : un = xun −1 + yun − 2 9x + y = 89  x = 10  ⇒ ⇔  . Ta ch ng minh: un = 10un −1 − un − 2 ∀n ≥ 3  89x + 9y = 881 y = −1   T công th c truy h i c a dãy ta có: (un − 5un −1 )2 = 24un −1 − 8 2 ⇔ un − 10un un −1 + un −1 + 8 = 0 (15) thay n b i n − 1 , ta ñư c: 2 2 un − 2 − 10un − 2un −1 + un −1 − 8 = 0 (16) . 2 2 T (15),(16) ⇒ un − 2 , un là hai nghi m c a phương trình : t 2 − 10un −1t + un −1 − 8 = 0 2 Áp d ng ñ nh lí Viet, ta có: un + un − 2 = 10un −1 . ( ) ( ) 6 −2 n −1 6 +2 n −1 V y un = 5−2 6 + 5+2 6 . 2 6 2 6 - 21 -
  2. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s D ng 12: u1 = 1  1) Dãy (un ) :  là dãy nguyên ⇔ a = 24 . un = 5un −1 + aun −1 − 8 ∀n ≥ 2 2  Th t v y: u2 = 5 + a − 8 = 5 + t ( t = a − 8 ∈ ℕ ) ⇒ u3 = 5 + (t 2 + 8)(t + 5)2 − 8 ⇒ u3 ∈ ℤ ⇔ f (t ) = (t 2 + 8)(t + 5)2 − 8 = m 2 (m ∈ ℤ) . Mà (t 2 + 5t + 4)2 < f (t ) < (t 2 + 5t + 14)2 k t h p v i f (t ) là s ch n ta suy ra { } m = t 2 + 5t + x v i x ∈ 6, 8,10,12 . Th tr c ti p ta th y t = 4 ⇒ a = 24 . u1 = α  2) V i dãy s (un ) :  , v i a 2 − b = 1 ta xác ñ nh un = aun −1 + bun −1 + c ∀n ≥ 2 2  CTTQ như sau: T dãy truy h i ⇒ (un − aun −1 )2 = bun −1 + c ⇔ un − 2aun un −1 + un −1 − c = 0 2 2 2 Thay n b i n − 1 , ta có: un − 2 − 2aun −1un − 2 + un −1 − c = 0 ⇒ un + un − 2 = 2aun −1 . 2 2 u1 = α   3) V i dãy (un ) :  un −1 ,trong ñó α > 0;a > 1 ; a 2 − b = 1 ta un = ∀n ≥ 2    a + cun −1 + b 2 xác ñ nh CTTQ như sau: 1 a b 1 Ta vi t l i công th c truy h i dư i d ng: = + c+ . ð t xn = un un −1 2 un un −1 Ta có un = aun −1 + bx n −1 + c ñây là dãy mà ta ñã xét 2 trên. u1 = u2 = 1  Ví d 1.24: Cho dãy (un ) :  un −1 + 2 2 . Tìm un ? un = ∀n ≥ 2  un − 2 Gi i: Ta có: u 3 = 3; u4 = 11; u5 = 41 . Ta gi s un = xun −1 + yun −2 + z .T u3 = 3; u4 = 11; - 22 -
  3. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s x + y + z = 3 x = 4   u5 = 41 ta có h phương trình: 3x + y + z = 11 ⇔ y = −1 ⇒ un = 4un −1 − un − 2 11x + 3y + z = 41 z = 0   u = u2 = 1  Ta ch ng minh (un ) :  1 . un = 4un −1 − un − 2 ∀n ≥ 3  • V i n = 3 ⇒ u3 = 4u2 − u1 = 3 ⇒ n = 3 ñúng • Gi s uk = 4uk −1 − uk − 2 . Ta có: ( 4uk −1 − uk −2 ) 2 uk + 2 2 +2 16uk −1 − 8uk −1uk − 2 + uk − 2 + 2 2 2 uk +1 = = = uk −1 uk −1 uk −1 16uk −1 − 8uk −1uk − 2 + uk −1uk − 3 2 = = 16uk −1 − 8uk −2 + uk − 3 uk −1 = 4(4uk −1 − uk − 2 ) − (4uk − 2 − uk − 3 ) = 4uk − uk −1 ( ) ( ) 3 +1 n −1 3 −1 n −1 Theo nguyên lí quy n p ta có ñpcm ⇒ un = 2− 3 + 2+ 3 . 2 3 2 3 - 23 -
  4. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s II. S D NG PHÉP TH LƯ NG GIÁC ð XÁC ð NH CTTQ C A DÃY S Nhi u dãy s có công th c truy h i ph c t p tr thành ñơn gi n nh phép th lư ng giác. Khi trong bài toán xu t hi n nh ng y u t g i cho ta nh ñ n nh ng công th c lư ng giác thì ta có th th v i phương pháp th lư ng giác. Ta xét các ví d sau  1 u1 = Ví d 2.1: Cho dãy (un ) :  2 . Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) . un = 2un −1 − 1 ∀n ≥ 2 2  Gi i: T công th c truy h i c a dãy, ta liên tư ng ñ n công th c nhân ñôi c a hàm s côsin 1 π π 2π Ta có: u1 = = cos ⇒ u2 = 2 cos2 − 1 = cos 2 3 3 3 2π 4π 8π ⇒ u3 = 2 cos2 − 1 = cos ⇒ u4 = cos .... 3 3 3 2n −1 π Ta ch ng minh un = cos . Th t v y 3 22 −1 π 2π • V i n = 2 ⇒ u2 = cos = cos (ñúng) 3 3 2n − 2 π 2 2 n −1 π 2n −1 π • Gi s un −1 = cos ⇒ un = 2un −1 − 1 = 2 cos 2 − 1 = cos 3 3 3 n −1 2 π V y un = cos ∀n ≥ 1 . 3 u1  D ng 13: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s (un ) :  ta làm như un = 2un −1 − 1 ∀n ≥ 2 2  sau: • N u | u1 |≤ 1 , ta ñ t u1 = cos α . Khi ñó ta có: un = cos 2n −1α . 1 1 • N u | u1 |> 1 ta ñ t u1 =(a + ) ( trong ñó a ≠ 0 và cùng d u v i u1 ). 2 a 1 1 1 1 1 1 Khi ñó u2 = (a 2 + 2 + ) − 1 = (a 2 + ) ⇒ u3 = (a 4 + ) .... 2 a2 2 a2 2 a4 - 24 -
  5. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s 1 2n −1 1 Ta ch ng minh ñư c un = (a + n −1 ) ∀n ≥ 1 . Trong ñó a là nghi m (cùng d u 2 a2 v i u1 ) c a phương trình : a 2 − 2u1a + 1 = 0 . Vì phương trình này có hai nghi m có tích b ng 1 nên ta có th vi t CTTQ c a dãy như sau  2n − 1 2n − 1  1   u + u2 − 1  . un =  u1 − u1 − 1  2 + 1  2    1      3 u1 = Ví d 2.2: Xác ñ nh CTTQ c a dãy s (un ) :  2 . u = 4u 3 − 3un −1 ∀n ≥ 2  n n −1 Gi i: 3 π 3π π π 32 π Ta có: u1 = = cos ⇒ u2 = 4 cos − 3 cos = cos 3 ⇒ u3 = cos ..... 2 6 6 6 6 6 3n −1 π B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: un = cos . 6 D ng 14: u1 = p  1) ð tìm CTTQ c a dãy (un ) :  , ta làm như sau un = 4un −1 − 3un −1 ∀n ≥ 2 3  • N u | p |≤ 1 ⇒ ∃α ∈  0; π  : cos α = p .   Khi ñó b ng quy n p ta ch ng minh ñư c : un = cos 3n −1α . 1 1 • N u | p |> 1 , ta ñ t u1 =  a +  (a cùng d u v i u1 ) 2 a 1  3n −1 1  B ng quy n p ta ch ng minh ñư c un = a + n −1  . 2 a3    3n − 1 3n − 1  1    u + u2 − 1  . Hay un =  u1 − u1 − 1  2 + 1  2    1     2) T trư ng h p th hai c a bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ c a dãy s - 25 -
  6. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s u1 = p  1 1 (un ) :  b ng cách ñ t u1 = (a − ) . Khi ñó b ng quy n p un = 4un −1 + 3un −1 ∀n ≥ 2 3 2 a  ta ch ng minh ñư c :  3n − 1 3n − 1  1  3n −1 1  1   un =  a − n −1  =  u + u1 + 1  2 +  u1 − u1 + 1   2  . 2  3  2  1     a    Chú ý : Trong m t s trư ng h p ta xác ñ nh ñư c CTTQ c a dãy (un ) cho b i: u1   . un = un −1 + aun −1 + bun −1 + c ∀n ≥ 2 3 2  B ng cách ñưa vào dãy ph ñ chuy n dãy ñã cho v m t trong hai d ng trên. 3 Ví d 2.3: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) : u1 = và 6 un = 24un −1 − 12 6un −1 + 15un −1 − 6 ∀n ≥ 2 . 3 2 Gi i: ð t un = x .vn + y . Thay vào công th c truy h i c a dãy, bi n ñ i và rút g n ta ñư c x .vn + y = 24x 3vn −1 + 12(6x 2y − 6x 2 )vn −1 + 3(24xy 2 − 8 6xy + 5x )vn −1 + 3 2 +24y 3 − 12 6y 2 + 15y − 6 . 6x 2y − 6x 2 = 0  1 Ta ch n y :  ⇔y = . 24y − 12 6y + 15y − 6 = y 3 2 6  1 Khi ñó: x .vn = 24x 3vn −1 + 3x .vn −1 ⇔ vn = 24x 2vn −1 + 3vn −1 . Ta ch n x = 3 3 6 ⇒ vn = 4vn −1 + 3vn −1 và v1 = 2 . 3 1 n −1 n −1  ⇒ vn = (2 + 5)3 + (2 − 5)3  . 2  1  n −1 n −1  1 V y un = (2 + 5)3 + (2 − 5)3  + ∀n = 1,2,... . 2 6  6 - 26 -
  7. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s  3 u1 = Ví d 2.4: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  2 . un = 2 − un −1 ∀n ≥ 2 2  3 π  Gi i: ð t − = cos α , α ∈  ; π  , khi ñó : 4 2  u1 = −2 cos α ⇒ u2 = 2(1 − 2 cos2 α ) = −2 cos 2α . B ng quy n p ta ch ng minh ñư c un = −2 cos 2n −1α .  1 u1 =  2 Ví d 2.5: Tìm CTTQ c a dãy s (un ) :  .  2 − 2 1 − un −1 2 un =  2 ∀n ≥ 2 Gi i: T công th c truy h i c a dãy, g i ta nh ñ n công th c lư ng giác sin2 α + cos2 α = 1 ⇔ 1 − sin2 α = cos2 α . π π 2 − 2 1 − sin2 2(1 − cos ) 1 π 6 6 = sin π Ta có: u1 = = sin ⇒ u2 = = 2 6 2 2 2.6 π B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: un = sin . n −1 2 .6 Ví d 2.6: Cho a,b là hai s th c dương không ñ i th a mãn a < b và hai dãy (an ),(bn )  a +b a1 =  ;b1 = b.a1 ñư c xác ñ nh:  2 . Tìm an và bn . a = an −1 + bn −1 ;bn = anbn −1 ∀n ≥ 2  n  2 Gi i: a a  π Ta có: 0 < < 1 nên ta ñ t = cos α v i α ∈  0;  b b  2 b cos α + b b(1 + cos α ) α α α Khi ñó: a1 = = = b cos2 và b1 = b.b cos2 = b cos 2 2 2 2 2 - 27 -
  8. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s α α a1 + b1 b cos2 + b cos a2 = = 2 = b cos α .cos2 α và b = b cos α cos α . 2 2 2 2 2 22 2 22 B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: α α α α α α an = b cos cos ...cos2 và bn = b cos cos ...cos . 2 22 2n 2 22 2n u = 3  1  Ví d 2.7: Cho dãy (un ) :  u + 2 −1 . Tính u2003 (Trích ñ thi un = n −1 ∀n ≥ 2   1 + (1 − 2)un −1 Olympic 30 – 4 – 2003 Kh i 11). π un −1 + tan π 8 Gi i: Ta có tan = 2 − 1 ⇒ un = 8 π 1 − tan un −1 8 π π tan + tan π 8 = tan(π + π ) 3 Mà u1 = 3 = tan ⇒ u2 = 3 π π 3 8 1 − tan tan 3 8 π π B ng quy n p ta ch ng minh ñư c un = tan  + (n − 1)  . 3 8  π 2002π  π π  V y u2003 = tan  +  = tan  +  = −( 3 + 2) . 3 8  3 4 u1 = a  Chú ý : ð tìm CTTQ c a dãy (un ) :  u +b . un = n −1 ∀n ≥ 2  1 − bun −1 Ta ñ t a = tan α ;b = tan β , khi ñó ta ch ng minh ñư c: un = tan α + (n − 1)β    u = 3  1  Ví d 2.8: Tìm CTTQ c a dãy s (un ) :  un −1 . un = ∀n ≥ 2    1 + 1 + un −1 2 - 28 -
  9. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s 1 1 1 1 Gi i: Ta có: = + 1+ . ð t xn = khi ñó ta ñư c dãy (xn ) ñư c xác un un −1 u2 n −1 un 1 ñ nh như sau: x1 = và x n = x n −1 + 1 + xn −1 . 2 3 π 1 + cos 1 π π π 3 = cot π Vì x1 = = cot ⇒ x 2 = cot + 1 + cot2 = 3 3 3 3 π 2.3 sin 3 π π B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: x n = cot ⇒ un = tan ∀n = 1,2,... 2n −1.3 2n −1.3 - 29 -
  10. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s III. NG D NG BÀI TOÁN TÌM CTTQ C A DÃY S VÀO GI I M T S BÀI TOÁN V DÃY S - T H P Trong m c này chúng tôi ñưa ra m t s ví d các bài toán v dãy s và t h p mà quá trình gi i các bài toán ñó chúng ta v n d ng m t s k t qu trên. Ví d 3.1: Cho dãy s (an ) : a0 = 0, a1 = 1, an +1 = 2an − an −1 + 1 ∀n ≥ 1 . Ch ng minh r ng A = 4anan + 2 + 1 là s chính phương. Gi i: T công th c truy h i c a dãy ta thay n + 1 b i n ta ñư c: an +1 = 2an − an −1 + 1   ⇒ an + 1 − 3an + 3an −1 − an − 2 = 0 . an = 2an −1 − an − 2 + 1  Xét phương trình ñ c trưng λ 3 − 3λ 2 + 3λ − 1 = 0 ⇔ λ = 1 1 ⇒ an = (α + β n + γ n 2 ) , do a 0 = 0, a1 = 1, a2 = 3 ⇒ α = 0, β = γ = . 2 1 ⇒ an = (n + n 2 ) ⇒ A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n 2 + 3n + 1)2 ⇒ ñpcm. 2 Ví d 3.2: Cho dãy s (xn ) : x1 = 7, x 2 = 50; x n +1 = 4x n + 5xn −1 − 1975 ∀n ≥ 2 . Ch ng minh r ng x1996 ⋮1997 (HSG Qu c Gia – 1997 ) Gi i: Vì −1975 = 22(mod1997) do ñó ta ch c n ch ng minh dãy x n +1 = 4x n + 5x n −1 + 22 ⋮1997 . ð t yn +1 = ax n +1 + b = a(4x n + 5x n −1 + 22) + b = 4(axn + b) + 5(ax n −1 + b) + 22a − 8b = 4yn + 5yn −1 + 22a − 8b . Ta ch n a, b sao cho: 22a − 8b = 0 , ta ch n a = 4 ⇒ b = 11 . ⇒ yn +1 = 4x n +1 + 11 ⇒ y1 = 39, y2 = 211; yn +1 = 4yn + 5yn −1 8(−1)n + 25.5n 8 + 25.51996 T ñây ta có ñư c: yn = ⇒ y1996 = . 3 3 Vì 8 + 25.51996 ≡ −1 + 1 = 0(mod 3) ⇒ y1996 ∈ ℤ Theo ñ nh lí Fecma 51996 ≡ 1(mod1997) ⇒ y1996 ≡ 11(mod1997) ⇒ 4x1996 + 11 ≡ 11(mod1997) ⇒ x1996 ≡ 0(mod1997) . - 30 -
  11. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s Nh n xét: T bài toán trên ta có k t qu t ng quát hơn là: x p −1 ⋮ p v i p là s nguyên t l . u = 20; u1 = 100  Ví d 3.3: Cho dãy s (un ) :  0 .Tìm s nguyên dương un + 1 = 4un + 5un −1 + 20 ∀n ≥ 2  h bé nh t sao cho: un + h − un ⋮1998 ∀n ∈ ℕ * (HSG Qu c Gia B ng A – 1998 ). Gi i: a = 45; a1 = 205  ð t an = 2un + 5 , ta có dãy (an ) :  0 an +1 = 4an + 5an −1 ∀n ≥ 2  10 125 n 125 n 5 5 ⇒ an = (−1)n + .5 ⇒ un = .5 + (−1)n − . 3 3 6 3 2 Vì an + h − an = 2(un + h − un ) ⇒ un + h − un ⋮1998 ⇔ an + h − an ⋮ 2.1998 = 22.33.37 (−1)n .10  n  + 125.5 (5h − 1) Mà an + h − an = (−1) − 1 h 3   3 5h − 1⋮ 4 125.5 n   • N u h ch n ⇒ an + h − an = (5h − 1)⋮ 4.27.37 ⇔ 5h − 1⋮ 81 (17) 3  h 5 − 1⋮ 37  G i k là s nguyên dương nh nh t th a mãn 5k − 1⋮ 37 . Vì 536 − 1⋮ 37 ⇒ 36 ⋮ k { } ⇒ k ∈ 1,2, 3, 4,12,18, 36 th tr c ti p ta th y ch có k = 36 th a mãn ⇒ 5h − 1⋮ 37 ⇒ h ⋮ 36 (18) Ch ng minh tương t , ta cũng có: 5h − 1⋮ 81 ⇒ h ⋮ϕ(81) = 54 (19) T (18) và (19) ta suy ra (17) ⇔ h ⋮ 36, 54  = 108 ⇒ h ≥ 108 .   • N u h l : Vì un + h ≡ un (mod 1998) u ≡ u 0 ≡ 20(mod1998)  Nên ta có:  h ⇒ 5uh −1 ≡ uh +1 − 4uh − 20 ≡ 0(mod1998) uh +1 ≡ u1 ≡ 100(mod1998)  ⇒ uh −1 ⋮ 0(mod1998) 125 h 25 125 h −1 5 Vì h l ⇒ h − 1 ch n ⇒ uh = .5 − và uh −1 = .5 − 6 6 6 6 ⇒ uh ≡ 5uh −1 ≡ 0(mod1998) mâu thu n v i uh ≡ 20(mod1998) . - 31 -
  12. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s V i h = 108 ta d dàng ch ng minh ñư c un + h ≡ un (mod1998) ∀n ≥ 1 . V y h = 108 là giá tr c n tìm. 2xn + 1 Ví d 3.4: Cho dãy (xn ) : x 0 = 2; x n +1 = xn + 2 1) Tính x 2000 ? 2000 2) Tìm ph n nguyên c a A = ∑ xi (Olympic 30 – 4 – 2000 kh i 11 ). i =1 xn − 1 1 3 1 Gi i: Ta có: x n +1 − 1 = ⇒ =1+ . ð t an = ⇒ a 0 = 1 và xn + 2 xn +1 − 1 xn − 1 xn − 1 3n +1 − 1 2 an + 1 = 3an + 1 ⇒ an = ⇒ xn = 1 + . 2 3n + 1 − 1 32001 + 1 a) Ta có: x 2000 = 32001 − 1 2000 1 2 2000 1 b) Ta có: A = 2000 + 2 ∑ ⇒ 2000 < A < 2000 + ∑ < 2001 i +1 i =1 3 −1 3 i =1 3i V y [A] = 2000 . (2 + cos 2α )xn + cos2 α Ví d 3.5: Cho dãy (xn ) : x1 = 1; x n +1 = . (2 − 2 cos 2α )x n + 2 − cos 2α n 1 ð t yn = ∑ 2x +1 ∀n ≥ 1 . Tìm α ñ dãy s (yn ) có gi i h n h u h n và tìm gi i i =1 i h n ñó. ( HSG Qu c Gia B ng A – 2004 ). Gi i: 1 2 sin2 α 1 1 1 1 Ta có = + ⇒ = + (1 − )sin2 α 2x n + 1 + 1 3 3(2x n + 1) 2x n + 1 3n 3n −1 n n n 1 1 1 1 1 3 1 ⇒ yn = ∑ 2x + 1 = ∑ + sin2 α ∑ (1 − )= (1 − ) + [n − (1 − )]sin2 α i =1 i i =1 3 i i =1 3i −1 2 3n 2 3n 1 Vì lim = 0 nên dãy (yn ) có gi i h n h u h n ⇔ sin α = 0 ⇔ α = kπ 3n - 32 -
  13. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s 1 Khi ñó lim yn = . 2 x = −1  x  n +1 = −3x n − 2xn yn + 8yn 2 2 Ví d 3.6: Cho hai dãy (xn ),(yn ) :  1  và ∀n ≥ 1 . y1 = 1 yn +1 = 2x n + 3x n yn − 2yn 2 2   Tìm t t c các s nguyên t p sao cho x p + y p không chia h t cho p . (TH&TT – 327 ) Gi i: n −1 Ta có: x n + 2yn = (xn −1 + 2yn −1 )2 = ... = (x1 + 2y1 )2 = 1 (20) Gi s có m t s t nhiên k ñ yk = 2xk ⇒ yk +1 = 0 . Khi ñó, ta có:  x k + 2 = −3x k +1 2  vô lí. V y yn +1 = (2x n − yn )(x n + 2yn ) ≠ 0 ∀n . xk +2 = 1  x (3x n − 4yn )(x n + 2yn ) −3x n + 4yn Suy ra : n +1 = − = . yn + 1 (2x n − yn )(x n + 2yn ) 2x n − yn xn +1 −3an + 4 ð t an +1 = ⇒ a1 = −1;an +1 = yn +1 2an − 1 an + 2 1 5 1 1 + 2(−5)n −1 ⇒ an + 1 + 2 = ⇒ =2− ⇒ = 2an − 1 an + 1 +2 an + 2 an + 2 3 1 − 4.(−5)n −1 xn ⇒ an = = (21) n −1 1 + 2.(−5) yn 1 − 4.(−5)n −1 1 + 2.(−5)n −1 2 − 2(−5)n −1 T (20) và (21) ⇒ xn = ; yn = ⇒ x n + yn = . 3 3 3 * N u p = 2 ⇒ x 2 + y2 = 4 ⋮ 2 ⇒ p = 2 không th a yêu c u bài toán. * N u p = 3 ⇒ x 3 + y 3 = −16 không chia h t cho 3 ⇒ p = 3 th a yêu c u bài toán. * N u p = 5 ta th y cũng th a yêu c u bài toán. * N u p > 5 ⇒ (−5)p −1 ≡ 1(mod p) ⇒ x p + y p ≡ 0(mod p) V y p = 3, p = 5 là hai giá tr c n tìm. - 33 -
  14. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s  2 u1 =  3 Ví d 3.7: Cho dãy (un ) :  un −1 . Tính t ng c a 2001 s un = ∀n ≥ 2   2(2n − 1)un −1 + 1 h ng ñ u tiên c a dãy (un ) (HSG Qu c Gia – 2001 ). Gi i: 1 1 Ta có: = + 4n − 2 (22). un un −1 Ta phân tích 4n − 2 = k n 2 − (n − 1)2  + l n − (n − 1) . Cho n = 0; n = 1 , ta có h      −k + l = −2   ⇔ k = 2; l = 0 . k + l = 2  1 1 1 1 Suy ra (22) ⇔ − 2n 2 = − 2(n − 1)2 = ... = −2 = − un un −1 u1 2 1 4n 2 − 1 (2n − 1)(2n + 1) ⇒ = = un 2 2 2 1 1 ⇒ un = = − (2n − 1)(2n + 1) 2n − 1 2n + 1 2001 2001  1 1  1 4002 ⇒ ∑ ui = ∑  2i − 1 − 2i + 1  = 1 − 4003 = 4003 . i =1 i =1   x = x + 1 + x n −1 2 x = 3  n n −1   Ví d 3.8: Cho hai dãy s (xn ); (yn ) xác ñ nh :  1 và  yn −1 y1 = 3  yn =   1 + 1 + yn −1 ∀n ≥ 2 . Ch ng minh r ng 2 < xn yn < 3 ∀n ≥ 2 . (Belarus 1999). Gi i: π cos +1 π π π 6 π Ta có: x1 = 3 = cot ⇒ x 2 = cot + 1 + cot 2 = = cot 6 6 6 π 2.6 sin 6 - 34 -
  15. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s π B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: x n = cot . n −1 2 .6 π Theo k t qu c a ví d 2.8, ta có: yn = tan 2n −1.3 π ð t αn = ⇒ x n = cot αn ; yn = tan 2αn ⇒ xn .yn = tan 2αn .cot αn 2n .3 1 2 2t ð t t = tan αn ⇒ tan 2αn .cot αn = . = . 1−t 2 t 1−t 2 π π 1 2 Vì n ≥ 2 ⇒ 0 < αn < ⇒ 0 < t < tan = ⇒ ≤ 1 − t2 < 1 6 6 3 3 2 ⇒2< < 3 ⇒ 2 < x n yn ≤ 3 ∀n ≥ 2 ⇒ ñpcm. 1−t 2 | x1 |< 1  Ví d 3.9: Cho dãy s (xn ) :  −x n + 3 − 3x n 2 . x n +1 = ∀n ≥ 2  2 1) C n có thêm ñi u ki n gì ñ i v i x1 ñ dãy g m toàn s dương ? 2) Dãy s này có tu n hoàn không ? T i sao ? (HSG Qu c Gia 1990). Gi i:  π π Vì | x1 |< 1 nên t n t i α ∈  − ;  : sin α = x1 . Khi ñó:  2 2 1 3 π x 2 = − sin α + cos α = sin( − α ) 2 2 3 1 π 3 π x 3 = − sin( − α ) + | cos( − α ) | . 2 3 2 3 π π • N u− ≤α < ⇒ x 3 = sin α 6 2 π π 2π • N u−
  16. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s  2π π π sin(α −  ) khi n = 2k + 1 ii ) N u − < α < − thì: x n =  3 ∀k ≥ 1 . 2 6 sin( π − α ) khi n = 2k   3 sin α > 0  π  0 < α <  π 1) Dãy g m toàn s dương ⇔   π  ⇔ 2 ⇔ 0 0 − π ≤ α < π 3     6  3 3 V y 0 < x1 < là ñi u ki n c n ph i tìm. 2 2) D a vào k t qu trên ta có: π  π 1 • N u sin α = sin  − α  ⇔ α = ⇔ x1 = . Khi ñó t (1) ta có ñư c 3  6 2 x1 = x 2 = ... = x n = ... ⇒ (x n ) là dãy tu n hoàn.  1 − ≤ x1 < 1  • N u 2 thì dãy s có d ng x1, x 2 , x1, x 2 ,.... x ≠ 1  1 2  1 • N u −1 < x1 < − thì dãy s có d ng x1, x 2 , x 3 , x 2 , x 3 .... 2 Ví d 3.10: Tính t ng Sn = 1 + 3 + 5 + .. + 2n − 1 , v i n là s t nhiên n ≥ 1 . Gi i: Ta có: S1 = 1 và Sn = Sn −1 + 2n − 1 . Mà: 2n − 1 = n 2 − (n − 1)2 ⇒ Sn − n 2 = Sn −1 − (n − 1)2 = ... = S1 − 1 = 0 V y Sn = n 2 . Ví d 3.11: Tính t ng Sn = 12 + 22 + 32 + ... + n 2 v i n là s t nhiên n ≥ 1 . Gi i: Ta có S1 = 1 và Sn = Sn −1 + n 2 (23). Ta phân tích: n 2 = k n 3 − (n − 1)3  + l n 2 − (n − 1)2  + t n − (n − 1)       - 36 -
  17. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s k − l + t = 0  1 1 1 Cho n = 0; n = 1; n = 2 , ta có h : k + l + t = 1 ⇔ k = ;l = ;t = 7k + 3l + t = 4 3 2 6  1 1 1  1 1 1  ⇒ (23) ⇔ Sn −  n 3 + n 2 + n  = Sn −1 −  (n − 1)3 + (n − 1)2 + (n − 1) 3 2 6  3 2 6  1 3 1 2 1  2n 3 + 3n 2 + n n(n + 1)(2n + 1) ⇒ S n −  n + n + n  = S1 − 1 = 0 ⇒ S n = = . 3 2 6  6 6 Ví d 3.12: Tính t ng Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) ∀n ≥ 1 . Gi i: Ta có: S1 = 6 và Sn − Sn −1 = n(n + 1)(n + 2) ∀n ≥ 2 . 1 1 Do n(n + 1)(n + 2) = (n + 1)4 − n 4  + (n + 1)3 − n 3  − 4  2  1 1 − (n + 1)2 − n 2  − (n + 1) − n  . 4  2  1 1 1 1 ð t f (n ) = (n + 1)4 + (n + 1)3 − (n + 1)2 − (n + 1) 4 2 4 2 ⇒ Sn − f (n ) = Sn −1 − f (n − 1) = ... = S1 − f (1) = 0 n(n + 1)(n + 1)(n + 3) ⇒ Sn = f (n ) = . 4 Ví d 3.13: Trong mp cho n ñư ng th ng, trong ñó không có ba ñư ng nào ñ ng quy và ñôi m t không c t nhau. H i n ñư ng th ng trên chia m t ph ng thành bao nhiêu mi n ? Gi i: G i an là s mi n do n ñư ng th ng trên t o thành. Ta có: a1 = 2 . Ta xét ñư ng th ng th n + 1 (ta g i là d ), khi ñó d c t n ñư ng th ng ñã cho t i n ñi m và b n ñư ng th ng chia thành n + 1 ph n, ñ ng th i m i ph n thu c m t mi n c a an . M t khác v i m i ño n n m trong mi n c a an s chia mi n ñó thành 2 mi n, nên s mi n có thêm là n + 1 . Do v y, ta có:an + 1 = an + n + 1 n(n + 1) T ñây ta có: an = 1 + . 2 - 37 -
  18. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s Chú ý : V i gi thi t trong ví d trên n u thay yêu c u tính s miên b ng tính s ña giác t o (n − 2)(n − 1) thành thì ta tìm ñư c: an = . 2 Ví d 3.14: Trong không gian cho n m t ph ng, trong ñó ba m t ph ng nào cũng c t nhau và không có b n m t ph ng nào cùng ñi qua qua m t ñi m. H i n m t ph ng trên chia không gian thành bao nhiêu mi n ? Gi i: G i bn là s mi n do n m t ph ng trên t o thành Xét m t ph ng th n + 1 (ta g i là (P ) ). Khi ñó (P ) chia n m t ph ng ban ñ u theo n n(n + 1) giao tuy n và n giao tuy n này s chia (P ) thành 1 + mi n, m i mi n này n m 2 n2 + n + 2 trong m t mi n c a bn và chia mi n ñó làm hai ph n.V y bn +1 = bn + . 2 (n + 1)(n 2 − n + 6) T ñó, ta có: bn = . 6 Ví d 3.15: Trong m t cu c thi ñ u th thao có m huy chương, ñư c phát trong n ngày 1 thi ñ u. Ngày th nh t, ngư i ta ph t m t huy chương và s huy chương còn l i. 7 1 Ngày th hai, ngư i ta phát hai huy chương và s huy chương còn l i. Nh ng ngày 7 còn l i ñư c ti p t c và tương t như v y. Ngày sau cùng còn l i n huy chương ñ phát . H i có t t c bao nhiêu huy chương và ñã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 1967). Gi i: G i ak là s huy chương còn l i trư c ngày th k ⇒ a1 = m , khi ñó ta có: k −1 6 6k 6 ak +1 = ak − ⇒ ak =   (m − 36) − 6k + 42 7 7 7 n −1 n −1 6 7 ⇒ an = n =   (m − 36) − 6n + 42 ⇒ m − 36 = 7(n − 6)   7 6 ( ) Vì 6, 7 = 1 và 6n −1 > n − 6 nên ta có n − 6 = 0 ⇔ n = 6 ⇒ m = 36 . V y có 36 huy chương ñư c phát và phát trong 6 ngày. - 38 -
  19. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s Ví d 3.16: Có bao nhiêu xâu nh phân ñ dài n trong ñó không có hai bit 1 ñ ng c nh nhau? Gi i: G i cn là s xâu nh phân ñ dài n th a mãn ñi u ki n ñ u bài. Ta có c1 = 2 ; c2 = 3 . Xét xâu nh phân ñ dài n th a mãn ñi u ki n ñ u bài có d ng anan −1an − 2 ......a2a1 . Có hai trư ng h p • an = 1 . Khi ñó an −1 = 0 và an − 2 ......a2a1 có th ch n là m t xâu b t kỳ ñ dài n − 2 th a ñi u ki n. Có cn − 2 xâu như v y, suy ra trư ng h p này có cn − 2 xâu. • an = 0 . Khi ñó an −1......a2a1 có th ch n là m t xâu b t kỳ ñ dài n − 1 th a ñi u ki n. Có cn −1 xâu như v y, suy ra trư ng h p này có cn −1 xâu. V y t ng c ng xây d ng ñư c cn −1 + cn − 2 xâu, hay cn = cn −1 + cn − 2 . n −1 n −1 5 − 2 1 − 5  2 − 5 1 + 5  ⇒ cn =   +   . 5   2  5   2    Ví d 3.17: Cho s nguyên dương n . Tìm t t c các t p con A c a t p { } X = 1,2, 3,...,2n sao cho không t n t i hai ph n t x , y ∈ A th a mãn: x + y = 2n + 1 (Th y S 2006). Gi i: ð gi i bài toán này ta s ñi ñ m s t p con A c a X th a mãn luôn tôn t i hai ph n t x , y ∈ A sao cho x + y = 2n + 1 (ta g i t p A có tính ch t T ). { } G i an là s t p con A c a t p 1,2,...,2n có tính ch t T { } Khi ñó các t p con A ⊂ 1,2,...,2n,2n + 1,2n + 2 x y ra hai trư ng h p. TH1: Trong t p A ch a hai ph n t 1 và 2n + 2 , trong trư ng h p này s t p A có tính { } ch t T chình b ng s t p con c a t p g m 2n ph n t 2, 3, 4,...,2n,2n + 1 và s t p con c a t p này b ng 22n . TH2: Trong t p A không ch a ñ y ñ hai ph n t 1 và 2n + 2 . Khi ñó A ph i ch a { } m t t p A ' là t p con c a t p 2, 3, 4,...,2n,2n + 1 sao cho có hai ph n t x ', y ' ∈ A ' : x ' + y ' = 2n + 3 . Ta th y s t p con A ' như trên chính b ng s t p con c a t p { } {1,2,...,2n } có tính ch t T (Vì ta tr các ph n t c a 2, 3, 4,...,2n,2n + 1 ñi m t ñơn v ta ñư c t p {1,2,...,2n} và x ', y ' ∈ A ' : x ' + y ' = 2n + 1 ) - 39 -
  20. M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s Hơn n a v i m i t p A ' ta có ñư c ba t p A (b ng cách ta ch n A là A ' ho c {1} ∪ A ' ho c {2n + 2} ∪ A ' ) Do v y: an +1 = 3an + 22n ⇒ an = 4n − 3n V y s t p con th a mãn yêu c u bài toán là: 4n − an = 3n . - 40 -

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản