Đại số tuyến tính

Chia sẻ: Xuan Khuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

3
3.756
lượt xem
392
download

Đại số tuyến tính

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, Đại số tuyến tính là môn cơ bản, là môn thi bắt buộc đối với mọi thí sinh thi vào sau đại học ngành toán - cụ thể là các chuyên ngành: PPGD, Đại số, Giải tích, Hình học.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đại số tuyến tính

  1. Đ IS TUY N TÍNH PGS. TS M Vinh Quang Ngày 11 tháng 10 năm 2004 M Đu Trong các kỳ thi tuy n sinh sau đ i h c, Đ i s tuy n tính là môn cơ b n, là môn thi b t bu c đ i v i m i thí sinh thi vào sau đ i h c ngành toán - c th là các chuyên ngành : PPGD, Đ i s , Gi i tích, Hình h c. Các bài vi t này nh m cung c p cho các b n đ c m t cách có h th ng và ch n l c các ki n th c và k năng cơ b n nh t c a môn h c Đ i s tuy n tính v i m c đích giúp nh ng ngư i d thi các kỳ tuy n sinh sau đ i h c ngành toán có đư c s chu n b ch đ ng, tích c c nh t. Vì là các bài ôn t p v i s ti t h n ch nên các ki n th c trình bày s đư c ch n l c và bám sát theo đ cương ôn t p vào sau đ i h c. Tuy nhiên, đ d dàng hơn cho b n đ c th t các v n đ có th thay đ i. Cũng chính b i các lý do trên các bài vi t này không th thay th m t giáo trình Đ i s tuy n tính hoàn ch nh. B n đ c quan tâm có th tham kh o thêm m t s sách vi t v Đ i s tuy n tính, ch ng h n : 1. Nguy n Vi t Đông - Lê Th Thiên Hương ... Toán cao c p T p 2 - Nxb Giáo d c 1998 2. Jean - Marie Monier. Đ i s 1 - Nxb Giáo d c 2000 3. Ngô Thúc Lanh Đ i s tuy n tính - Nxb Đ i h c và Trung h c chuyên nghi p 1970 4. Bùi Tư ng Trí. Đ i s tuy n tính. 5. M Vinh Quang Bài t p đ i s tuy n tính. Bài 1: Đ NH TH C Đ hi u đư c ph n này, ngư i đ c c nph i n m đư c khái ni m v ma tr n và các phép toán trên ma tr n (phép c ng, tr , nhân hai ma tr n). Các khái ni m trên khá đơn gi n, ngư i đ c có th d dàng tìm đ c trong các sách đã d n trên. 1
  2. 1 Đ nh nghĩa đ nh th c 1.1 Đ nh th c c p 2, 3 • Cho A là ma tr n vuông c p 2 : a11 a12 A= a21 a22 đ nh th c (c p 2) c a A là m t s , ký hi u det A (ho c |A|) xác đ nh như sau : a11 a12 = a11 a22 − a12 a21 det A = (1) a21 a22 • Cho A là ma tr n vuông c p 3 :   a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 đ nh th c (c p 3) c a A là m t s ký hi u det A (ho c |A|), xác đ nh như sau : det A = a11 a12 a13 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 (2) a21 a22 a23 a31 a32 a33 Công th c khai tri n ( 2 ) thư ng đu c nh theo quy t c Sarrus như sau : Ví d : −1 2 3 1 −2 1 = [(−1)(−2).4 + 2.1.(−1) + 1.0.3] − [3.(−2).(−1) + 1.0.(−1) + 2.1.4] = −8 −1 0 4 N u ta ký hi u Sn là t p h p các phép th b c n thì các công th c ( 1 ) và ( 2 ) có th vi t l i như sau : det A = s(f )a1f (1) a2f (2) và det A = s(f )a1f (1) a2f (2) a3f (3) f ∈S2 f ∈ S3 T đó g i ý cho ta cách đ nh nghĩa đ nh th c c p n như sau. 2
  3. 1.2 Đ nh th c c p n Cho A là ma tr n vuông c p n :   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n   A=   . . . ... . . .  . . .   an1 an2 · · · ann đ nh th c ( c p n) c a ma tr n A là m t s , ký hi u det A (ho c |A|), xác đ nh như sau : a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n det A = = s(f )a1f (1) a2f (2) ...anf (n) (3) . . . .. . . . . . . . f ∈ Sn an1 an2 · · · ann Ch c ch n là đ i v i m t s b n đ c, (nh t là b n đ c không th o v phép th ) đ nh nghĩa đ nh th c tương đ i khó hình dung. Tuy nhiên, r t may là khi làm vi c v i đ nh th c, (k c khi tính đ nh th c) đ nh nghĩa trên hi m khi đư c s d ng mà ta ch y u s d ng các tính ch t c a đ nh th c. B i v y, b n đ c n u chưa có đ th i gian có th t m b qua đ nh nghĩa trên và c n ph i n m v ng các tính ch t sau c a đ nh th c. 2 Các tính ch t c a đ nh th c 2.1 Tính ch t 1 Đ nh th c không thay đ i qua phép chuy n v , t c là : det At = detA (At : ma tr n chuy n v c a ma tr n A) Ví d : 123 147 456 258 = 789 369 Chú ý : T tính ch t này, m t m nh đ v đ nh th c n u đúng v i dòng thì cũng đúng v i c t và ngư c l i. 2.2 Tính ch t 2 N u ta đ i ch hai dòng b t kỳ (ho c 2 c t b t kỳ) c a đ nh th c thì đ nh th c đ i d u. Ví d : 123 789 =− 4 5 6 456 789 123 3
  4. 2.3 Tính ch t 3 N u t t c các ph n t c a m t dòng (ho c m t c t) c a đ nh th c đu c nhân v i λ thì đ nh th c m i b ng đ nh th c ban đ u nhân v i λ. Ví d : 123 123 426 =2 2 1 3 649 649 Chú ý : T tính ch t này ta có n u A là ma tr n vuông c p n thì det (λA) = λn det A 2.4 Tính ch t 4 Cho A là ma tr n vuông c p n. Gi s dòng th i c a ma tr n A có th bi u di n du i d ng : aij = aij + aij v i j = 1, 2, ..., n. Khi đó ta có : ... ... ... ... ai1 + ai1 ai2 + ai2 ... ain + ain det A = = ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ai1 ai2 ... ain ai1 ai2 ... ain = + ... ... ... ... ... ... ... ... Trong đó các dòng còn l i c a 3 đ nh th c 2 v là hoàn toàn như nhau và chính là các dòng còn l i c a ma tr n A. T t nhiên ta cũng có k t qu tương t đ i v i c t. Ví d : 123 1 23 1 23 5 4 + −2 0 2 456=6 789 7 89 7 89 Chú ý : Các tính ch t 2, 3, 4 chính là tính đa tuy n tính thay phiên c a đ nh th c. T các tính ch t trên, d dàng suy ra các tính ch t sau c a đ nh th c : 2.5 Tính ch t 5 Đ nh th c s b ng 0 n u : 1. Có hai dòng (hai c t) b ng nhau ho c t l . 2. Có m t dòng (m t c t) là t h p tuy n tính c a các dòng khác (c t khác). 2.6 Tính ch t 6 Đ nh th c s không thay đ i n u : 1. Nhân m t dòng (m t c t) v i m t s b t kỳ r i c ng vào dòng khác (c t khác). 2. C ng vào m t dòng (m t c t) m t t h p tuy n tính c a các dòng khác (c t khác) 4
  5. Ví d : 1 −1 0 1 −1 1 1 0 0 −1 2 1 32 5 2 = −1 0 12 0 1 0 2 −3 4 −1 1 24 0 4 (Lý do: nhân dòngm tv i (−2) c ng vào dòng 2, nhân dòng m t v i 1 c ng vào dòng 3, nhân dòngm tv i 3 c ng vào dòng 4). Đ tính đ nh th c, ngoài vi c s d ng các tính ch t trên c a đ nh th c ta còn r t hay s d ng đ nh lý Laplace dư i đây. 3 Đ nh lý Laplace 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Cho A là ma tr n vuông c p n, k là s t nhiên 1 ≤ k ≤ n. Các ph n t n m trên giao c a k dòng b t kỳ, k c t b t kỳ c a A làm thành m t ma tr n vuông c p k c a A. Đ nh th c c a ma tr n này g i là m t đ nh th c con c p k c a ma tr n A. Đ c bi t, cho trư c 1 ≤ i, j ≤ n, n u ta xóa đi dòng i, c t j c a A ta s đư c ma tr n con c p n − 1 c a A, ký hi u là Mij . Khi đó, Aij = (−1)i+j det Mij đư c g i là ph n bù đ i s c a ph n t (A)ij . ((A)ij là ph n t n m hàng i, c t j c a ma tr n A) 3.2 Đ nh lý Laplace Cho A là ma tr n vuông c p n :   a11 a12 ... a1j ... a1n a21 a22 ... a2j ... a2n   . . . . . .  . . . . . . . . . . . .  A=  ai1 ai2 ... aij ... ain    . . . . . . . . . . . .  . . . . . .  an1 an2 ... anj ... ann Khi đó ta có : 1. Khai tri n đ nh th c theo dòng i n det A = ai1 .Ai1 + ai2 .Ai2 + ... + ain .Ain = aik .Aik k=1 2. Khai tri n đ nh th c theo c t j n det A = a1j .A1j + a2j .A2j + ... + anj .Anj = akj .Akj k=1 T đ nh lý Laplace, ta có th ch ng minh đư c 2 tính ch t quan tr ng sau c a đ nh th c : 5
  6. 3.3 Tính ch t 1 N u A là ma tr n tam giác trên, (ho c tam giác dư i) thì det A b ng tích c a t t c các ph n t trên đư ng chéo chính, t c là : a11 0 0 ... 0 a21 a22 0 ... 0 = a11 .a22 ...ann . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 an3 ... ann 3.4 Tính ch t 2 N u A, B là các ma tr n vuông c p n thì det(AB ) = det A det B 4 Các ví d và áp d ng Nh có đ nh lý Laplace, đ tính m t đ nh th c c p cao (c p > 3) ta có th khai tri n đ nh th c theo m t dòng ho c m t c t b t kỳ đ đưa v tính các đ nh th c c p bé hơn. C như v y sau m t s l n s đưa đư c v vi c tính các đ nh th c c p 2, 3. Tuy nhiên, trong th c t n u làm như v y thì s lư ng phép tính khá l n. B i v y ta làm như sau thì s lư ng phép tính s gi m đi nhi u : 1. Ch n dòng (c t) có nhi u s 0 nh t đ khai tri n đ nh th c theo dòng (c t) đó. 2. S d ng tính ch t 2.6 đ bi n đ i đ nh th c sao cho dòng đã ch n (c t đã ch n) tr thành dòng (c t) ch có m t s khác 0. 3. Khai tri n đ nh th c theo dòng (c t) đó. Khi đó vi c tính m t đ nh th c c p n quy v vi c tính m t đ nh th c c p n − 1. Ti p t c l p l i quá trình trên cho đ nh th c c p n − 1, cu i cùng ta s d n v vi c tính đ nh th c c p 2, 3. Ví d 1 Tính 1 −1 1 0 2 2 −1 0 1 1 1 2 1 0 1 −1 0 1 0 2 −1 1 1 1 1 Ta ch n c t 2 đ khai tri n nhưng trư c khi khai tri n, ta bi n đ i đ nh th c như sau : nhân dòng 2 v i (-2) c ng vào dòng 3. Nhân dòng 2 v i (-1) c ng vào dòng 5. Đ nh th c đã cho s b ng (Tính ch t 2.6 ) 1 −1 1 0 2 1 −1 1 2 2 −1 0 1 1 1 −1 −4 Khai tri n theo c t 2 3 0 −1 −4 1 3 = −1 1 0 2 −1 0 1 0 2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 0 2 6
  7. Đ tính đ nh th c c p 4, ta l i ch n dòng 4 đ khai tri n, trư c khi khai tri n ta l i bi n đ i đ nh th c như sau : nhân c t 1 v i (-1) r i c ng vào c t 3, nhân c t 1 v i 2 r i c ng vào c t 4. Đ nh th c đã cho s b ng : 1 −2 1 4 1 −2 4 (Khai tri n theo dòng 4) 1 −1 −5 5 (−1).(−1)5 −1 −5 5 = =1 −1 1 1 0 1 10 −1 0 0 0 Ví d 2 Gi i phương trình x x−1 x+2 1 0 x2 − 1 0 0 =0 x−2 x 1 x 0 x5 + 1 x100 0 Gi i : 1 x x+2 (Khai tri n theo dòng 2 ) 52 (−1) (x − 1) x 1 x − 2 VT = 0 0 x100 (Khai tri n theo dòng 3) 1x (1 − x2 ).x100 = (1 − x2 )2 .x100 = x1 V y phương trình đã cho tương đương v i (1 − x2 )2 .x100 = 0 ⇐⇒ x = 0, x = ±1 Bài T p 1. Tính αβγ trong đó α, β, γ, là các nghi m c a phương trình :x3 + px + q = 0 βγα γαβ 2. Gi i phương trình : x x 2 x3 1 1 248 =0 1 3 9 27 1 4 16 64 3. Ch ng minh : a1 + b 1 b 1 + c 1 c 1 + a1 a2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a2 =0 a3 + b 3 b 3 + c 3 c 3 + a3 4. Ch ng minh : a2 (a + 1)2 (a + 2)2 (a + 3)2 b2 (b + 1)2 (b + 2)2 (b + 3)2 =0 c2 (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2 d2 (d + 1)2 (d + 2)2 (d + 3)2 7
Đồng bộ tài khoản