ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - BÀI TẬP CHƯƠNG IV - KHÔNG GIAN VECTƠ

Chia sẻ: vu5880636

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên và học sinh cao đẳng đại học - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - BÀI TẬP CHƯƠNG IV - KHÔNG GIAN VECTƠ.

Nội dung Text: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - BÀI TẬP CHƯƠNG IV - KHÔNG GIAN VECTƠ

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


BÀI TẬP CHƯƠNG IV.

KHÔNG GIAN VECTƠ

1. Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau:
a. x1 = (1, −1, 2), x2 = (0, 2,3), x3 = (−1,1,1)
b. x1 = (1, −1,0,1), x2 = (0, 2,1, −1), x3 = (2,0,1,1)
c. x1 = (1,1,1,1), x2 = (1,0,1,1), x3 = (1,1,0,1), x4 = (0,1,1,1)
⎡ 1 −5⎤ ⎡ 1 1⎤ ⎡ 2 −4 ⎤ ⎡ 1 −7 ⎤
d. A1 = ⎢ , A2 = ⎢ , A3 = ⎢ , A4 = ⎢
⎣ −4 2 ⎥
⎦ ⎣ −1 5⎥
⎦ ⎣ −5 7 ⎥
⎦ ⎣ −5 1 ⎥

e. p1 = x 2 − 2 x + 3, p2 = x 2 + 1, p2 = 2 x3 + x 2 − 4 x + 10 trong 3[x] .
f.p1 = x3 + 1, p2 = x 2 + 1, p3 = −2 x 2 + x, p4 = −2 x − 4 trong 3[x] .
2. Cho hệ vectơ x1, x2 ,… , xn độc lập tuyến tính của một không gian vectơ V.
Chứng minh hệ vectơ y1 = x1, y2 = x1 + x2 ,… , yn = x1 + x2 + … + xn cũng độc
lập tuyến tính.
3. Chứng minh rằng nếu trong hệ vectơ x1, x2 ,… , xn không có vectơ nào biểu thị
tuyến tính qua các vectơ còn lại thì x1, x2 ,… , xn độc lập tuyến tính .
4. Tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của các hệ sau:
a. x1 = (47, 26,16), x2 = (−67,98, −428), x3 = (35, 23,1), x4 = (201, −294,1284),
x5 = (155,86,52) .
b. x1 = (24, 49,73, 47), x2 = (19, 40,59,36), x3 = (36,73,98,71),
x4 = (72,147, 219,141), x5 = (−38, −80, −118, −72) .
c. x1 = (17, 24, 25,31, 42), x2 = (−28, −37, −7,12,13), x3 = (45,61,32,19, 29),
x4 = (11,13, −18, −43, −55), x5 = (39,50, −11, −55, −68) .
5. Cho hệ vectơ x1, x2 ,… , xn biểu thị tuyến tính được qua hệ y1, y2 ,… , ym . Chứng
minh:
a. rank{x1, x2 ,… , xn } ≤ rank{y1, y2 ,… , ym } .
b. Nếu 2 hệ này có cùng hạng thì chúng tương đương.
6. Chứng minh:
rank{x1, x2 ,… , xn }=rank{u , x1, x2 ,… , xn } ⇔ u biểu thị tuyến tính được qua
x1, x2 ,… , xn .
3
7. Trong , cho hệ vectơ u1 = (1, 2,1), u2 = (−1,0,1), u3 = (0,1, 2) .
a. Chứng minh u1, u2 , u3 là một cơ sở của 3 .
b. Tìm tọa độ của u = ( a, b, c) trong cơ sở u1, u2 , u3 .
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


3
8. Trong , cho 2 hệ vectơ u1 = (1,1,1), u2 = (1,1, 2), u3 = (0,1, 2) và
v1 = (2,1, −3), v2 = (3, 2, −5), v3 = (1, −1,1) .
a. Chứng minh 2 hệ trên là 2 cơ sở của 3 .
b. Viết ma trân chuyển từ cơ sở (u) sang cơ sở (v) và ngược lại.
c. Tìm tọa độ của vectơ x = −2u1 + 3u2 − u3 trong cơ sở (v).
9. Chứng minh tập hợp:
a. { }
A = ( x, y, z ) ∈ 3 / x − y + 2 z = 0 là không gian con của 3
.

b. B = {( x, y, z , t ) ∈ 4
/ 2x − y + z = x − t = 0 } là không gian con của
4
.
⎧ ⎡ a −b ⎤ ⎫
c. C = ⎨ ⎢ ⎥ / a, b∈ ⎬ là không gian con của M 2 ( ) .
⎩⎣b a⎦ ⎭
10. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con sinh bởi:
a. a1 = (1,0,0, −1), a2 = (2,1,1,0), a3 = (1,1,1,1), a4 = (1, 2,3, 4),
a5 = (0,1, 2,3) .
Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ u = ( x, y, z , t ) thuộc về không gian
con này.
b. a1 = (1, −1,1,0), a2 = (1,1,0,1), a3 = (2,0,1,1) .
Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ u = ( x, y, z , t ) thuộc về không gian
con này.
c. a1 = (1, −1,1, −1,1), a2 = (1,1,0,0,3), a3 = (3,1,1, −1,7), a4 = (0, 2, −1,1, 2)
Tìm điều kiện đối với x,y,z,t,u để vectơ a = ( x, y, z , t , u ) thuộc về không
gian con này.
11. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con ở bài 9.
12. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con U + V , U ∩ V với:
a. U = (1, 2,1), (1,1, −1), (1,3,3) và V = (2,3, −1), (1, 2, 2), (1,1, −3) .
b. U = (1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1)
và V = (1,0,1,0), (0, 2,1,1), (1, 2,1, 2)
c. U = {( x, y , z , t ) / x − 2 z + t = 0} và
V = {( x, y, z , t ) / x = t ∧ y − 2 z = 0}
13. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian các nghiệm của hệ thuần nhất:
⎧ x1 + 2 x2 − 3 x4 − x5 = 0

⎪ x1 − x2 + 2 x3 − x4 =0
a. ⎨
⎪4 x1 − 2 x2 + 6 x3 + 3 x4 − 4 x5 = 0
⎪2 x1 + 4 x2 − 2 x3 + 4 x4 − 7 x5 = 0

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


⎧ x1 − x3 =0

⎪ x2 − x4 =0
⎪ x1 − x2 + x5 = 0

b. ⎨
⎪− x2 + x4 − x6 = 0
⎪− x3 + x5 =0

⎪ x4 − x6
⎩ =0
⎧ x1 − x3 + x5 = 0

⎪ x2 − x4 + x5 = 0

c. ⎨ x1 − x2 + x5 − x6 = 0
⎪x − x − x = 0
⎪ 2 3 6
⎪ x1 − x4 + x5 = 0

14. Hãy tìm hệ pt thuần nhất có không gian nghiệm là:
a. U = (1,1,0), (1,0, −2)
b. U = (2, −1,0,1), (1,0, −1, 2), (1, −1,1, −1), (3, −1, −1,3)
3
15. Trong cho 3 cơ sở α , β , γ . Biết
⎡ 2 1 1⎤ ⎡1 0 1 ⎤
Tαβ = ⎢ −1 −1 0 ⎥ , Tγβ = ⎢1 1 −1⎥
⎢ 1 −1 1 ⎥ ⎢1 1 0 ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
và γ 1 = (1,1,1), γ 2 = (1,0,1), γ 3 = (0,1,1) .
Hãy tìm cơ sở α .
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản