Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận

Chia sẻ: | Ngày: | Loại File: ppt | 52 trang

1
1.103
lượt xem
354
download

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên đại học về môn toán cao cấp - Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận.Ma trân đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác bằng không. · Tính chất của...

Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận
Nội dung Text

  1. Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh Bộ môn Toán ứng dụng -------------------------------------------------------------------------------------            C höông   M a raän 1:  t • Gi aûng  eân:  .Ñ aëng  vi  Ts   Vaên  nh 9/ Vi ( 2010)  w w w .anbachkhoa. vn t edu.
  2. N O Ä ID U N G   ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ I. Ñònh nghóa m traän vaø ví duï a II. Caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp III. Caùc pheùp toaùn ñoái vôùi m traän a IV. Haïng cuûa m traän a V. Ma traän nghòch ñaûo Sách tham khảo: 1/ David C. Lay. Linear algebra and its applications. 2/ Howard A. Elementary linear algebra, ninth edition
  3. Giả sử một công ty kinh doanh 3 mặt hàng: áo, quần, kính. Công ty này có hai cửa hàng A và B. Giả sử số lượng hàng bán được trong 1 tháng là: Cơ sở A: 100 áo, 120 quần, 300 kính. Cơ sở B: 125 áo, 100 quần, 250 kính. áo quần kính Sắp xếp dữ liệu ở dạng A 100 120 300 bảng: B 125 100 250 Viết gọn hơn:
  4. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Định nghĩa ma trận Ma trận cở mxn là bảng số (thực hoặc phức) hình chử nhật có m hàng và n cột . Cột j Ma trận A cở mxn  a11 ... a1 j ... a1n        A =  ai1 ... aij ... ain  Hàng i        am1 ... amj  ... amn  
  5. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Ví dụ 1.  3 4 1 A=   2 0 5  2×3 Đây là ma trận thực cở 2x3. Ma trận A có 2 hàng và 3 cột. Phần tử của a11 = 3; a12 = 4; a13 = 1; a21 = 2; a22 = 0; a23 = 5 A: Ví dụ 2 1 + i 2 A=   3 − i i  2×2
  6. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. --------------------------------------------------------- Ma trận A có m hàng và n cột thường được ký hiệu bởi A = ( aij ) m×n Tập hợp tất cả các ma trận cở mxn trên trường K được ký hiệu là Mmxn[K] Định nghĩa ma trận không Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận không, ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j).  0 0 0 A=   0 0 0
  7. I  aùc  .C khaùini   baûn  víduï   eäm cô  vaø    ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Phần tử khác không đầu tiên của một hàng kể từ bên trái được gọi là phần tử cơ sở của hàng đó. Định nghĩa ma trận dạng bậc thang 1. Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng 2. Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.
  8. .Các khái niệm cơ bản và ví dụ. I  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Ví dụ 2 1 0 3 − 2   A= 0 0 7 2 6  Không là ma trận 0 4 1 −2 5  bậc thang   0 0 0 0 0  4×5  2 1 1 − 2   Không là ma trận B = 0 0 0 3  bậc thang 0 0 0 5   
  9. .Các khái niệm và ví dụ cơ bản. I  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Ví dụ 1 3 0 2 − 2   Là ma trận dạng bậc A= 0 0 7 1 4  thang 0 0 0 −2 5    0 0 0 0 0  4×5  1 2 0 − 2   Là ma trận dạng B = 0 0 1 3  bậc thang 0 0 0 7   
  10. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ ---------------------------------------------------------- Định nghĩa ma trận chuyển vị Chuyển vị của A = ( aij ) m×n là ma trận AT = ( aij ) n×m cở nXm thu được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột. Ví dụ  2 4  2 −1 3 T   A=  A =  −1 0   4 0 9  2×3  3 9  3×2
  11. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. ---------------------------------------------------------- Định nghĩa ma trận vuông Nếu số hàng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A được gọi là ma trận vuông cấp n.  2 − 1 A=   3 2  2×2 Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường số K được ký hiệu M ni[K] bở
  12. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. ---------------------------------------------------------- Các phần tử a11, a22,…,ann tạo nên đường chéo chính của ma trận vuông A.  2 3 1 −1  3 4 0 5    −2 1 3 7  2 −1 6 8  
  13. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. ---------------------------------------------------------- Định nghĩa ma trận tam giác trên Ma trận vuông A = ( aij ) n×n được gọi là ma trận tam giác trên nếu= 0, ∀i > j aij  2 −1 3    A = 0 3 6   0 0 − 2   Định nghĩa ma trận tam giác dưới Ma trận vuông A = ( aij ) được gọi là ma trận tam giác dưới n×n nếu aij = 0, ∀i < j 2 0 0  A = 4 1 0     5 7 −2   
  14. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. --------------------------------------------------------------- Định nghĩa ma trận chéo Ma trận vuông A được gọi là ma trận chéo nếu các phần tử nằm ngoài đường chéo đều bằng không, có nghĩa là (aij = 0, i ≠ j). 2 0 0    D = 0 3 0   0 0 − 2   Định nghĩa ma trận đơn vị Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị, tức là (aij = 0, i ≠ j; và aii = 1 với mọi i). 1 0 0   I =  0 1 0 0 0 1  
  15. II. Các phép biến đổi sơ cấp. ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng 1. Nhân một hàng tùy ý với một số khác không hi → α hi ;α ≠ 0 2. Cộng vào một hàng một hàng khác đã được nhân với một số tùy ý hi → hi + β h j ; ∀β 3. Đổi chổ hai hàng tùy ý hi ↔ h j Tương tự có ba phép biến đổi sơ cấp đối với cột. Chú ý: các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi cơ bản, thường dùng nhất!!!
  16. II. Các phép biến đổi sơ cấp. ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Định lý 1 Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. Chú ý Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau
  17. II. Các phép biến đổi sơ cấp. ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Ví dụ Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận sau đây về ma trận dạng bậc thang.  1 1 −1 2 1   2 3 −1 4 5     3 2 −3 7 4   −1 1 2 −3 1    Bước 1. Bắt đầu từ cột khác không đầu tiên từ bên trái. Chọn phần tử khác không tùy ý làm phần tử cơ sở. 1 1 −1 2 1 2 3 −1 4 5   3 2 −3 7 4  −1 1 2 −3 1  
  18. II. Các phép biến đổi sơ cấp. ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Bước 2. Dùng bđsc đối với hàng, khử tất cả các phần tử còn lại của cột.  1 1 −1 2 1  1 1 −1 2 1   2 3 −1 4 5   h2 →h2 − 2 h1 →  →  A=   h3 →h3 −3h1  0 1 1 0 3   3 2 −3 7 4  h4 →h4 + h1  0 −1 0 1 1   −1 1 2 −3 1   0 2 1 −1 2      Bước . Che tất cả các hàng từ hàng chứa phần tử cơ sở và những hàng trên nó. Áp dụng bước 1 và 2 cho ma trận còn lại 1 1 −1 2 1   1 1 −1 2 1    0 1 1 0 3  h4 →h4 + h3  0 1 1 0 3  h3 →h3 + h2   → →   h4 →h4 − 2 h2 0 0 1 1 4  0 0 1 1 4  0 0 −1 −1 −4  0 0 0 0 0    
  19. Vídụ    nh  ngđệ   ,    I r ngmạngl i   :Xácđị dò  in I  I,và  to    ướ   đệ dướiđ : in   ây  
  20. • Áp dụng định luật Kirchhoff cho nút A, ta có: I1 = I2 + I3 ́ nut B: I2 + I3 = I1 • Áp dụng định luật Kirchhoff cho vòng 1 và vong 2: ̀ 7I1 +3I3 -30 = 0 11I2 -3I3 -50 = 0  1 −1 −1 0   7 0 3 30  Ta có hê: ̣    0 11 −3 50   

Có Thể Bạn Muốn Download

Đồng bộ tài khoản