Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận

Chia sẻ: chienthang_bkhn_hut

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên đại học về môn toán cao cấp - Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận.Ma trân đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác bằng không. · Tính chất của...

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------




     
     C höông   M a raän
1:  t



• Gi
aûng  eân:  .Ñ aëng 
vi  Ts   Vaên  nh 9/
Vi ( 2010) 
w w w .anbachkhoa. vn
t edu.
N O Ä ID U N G
 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

I. Ñònh nghóa m traän vaø ví duï
a

II. Caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp

III. Caùc pheùp toaùn ñoái vôùi m traän
a

IV. Haïng cuûa m traän
a

V. Ma traän nghòch ñaûo

Sách tham khảo:
1/ David C. Lay. Linear algebra and its applications.


2/ Howard A. Elementary linear algebra, ninth edition
Giả sử một công ty kinh doanh 3 mặt hàng: áo, quần, kính.

Công ty này có hai cửa hàng A và B.

Giả sử số lượng hàng bán được trong 1 tháng là:

Cơ sở A: 100 áo, 120 quần, 300 kính.

Cơ sở B: 125 áo, 100 quần, 250 kính.

áo quần kính
Sắp xếp dữ liệu
ở dạng
A 100 120 300
bảng: B 125 100 250


Viết gọn hơn:
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Định nghĩa ma trận
Ma trận cở mxn là bảng số (thực hoặc phức) hình chử nhật có m
hàng và n cột .

Cột j
Ma trận A cở mxn
 a11 ... a1 j ... a1n 
   
 
A =  ai1 ... aij ... ain  Hàng i
    
 
am1 ... amj
 ... amn 

I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Ví dụ 1.

 3 4 1
A= 
 2 0 5  2×3
Đây là ma trận thực cở 2x3.
Ma trận A có 2 hàng và 3 cột.
Phần tử của a11 = 3; a12 = 4; a13 = 1; a21 = 2; a22 = 0; a23 = 5
A:
Ví dụ 2
1 + i 2
A= 
 3 − i i  2×2
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.
---------------------------------------------------------
Ma trận A có m hàng và n cột thường được ký hiệu bởi
A = ( aij )
m×n


Tập hợp tất cả các ma trận cở mxn trên trường K được ký
hiệu là Mmxn[K]


Định nghĩa ma trận không
Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận
không, ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j).

 0 0 0
A= 
 0 0 0
I  aùc 
.C khaùini   baûn  víduï
  eäm cô  vaø   
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­




Phần tử khác không đầu tiên của một hàng kể từ bên trái
được gọi là phần tử cơ sở của hàng đó.



Định nghĩa ma trận dạng bậc thang
1. Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới
cùng
2. Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải (không
cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.
.Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Ví dụ
2 1 0 3 − 2
 
A= 0 0 7 2 6 
Không là ma trận
0 4 1 −2 5  bậc thang
 
0 0 0 0 0  4×5

 2 1 1 − 2
  Không là ma trận
B = 0 0 0 3  bậc thang
0 0 0 5 
 
.Các khái niệm và ví dụ cơ bản.

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Ví dụ
1 3 0 2 − 2
  Là ma trận dạng bậc
A= 0 0 7 1 4  thang
0 0 0 −2 5 
 
0 0 0 0 0  4×5

 1 2 0 − 2
  Là ma trận dạng
B = 0 0 1 3  bậc thang
0 0 0 7 
 
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ
----------------------------------------------------------

Định nghĩa ma trận chuyển vị
Chuyển vị của A = ( aij ) m×n là ma trận AT = ( aij ) n×m cở nXm
thu được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột.



Ví dụ

 2 4
 2 −1 3 T  
A=  A =  −1 0 
 4 0 9  2×3  3 9
 3×2
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.
----------------------------------------------------------

Định nghĩa ma trận vuông
Nếu số hàng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A
được gọi là ma trận vuông cấp n.
 2 − 1
A= 
 3 2  2×2



Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường số K được ký
hiệu M ni[K]
bở
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.
----------------------------------------------------------


Các phần tử a11, a22,…,ann tạo nên đường chéo chính của ma
trận vuông A.



 2 3 1 −1
 3 4 0 5
 
 −2 1 3 7
 2 −1 6 8
 
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.
----------------------------------------------------------
Định nghĩa ma trận tam giác trên
Ma trận vuông A = ( aij ) n×n được gọi là ma trận tam giác trên
nếu= 0, ∀i > j
aij
 2 −1 3 
 
A = 0 3 6 
 0 0 − 2
 

Định nghĩa ma trận tam giác dưới
Ma trận vuông A = ( aij ) được gọi là ma trận tam giác dưới
n×n
nếu aij = 0, ∀i < j
2 0 0 
A = 4 1 0 
 
 5 7 −2 
 
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.
---------------------------------------------------------------
Định nghĩa ma trận chéo
Ma trận vuông A được gọi là ma trận chéo nếu các phần tử nằm
ngoài đường chéo đều bằng không, có nghĩa là (aij = 0, i ≠ j).

2 0 0 
 
D = 0 3 0 
 0 0 − 2
 

Định nghĩa ma trận đơn vị
Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi
là ma trận đơn vị, tức là (aij = 0, i ≠ j; và aii = 1 với mọi i).
1 0 0
 
I =  0 1 0
0 0 1
 
II. Các phép biến đổi sơ cấp.
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­


Các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng

1. Nhân một hàng tùy ý với một số khác không hi → α hi ;α ≠ 0

2. Cộng vào một hàng một hàng khác đã được nhân với một số
tùy ý hi → hi + β h j ; ∀β

3. Đổi chổ hai hàng tùy ý hi ↔ h j



Tương tự có ba phép biến đổi sơ cấp đối với cột.

Chú ý: các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi cơ bản,
thường dùng nhất!!!
II. Các phép biến đổi sơ cấp.
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­




Định lý 1
Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận dạng bậc thang bằng
các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.




Chú ý
Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được
nhiều ma trận bậc thang khác nhau
II. Các phép biến đổi sơ cấp.
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
Ví dụ
Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận sau
đây về ma trận dạng bậc thang.
 1 1 −1 2 1 
 2 3 −1 4 5 
 
 3 2 −3 7 4 
 −1 1 2 −3 1 
 

Bước 1. Bắt đầu từ cột khác không đầu tiên từ bên trái. Chọn
phần tử khác không tùy ý làm phần tử cơ sở.
1 1 −1 2 1
2 3 −1 4 5
 
3 2 −3 7 4
 −1 1 2 −3 1
 
II. Các phép biến đổi sơ cấp.
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Bước 2. Dùng bđsc đối với hàng, khử tất cả các phần tử còn lại của
cột.
 1 1 −1 2 1  1 1 −1 2 1 
 2 3 −1 4 5   h2 →h2 − 2 h1
→  → 
A=   h3 →h3 −3h1  0 1 1 0 3 
 3 2 −3 7 4  h4 →h4 + h1
 0 −1 0 1 1 
 −1 1 2 −3 1   0 2 1 −1 2 
   
Bước . Che tất cả các hàng từ hàng chứa phần tử cơ sở và
những hàng trên nó. Áp dụng bước 1 và 2 cho ma trận còn
lại
1 1 −1 2 1 
 1 1 −1 2 1 

 0 1 1 0 3  h4 →h4 + h3  0 1 1 0 3 
h3 →h3 + h2
  → →  
h4 →h4 − 2 h2 0 0 1 1 4  0 0 1 1 4
 0 0 −1 −1 −4  0 0 0 0 0
   
Vídụ    nh  ngđệ   ,    I r ngmạngl i
  :Xácđị dò  in I  I,và  to    ướ  
đệ dướiđ :
in   ây  
• Áp dụng định luật Kirchhoff cho nút A, ta có:

I1 = I2 + I3

́
nut B: I2 + I3 = I1

• Áp dụng định luật Kirchhoff cho vòng 1 và vong 2:
̀

7I1 +3I3 -30 = 0

11I2 -3I3 -50 = 0

 1 −1 −1 0 
 7 0 3 30 
Ta có hê:
̣  
 0 11 −3 50 
 
 1 −1 −1 0 

Ma trận của hệ thống là: 7 0 3 30 
 
 0 11 −3 50 
 

Dùng bđsc đối với hàng, đưa về ma trân bâc thang:
̣ ̣


 1 −1 −1 0 
 0 7 10 30 
 
 0 0 131 −20 
 

570 590 −20
Cuôi cung ta có giá trị cua dong điên: I1 =
́ ̀ ̉ ̀ ̣ , I2 = , I3 =
131 131 131
III. Các phép toán đối với ma trận
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Sự bằng nhau của hai ma trận
Hai ma trận bằng nhau nếu: 1) cùng cở; 2) các phần tử ở
những vị trí tương ứng bằng nhau (aij = bij với mọi i và j).



Phép cộng hai ma trận
Cùng cở
Tổng A + B:
Các phần tử tương ứng cộng lại

Ví dụ
 −1 2 4 3 − 2 6  2 0 10 
A= ; B =   A+ B =  
 3 0 5 1 4 7   4 4 12 
III. Các phép toán đối với ma trận
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
Phép nhân ma trận với một số.
Nhân ma trận với một số, ta lấy số đó nhân với tất cả các phần
tử của ma trận.

Ví dụ
 −1 2 4 − 2 4 8 
A=  2× A =  
 3 0 5  6 0 10 


Tính chất:
a) A + B = B + A; b) (A + B) + C = A + ( B + C);
c) A + 0 = A; d) k(A + B) = kA + kB;
e) k (mA) = (km) A; f) (k + m)A = kA + mA;
III. Các phép toán đối với ma trận
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Phép nhân hai ma trận với nhau
A = (ai )m × p ; B = (bi )p×n
j j
AB = C = (cij ) m×n với cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + aip b pj
 b1j 
 *     
   * b2 j *  
AB =  ai1 ai2 ... aip  =  ... cij ...
  

 * 
     

 bpj 
 

Để tìm phần tử c2,3 ở ma trận tích: lấy hàng 2 của A nhân với
cột 3 của B (coi như nhân tích vô hướng hai véctơ với nhau)
III. Các phép toán đối với ma trận
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
Ví dụ
1 − 2 2
 2 −1 4   Tính AB
A= ; B =  3 0 1 
 4 1 0  2 4 3
 

 1 −2 2
 2 −1 4   7 c12 c13 
 =  c11 c12 c13 
A ×B =   ×  3 0 1  cc c 
 4 1 0    21 22
 21 c23 
c22 c23 

 2 4 3


 1
c11 = ( 2 −1 4)  3 = 2× 1+ (−1) × 3+ 4× 2 = 7
 
 2
 
III. Các phép toán đối với ma trận
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
Tính chất của phép nhân hai ma trận
a. A(BC) = (AB)C; b. A(B + C) = AB + AC;

c. (B + C)A = BA + CA; d. ImA = A = AIm
e. k (AB) = (kA)B = A(kB).

Chú ý:
1. Nói chung AB ≠ BA
2. AB = AC B=C
3. AB = 0 A = 0∨ B = 0
III. Các phép toán đối với ma trận
­­­­­ ­­­­ ­­ ­­­­ ­­­­­ ­­­­ ­­ ­­­­ ­­­­­ ­­­­ ­­ ­­­­ ­­­­­ ­­­­ ­­ ­­­­ ­­
­ ­­ ­­­­ ­­­­­ ­­­­ ­­ ­­­­ ­­­­­ ­­­­ ­­ ­­­­ ­­­­­ ­­­­ ­­ ­­­­ ­­­­­ ­­­­


Nâng ma trận lên lũy thừa.

Qui öôù: A 0 = I
c A 2 = A ⋅A

A3 = A ⋅A ⋅A A n = A ⋅4 L4 4A
1 A 2 A ⋅3
4
n




f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a1x + a0 ; A = (aij ) n×n

f(A ) = an A n + an−1A n−1 + ... + a1A + a0I.
III. Các phép toán đối với ma trận
­ ­­ ­­­­ ­­­­­ ­­­­ ­­ ­­­­ ­­­­­ ­­­­ ­­ ­­­­ ­­­­­ ­­­­ ­­ ­­­­ ­­­­
­­­­ ­­­­ ­­ ­­­­ ­­­­­ ­­­­ ­­ ­­­­ ­­­­­ ­­­­ ­­ ­­­­ ­­­­­ ­­­­ ­­

Ví dụ
 2 −1
A= ; f ( x) = 2 x 2 − 4 x + 3 Tính f(A).
 3 4

f(A ) = 2A 2 − 4A + 3I

 2 −1 2 −1  2 −1  1 0
f(A ) = 2  3 4  − 4 3 4  + 3 0 1
 3 4      

 1 −6  8 −4  3 0
f(A ) = 2  −  12 16  +  0 3
 18 13     
 −3 −8
f(A ) = 
 24 13

Ví dụ Xét lại bài toán bán hàng.
130 80 240 
Giả sử tháng thứ hai bán được: T2 = 
 115 150 150 

Khi đó lượng hàng bán trong 2 tháng:


 230 200 540 
T = T1 + T2 = 
 240 250 400 

G/sử lời trong tháng 1: áo 15 ngàn, quần 30 ngàn, kính 10 ngàn.

 15 
Ghi ở dạng ma trận L1 =  30 
 
 10 
 
Lợi nhuận trong tháng 1 của từng cơ sở:
 15 
100 120 300     8.100 
T1 L1 =    30  =  7.375 
 125 100 250   10   
 

G/sử lời trong tháng 2: áo 25 ngàn, quần 35 ngàn, kính 17 ngàn.
 25 
Lời trong 2 tháng ở dạng ma trận: L2 =  35 
 
 17 
 
Lời trong 2 tháng trên từng sản phẩm của cơ sở A:

 8100  10130  18230 
T1 L1 + T2 L2 =   +  10675  = 18050 
 7375     
Ví dụ Khao sat sự chuyên đông dân cư cua môt thanh phô.
̉ ́ ̉ ̣ ̉ ̣ ̀ ́

G/sử năm 1990, dân cư cua tp A và vung ngoai ô la: r0 và s0
̉ ̀ ̣ ̀
r 
Đăt X 0 =   biêu thị cho cư dân tp và ngoai ô cua năm 1990.
0
̣ ̉ ̣ ̉
s 
0

r r 
X1 =   ; X 2 =  2  ,... là cư dân tp và ngoai ô cac năm 91,92,...
1
̣ ́
s
1 s 
2


G/sử theo nghiên cứu thây môi năm có khoang 5% dân tp chuyên
́ ̃ ̉ ̉

ra ngoai ô và 3% dân ngoai ô chuyên vao tp.
̣ ̣ ̉ ̀
 0.95r0   0.95 
Sau môt năm, r0 cư dân cua tp được phân bô: 
̣ ̉ ́  = r0  0.05 
 0.05r0   
 0.03s0   0.03 
s0 cư dân cua ngoai ô được phân bô: 
̉ ̣ ́  = s0  0.97 
 0.97 s0   
Cư dân cua tp và ngoai ô năm 1991 la:
̉ ̣ ̀

 r1   0.95   0.03   0.95 0.03   r0   r0 
 s  = r0  0.05  + s0  0.97  =  0.05 0.97   s  = M  s 
 1       0   0


Ghi ở dang vecto: X 1 = M ⋅ X 0
̣ ́


G/sử sự di chuyên dân số là ôn đinh.
̉ ̉ ̣


Khi đo, cư dân cua tp và ngoai năm 1992: X 2 = M ⋅ X 1
́ ̉ ̣


Noi chung ta có công thức:
́ X k +1 = M ⋅ X k
Ví dụ Theo ví dụ trên.

 600.000 
Biêt năm 1990, dân cư cua tp A và vung ngoai ô: X 0 = 
́ ̉ ̀ ̣
 400.000 

Cư dân cua tp A và ngoai ô năm 1991:
̉ ̣

 0.95 0.03  600.000   582.000 
X1 =   400.000  =  418.000 
 0.05 0.97    

Cư dân cua tp A và ngoai ô năm 1992:
̉ ̣


 0.95 0.03  582.000   565.440 
X2 =   418.000  =  434.560 
 0.05 0.97    
Ví dụ Sử dụng ĐSTT trong xử lý ảnh.


Xét chữ với toạ độ các điểm được lưu trong ma trận


Đỉnh
1 2 3 4 5 6 7 8
Hoành độ  0 0.5 6 5.5 0.5 0 5.5 6 
D=
 0 0 0 1.58 6.42 8 8 8  
Tung độ


 1 0.25 
Xét ma trận A=
 0 1  
 0 0.5 6 5.895 2.105 2 7.5 8 
⇒ AD = 
 0 0 0 1.580 6.420 8 8 8  


Tương ứng với chữ:




 0.75 0  Tính SA, SAD
Xét ma trận S =
 0 1


SAD tương ứng với chữ
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------




Định nghĩa hạng của ma trận
Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc
thang E. Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng
khác không của ma trận bậc thang
r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm hạng của ma trận sau
1 2 1 1
A =  2 4 2 2
 
 3 6 3 4
 

Giải.
1 2 1 1 1 2 1 1
A=  2 4 2 2    0 0 0 0 
h2 →h2 − 2 h1

  h3 →h3 −3h1  
 3 6 3 4 0 0 0 1
   
1 2 1 1
→  0 0 0 1  ⇒ r(A ) = 2
h2 ↔ h3
 
0 0 0 0
 
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của hạng ma trận

1. r (A) = 0 A=0

2. A = (aij)mxn ≤
r(A) min{m, n}
BĐSC
3. Nếu A B, thì r (B) = r (A)




 2 2 2  2 2 2
A =  2 2 2 →  0 0 0 → r(A ) = 1.
   
 2 2 2  0 0 0
   
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn
tại ma trận I sao cho AB = I =BA. Khi đó B được gọi là
nghịch đảo của A và ký hiệu là A-1.


 2 1  3 −1
A= Giả sử B = 
 5 3 2×2
  −5 2 2×2





}
 2 1  3 −1  1 0
AB =   −5 2  =  0 =I
 5 3    1
−1  3 −1 
A = B=
 3 −1 2 1   1
BA = 
0  −5 2 

 5 3  =  0 =I
 −5 2    1
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------


Chú ý
Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch. Có
rất nhiều ma trận vuông không khả nghịch.



Định nghĩa

Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến
Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------



Sự tồn tại của ma trận khả nghịch.
Cho ma trận vuông A, các mệnh đề sau đây tương đương

1. Tồn tại A-1 (A không suy biến)

2. r(A) = n

3. AX = 0 suy ra X = 0.

Tương đương hàng
4. A I
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa ma trận sơ cấp
Ma trận thu được từ I bằng đúng 1 phép biến đổi sơ cấp
được gọi là ma trận sơ cấp.

Ví dụ
1 0 0 1 0 0
I =  0 1 0  → E1 =  0 1 0 
h →3h 3 3

   
0 0 1 0 0 3
   

1 0 0 1 0 0
I =  0 1 0  → E2 =  2 1 0 
h →h + 2 h 2 2 1

   
0 0 1 0 0 1
   
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

1 0 0 0 0 1
I =  0 1 0   E3 =  0 1 0 
h ↔h
→ 3 1

   
0 0 1 1 0 0
   


Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A đồng
nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương ứng.



Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A đồng
nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương ứng.
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------




 2 1 −1 3 2 1 
A =  1 1 0   B =  1 1 0 
h ↔h
→ 3 1

   
3 2 1   2 1 −1
   

 3 2 1   0 0 1  2 1 −1
 1 1 0  =  0 1 0  1 1 0 
    
 2 1 −1  1 0 0  3 2 1 
    
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------



bñsc haøg
n
A  I ⇔ I = En En−1...E1 A



⇒ A−1 = En En−1...E1I


⇔ I  A−1
bñsc haøg ôû n
n treâ

V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------




[ A|I ] Bđsc đối với hàng
[ I|A-1 ]
Ví dụ
Tìm nghịch đảo (nếu có) của ma trận 1
 1 1
 
A = 1 2 2 
1 2 3 
 

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
[ A | I ] = 1 2 2 0 1 0 → 0 1 1 − 1 1 0
   
1 2 3 0 0 1 0 1 2 − 1 0 1
   
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------


1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 − 1
→ 0 1 1 − 1 1 0 → 0 1 0 − 1 2 − 1
   
0 0 1 0 − 1 1  0 0 1 0 − 1 1 
   

1 0 0 2 − 1 0 
→ 0 1 0 − 1 2 − 1 = [ I | A−1 ]
 
0 0 1 0 − 1 1 
 
 2 −1 0 
−1  
A =  − 1 2 − 1
 0 −1 1 
 
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------



Tính chất của ma trận nghịch đảo
Đối với hai ma trận khả nghịch A và B, các khẳng định sau đây
đúng.
(A-1)-1 = A
Tích AB là hai ma trận khả nghịch.
(AB)-1 = B-1A-1
(AT)-1 = (A-1)T
Ví dụ Giả sử ta muôn mã hoá câu: “STUDY LINEAR ALGEBRA”.
́

Kí hiêu theo thứ tự bang chữ cai: A = 1, B = 2, C = 3,....
̣ ̉ ́

Có day sô: 19 20 21 4 25 12 9 14 5 1 18 1 12 7 5 2 18 1.
̃ ́

Chia day thanh cac ma trân nhỏ cở 3 x 1: 19 20 21 4 25 12 9
̃ ̀ ́ ̣
14 5 1 18 1 12 7 5 2 18 1.

9 1 12   2
 19  4
 20  X =  25  X 3 = 14  X4 = 18  X =  7  X 6 = 18 
X1 =     5    
  2    15  5 1 5 1
 21        
   
0 0 −1  1 1 0
Chon môt ma trân tuỳ A =  1
̣ ̣ ̣ −2 1  A−1 =  2 1 1 
   
 −1 −1 1   3 2 2
   
Nhân A với cac X i ta có day số
́ ̃


 19   38   25   9   35 
 23 
Y1 =  0  Y =  −34    Y4 =  −34  Y5 =  3  Y6 =  −33 
  2   Y3 =  −14       
 −19 
 −17   −18   −14 
 −18     −18       
   

Ghi lai kêt quả ở dang day và gởi cho người nhân:
̣ ́ ̣ ̃ ̣

19 0 -18 38 -34 -17 23 -14 -18 25 -34 -18 9 3 -14 35 -33 -19

Người nhân muôn biêt được ý nghia phai nhân A−1Yi
̣ ́ ́ ̃ ̉

và tra ngược bang qui ước để có được câu ban đâu.
̉ ̀
VI. Kết luận
------------------------------------------------

Ma trận là gì? Ma trận vuông ? Ma trận bậc thang
Ma trận không? Ma trận chéo? Ma trận chuyển vị?
Ma trận đơn vị? Ma trận đối xứng?

Các phép toán đối với ma trận: Sự bằng nhau Phép cộng
Nhân ma trận với một số Nhân hai ma trận với nhau
Nâng lên lũy thừa


Hạng của ma trận là gì?
Làm thế nào để tìm hạng của một ma trận cho trước?

Ma trận khả nghịch là gì? Nghịch đảo của ma trận A là gì?
Làm thế nào để tìm nghịch đảo của một ma trận cho
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản