Dạng chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn,hình vuông....

Chia sẻ: paradise9

Tham khảo tài liệu 'dạng chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn,hình vuông....', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Dạng chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn,hình vuông....

Dạng chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn,hình vuông....

Bài toán 12: Cho tam giác đường phân giác BN và tâm O của đường tròn
nội tiếp trong tam giác . Từ A kẻ một tia vuông góc với tia BN, cắt BC tại H.
Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm trên một đường tròn.

Đối với bài toán này xảy ra hai trường hợp đối với hình vẽ .

Trường hợp 1: H và O nằm cùng phía với AC Hình 1

Trường hợp 2: H và O nằm khác phía với AC Hình 2




Gợi ý:

Gọi I là giao điểm của AH và BN

Kẻ AP vuông góc với CO cắt AB tại P. M là giao điểm của OC và AB

K là giao điểm của OC và AP

- Áp dụng tính chất giữa các đường( đường cao, đường trung trực,
đường trung tuyến, đường phân giác đường trung bình,) trong tam giác.

- Kiến thức về tứ giác nội tiếp
- Tính chất góc ngoài tam giác

Cách giải 1:

Xét  ACP có CK vừa là phân giác vừa là đường cao nên CK cũng là
đường trung tuyến, đường trung trực  KA = KP (1)

Xét  ABH có BI vừa là phân giác vừa là đường cao nên BI cũng là
đường trung tuyến, đường trung trực  IA = IH (2)

Từ (1) và (2) ta có: IK là đường trung bình trong tam giác
APH

 IKO = OCH ( Hình 1)

Hoặc IKO + OCH = 1800 (Hình 2)
 = K = 900
Xét tứ giác AKOI có  AKOI là tứ giác nội tiếp 
I

IKO = OAH

 Tứ giác AOHC nội tiếp được  A; O; H; C cùng nằm trên một đường

tròn

Cách giải 2:

Ta có BN là đường trung trực của AH  BHO = BAO mà BAO = OAC nên

 Tứ giác AOHC nội tiếp được.  A; O; H; C cùng nằm
BHO = OAC

trên một đường tròn

Cách giải 3:
0
 ABI là tam giác vuông nên IBA + BAI = 180 hay
B A
= 900
IBA + BAO + OAI = 1800 Suy ra: OAI +  OAI bằng (hoặc
+
2 2

bù) với góc OCH  Tứ giác AOHC nội tiếp được.  A; O; H; C cùng
nằm trên một đường tròn

Cách giải 4:

B
* Đối với (Hình 1) ta có AHC = 900 + Góc ngoài trong tam giác
2

B
AOC = 900 + (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp )
2

 AHC = AOC  Tứ giác AOHC nội tiếp được  A; O; H; C cùng nằm
trên một đường tròn

* Đối với ( Hình 2)

B
Xét trong tam giác IBH ta có AHC = 900 -
2

B
AOC = 900 + (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp )
2

 AHC + AOC = 1800

Tứ giác AOHC nội tiếp được  A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn

Cách giải 5:

A+B
Ta có AON = ( Góc ngoài ở đỉnh O của tam giác AOB )
2

 AOH = A + B  AOH + ACH = 1800 (
Hình 1)

hoặc AOH = ACH = A + B ( Hình
2)
Suy ra Tứ giác AOHC nội tiếp được  A; O; H; C cùng nằm trên một
đường tròn.



N
Bài toán 13 : A
Cho hình bình hành ABCD, về phía ngoài
hình bình hành, dựng các tam giác ABM
M
vuông cân tại M; ACN vuông cân tại N;
BDP vuông cân tại P; CDQ vuông cân tại
C
B I
Q. Chứng minh rằng tứ giác NMPQ là hình
vuông.
Q


D
P


Bài toán trên có thể phát biểu theo dạng khác, ta có bài tập 14.
Bài toán 14: N
Cho hình bình hành ABDC, về phía
ngoài hình bình hành, dựng các hình
F
A G
vuông ABEF, ACMN, DBPQ,
M
CDKL, Gọi S, G, R, H lần lượt là tâm
S
của các hình vuông trên. Chứng minh
rằng tứ giác SGHR là hình vuông.
E B
C L

H

P D
R
K



Q

Tiếp tục bài toán trên, Nếu tứ giác ABCD không phải là hình bình hành mà
là một tứ giác thường thì liệu tứ giác SGHR có tính chất gì không? Ta có bài
toán 15.

Bài toán 15: Cho hình tứ giác ABCD, về phía ngoài tứ giác, dựng các hình
vuông ABMN, ADEF, DCGH, BCPQ, Gọi V, S, J, K lần lượt là tâm của các
hình vuông trên. Chứng minh rằng KS = VJ và KS  VJ.
Bài giải: M
N Q
Gọi I là trung điểm của AC, theo bài
V
toán 7 ta chứng minh được tam giác B
SIJ và tam giác VIK vuông cân tại I. F A
K
P
Xét hai  :  VIJ và  KIS, có:
S R
VI = KI I
E
C
D
 VIJ =  KIS 

IJ = IS

  VIJ =  KIS (c.g.c) J
 VJ = KS (1)

H G
Gọi R là giao điểm của IS và VJ

Do  IJV =  ISK (  VIJ =  KIS)

Và  IJV +  IRJ = 900
0
  ISK +  VRS = 90

Hay KS  VJ (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Bài toán 16: F
Cho tam giác ABC, dựng
N
về phía ngoài tam giác các
hình vuông ABDE và
E
ACHF. Gọi I, J lần lượt là A
H
J
tâm của hai hình vuông đó.
M, N là trung điểm của BC
I
và EF. Chứng minh rằng tứ
D
giác IMJN là hình vuông.
C
B M

Ở bài toán trên, ta có thể chứng minh được đường trung tuyến AN của tam
giác AEF cũng là đường cao của tam giác ABC và đường trung tuyến AM
của tam giác ABC cũng là đường cao của tam giác AEF.

Đối với bài toán này việc vẽ đường phụ là quan trọng. Học sinh cần
áp dụng kiến thức về hai tam giác đồng dạng, kiến thức về tam giác cân, tam
giác đều. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đã được học ở lớp 7 vào giải bài
toán.

Hai cách giải trên tương tự giống nhau. Song sau khi đã tìm được lời
giải 1 giáo viên cần gợi ý cho học sinh qua câu hỏi. Vậy nếu trên tia BP lấy
một điểm D sao cho PD = PC thì ta có thể chứng minh được hệ thức trên
hay không?

Như vậy thì học sinh mới tư duy và tìm tòi lời giải. Giáo viên không nên đưa
ra lời giải mà phải để học sinh tìm lời giải cho bài toán.

Bài tập tự luyện tại nhà cho học sinh.
Bài tập 1: Ở miền trong của hình vuông ABCD lấy một điểm E sao cho
0
EAB = EBA = 15 . Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác đều.

Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của đường chéo AC và
BD gọi M và N là trung điểm của OB và CD chứng minh A; M; N; D cùng
thuộc đường tròn

Bài tập 3:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AC.
Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đường thẳng Dy vuông góc với
DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại E. Chứng minh tam giác
BDE là tam giác cân.

Bài toán 4:Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông
ABEF; ACMN; BCPQ. Chứng minh các đường cao của các tam giác AFN;
CMP; BQE xuất phát từ A, B, C đồng quy.

Bài toán 5: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông
ABDE và ACHF. Chứng minh rằng đường trung tuyến AN của tam giác
AEF cũng là đường cao AP của tam giác ABC và đường trung tuyến AM
của tam giác ABC cũng là đường cao của tam giác AEF

Khái quát hoá bài toán.

Sau khi đã tìm ra các cách giải khác nhau, giáo viên cần cho học sinh
khái quát hoá bài toán bằng cách trả lời được một số câu hỏi cụ thế sau :

1) Trong các cách chứng minh những kiến nào đã được vận dụng ?

2) Có những cách chứng minh nào tương tự nhau?Khái quát đường lối
chung của các cách ấy?
3) Và trong cách chứng minh trên kiến thức nào đã vận dụng và kiến thức đó
được học ở lớp mấy, và có thể hỏi cụ thể chương nào tiết nào để kiểm tra sự
nắm vững kiến thức của học sinh.

4) Cần cho học sinh phân tích được cái hay của từng cách và có thể trong
từng trường hợp cụ thể ta nên áp dụng cách nào để đơn giản nhất và có thể
áp dụng để giải các câu liên quan vì một bài hình không chỉ có một câu mà
còn có các câu liên quan.

5) Việc khái quát hoá bài toán là một vấn đề quan trọng. Khái quát hóa bài
toán là thể hiện năng lực tư duy, sáng tạo của học sinh. Để bồi dưỡng cho
các em năng lực khái quát hoá đúng đắn phải bồi dưỡng năng lực phân tích,
tổng hợp, so sánh, vận dụng kiến thức liên quan để biết tìm ra cách giải
quyết vấn đề trong các trường hợp.

6)Việc tìm ra nhiều lời giải cho một bài toán là một vấn đề không đơn giản
đòi hỏi học sinh phải có năng lực tư duy logic, kiến thức tổng hợp. Không
phải bài toán nào cũng có thể tìm ra nhiều lời giải. Mà thông qua các bài
toán với nhiều lời giải nhằm cho học sinh nắm sâu về kiến thức vận dụng
kiến thức thành thạo để có thể giải quyết các bài toán khác.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản