Đạo hàm

Chia sẻ: Trần Bảo Quyên Quyên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

1
974
lượt xem
406
download

Đạo hàm

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Công thức đạo hàm và tích phân

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đạo hàm

  1. ĐẠO HÀM (u ± v )/ = u / ± v / 1. (u.v )/ = u / .v + u.v / 2. (C.v )/ = C.v / 3. / u / .v − v / .u ⎛u⎞ ⎜ ⎟= ( v ≠ 0) 4. v2 ⎝v⎠ / − C.v / ⎛C ⎞ = ⎜⎟ 5. v2 ⎝v⎠ 6.(C ) = 0 / 7.( x ) = 1 / (u ) α/ = α ..x α −1 .u / ()α/ α −1 = α ..x 8. x / − v/ ⎛1⎞ ⎜⎟= 2 / −1 ⎛1⎞ 9.⎜ ⎟ = 2 ⎝v⎠ v ⎝ x⎠ x () u/ / () u= 1 / 10. x = 2. u 2. x (a ) = a . ln a.u u/ ( ) =a / u x/ 11. a . ln a x (e ) = e .u u/ 12.(e ) = e / u x/ x u/ (log a u )/ 1 = 13.(log a x ) = / u. ln a x. ln a u/ (ln u ) = 1 / 14.(ln x ) = / u x (sin u ) = u / . cos u / 15.(sin x ) = cos x / (cos u )/ = −u / . sin u 16.(cos x ) = − sin x / u/ (tan u )/ 1 17.(tan x ) = = / cos 2 u cos 2 x − u/ −1 (cot u )/ 18.(cot x ) = = / sin 2 u sin 2 x ax + b ad − bc y= ta có y / = 19. cx + d (cx + d ) 2 a1 x 2 + b1 x + c1 y= 20. ta có a 2 x 2 + b2 x + c 2
  2. a1 b1 2 a c1 b c1 x +2 1 x+ 1 a2 b2 a2 c2 b2 c2 y/ = (a x ) 2 + b2 x + c 2 2 2 • Tìm m để hàm số tăng (giảm) 1.Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ ) Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng xác định): y/ ≥ 0 ∀x ∈ R ⎧a > 0 Giải tìm m ⎨ ⎩Δ ≤ 0 Chú ý:Nếu hệ số a của y/ có chứa tham số thì phải xét khi a = 0 Tương tự cho hàm số giảm: ⎧a < 0 y/ ≤ 0 ∀x∈ R ⇔ ⎨ ⎩Δ ≤ 0 ax + b 2.Hàm số nhất biến : y = cx + d Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác định : y/ > 0 ( y/ < 0 ) . Giải tìm m Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c =0 • Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y/ = 0 có hai ⎧a ≠ 0 nghiệm phân biệt ⎨ ⎩Δ > 0 Giải tìm m • Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trị Tập xác định Đạo hàm y/ Giải ph ương trình y/ = 0 tìm nghiệm x0 Đạo hàm y//.Tính y//(x0) * Nếu y//(x0) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0
  3. * Nếu y//(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0 • Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x0 Cách 1: Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số đạt cực trị tại x0 : y/(x0) = 0 y/ đổi dấu khi x qua x0 Chú ý: Hàm số đạt cực tiểu tại x0 : y/ (x0) = 0 y/ đổi dấu từ “ – “ sang “ +” Hàm số đạt cực đại tại x0 : / y (x0) = 0 y/ đổi dấu từ “ + “ sang “–” Cách 2: Tập xác định Đạo hàm y/ Đạo hàm y// Hàm số đạt cực trị tại x0 : ⎧ y / ( x0 ) = 0 ⎨ // ⎩ y ( x0 ) ≠ 0 Cực đại: { y/ (x0) = 0 và y// (x0) < 0 } Cực tiểu : { y/ (x0) = 0 và y// (x0) > 0 } • Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 Tập xác định Đạo hàm y/ = f/ (x) Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi ⎧ f / ( x0 ) = 0 ⎪ ⎨ f ( x0 ) = y 0 ⎪ f // ( x ) ≠ 0 ⎩ 0 • Tìm GTLN,GTNN trên đoạn [a,b] Tìm xi ∈[a,b]: f/(xi) = 0 hoặc f/(xi) không xác định Tính f(a), f(xi) , f(b) Kết luận max y = max{ f (a); f ( xi ); f (b)} min y = min{ f (a ); f ( xi ); f (b)}
  4. • Tiếp tuyến của đường cong ( C) 1.Tiếp tuyến tại M(x0,y0): y = f/ (x0).(x – x0 ) + y0 2.Tiếp tuyến đi qua A(xA ,yA): (d): y = k.(x – xA) + yA = g(x) ⎧ f ( x) = g ( x) Điều kiện tiếp xúc: ⎨ / ⎩ f ( x) = g ( x) / k tt = f / ( x 0 ) = k d 3.Tiếp tuyến sg sg (d) k tt . k d = − 1 4.Ttuyến vuông góc (d) : • Biện luận số giao điểm của ( C) và d (d): y = k(x – xA) + yA = g(x) Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) • Nếu (*) là phương trình bậc 2: 1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d) 2) Xét a ≠ 0 : + Lập Δ = b2 – 4ac + Xét dấu Δ và kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⎧a ≠ 0 ⇔⎨ ⎩Δ > 0 • Nếu (*) là phương trình bậc 3: 1) Đưa về dạng (x – x0)(Ax2 + Bx + C) = 0 x = x0 ⎡ ⎢ Ax 2 + Bx + C = 0 = g ( x) (2) ⎣ 2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x0 3) Tính Δ của (2), xét dấu Δ và kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (2) có 2 no pb x1 , x2 khác x0) ⎧ A≠0 ⎪ ⇔ ⎨ Δ ( 2) > 0 ⎪g ( x ) ≠ 0 ⎩ 0 • Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình f (x) – g(m) = 0 Đưa phương trình về dạng : f(x) = g(m) (*) Ptrình (*) là ptrình hoành độ giao điểm của (C) :y = f(x) và (d): y = g(m) ( (d) // Ox ) Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình. LŨY THỪA
  5. • a n = a.a...a • (a.b) n = a n .b n ( n thừa số) n ⎛a⎞ an • a =1 0 •⎜ ⎟ = n ⎝b⎠ b 1 • a −n = • (a m ) n = (a n ) m = a m.n an m • a m+ n = a m .a n • a = n am n am 1 m− n •a =n • a =n a n a PHƯƠNG TRÌNH MŨ a =1 ⎧ 0 < a ≠1 ⎧ = a g ( x) ⇔ ⎨ ∨⎨ a f ( x) ⎩ f ( x) = g ( x) ⎩ D f ( x ) ∩ D g ( x ) a>0 ⎧ > a g ( x) ⇔ ⎨ a f ( x) ⎩(a − 1).[ f ( x) − g ( x)] > 0 • a >1 thì a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x) • 0 < a < 1 thì a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x) LOGARIT • log a 1 = 0 • log a N = M ⇔ a M = N • log a a = 1 ( a, N > 0 , a ≠ 1 ) • log a a N = N • a log a N = N • log a N1 .N 2 = log a N1 + log a N 2 N1 • log a = log a N1 − log a N 2 N2 log b N • log a N = • log b a. log a N = log b N log b a 1 • log a N = log N a 1 • log a k N = • log a N k = k . log a N log a N k • a >1 thì log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) > 0 • 0 < a < 1 thì log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ 0 < f ( x) < g ( x)
  6. 0 < a ≠1 ⎧ ⎪ log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ ⎨ f ( x) > 0 ( g(x) > 0 ) ⎪ f(x) = g(x) ⎩ ⎧ 0 < a ≠1 ⎪ f ( x) > 0 ⎪ log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ ⎨ g(x) > 0 ⎪ ⎪(a - 1)[f(x) - g(x)] > 0 ⎩ SỐ PHỨC ⎧a = c * i 2 = −1 a + b.i = c + d .i ⇔ ⎨ ⎩b = d 1 z =2 * c + d .i (c + d .i )(a − b.i ) zz = * a + b.i (a + b.i )(a − b.i ) * * z 1 + z 2 = z1 + z 2 z = a + b.i = a 2 + b 2 * z1 − z 2 = z1 − z 2 * z = a + b.i ⇒ z = a − b.i ⎞ z1 ⎛z ⎟= * z 1 . z 2 = z1 . z 2 ; ⎜ 1 ⎟z ⎜z * z = z = a +b 2 2 ⎠ ⎝2 2 1. α = a + b.i .Gọi β là căn bậc 2 của α , ta cĩ: ⎞ ⎛ a + a2 + b2 − a + a2 + b2 ⎟ ⎜ b≥ 0: β =± + i. ⎟ ⎜ 2 2 ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ a + a2 + b2 − a + a2 + b2 ⎟ ⎜ b< 0: β =± − i. ⎟ ⎜ 2 2 ⎠ ⎝ ⎧ ⎪r = a 2 + b 2 ⎪ ⎪ a 2. z = r (cos ϕ + i. sin ϕ ) ⎨ cos ϕ = r ⎪ b ⎪ sin ϕ = ⎪ ⎩ r 3. z1 .z 2 = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i. sin(ϕ1 + ϕ 2 )] z r 4. 1 = 1 [cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i. sin(ϕ1 − ϕ 2 )] z 2 r2 11 = [cos(−ϕ ) + i. sin( −ϕ )] 5. zr 6. [r (cos ϕ + i. sin ϕ )] = r n (cos nϕ + i. sin nϕ ) n
  7. [(cos ϕ + i. sin ϕ )]n = (cos nϕ + i. sin nϕ ) 1)∫ dx = x + C ∫ kdx = kx + C 1 (ax + b)α +1 xα +1 2)∫ x dx = + C ∫ (ax + b) dx = α α +C α +1 a α +1 1 1 dx 3)∫ dx = ln x + C ∫ = ln ax + b + C ax + b a x −1 −1 1 1 dx 4)∫ 2 dx = +C ∫ = +C a (ax + b) (ax + b) 2 x x 1 5)∫ e x dx = e x + C ∫e ( ax+b ) dx = e (ax+b) + C a 1 a (cx+d ) x a 6)∫ a x dx = + C ∫ a (cx+d ) dx = +C ln a c ln a −1 7)∫ sin xdx = − cos x ∫ sin(ax + b)dx = cos(ax + b) a 1 8)∫ cos xdx = sin x ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) a 1 dx dx 9)∫ ∫ cos2 (ax + b) = a tan(ax + b) = tan x 2 cos x −1 dx dx 10)∫ 2 = − cot x ∫ 2 = cot(ax + b) sin (ax + b) a sin x TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ 1. ∫ f (e t = u ( x) u ( x) / Đặt ).u ( x ) dx 1 ∫ f (ln x). x dx t = ln( x ) 2. Đặt 3. ∫ f ( ax + b ).dx t = n ax + b Đặt n 4. ∫ f (sin x, cos x ) dx • Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx • Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx • Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công 1 + cos 2 x 1 − cos 2 x thức hạ bậc: cos 2 x = , sin 2 x = 2 2 x • Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt t = tan 2 ∫ f( x = a sin t a 2 − x 2 ).dx 5. Đặt 6. ∫ f ( a 2 + x 2 ).dx x = a tan t Đặt a 7. ∫ f ( x 2 − a 2 ).dx x= Đặt cos t
  8. 1 ∫ f( t = x + x2 ± a2 ).dx 8. Đặt x ±a 2 2 TÍCH PHN TỪNG PHẦN b b b ∫ u.v dx = u.v − ∫ u / vdx / a a a ∫ P( x).e dx . ax + b u = P( x) ta có u / = P / ( x) Đặt 1 v / = e ax +b chon v = e ax +b a ∫ P( x). cos(ax + b)dx . u = P( x) ta có u / = P / ( x) Đặt: 1 v / = cos(ax + b) chon v = sin(ax + b) a ∫ P( x).sin(ax + b)dx . u = P( x) ta có u / = P / ( x) Đặt: −1 v / = sin(ax + b) chon v = cos(ax + b) a ∫ P( x). ln u ( x)dx . 1 u = ln x ta có u / = Đặt: x v / = P ( x) chon v = ∫ P( x)dx Ch ý : Đặt u là hàm mà đạo hàm của nó đơn giản hơn cịn v/ l phần cịn lại của biểu thức dưới dấu tích phân mà nguyên hàm của phần này đ biết DIỆN TÍCH , THỂ TÍCH
  9. ⎧ (C1 ) và (C 2 ) ⎧ (C1 ) và (C 2 ) ( H )⎨ ( H )⎨ ⎩ x = a, x = b (a < b) ⎩ y = c, y = d (c < d ) b d S = ∫ y C1 − y C 2 dx S = ∫ x C1 − xC 2 dy a c b d VOx = π ∫ y C1 − yC 2 dx VOy = π ∫ xC1 − xC 2 dy 2 2 2 2 a c
Đồng bộ tài khoản