ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Chia sẻ: anhhero6064

Tham khảo tài liệu 'đạo hàm và vi phân', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Ch¬ng 4

§¹o hµm vµ vi ph©n

4.1 §¹o hµm
1. §Þnh nghÜa
XÐt hµm f(x) x¸c ®Þnh t¹i x 0 vµ l©n cËn x0. Cho x0 sè gia ∆x cã trÞ tuyÖt ®èi kh¸ bÐ.
NÕu tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n:
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆f ( x )
lim = lim
∆x → 0 ∆x ∆x →0 ∆x

th× giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ ®¹o hµm cña f(x) t¹i ®iÓm x0, ký hiÖu: f’(x0).
Theo tÝnh liªn hÖ gi÷a hµm cã giíi h¹n vµ VCB, nÕu tån t¹i f’(x) th× ta cã:
∆f ( x) = f ( x + ∆x ) − f ( x) = f ' ( x).∆x + α . ∆x (1)
trong ®ã α→0 khi ∆x→0. Nh vËy nÕu f(x) cã ®¹o hµm f’(x) th× ∆f(x) vµ ∆x lµ hai VCB cïng
cÊp khi ∆x→0, hay nÕu f(x) cã ®¹o hµm t¹i x th× nã liªn tôc t¹i x.
NÕu f(x) x¸c ®Þnh t¹i x0 vµ l©n cËn ph¶i cña nã vµ tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n:
f ( x0 + ∆x) − f ( x 0 )
lim
∆x → + 0 ∆x
th× giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ ®¹o hµm ph¶i cña f(x) t¹i ®iÓm x0, ký hiÖu: f’ (x0+0).
NÕu f(x) x¸c ®Þnh t¹i x0 vµ l©n cËn tr¸i cña nã vµ tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n:
f ( x0 + ∆x) − f ( x 0 )
lim
∆x → − 0 ∆x
th× giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ ®¹o hµm tr¸i cña f(x) t¹i ®iÓm x0, ký hiÖu: f’ (x0-0).
NÕu:
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
lim =∞
∆x → 0 ∆x
th× ta nãi f(x) cã ®¹o hµm v« cïng t¹i x0, ký hiÖu f’(x0)= ∞ .
NÕu ∀x∈(a,b) ®Òu tån t¹i f’(x) th× ta nãi f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a,b), nÕu f(x) cã
®¹o hµm ∀x∈(a,b) vµ cã ®¹o hµm ph¶i t¹i a, vµ ®¹o hµm tr¸i t¹i b, th× ta nãi f(x) cã ®¹o hµm
trªn [a,b].
VÝ dô 4.1:
a. T×m ®¹o hµm tr¸i vµ ph¶i t¹i x=1 cña f(x)= x − 1 sin πx
1 + ∆x − 1 sin π (1 + ∆x ) − 0 sin π
f’(1-0)= lim
∆x → − 0 ∆x
− ∆x sin π∆x
= lim =0
∆x → − 0 ∆x
1 + ∆x − 1 sin π (1 + ∆x ) − 0 sin π
f’(1+0)= lim
∆x → + 0 ∆x
− ∆x sin π∆x
= lim =0
∆x → + 0 ∆x
Nh vËy f’(1-0)=f’(1+0)=0 nªn tån t¹i f’(1)=0.
b. T×m ®¹o hµm tr¸i vµ ph¶i t¹i x=0 cña

x x0 hoÆc ∆t0: ≤0
∆x
f (c + ∆x) − f (c )
nªn lim ≤0
∆x → + 0 ∆x
f (c + ∆x) − f (c )
(ii) ∆x m)
nªn
m(m − 1)...(m − k + 1) (k ≤ m)
f(k)(0)= 
0 ( k > m)
Do ®ã:
m m(m − 1) 2
(1+x)m=1+ x + x + ...
1! 2!
m(m − 1)...( m − k + 1) k
+ x + ... + x m
k!
Thay x bëi -x ta cã:
m m(m − 1) 2
(1-x)m=1- x + x + ...
1! 2!
k m( m − 1)...( m − k + 1) k
+ (−1) x + ... + ( −1) m x m
k!
1
b. Hµm f(x)=
1+ x
Ta cã: f(0)=1
n!
f(n)(x)= (−1)
n
nªn f(n)(0)=(-1)nn!
(1 + x) n +1
Do ®ã:
1 (−1) n
= 1 − x + x + ... + (−1) x +
2 n n
x n +1
1+ x (1 + θ x) n +1


Thay x bëi -x ta ®îc
1 1
= 1 + x + x 2 + ... + x n + x n +1
1− x (1 + θ x) n +1


c. f(x)=ln(1+x)
1
Ta cã: f(0)=0, f’(x)= nªn
1+ x
n!
f(n+1)(x)= (−1)
n
nªn f(n+1)(0)=(-1)nn!
(1 + x) n +1




Trang 14
Do ®ã:
x2
ln(1+x)= x − + ...
2
n −1 x
n
( −1) n 1
+ (−1) + x n +1
n n + 1 (1 + θ x ) n +1
d. f(x)=ex, ta cã f(n)(x)=ex do ®ã f(n)(0)=1
x x2 xn eθ x
e = 1+ +
x
+ ... + + x n +1
1! 2! n! (n + 1)!
e. f(x)=sin x
Ta cã:
( −1) k sin x
 ( n = 2k )
(n)
f (x)= 
( −1) k cos x
 (n = 2k − 1)
0 ( n = 2k )
Nªn f(n)(0)= 
(−1) (n = 2k − 1)
k


Do ®ã:
x3
sin x= x − + ...
3!
x 2 n −1 x 2n
+ (−1) n −1 + (−1) n sin θ x
(2n − 1)! (2n)!
T¬ng tù cã:
x2
cos x= 1 − + ...
2!
x 2n x 2 n +1
+ (−1) n + (−1) n +1 cosθ x
( 2n)! (2n + 1)!

4.7 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè
1. DÊu hiÖu cùc trÞ cña hµm sè
§Þnh lý 11: Cho f(x) liªn tôc trªn [a,b] vµ kh¶ vi trªn (a,b). §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó f(x)
t¨ng (gi¶m) trªn [a,b] lµ f’(x)≥ 0 (f’(x)≤ 0) ∀x∈(a,b).
Chøng minh: Gi¶ sö f(x) t¨ng trªn [a,b], khi ®ã:
 f ( x + ∆x) > f ( x) khi ∆x > 0

 f ( x + ∆x) < f ( x ) khi ∆x < 0
f ( x + ∆x) − f ( x)
⇔ > 0 ⇔ f‘(x)≥ 0
∆x
§Þnh lý 12: Cho f(x) liªn tôc trªn [a,b] vµ kh¶ vi trªn (a,b) cã thÓ trõ ra mét sè h÷u h¹n
®iÓm vµ a0 (x∈(a,b)) th× f(x) låi trªn [a,b].
Chøng minh: XÐt hµm
g(t)=t f(a)+(1-t) f(b) – f(ta+(1-t)b)
Ta cã: g’(t)=f(a) – f(b) – f’(ta+(1-t)b) (a-b)
Theo ®Þnh lý Lagrange:
f(a)-f(b)= f ' (c)(a − b) ,
(at0 th× ta+(1-t)b>t0a+(1-t0)b nªn: g’(t) > g’(t0)
+ t 0 khi x > 0

 y ' < 0 khi x < 0



Trang 16
Do ®ã hµm cã cùc tiÓu t¹i x=0, y=-1.

y" =
[
− 2 3 ( x 2 + 1) 5 + 33 x 4 ( x 2 + 1) − 3 x 10 ] < 0 (∀x ≠ 0)
93 x 4 3 ( x 2 + 1) 5
Nh vËy hµm sè lâm trªn mäi [a,b]⊂ (-∝,0) vµ [a,b]⊂ (0,+∝).
3. Ta cã:
(
lim 3 x 2 − 3 x 2 + 1 = 0
x →∞
)
Nªn y=0 lµ tiÖm cËn ngang.
4. B¶ng biÕn thiªn vµ ®å thÞ

x −∞ 0 +∞
y‘ - +
y 0 0

-1

§å thÞ




H×nh 8
4. Kh¶o s¸t ®êng cong theo ph¬ng tr×nh tham sè
C¸c bíc kh¶o s¸t ®êng cong cho bëi ph¬ng tr×nh tham sè:
 x = x (t )

 y = y (t )
còng gièng nh khi kh¶o s¸t ®êng cong cho bëi ph¬ng tr×nh y=f(x). Tuy nhiªn chó ý nh÷ng
®iÒu sau:
1. T×m miÒn x¸c ®Þnh cña c¶ x, y theo t. NhËn xÐt tÝnh ch½n lÎ, tuÇn hoµn theo t.
2. XÐt sù biÕn thiªn cña x vµ y theo t b»ng c¸c ®¹o hµm x’ t vµ y’t.
lim y (t ) = ∞
 t →t 0
3. NÕu  th× x=a lµ tiÖm cËn ngang.
lim x(t ) = a
 t →t 0
lim y (t ) = b
 t →t 0
 th× y=b lµ tiÖm cËn ®øng.
lim x(t ) = ∞
 t →t 0
NÕu lim x(t ) = ∞ vµ
t →t 0

y (t ) b = lim[ y (t ) − a.x(t )]
a = lim
, t →t 0
t→t 0 x (t )

Th× y=ax+b lµ ®êng tiÖm cËn xiªn.



Trang 17
VÝ dô 4.18:
a. Kh¶o s¸t ®êng Axtroit:
2 2 2

x +y =a
3 3 3

§a vÒ ph¬ng tr×nh tham sè b»ng phÐp ®æi biÕn:

 x = a cos t
3


 y = a sin 3 t

Ta thÊy x, y x¸c ®Þnh víi mäi t vµ tuÇn hoµn víi chu kú 2 π do ®ã ta chØ cÇn xÐt trªn
kho¶ng [0,2π].
π 3π
x’t=-3acos2tsint=0 khi t=0, t= , t=π, t= , t=2π
2 2
π 3π
y’t=3acostsin2t=0 khi t=0, t= , t=π, t= , t=2π
2 2
B¶ng biÕn thiªn:

t 0 π π 3π 2π
2 2
x’ 0 - 0 - 0 + 0 + 0
x a 0 0
a
-a
y’ 0 + 0 - 0 - 0 + 0
y a 0
0
0 -a

Ta cã:
dy 3a sin 2 t cos t
= = −tgt =0 taÞ t=0 vµ t=π, t=2π
dx − 3a sin t cos 2 t
Nªn tiÕp tuyÕn t¹i c¸c ®iÓm ®ã lµ trôc Ox.
§êng cong cã ®å thÞ:




H×nh 9
b. Kh¶o s¸t ®êng l¸ §Òc¸c
x3+y3 – 3axy=0
§a vÒ ph¬ng tr×nh tham sè b»ng phÐp ®æi biÕn: y=xt ta ®îc:
x3+x3t3 – 3a x2t=0
Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè:




Trang 18
 3at
x = 1 + t 3

 2
 y = 3at

 1 + t3
1 − 2t 3 1
x’t= 3a = 0 khi t= 3
(1 + t )
3 2
2
2 − t3
y’t= 3at =0 khi t=0 hoÆc t= 3 2
(1 + t 3 ) 2
Khi t → −1 , x vµ y ®Òu dÇn tíi ∞ , vµ ta cã:
y
k= lim = lim t = −1
t → −1 x t → −1

 3at 2 3at 
b= tlim[ y − kx] = tlim  → −1 1 + t
+ 
→ −1

3
1+ t3 
t (t + 1)
= 3a tlim = −a
→ −1 (t + 1)(t 2 − t + 1)

VËy tiÖm cËn xiªn lµ: y= -x – a
B¶ng biÕn thiªn:

t −∞ -1 0 3 +∞
3
2 −1 2
x’ + + + - -
x + a 4 3

a3 2
−∞
0
0
y’ - 0 - 0 + 0 + 0 - 0
y + ∞ a3 4
0 a3 2
0
−∞ 0

dy t (2 − t 3 )
Ta cã: =
dx 1 − 2t 3
dy
= 0 t¹i t=0, t= 3 2
dx
dy 1
= ∞ t¹i t= ∞ , t= 3
dx 2
§å thÞ ®i qua gèc to¹ ®é hai lÇn øng víi t=0 vµ t= ∞ vµ Ox, Oy lµ c¸c tiÕp tuyÕn t¹i ®ã.
§å thÞ cña hµm sè:




Trang 19
H×nh 10
c. §êng Xycloit
 x = R (t − sin t )

 y = R (1 − cos t )
XÐt chuyÓn ®éng cña mét ®êng trßn b¸n kÝnh R. LÊy mét ®iÓm tuú ý nhng cè ®Þnh
trªn ®êng trßn, cho ®êng trßn l¨n kh«ng trît trªn mét ®êng th¼ng, khi ®ã quü ®¹o cña ®iÓm
cã ph¬ng tr×nh lµ ®êng Xycloit.
ThËt vËy, gi¶ sö ®iÓm ®îc chän M b¾t ®Çu ®Æt t¹i gèc O cña hÖ trôc to¹ ®é. Sau khi
quay ®îc mét gãc t th× M cã to¹ ®é (x,y).
Trªn h×nh vÏ ta cã:




H×nh 11
x=OF=ON - FN= NM – MG=Rt – Rsint
y=FM=NG=ND – GD= R – R cos t
Ta thÊy x, y x¸c ®Þnh víi mäi t vµ tuÇn hoµn víi chu kú 2π, vËy ta xÐt trªn ®o¹n [0,2π].
x’t=a(1-cost)=0 khi t=0 vµ t=2π.
y’t=asin t=0 khi t=0, t=π, t=2π
dy sin t dy
= = 0 khi t=0, t=π, = ∞ khi t=2π
dx 1 − cos t dx
Ta cã b¶ng biÕn thiªn:


t 0 π 2π
x’ 0 +  + 0
x 2


0
y’ 0 + 0 - 0
y 2a
0
0


5. §êng cong cho bëi to¹ ®é cùc
a. HÖ to¹ ®é cùc
§Þnh nghÜa 3: Trong mÆt ph¼ng chän ®iÓm O cè ®Þnh gäi lµ gèc cùc. Chän trôc Ox
®Þnh híng vµ gäi lµ trôc cùc. LÊy tuú ý ®iÓm M trong mÆt ph¼ng, khi ®ã vÐc t¬ OM x¸c
®Þnh t¬ng øng bëi:
+ Gãc ®Þnh híng gi÷a trôc Ox vµ OM : ϕ = (Ox, OM )
+ §é dµi ®¹i sè cña vÐc t¬ OM : r= OM
Khi ®ã M hoµn toµn x¸c ®Þnh bëi cÆp hai sè: (r,ϕ).
NÕu ta chän 0≤ϕ ≤ 2π vµ r≥ 0 th×
th× gi÷a M vµ (r,ϕ) cã t¬ng øng



Trang 20
mét_mét. Khi ®ã ta nãi (r,ϕ) lµ to¹
®é cùc cña M vµ viÕt M=M(r,ϕ) vµ
hÖ to¹ ®é x©y dùng bëi cùc O vµ trôc
Ox gäi lµ hÖ to¹ ®é cùc. H×nh 12
Riªng ®èi víi gèc O ta coi r=0 vµ ϕ tuú ý.
Trong nhiÒu trêng hîp ta xÐt hÖ to¹ ®é cùc më réng, khi ®ã cã thÓ r0)




Trang 22

Ta thÊy r lµ hµm tuÇn hoµn chu kú , v× thÕ chØ cÇn kh¶o s¸t hµm sè trªn kho¶ng
3
 π π 2π
− 3 , 3  sau ®ã quay tõng gãc 3 ; h¬n n÷a r lµ hµm lÎ nªn chØ cÇn kh¶o s¸t trªn kho¶ng
 
 π
0, 3  råi lÊy ®èi xøng qua gèc cùc O.
 
V× r’=3acos3ϕ nªn ta cã:
π r 1
r’=0 khi ϕ = , tgβ = = tg 3ϕ
6 r' 3
LËp b¶ng biÕn thiªn:

ϕ 0 π π
6 3
r’ 3a + 0 - -3a
r a
0
0

tgβ 0 ∝ 0

 π  π π
§å thÞ øng víi 0, 3  gåm mét c¸nh, øng víi chu kú − 3 , 3  gåm hai c¸nh ®èi xøng.
   
Quay toµn bé ®å thÞ ta ®îc h×nh hoa hång 3 c¸nh.




H×nh 14
c. §êng Cac®oit
r=2a(1+cosϕ)
Hµm r x¸c ®Þnh víi mäi ϕ vµ tuÇn hoµn víi chu kú 2π. Ta kh¶o s¸t trªn [-π,π]. r lµ hµm
ch½n nªn ®èi xøng qua trôc cùc Ox, vµ ta chØ cÇn kh¶o s¸t trªn [0,π].
r’= - 2a sinϕ, r’=0 khi ϕ=0 vµ ϕ=π
r 2a(1 + cos ϕ ) ϕ π ϕ 
tgβ = = = − cot g = tg  + 
r' − 2a sin ϕ 2 2 2
B¶ng biÕn thiªn:

ϕ 0 π π
2
r’ 0 - -2a - 0
r 4a

2a
0



Trang 23
§å thÞ cho trªn h×nh




H×nh 15

Bµi tËp ch¬ng 5
1. Dïng ®Þnh nghÜa t×m ®¹o hµm t¹i mét ®iÓm
 2x 2
 x≠0
a. f(x)=  x t¹i x=0
 0 x=0

 sin 2 πx
 x ≠1
b. f(x)=  x − 1 t¹i x=1
 0 x =1

x
c. f(x)=x+(x-1) arcsin t¹i x= -1
1+ x
 x2
1 + x≠0
d. f(x)=  x t¹i x=0
 1 x=0

2. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè
1 1 1
a. y=x+ x + 3 x b. y= + +3
x x x
1 + x3
c. y= x + x + x d. y= 3
1 − x3
ax 2 b 3
x
d. y= n + m (1 − x) n (1 + x) m f. y= 3 + −
x x x x
3. TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè
a. y=ln(sin2x) b. y=log3(x2 – sin x)
a + a2 + x2
c. y= a 2 + x 2 − a ln
x
d. y=sin2x.sin3x.sin5x e. y=(1+x) 2 + x 2 3 3 + x 3
5
( x − 1) 2 1
f. y= g. y= x x
4
( x − 2) 3 3 ( x − 3) 7
x x
h. y= e x i. y=x+xx+ x x (x>0)
4. TÝnh ®¹o hµm
b. y= ( x − 1)( x + 1)
3
a. y=x x
d. y= [ x ] sin 2 (π x)
3
c. y=sin x




Trang 24
1 − x x 2 1 x >1
 e

5. TÝnh c¸c ®¹o hµm
tgx
a. y=exsin x b. y=
arcsin x
1 1
c. y=tg x cos2x d. y= −
arctgx arcsin x
e. y= (arctgx ) arcsin x f. y= (1 + x ) ln x
6. Chøng minh r»ng ®o¹n tiÕp tuyÕn cña ®êng Hypeb«n xy=m gåm gi÷a c¸c trôc to¹ ®é bÞ
tiÕp ®iÓm chia lµm hai phÇn b»ng nhau.
7. Cho
f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100) tÝnh f’(0)
8. Chøng tá r»ng hµm sè:
f(x)= x − a ϕ (x)
Trong ®ã ϕ(x) liªn tôc vµ ϕ(a)≠ 0 kh«ng cã ®¹o hµm t¹i x=a.
9. T×m c¸c gi¸ trÞ cña n ®Ó
 n 1
 x sin x≠0
f(x)=  x
0
 x=0
1. Liªn tôc t¹i x=0
2. Kh¶ vi t¹i x=0
3. Cã ®¹o hµm liªn tôc t¹i x=0
10. T×m vi ph©n c¸c hµm sè
1 x−a
b. y=ln x + x + a
2
a. y= ln
2a x + a
1 x x
c. y= arctg d. y=arcsin
a a a
11. TÝnh gÇn ®óng b»ng vi ph©n
a. 3 1,02 b. 10 1000
c. sin 29o d. lg11
e. arctg1,05 f. e0,02
12. T×m vi ph©n
a. d(xex) b. d( a 2 + x 2
 x 
c. d 


 d. d[ln(1 - x2)]
 1− x
2

13. T×m vi ph©n
 sin x 
d (x3 − 2x6 − x9 ) d 
a. b.  x 
d (x3 )
d (x 2 )
d (sin x) d( 1− x2 )
c. d.
d (cos x) d (arcsin x)
14. TÝnh c¸c ®¹o hµm cÊp cao




Trang 25
1+ x
a. y= TÝnh y(100)
1− x
b. y=x2e2x TÝnh y(20)
2
x
c. y= TÝnh y(8)
1− x
d. y=x2sin2x TÝnh y(50)
15. TÝnh ®¹o hµm cÊp n
1 1
a. y= b. y=
x(1 − x) x − 3x + 2
2

x
c. y= 3 d. y=ea xsin(bx+c)
1+ x
16. Dïng quy n¹p chøng minh
1
(n)
 n −1 1  (−1) n e x
x ex  =
  x n +1
 
17. Chøng minh r»ng
1
a. Hµm y= m−1
cos(m arccos x)
2
tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: (1 – x2)y”=xy’ – m2y
b. §a thøc
1
pm(x)= m ( x − 1)
2 m!
2
[m m
(m=0,1,2,…)]
Tho¶ m·n ph¬ng tr×nh
(1 – x2)p”m(x) – 2xp’m(x)+m(m+1)pm(x)=0
18. TÝnh y’x vµ y”xx cña hµm cho bëi ph¬ng tr×nh tham sè
 x = 2t − t 2
  x = a cos t
a.  b. 
 y = 3t − t 3
  y = a sin t
 x = a (t − sin t )
c. 
 y = a (1 − cos t )
19. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc
a. pyp-1(x-y) ≤ xp - yp ≤ pxp-1 (x-y) nÕu 0 ψ(x) khi x > x0.
25. LËp c«ng thøc C«si cho c¸c hµm trªn [a,b]:
a. f(x)=e2x b. g(x)=1+ex
26. ¸p dông quy t¾c Lopitan t×m giíi h¹n
π − 2arctgx
x − arctgx lim
a. lim b. x →0 1
x →0 x3 ln(1 + )
x
a −b
x x
e −e
tgx x
c. lim x d. lim
x →0 c − d x x →0 tgx − x

1
1
πx e − cos
x
ln(1 − x) + tg x
e. lim 2 f. lim
x →∞
1
x →0 cot gπx 1− 1− 2
x
27. T×m c¸c giíi h¹n
b. lim[ (π − 2arctgx) ln x ]
1
a. lim x(e x − 1) x →∞
x →∞
sin x 2 x −π
c. lim x
x →0
d. lim(tgx )
x →0
tgx
1
1
e. lim(e + x)
x x f. lim 
x →0  
x →0 x

 πx 
lim (tgx) 2 x −π
g. lim(2 − x )  2 a 
tg  
h. x→
π
x→a a 2
1
 
i. lim x + x + x − x  j. lim sin x 
x2
 
x →∞
  x →0
 x 
1 1

k. lim arcsin x  l. lim arctgx  .
x2 x2
   
x →0
 x  x →0
 x 
1
1
m. lim arcshx  n. lim( arccos x ) x 2
x2
  x →0
x →0
 x 
28. x¸c ®Þnh a, b sao cho biÓu thøc sau cã giíi h¹n h÷u h¹n khi x → 0:
1 1 a b
f(x)= 3 − 3 − 2 −
sin x x x x
29. Khai triÓn ®a thøc x3+3x2 – 2x+1 thµnh c¸c luü thõa cña (x+1).
30. Khai triÓn Macloranh hµm f(x)=xex.
31. Cho f(x)=x10 – 3x6+x2+2, t×m ba sè h¹ng ®Çu cña khai triÓn Taylo t¹i x 0=1, ¸p dông ®Ó
tÝnh gÇn ®óng f(1,03).
32. Cho f(x)=x8 – 2x7+5x6 – x+2, t×m ba sè h¹ng ®Çu cña khai triÓn Taylo t¹i x 0=2, ¸p
dông ®Ó tÝnh gÇn ®óng f(2,02) vµ f(1,98).
33. Chøng tá r»ng víi 0 0)
2
x3
c. x − < sin x < x ( x > 0)
6
x3 π
d. tgx> x + (0 < x < )
3 2
38. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm y=x2lnx trªn [1,e].
x2 y2
39. Trong nh÷ng h×nh ch÷ nhËt néi tiÕp elip 2 + 2 = 1 cã c¸c c¹nh song song víi c¸c trôc
a b
cña elip, t×m h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lín nhÊt.
40. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè
2 − x2 x−2
a. y= b. y= 2
1+ x4 x +1
3
x3
c. y= 1 + x
2
d. y= 1 − x +
2 x3 + x
41. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ
 x = 2t − t 2
  x = 2a cos t − a cos 2t
a.  b. 
 y = 3t − t 3
  y = 2a sin t − a sin 2t
 x = at − h sin t  x = at − a cos 2t
c.  (0
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản