Đạo hàm - vi phân

Chia sẻ: cong12121992

Tham khảo bài thuyết trình 'đạo hàm - vi phân', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Đạo hàm - vi phân

C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
ξ 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0 ∈
(a,b). Nếu tồn tại f ( x ) − f ( x0 )
lim
x − x0
x → x0
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại
x0. Ký hiệu f’(x0), y’(x0)
Đặt ∆ x = x – x0, ta có x = x0 + ∆ x và
đặt ∆ y = f(x0 + ∆ x) – f(x0) thì
∆y
y' = lim Ký hiệu dy/dx, df/dx
∆x →0 ∆x
1
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
∆y
y' = lim
- Đạo hàm bên phải:
∆x →0 + ∆x

∆y
y' = lim
- Đạo hàm bên trái:
∆x →0 − ∆x
- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có
đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó,
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại
mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và
đạo hàm trái tại b

Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx
2
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
• u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
• u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
'
u  u' v − v ' u
• u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠ 0 và   =

v2
v
Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có
đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo
hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).
3
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của hàm số ngược:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và
có hàm số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo
hàm tại y = f(x):
1 1
−1
( f )' ( y ) = =
f ' ( x ) f ' [ f −1( y )]
Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx




4
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
1
(loga x )' =
(c)’ = 0
x ln a
(xα)’ = αxα-1 1
(ln x )' =
x
(ax)’ = axlna
1
(ex)’ = ex (arcsin x )' =
1 − x2
(sinx)’ = cosx
1
(arccos x )' = −
(cosx)’ = -sinx
1 − x2
1
( tgx )' = 1
(arctgx )' =
cos 2 x
1 + x2
1 1
(cot gx )' = − 2 (arc cot gx )' = −
sin x 1 + x2
5
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm cấp cao :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là
đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1
gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)
d2 y d2f
,
2
dx 2
dx
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo
hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x).
dn y dnf
,
n
dx n
dx
6
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ: Cho y = xα (α ∈ R, x > 0), y = kex, tìm y(n)
Công thức Leibniz:
Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó
ta có:
(u + v)(n) = u(n) + v(n)
n
= ∑ Cku(n−k ).v k trong đó u(0) = u, v(0) = v
(n )
(uv ) n
k =0




7
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
ξ 2. VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy
= y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số
f.
Vi phân của tổng, tích, thương:
d(u + v) = du + dv
d(u.v) = vdu + udv
 u  vdu − udv
d  =
v2
v

8
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký
hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp
n của hàm số f.




9
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
ξ 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi
trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f’(c)
= 0.
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b],
khả vi trong (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho
f (b) − f (a)
= f ' (c )
b−a
Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của
định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a).
10
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả
vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a,b) thì tồn tại
c ∈ (a,b) sao cho
f (b) − f (a) f ' (c )
=
g(b) − g(a) g' (c )
Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt
của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x.




11
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1)
trong lân cận D của x0 thì ∀x ∈ D, x ≠ x0 thì tồn tại c
nằm giữa x và x0 sao cho:
f ' ( x0 ) f " ( x0 )
( x − x0 )2 + ...
f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) +
1! 2!
f (n+1) (c )
f (n ) ( x 0 ) n+1
n
... + ( x − x0 ) + ( x − x0 )
(n + 1)!
n!
Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang
f (n+1) (c )
( x − x0 )n+1
Rn ( x ) =
(n + 1)!
12
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
• Đa thức Taylor:
f k ( x0 )
n
k
Pn ( x ) = ∑ ( x − x0 )
k =0 k!

Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức
Maclaurin
f ( n ) (0) n f ( n +1) (c) n +1
f ' ( 0) f " ( 0) 2
f ( x ) = f ( 0) + x+ x + ... + x+ x
(n + 1)!
1! 2! n!



13
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x
∈ (a,b)
f ' (x) f ' ( x)
= lim =L
lim
lim f ( x ) = lim g( x ) = 0
x →a g' ( x ) x →a g' ( x )
x →a x →a
Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:
lim f ( x ) = lim g( x ) = ∞
lim f ( x ) = lim g( x ) = 0
x →a x →a
x →∞ x →∞
lim f ( x ) = lim g( x ) = ∞
x →∞ x →∞
• Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
14
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
1. Dạng 0/0, ∞ /∞
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)
x3 − 27 tgx − x
lim
lim 2
x →0 x − sin x
x →3 x − 4 x + 3
π
− arctgx
x − sin x
lim 2
lim
1
x3
x →0 x →∞
x
Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng ∞ /∞ )
xn
ln x
ln x lim x
lim n
lim
x →+ ∞e
x →+ ∞ x
x →0 + cot gx
15
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
2. Dạng 0.∞ , ∞ - ∞ : Chuyển chúng về dạng 0/0, ∞ /∞ .
Ví dụ:
1
− tgx )
5 2 lim (
lim ( 4 − x )tg( πx / 4)
lim x ln x
x →π / 2 cos x
x →0 + x →2

3. Dạng vô định: 00, 1∞ , ∞ 0:
Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0)

Ví dụ: 1
2
x2
x1− x lim (cot gx )ln x
lim x lim
x →0 + x →1
x →1

16
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
CỰC TRỊ
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu)
tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x) ≤ f(x0)
(f(x) ≥ f(x0)).
Chiều biến thiên của hàm số:
Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):
1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f tăng.
2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f giảm.


17
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Điều kiện cần của cực trị:
Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0
và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0.

Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số
không đạt cực trị.
Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0)
không tồn tại.




18
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện
sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f:
a) Không tồn tại f’(x)
b) f’(x) = 0
Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0
được gọi là điểm dừng của f.




19
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Điều kiện đủ của cực trị:
Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0
a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương
sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0.
b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang
dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0.
c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x)
không đạt cực trị tại x0.


20
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân
cận điểm x0 và f’(x) = 0.
a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu.
b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại.
Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:
1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai
đầu mút.
2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính
trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm).

21
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4]




22
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Biến kinh tế: Sản lượng
Q Quantity
Lượng cung
QS Quantity Supplied
Lượng cầu
QD Quantity
Demanded
Giá cả
P Price
C Cost Chi phí
Tổng chi phí
TC Total Cost
R Revenue Doanh thu
Tổng doanh thu
TR Total Revenue
Lợi nhuận
Pr Profit
Tư bản
K Capital
Lao động
L Labour
Định phí
FC Fix Cost
23
Biến phí
VC Variable Cost
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Hàm số kinh tế:
• Hàm sản xuất : Q = f(K,L)
• Hàm doanh thu : TR = PQ
• Hàm chi phí : TC = f(Q)
• Hàm lợi nhuận : π = TR - TC
Thuê mặt bằng, 50.000đ/ngà
Ví dụ: Một quán bún bình điện nước y
dân, hãy tính mỗi ngày bán Bún 300đ/tô
bao nhiêu tô thì có lời với giá Gia vị 200đ/tô
bán 5.000đ/tô và chi phí như Thịt bò, heo 2.000đ/tô
sau: Nhân viên 500đ/tô
24
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế:

• Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi
của sản lượng khi tăng lao động hay vốn lên một đơn vị.

• Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp
và cho nhận xét khi L=100 cho bởi hàm sản xuất sau:
Q=5 L




25
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
• Chi phí biên MC: (Marginal Cost)
Hàm chi phí: TC = TC(Q)
MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản
lượng tăng lên một đơn vị.
• Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho
nhận xét.
TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100




26
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
• Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue)
Hàm doanh thu: TR = PQ
• Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp
quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của
doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.
• Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường
quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của
doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị.
• Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:
Q = 1.000 – 14P
Tìm MR khi p = 40 và p = 307
2
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
• Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit)
Hàm lợi nhuận: π = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q))
Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi
nhuận khi giá hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.




28
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
• Tối đa hóa lợi nhuận:
Hàm chi phí: TC = TC(x)
Hàm cầu: x = QD = f(P)
Giả sử thị trường độc quyền:
Hàm lợi nhuận: π = TR – TC = Px – TC(x)
 dπ d(TR − TC )
 dx = 0 =0
 dx
 
⇔ 2
2
d π < 0 d (TR − TC ) < 0
dx 2  dx 2
 

29
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
•Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung
cấp thông tin:
Định phí: FC = 600
Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6x
Hàm cầu: x = -7/8 P + 100
Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tốt đa.




30
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản