Đạo hàm - vi phân

Chia sẻ: Ngo Van Cong | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:30

0
439
lượt xem
161
download

Đạo hàm - vi phân

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo bài thuyết trình 'đạo hàm - vi phân', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đạo hàm - vi phân

  1. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0 ∈ (a,b). Nếu tồn tại f ( x ) − f ( x0 ) lim x − x0 x → x0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0. Ký hiệu f’(x0), y’(x0) Đặt ∆ x = x – x0, ta có x = x0 + ∆ x và đặt ∆ y = f(x0 + ∆ x) – f(x0) thì ∆y y' = lim Ký hiệu dy/dx, df/dx ∆x →0 ∆x 1
  2. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ∆y y' = lim - Đạo hàm bên phải: ∆x →0 + ∆x ∆y y' = lim - Đạo hàm bên trái: ∆x →0 − ∆x - Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx 2
  3. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: • u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ • u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u ' u  u' v − v ' u • u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠ 0 và   =  v2 v Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). 3
  4. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x): 1 1 −1 ( f )' ( y ) = = f ' ( x ) f ' [ f −1( y )] Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 4
  5. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: 1 (loga x )' = (c)’ = 0 x ln a (xα)’ = αxα-1 1 (ln x )' = x (ax)’ = axlna 1 (ex)’ = ex (arcsin x )' = 1 − x2 (sinx)’ = cosx 1 (arccos x )' = − (cosx)’ = -sinx 1 − x2 1 ( tgx )' = 1 (arctgx )' = cos 2 x 1 + x2 1 1 (cot gx )' = − 2 (arc cot gx )' = − sin x 1 + x2 5
  6. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d2 y d2f , 2 dx 2 dx Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). dn y dnf , n dx n dx 6
  7. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Cho y = xα (α ∈ R, x > 0), y = kex, tìm y(n) Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n = ∑ Cku(n−k ).v k trong đó u(0) = u, v(0) = v (n ) (uv ) n k =0 7
  8. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ 2. VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f. Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv  u  vdu − udv d  = v2 v 8
  9. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. 9
  10. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f (b) − f (a) = f ' (c ) b−a Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). 10
  11. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f (b) − f (a) f ' (c ) = g(b) − g(a) g' (c ) Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x. 11
  12. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x0 thì ∀x ∈ D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho: f ' ( x0 ) f " ( x0 ) ( x − x0 )2 + ... f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + 1! 2! f (n+1) (c ) f (n ) ( x 0 ) n+1 n ... + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) (n + 1)! n! Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang f (n+1) (c ) ( x − x0 )n+1 Rn ( x ) = (n + 1)! 12
  13. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN • Đa thức Taylor: f k ( x0 ) n k Pn ( x ) = ∑ ( x − x0 ) k =0 k! Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin f ( n ) (0) n f ( n +1) (c) n +1 f ' ( 0) f " ( 0) 2 f ( x ) = f ( 0) + x+ x + ... + x+ x (n + 1)! 1! 2! n! 13
  14. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x ∈ (a,b) f ' (x) f ' ( x) = lim =L lim lim f ( x ) = lim g( x ) = 0 x →a g' ( x ) x →a g' ( x ) x →a x →a Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: lim f ( x ) = lim g( x ) = ∞ lim f ( x ) = lim g( x ) = 0 x →a x →a x →∞ x →∞ lim f ( x ) = lim g( x ) = ∞ x →∞ x →∞ • Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần. 14
  15. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. Dạng 0/0, ∞ /∞ Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0) x3 − 27 tgx − x lim lim 2 x →0 x − sin x x →3 x − 4 x + 3 π − arctgx x − sin x lim 2 lim 1 x3 x →0 x →∞ x Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng ∞ /∞ ) xn ln x ln x lim x lim n lim x →+ ∞e x →+ ∞ x x →0 + cot gx 15
  16. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. Dạng 0.∞ , ∞ - ∞ : Chuyển chúng về dạng 0/0, ∞ /∞ . Ví dụ: 1 − tgx ) 5 2 lim ( lim ( 4 − x )tg( πx / 4) lim x ln x x →π / 2 cos x x →0 + x →2 3. Dạng vô định: 00, 1∞ , ∞ 0: Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0) Ví dụ: 1 2 x2 x1− x lim (cot gx )ln x lim x lim x →0 + x →1 x →1 16
  17. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN CỰC TRỊ Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)). Chiều biến thiên của hàm số: Định lý: Cho f khả vi trong (a,b): 1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f tăng. 2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f giảm. 17
  18. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện cần của cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0. Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị. Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại. 18
  19. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f: a) Không tồn tại f’(x) b) f’(x) = 0 Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f. 19
  20. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện đủ của cực trị: Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0. b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0. c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0. 20
Đồng bộ tài khoản