Đạo hàm - vi phân

Chia sẻ: cong12121992

Tham khảo bài thuyết trình 'đạo hàm - vi phân', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Đạo hàm - vi phân

 

  1. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0 ∈ (a,b). Nếu tồn tại f ( x ) − f ( x0 ) lim x − x0 x → x0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0. Ký hiệu f’(x0), y’(x0) Đặt ∆ x = x – x0, ta có x = x0 + ∆ x và đặt ∆ y = f(x0 + ∆ x) – f(x0) thì ∆y y' = lim Ký hiệu dy/dx, df/dx ∆x →0 ∆x 1
  2. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ∆y y' = lim - Đạo hàm bên phải: ∆x →0 + ∆x ∆y y' = lim - Đạo hàm bên trái: ∆x →0 − ∆x - Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx 2
  3. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: • u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ • u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u ' u  u' v − v ' u • u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠ 0 và   =  v2 v Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). 3
  4. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x): 1 1 −1 ( f )' ( y ) = = f ' ( x ) f ' [ f −1( y )] Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 4
  5. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: 1 (loga x )' = (c)’ = 0 x ln a (xα)’ = αxα-1 1 (ln x )' = x (ax)’ = axlna 1 (ex)’ = ex (arcsin x )' = 1 − x2 (sinx)’ = cosx 1 (arccos x )' = − (cosx)’ = -sinx 1 − x2 1 ( tgx )' = 1 (arctgx )' = cos 2 x 1 + x2 1 1 (cot gx )' = − 2 (arc cot gx )' = − sin x 1 + x2 5
  6. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d2 y d2f , 2 dx 2 dx Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). dn y dnf , n dx n dx 6
  7. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Cho y = xα (α ∈ R, x > 0), y = kex, tìm y(n) Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n = ∑ Cku(n−k ).v k trong đó u(0) = u, v(0) = v (n ) (uv ) n k =0 7
  8. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ 2. VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f. Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv  u  vdu − udv d  = v2 v 8
  9. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. 9
  10. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f (b) − f (a) = f ' (c ) b−a Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). 10
  11. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f (b) − f (a) f ' (c ) = g(b) − g(a) g' (c ) Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x. 11
  12. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x0 thì ∀x ∈ D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho: f ' ( x0 ) f " ( x0 ) ( x − x0 )2 + ... f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + 1! 2! f (n+1) (c ) f (n ) ( x 0 ) n+1 n ... + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) (n + 1)! n! Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang f (n+1) (c ) ( x − x0 )n+1 Rn ( x ) = (n + 1)! 12
  13. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN • Đa thức Taylor: f k ( x0 ) n k Pn ( x ) = ∑ ( x − x0 ) k =0 k! Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin f ( n ) (0) n f ( n +1) (c) n +1 f ' ( 0) f " ( 0) 2 f ( x ) = f ( 0) + x+ x + ... + x+ x (n + 1)! 1! 2! n! 13
  14. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x ∈ (a,b) f ' (x) f ' ( x) = lim =L lim lim f ( x ) = lim g( x ) = 0 x →a g' ( x ) x →a g' ( x ) x →a x →a Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: lim f ( x ) = lim g( x ) = ∞ lim f ( x ) = lim g( x ) = 0 x →a x →a x →∞ x →∞ lim f ( x ) = lim g( x ) = ∞ x →∞ x →∞ • Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần. 14
  15. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. Dạng 0/0, ∞ /∞ Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0) x3 − 27 tgx − x lim lim 2 x →0 x − sin x x →3 x − 4 x + 3 π − arctgx x − sin x lim 2 lim 1 x3 x →0 x →∞ x Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng ∞ /∞ ) xn ln x ln x lim x lim n lim x →+ ∞e x →+ ∞ x x →0 + cot gx 15
  16. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. Dạng 0.∞ , ∞ - ∞ : Chuyển chúng về dạng 0/0, ∞ /∞ . Ví dụ: 1 − tgx ) 5 2 lim ( lim ( 4 − x )tg( πx / 4) lim x ln x x →π / 2 cos x x →0 + x →2 3. Dạng vô định: 00, 1∞ , ∞ 0: Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0) Ví dụ: 1 2 x2 x1− x lim (cot gx )ln x lim x lim x →0 + x →1 x →1 16
  17. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN CỰC TRỊ Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)). Chiều biến thiên của hàm số: Định lý: Cho f khả vi trong (a,b): 1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f tăng. 2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f giảm. 17
  18. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện cần của cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0. Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị. Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại. 18
  19. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f: a) Không tồn tại f’(x) b) f’(x) = 0 Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f. 19
  20. C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện đủ của cực trị: Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0. b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0. c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0. 20
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản