Đạo hàm

Chia sẻ: tranbaoquyen

Công thức đạo hàm và tích phân

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Đạo hàm

 

  1. ĐẠO HÀM (u ± v )/ = u / ± v / 1. (u.v )/ = u / .v + u.v / 2. (C.v )/ = C.v / 3. / u / .v − v / .u ⎛u⎞ ⎜ ⎟= ( v ≠ 0) 4. v2 ⎝v⎠ / − C.v / ⎛C ⎞ = ⎜⎟ 5. v2 ⎝v⎠ 6.(C ) = 0 / 7.( x ) = 1 / (u ) α/ = α ..x α −1 .u / ()α/ α −1 = α ..x 8. x / − v/ ⎛1⎞ ⎜⎟= 2 / −1 ⎛1⎞ 9.⎜ ⎟ = 2 ⎝v⎠ v ⎝ x⎠ x () u/ / () u= 1 / 10. x = 2. u 2. x (a ) = a . ln a.u u/ ( ) =a / u x/ 11. a . ln a x (e ) = e .u u/ 12.(e ) = e / u x/ x u/ (log a u )/ 1 = 13.(log a x ) = / u. ln a x. ln a u/ (ln u ) = 1 / 14.(ln x ) = / u x (sin u ) = u / . cos u / 15.(sin x ) = cos x / (cos u )/ = −u / . sin u 16.(cos x ) = − sin x / u/ (tan u )/ 1 17.(tan x ) = = / cos 2 u cos 2 x − u/ −1 (cot u )/ 18.(cot x ) = = / sin 2 u sin 2 x ax + b ad − bc y= ta có y / = 19. cx + d (cx + d ) 2 a1 x 2 + b1 x + c1 y= 20. ta có a 2 x 2 + b2 x + c 2
  2. a1 b1 2 a c1 b c1 x +2 1 x+ 1 a2 b2 a2 c2 b2 c2 y/ = (a x ) 2 + b2 x + c 2 2 2 • Tìm m để hàm số tăng (giảm) 1.Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ ) Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng xác định): y/ ≥ 0 ∀x ∈ R ⎧a > 0 Giải tìm m ⎨ ⎩Δ ≤ 0 Chú ý:Nếu hệ số a của y/ có chứa tham số thì phải xét khi a = 0 Tương tự cho hàm số giảm: ⎧a < 0 y/ ≤ 0 ∀x∈ R ⇔ ⎨ ⎩Δ ≤ 0 ax + b 2.Hàm số nhất biến : y = cx + d Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác định : y/ > 0 ( y/ < 0 ) . Giải tìm m Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c =0 • Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y/ = 0 có hai ⎧a ≠ 0 nghiệm phân biệt ⎨ ⎩Δ > 0 Giải tìm m • Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trị Tập xác định Đạo hàm y/ Giải ph ương trình y/ = 0 tìm nghiệm x0 Đạo hàm y//.Tính y//(x0) * Nếu y//(x0) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0
  3. * Nếu y//(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0 • Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x0 Cách 1: Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số đạt cực trị tại x0 : y/(x0) = 0 y/ đổi dấu khi x qua x0 Chú ý: Hàm số đạt cực tiểu tại x0 : y/ (x0) = 0 y/ đổi dấu từ “ – “ sang “ +” Hàm số đạt cực đại tại x0 : / y (x0) = 0 y/ đổi dấu từ “ + “ sang “–” Cách 2: Tập xác định Đạo hàm y/ Đạo hàm y// Hàm số đạt cực trị tại x0 : ⎧ y / ( x0 ) = 0 ⎨ // ⎩ y ( x0 ) ≠ 0 Cực đại: { y/ (x0) = 0 và y// (x0) < 0 } Cực tiểu : { y/ (x0) = 0 và y// (x0) > 0 } • Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 Tập xác định Đạo hàm y/ = f/ (x) Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi ⎧ f / ( x0 ) = 0 ⎪ ⎨ f ( x0 ) = y 0 ⎪ f // ( x ) ≠ 0 ⎩ 0 • Tìm GTLN,GTNN trên đoạn [a,b] Tìm xi ∈[a,b]: f/(xi) = 0 hoặc f/(xi) không xác định Tính f(a), f(xi) , f(b) Kết luận max y = max{ f (a); f ( xi ); f (b)} min y = min{ f (a ); f ( xi ); f (b)}
  4. • Tiếp tuyến của đường cong ( C) 1.Tiếp tuyến tại M(x0,y0): y = f/ (x0).(x – x0 ) + y0 2.Tiếp tuyến đi qua A(xA ,yA): (d): y = k.(x – xA) + yA = g(x) ⎧ f ( x) = g ( x) Điều kiện tiếp xúc: ⎨ / ⎩ f ( x) = g ( x) / k tt = f / ( x 0 ) = k d 3.Tiếp tuyến sg sg (d) k tt . k d = − 1 4.Ttuyến vuông góc (d) : • Biện luận số giao điểm của ( C) và d (d): y = k(x – xA) + yA = g(x) Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) • Nếu (*) là phương trình bậc 2: 1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d) 2) Xét a ≠ 0 : + Lập Δ = b2 – 4ac + Xét dấu Δ và kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⎧a ≠ 0 ⇔⎨ ⎩Δ > 0 • Nếu (*) là phương trình bậc 3: 1) Đưa về dạng (x – x0)(Ax2 + Bx + C) = 0 x = x0 ⎡ ⎢ Ax 2 + Bx + C = 0 = g ( x) (2) ⎣ 2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x0 3) Tính Δ của (2), xét dấu Δ và kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (2) có 2 no pb x1 , x2 khác x0) ⎧ A≠0 ⎪ ⇔ ⎨ Δ ( 2) > 0 ⎪g ( x ) ≠ 0 ⎩ 0 • Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình f (x) – g(m) = 0 Đưa phương trình về dạng : f(x) = g(m) (*) Ptrình (*) là ptrình hoành độ giao điểm của (C) :y = f(x) và (d): y = g(m) ( (d) // Ox ) Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình. LŨY THỪA
  5. • a n = a.a...a • (a.b) n = a n .b n ( n thừa số) n ⎛a⎞ an • a =1 0 •⎜ ⎟ = n ⎝b⎠ b 1 • a −n = • (a m ) n = (a n ) m = a m.n an m • a m+ n = a m .a n • a = n am n am 1 m− n •a =n • a =n a n a PHƯƠNG TRÌNH MŨ a =1 ⎧ 0 < a ≠1 ⎧ = a g ( x) ⇔ ⎨ ∨⎨ a f ( x) ⎩ f ( x) = g ( x) ⎩ D f ( x ) ∩ D g ( x ) a>0 ⎧ > a g ( x) ⇔ ⎨ a f ( x) ⎩(a − 1).[ f ( x) − g ( x)] > 0 • a >1 thì a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x) • 0 < a < 1 thì a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x) LOGARIT • log a 1 = 0 • log a N = M ⇔ a M = N • log a a = 1 ( a, N > 0 , a ≠ 1 ) • log a a N = N • a log a N = N • log a N1 .N 2 = log a N1 + log a N 2 N1 • log a = log a N1 − log a N 2 N2 log b N • log a N = • log b a. log a N = log b N log b a 1 • log a N = log N a 1 • log a k N = • log a N k = k . log a N log a N k • a >1 thì log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) > 0 • 0 < a < 1 thì log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ 0 < f ( x) < g ( x)
  6. 0 < a ≠1 ⎧ ⎪ log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ ⎨ f ( x) > 0 ( g(x) > 0 ) ⎪ f(x) = g(x) ⎩ ⎧ 0 < a ≠1 ⎪ f ( x) > 0 ⎪ log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ ⎨ g(x) > 0 ⎪ ⎪(a - 1)[f(x) - g(x)] > 0 ⎩ SỐ PHỨC ⎧a = c * i 2 = −1 a + b.i = c + d .i ⇔ ⎨ ⎩b = d 1 z =2 * c + d .i (c + d .i )(a − b.i ) zz = * a + b.i (a + b.i )(a − b.i ) * * z 1 + z 2 = z1 + z 2 z = a + b.i = a 2 + b 2 * z1 − z 2 = z1 − z 2 * z = a + b.i ⇒ z = a − b.i ⎞ z1 ⎛z ⎟= * z 1 . z 2 = z1 . z 2 ; ⎜ 1 ⎟z ⎜z * z = z = a +b 2 2 ⎠ ⎝2 2 1. α = a + b.i .Gọi β là căn bậc 2 của α , ta cĩ: ⎞ ⎛ a + a2 + b2 − a + a2 + b2 ⎟ ⎜ b≥ 0: β =± + i. ⎟ ⎜ 2 2 ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ a + a2 + b2 − a + a2 + b2 ⎟ ⎜ b< 0: β =± − i. ⎟ ⎜ 2 2 ⎠ ⎝ ⎧ ⎪r = a 2 + b 2 ⎪ ⎪ a 2. z = r (cos ϕ + i. sin ϕ ) ⎨ cos ϕ = r ⎪ b ⎪ sin ϕ = ⎪ ⎩ r 3. z1 .z 2 = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i. sin(ϕ1 + ϕ 2 )] z r 4. 1 = 1 [cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i. sin(ϕ1 − ϕ 2 )] z 2 r2 11 = [cos(−ϕ ) + i. sin( −ϕ )] 5. zr 6. [r (cos ϕ + i. sin ϕ )] = r n (cos nϕ + i. sin nϕ ) n
  7. [(cos ϕ + i. sin ϕ )]n = (cos nϕ + i. sin nϕ ) 1)∫ dx = x + C ∫ kdx = kx + C 1 (ax + b)α +1 xα +1 2)∫ x dx = + C ∫ (ax + b) dx = α α +C α +1 a α +1 1 1 dx 3)∫ dx = ln x + C ∫ = ln ax + b + C ax + b a x −1 −1 1 1 dx 4)∫ 2 dx = +C ∫ = +C a (ax + b) (ax + b) 2 x x 1 5)∫ e x dx = e x + C ∫e ( ax+b ) dx = e (ax+b) + C a 1 a (cx+d ) x a 6)∫ a x dx = + C ∫ a (cx+d ) dx = +C ln a c ln a −1 7)∫ sin xdx = − cos x ∫ sin(ax + b)dx = cos(ax + b) a 1 8)∫ cos xdx = sin x ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) a 1 dx dx 9)∫ ∫ cos2 (ax + b) = a tan(ax + b) = tan x 2 cos x −1 dx dx 10)∫ 2 = − cot x ∫ 2 = cot(ax + b) sin (ax + b) a sin x TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ 1. ∫ f (e t = u ( x) u ( x) / Đặt ).u ( x ) dx 1 ∫ f (ln x). x dx t = ln( x ) 2. Đặt 3. ∫ f ( ax + b ).dx t = n ax + b Đặt n 4. ∫ f (sin x, cos x ) dx • Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx • Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx • Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công 1 + cos 2 x 1 − cos 2 x thức hạ bậc: cos 2 x = , sin 2 x = 2 2 x • Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt t = tan 2 ∫ f( x = a sin t a 2 − x 2 ).dx 5. Đặt 6. ∫ f ( a 2 + x 2 ).dx x = a tan t Đặt a 7. ∫ f ( x 2 − a 2 ).dx x= Đặt cos t
  8. 1 ∫ f( t = x + x2 ± a2 ).dx 8. Đặt x ±a 2 2 TÍCH PHN TỪNG PHẦN b b b ∫ u.v dx = u.v − ∫ u / vdx / a a a ∫ P( x).e dx . ax + b u = P( x) ta có u / = P / ( x) Đặt 1 v / = e ax +b chon v = e ax +b a ∫ P( x). cos(ax + b)dx . u = P( x) ta có u / = P / ( x) Đặt: 1 v / = cos(ax + b) chon v = sin(ax + b) a ∫ P( x).sin(ax + b)dx . u = P( x) ta có u / = P / ( x) Đặt: −1 v / = sin(ax + b) chon v = cos(ax + b) a ∫ P( x). ln u ( x)dx . 1 u = ln x ta có u / = Đặt: x v / = P ( x) chon v = ∫ P( x)dx Ch ý : Đặt u là hàm mà đạo hàm của nó đơn giản hơn cịn v/ l phần cịn lại của biểu thức dưới dấu tích phân mà nguyên hàm của phần này đ biết DIỆN TÍCH , THỂ TÍCH
  9. ⎧ (C1 ) và (C 2 ) ⎧ (C1 ) và (C 2 ) ( H )⎨ ( H )⎨ ⎩ x = a, x = b (a < b) ⎩ y = c, y = d (c < d ) b d S = ∫ y C1 − y C 2 dx S = ∫ x C1 − xC 2 dy a c b d VOx = π ∫ y C1 − yC 2 dx VOy = π ∫ xC1 − xC 2 dy 2 2 2 2 a c
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản