ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI A NĂM 2002

Chia sẻ: ancaremthieu

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh đang trong giai đoạn ôn thi đại học, cao đẳng - ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI A NĂM 2002.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI A NĂM 2002

bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm
-------------------------------------
m«n to¸n khèi A

C©u ý Néi dung §H C§

∑1 ,0 ® ∑1 ,5 ®
m = 1 ⇒ y = − x 3 + 3x 2
I 1
x = 0
y' = 0 ⇔  1
TËp x¸c ®Þnh ∀x ∈ R . y ' = −3x 2 + 6 x = −3x( x − 2) , 0,25 ® 0,5®
 x2 = 2
y" = −6 x + 6 = 0, y" = 0 ⇔ x = 1
B¶ng biÕn thiªn


−∞ +∞
x 0 1 2

+ −

y' 0 0
0,5 ® 0,5 ®
+ −
y" 0

+∞
y lâm U 4

CT 2 C§
−∞
0 låi

x = 0
y=0⇔ y (−1) = 4
,
x = 3
§å thÞ:

y


4

0,25 ® 0,5 ®
2


1 2 3
0
-1 x




( ThÝ sinh cã thÓ lËp 2 b¶ng biÕn thiªn)



1
∑ 0,5 ® ∑ 0,5 ®
C¸ch I. Ta cã − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ − x 3 + 3 x = −k 3 + 3k 2 .
I 2
§Æt a = − k 3 + 3k 2 Dùa vµo ®å thÞ ta thÊy ph−¬ng tr×nh − x 3 + 3 x 2 = a
cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ 0 < a < 4 ⇔ 0 < − k 3 + 3k 2 < 4 0,25 ® 0,25 ®
 −1 < k < 3
0≠k 0
2


C¸ch II. Ta cã ----------- -----------
[
− x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ ( x − k ) x 2 + (k − 3) x + k 2 − 3k ] = 0
0,25®
cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ f ( x) = x 2 + (k − 3) x + k 2 − 3k = 0 0,25 ®
cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c k
 −1 < k < 3
 ∆ = −3k 2 + 6k + 9 > 0 0,25 ®
⇔ 2 ⇔ 0,25 ®
k ≠ 0 ∧ k ≠ 2
k + k − 3k + k − 3k ≠ 0
2 2




∑1 ,0 ® ∑1 ,0 ®
3
C¸ch I.
 x = m −1 0,25 ® 0,25 ®
y' = 0 ⇔  1
y ' = −3 x 2 + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 ,
 x2 = m + 1
Ta thÊy x1 ≠ x 2 vµ y ' ®æi dÊu khi qua x1 vµ x 2 ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i 0,25 ® 0,25 ®
x1 vµ x 2 .
y1 = y ( x1 ) = − m 2 + 3m − 2 vµ y 2 = y ( x 2 ) = − m 2 + 3m + 2
Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ
( ) ( ) 0,25 ® 0,25 ®
M 1 m − 1;− m 2 + 3m − 2 vµ M 2 m + 1;− m 2 + 3m + 2 lµ:
x − m + 1 y + m 2 − 3m + 2 0,25 ® 0,25 ®
= ⇔ y = 2x − m2 + m
2 4
---------- -----------
C¸ch II. y = −3 x + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 ,
' 2
Ta thÊy
∆' = 9m 2 + 9(1 − m 2 ) = 9 > 0 ⇒ y ' = 0 cã 2 nghiÖm x1 ≠ x 2 0,25 ® 0,25 ®
vµ y ' ®æi dÊu khi qua x1 vµ x 2 ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1 vµ x 2 .
Ta cã y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2

( )
1 m
=  x −  − 3x 2 + 6mx + 3 − 3m 2 + 2 x − m 2 + m. 0,25 ® 0,25®
3 3
Tõ ®©y ta cã y1 = 2 x1 − m 2 + m vµ y 2 = 2 x 2 − m 2 + m . 0,25 ® 0,25 ®
0,25 ® 0,25 ®
VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ lµ y = 2 x − m 2 + m .

∑ 0,5 ® ∑1,0 ®
II 1.
Víi m = 2 ta cã log x + log x + 1 − 5 = 0
2 2
3 3

§iÒu kiÖn x > 0 . §Æt t = log 3 x + 1 ≥ 1 ta cã
2


t = −3 0,25 ® 0,5 ®
⇔1
t 2 −1+ t − 5 = 0 ⇔ t 2 + t − 6 = 0 .
 t2 = 2


2
t 2 = 2 ⇔ log 3 x = 3 ⇔ log 3 x = ± 3 ⇔ x = 3 ± 0,25 ® 0,5 ®
t1 = −3 (lo¹i) , 2 3


x = 3 ± 3 tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0 .
(ThÝ sinh cã thÓ gi¶i trùc tiÕp hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c)

∑1,0 ® ∑1,0 ®
2.
log x + log x + 1 − 2m − 1 = 0 (2)
2 2
3 3

§iÒu kiÖn x > 0 . §Æt t = log 3 x + 1 ≥ 1 ta cã
2


t 2 − 1 + t − 2 m − 1 = 0 ⇔ t 2 + t − 2m − 2 = 0 0,25 ® 0,25 ®
(3)
x ∈ [1,3 3 ] ⇔ 0 ≤ log 3 x ≤ 3 ⇔ 1 ≤ t = log 3 x + 1 ≤ 2.
2


VËy (2) cã nghiÖm ∈ [1,3 3 ] khi vµ chØ khi (3) cã
nghiÖm ∈ [ 1,2 ]. §Æt f (t ) = t 2 + t
0,25 ® 0,25 ®

----------- ----------
C¸ch 1.
Hµm sè f (t ) lµ hµm t¨ng trªn ®o¹n [1; 2] . Ta cã f (1) = 2 vµ f (2) = 6 .
Ph−¬ng tr×nh t 2 + t = 2m + 2 ⇔ f (t ) = 2m + 2 cã nghiÖm ∈ [1;2] 0,25 ® 0,25 ®
 f (1) ≤ 2m + 2 2 ≤ 2 m + 2
⇔ ⇔ ⇔ 0 ≤ m ≤ 2.
 f (2) ≥ 2m + 2 2 m + 2 ≤ 6 0,25 ® 0,25 ®

C¸ch 2.
TH1. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t1 , t 2 tháa m·n 1 < t1 ≤ t 2 < 2 .
t +t 1
Do 1 2 = − < 1 nªn kh«ng tån t¹i m . 0,25 ® 0,25 ®
2 2
TH2. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t1 , t 2 tháa m·n
t1 ≤ 1 ≤ t 2 ≤ 2 hoÆc 1 ≤ t1 ≤ 2 ≤ t 2
⇔ −2m(4 − 2m ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 . 0,25 ® 0,25 ®
(ThÝ sinh cã thÓ dïng ®å thÞ, ®¹o hµm hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c )

∑1 ,0 ® ∑1 ,0 ®
III 1.
cos 3 x + sin 3x 
 1
5  sin x +  = cos 2 x + 3 . §iÒu kiÖn sin 2 x ≠ − 0,25 ® 0,25 ®
1 + 2 sin 2 x  2

 sin x + 2 sin x sin 2 x + cos 3 x + sin 3 x 
cos 3x + sin 3 x 

Ta cã 5  sin x +  = 5 
1 + 2 sin 2 x  1 + 2 sin 2 x
  
 sin x + cos x − cos 3 x + cos 3 x + sin 3 x   (2 sin 2 x + 1) cos x 
 =5  = 5 cos x
=5 
1 + 2 sin 2 x  1 + 2 sin 2 x
  
0,25 ® 0,25 ®
VËy ta cã: 5 cos x = cos 2 x + 3 ⇔ 2 cos x − 5 cos x + 2 = 0
2

π
1
cos x = 2 (lo¹i) hoÆc cos x = ⇒ x = ± + 2kπ (k ∈ Z ). 0,25 ® 0,25 ®
2 3


3
π 5π
V× x ∈ (0 ; 2π ) nªn lÊy x1 = vµ x 2 = . Ta thÊy x1 , x 2 tháa m·n ®iÒu
3 3
0,25 ® 0,25 ®
π 5π
1
kiÖn sin 2 x ≠ − . VËy c¸c nghiÖm cÇn t×m lµ: x1 = vµ x 2 = .
2 3 3
(ThÝ sinh cã thÓ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi kh¸c)
2.
y
∑1 ,0 ® ∑1 ,0 ®


8




3


1
0
-1 1 2 5
3 x
-1



Ta thÊy ph−¬ng tr×nh | x 2 − 4 x + 3 |= x + 3 cã 2 nghiÖm x1 = 0 vµ x 2 = 5.
MÆt kh¸c | x 2 − 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] . VËy 0,25 ® 0,25 ®
5 1 3
( ) ( ) ( )
S = ∫ x + 3− | x 2 − 4 x + 3 | dx = ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx + ∫ x + 3 + x 2 − 4 x + 3 dx
0 0 1
5
( )
+ ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx 0,25 ® 0,25 ®
3
1 3 5
( ) ( ) ( )
S = ∫ − x + 5 x dx + ∫ x − 3 x + 6 dx + ∫ − x 2 + 5 x dx
2 2

0 1 3
1 3 5
1 5 1  1 5
3
S =  − x3 + x 2  +  x3 − x 2 + 6x  +  − x3 + x 2  0,25 ® 0,25 ®
3 2 0 3 2 1  3 2 3
13 26 22 109
S= + + = (®.v.d.t) 0,25® 0,25®
6 3 3 6
(NÕu thÝ sinh vÏ h×nh th× kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i nªu bÊt ®¼ng thøc
| x 2 − 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] )
∑1 ® ∑1 ®
IV 1.

4
S



N

I
0,25 ® 0,25 ®
M C


A K



B
Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC vµ I = SK ∩ MN . Tõ gi¶ thiÕt
1 a
⇒ MN = BC = , MN // BC ⇒ I lµ trung ®iÓm cña SK vµ MN .
2 2
Ta cã ∆SAB = ∆SAC ⇒ hai trung tuyÕn t−¬ng øng AM = AN
⇒ ∆AMN c©n t¹i A ⇒ AI⊥MN .
(SBC )⊥( AMN )

(SBC ) ∩ ( AMN ) = MN 0,25 ® 0,25 ®

⇒ AI⊥(SBC ) ⇒ AI⊥SK .
MÆt kh¸c 
AI ⊂ ( AMN )

 AI⊥MN

a3
Suy ra ∆SAK c©n t¹i A ⇒ SA = AK = .
2
3a 2 a 2 a 2
SK = SB − BK = − =
2 2 2

4 4 2
2
3a 2 a 2 a 10
 SK 
⇒ AI = SA − SI = SA −  = − =
2 2 2
.
2 4 8 4
0,25 ® 0,25 ®
a 2 10
1
= MN . AI =
S ∆AMN
Ta cã (®vdt)
2 16
0,25 ® 0,25 ®
chó ý
1) Cã thÓ chøng minh AI⊥MN nh− sau:
BC⊥(SAK ) ⇒ MN⊥(SAK ) ⇒ MN⊥AI .
2) Cã thÓ lµm theo ph−¬ng ph¸p täa ®é:
Ch¼ng h¹n chän hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz sao cho
  −a 3   −a 3 
a a
K (0;0;0), B ;0;0 , C  − ;0;0 , A 0; ;0 , S  0; ;h
  
2 2 2 6
  
trong ®ã h lµ ®é dµi ®−êng cao SH cña h×nh chãp S . ABC .



5
∑ 0,5 ® ∑1,0 ®
2a)
C¸ch I. Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P) chøa ®−êng th¼ng ∆ 1 cã d¹ng:
α (x − 2 y + z − 4) + β (x + 2 y − 2 z + 4) = 0 ( α 2 + β 2 ≠ 0 )
⇔ (α + β )x − (2α − 2 β ) y + (α − 2 β )z − 4α + 4 β = 0 0,25 ® 0,5 ®

r r
VËy n P = (α + β ;−2α + 2 β ;α − 2 β ) .Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // ∆ 2 vµ M 2 (1;2;1) ∈ ∆ 2
rr
α − β = 0
 n P .u 2 = 0 0,25 ® 0,5 ®
(P ) // ∆ 2 ⇔  VËy (P ) : 2 x − z = 0
⇔
M 2 (1;2;1) ∉ (P )  M 2 ∉ (P )
----------- -----------

Ta cã thÓ chuyÓn ph−¬ng tr×nh ∆ 1 sang d¹ng tham sè nh− sau:
C¸ch II
 x = 2t '

Tõ ph−¬ng tr×nh ∆ 1 suy ra 2 x − z = 0. §Æt x = 2t ' ⇒ ∆ 1 :  y = 3t '−2
 z = 4t '

r
⇒ M 1 (0;−2;0) ∈ ∆ 1 , u1 = (2;3;4) // ∆ 1 .
(Ta cã thÓ t×m täa ®é ®iÓm M 1 ∈ ∆ 1 b»ng c¸ch cho x = 0 ⇒ y = −2 z = 0
r −2 1 1 1 1 −2
 2 − 2 ; − 2 1 ; 1 2  = (2;3;4) ).
vµ tÝnh u1 =  
 
r
Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // ∆ 2 . Tõ ®ã ta cã vÐc t¬ ph¸p cña mÆt ph¼ng ( P) lµ : 0,25 ® 0,5 ®
r rr
n P = [u1 , u 2 ] = (2;0;−1) . VËy ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P) ®i qua M 1 (0;−2;0 )
r
vµ ⊥ n P = (2;0;−1) lµ: 2 x − z = 0 . 0,25 ® 0,5 ®
MÆt kh¸c M 2 (1;2;1) ∉ (P ) ⇒ ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng cÇn t×m lµ: 2 x − z = 0

∑ 0,5 ® ∑1,0 ®
2b)
b)C¸ch I. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ,2 + t ,1 + 2t ) ⇒ MH = (t − 1; t + 1;2t − 3) 0,25 ® 0,5 ®
⇒ MH = (t − 1) + (t + 1) + (2t − 3) = 6t − 12t + 11 = 6(t − 1) + 5
2 2 2 2 2

0,25 ® 0,5 ®
t = 1 ⇒ H (2;3;3)
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi ----------- -----------
C¸ch II. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ;2 + t ;1 + 2t ) . 0,25 ® 0,5 ®
r
MH nhá nhÊt ⇔ MH⊥∆ 2 ⇔ MH .u 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H (2;3;4) 0,25 ® 0,5 ®

∑1 ®
V 1.
Ta cã BC I Ox = B(1;0 ) . §Æt x A = a ta cã A(a; o) vµ
( )
xC = a ⇒ y C = 3a − 3. VËy C a; 3a − 3 .
 1
 xG = 3 ( x A + x B + x C )  2a + 1 3 (a − 1) 
ta cã G .
3;
Tõ c«ng thøc  0,25 ®

1 3
 yG = ( y A + y B + yC )  
 3
C¸ch I.
Ta cã :
AB =| a − 1 |, AC = 3 | a − 1 |, BC = 2 | a − 1 | . Do ®ã

6
1 3
(a − 1)2 .
S ∆ABC = AB. AC = 0,25 ®
2 2
3 (a − 1)
2
| a −1|
2S
r= = = 2.
Ta cã =
AB + AC + BC 3 | a − 1 | + 3 | a − 1 | 3 +1
0,25 ®
| a − 1 |= 2 3 + 2.
VËy

7+4 3 6+2 3
TH1. a1 = 2 3 + 3 ⇒ G1  
;
 3
3
 

 − 4 3 −1 − 6 − 2 3 
TH2 a 2 = −2 3 − 1 ⇒ G2  .
;
  0,25 ®
3 3
  -----------
C¸ch II.
y
C




I


O B A x



Gäi I lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp ∆ABC . V× r = 2 ⇒ y I = ±2 .
x −1
Ph−¬ng tr×nh BI : y = tg 30 0.( x − 1) = ⇒ xI = 1 ± 2 3 . 0,25 ®
3
TH1 NÕu A vµ O kh¸c phÝa ®èi víi B ⇒ x I = 1 + 2 3. Tõ d ( I , AC ) = 2
7+4 3 6+2 3
⇒ a = x I + 2 = 3 + 2 3. ⇒ G1  
; 0,25 ®
 3
3
 
TH 2. NÕu A vµ O cïng phÝa ®èi víi B ⇒ x I = 1 − 2 3. T−¬ng tù
 − 4 3 −1 − 6 − 2 3 
ta cã a = x I − 2 = −1 − 2 3. ⇒ G2  
;
 
3 3 0,25 ®
 

∑1 ®
2.
C n = 5C n ta cã n ≥ 3 vµ
3 1




7
n(n − 1)(n − 2)
n! n!
=5 ⇔ = 5n ⇔ n 2 − 3n − 28 = 0 0,25 ®
3!(n − 3)! (n − 1)! 6
⇒ n1 = −4 (lo¹i) hoÆc n2 = 7. 0,25 ®
Víi n = 7 ta cã
3
4
 −3x 
 x2 1 

 2  = 140 ⇔ 35.2 2 x −2.2 − x = 140 ⇔ 2 x − 2 = 4 ⇔ x = 4.
2 
3
C   
7
0,5 ®
   




8
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản