ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI D NĂM 2008

Chia sẻ: ancaremthieu

Tham khảo tài liệu 'đáp án môn toán khối d năm 2008', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Nội dung Text: ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI D NĂM 2008

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN, khối D
(Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang)
Câu Nội dung Điểm
I 2,00
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm)
1
• Tập xác định : D = .
⎡x = 0 0,25
• Sự biến thiên : y ' = 3x 2 − 6x , y ' = 0 ⇔ ⎢
⎣ x = 2.
• yCĐ = y ( 0 ) = 4, y CT = y ( 2 ) = 0. 0,25
• Bảng biến thiên :
x −∞ +∞
0 2
+

y’ + 0 0
0,25
+∞
4
y
−∞ 0
• Đồ thị : y
4


0,25
−1
O 2 x


Chứng minh rằng mọi đường thẳng … (1,00 điểm)
2
Gọi (C) là đồ thị hàm số (1). Ta thấy I(1;2) thuộc (C). Đường thẳng d đi
qua I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) có phương trình : y = kx – k + 2.
Hoành độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của phương trình
0,50
x 3 − 3x 2 + 4 = k(x − 1) + 2 ⇔ (x − 1) ⎡ x 2 − 2x − (k + 2) ⎤ = 0
⎣ ⎦
⎡ x = 1 (ứng với giao điểm I)
⇔⎢ 2
⎣ x − 2x − (k + 2) = 0 (*).
Do k > − 3 nên phương trình (*) có biệt thức Δ ' = 3 + k > 0 và x = 1 không
là nghiệm của (*). Suy ra d luôn cắt (C) tại ba điểm phân biệt I( x I ; y I ),
0,50
A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) với x A , x B là nghiệm của (*).
Vì x A + x B = 2 = 2x I và I, A, B cùng thuộc d nên I là trung điểm của đoạn
thẳng AB (đpcm).
II 2,00
Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)
1
Phương trình đã cho tương đương với
0,50
4sinx cos 2 x + s in2x = 1 + 2cosx ⇔ (2cosx + 1)(sin2x − 1) = 0.

1
• cosx = − ⇔x=± + k2π.
2 3
π
• sin2x = 1 ⇔ x = + kπ. 0,50
4
2π π
+ k 2π, x = + kπ (k ∈ ).
Nghiệm của phương trình đã cho là x = ±
3 4
Trang 1/4
Giải hệ phương trình (1,00 điểm)
2
Điều kiện : x ≥ 1, y ≥ 0.
⎧( x + y)(x − 2y − 1) = 0 (1)

Hệ phương trình đã cho tương đương với ⎨ 0,50
⎪ x 2y − y x − 1 = 2x − 2y (2)

Từ điều kiện ta có x + y > 0 nên (1) ⇔ x = 2y + 1 (3).
Thay (3) vào (2) ta được
( y + 1) 2y = 2(y + 1) ⇔ y = 2 (do y + 1 > 0 ) ⇒ x = 5. 0,50
Nghiệm của hệ là ( x ; y) = (5; 2).
2,00
III
Viết phương trình mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, D (1,00 điểm)
1
Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng
x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (*), trong đó a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 (**).
Thay tọa độ của các điểm A, B, C, D vào (*) ta được hệ phương trình
⎧6a + 6b + d = −18 0,50
⎪6a + 6c + d = −18


⎪6b + 6c + d = −18
⎪6a + 6b + 6c + d = −27.

Giải hệ trên và đối chiếu với điều kiện (**) ta được phương trình mặt cầu là
0,50
x 2 + y 2 + z 2 − 3x − 3y − 3z = 0.
Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (1,00 điểm)
2
⎛3 3 3⎞
Mặt cầu đi qua A, B, C, D có tâm I ⎜ ; ; ⎟ .
⎝2 2 2⎠
Gọi phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là
mx + ny + pz + q = 0 (m 2 + n 2 + p 2 > 0).
Thay tọa độ các điểm A, B, C vào phương trình trên ta được 0,50
⎧3m + 3n + q = 0

⎨3m + 3p + q = 0 ⇒ 6m = 6n = 6p = −q ≠ 0.
⎪3n + 3p + q = 0.

Do đó phương trình mặt phẳng (ABC) là x + y + z − 6 = 0.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là hình chiếu vuông góc H
của điểm I trên mặt phẳng (ABC).
3 3 3
x− y− z−
2.
2= 2=
Phương trình đường thẳng IH :
1 1 1 0,50
⎧x + y + z − 6 = 0

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ⎨ 3 3 3
⎪x − 2 = y − 2 = z − 2 .

Giải hệ trên ta được H(2; 2; 2).
2,00
IV
Tính tích phân (1,00 điểm)
1
dx
dx 1
Đặt u = ln x và dv = 3 ⇒ du = và v = − 2 . 0,25
x
x 2x
2 2 2
ln x dx ln 2 1
Khi đó I = − 2 + ∫ 3 = − −2 0,50
8
2x 1 1 2x 4x 1
3 − 2 ln 2
= . 0,25
16

Trang 2/4
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức (1,00 điểm)
2
(x − y)(1 − xy) (x + y)(1 + xy) 1 1 1
Ta có P = ≤ ≤ ⇔− ≤P≤ . 0,50
[ (x + y) + (1 + xy)] 4
2
2 2
(1 + x) (1 + y) 4 4

1
• Khi x = 0, y = 1 thì P = − .
4
1
• Khi x = 1, y = 0 thì P = . 0,50
4
1 1
Giá trị nhỏ nhất của P bằng − , giá trị lớn nhất của P bằng .
4 4
V.a 2,00
Tìm n biết rằng…(1,00)
1
Ta có 0 = (1 − 1) 2 n = C0 − C1 + ... − C 2n −1 + C 2n .
2n 2n 2n 2n
0,50
2 2 n = (1 + 1) 2n = C 0 + C1 + ... + C 2n −1 + C 2n .
2n
2n 2n 2n


⇒ C1 + C3 + ... + C 2n −1 = 22n −1.
2n
2n 2n
0,50
Từ giả thiết suy ra 2 2 n −1 = 2048 ⇔ n = 6.
Tìm tọa độ đỉnh C ...(1,00 điểm)
2
b2 c2
Do B,C thuộc (P), B khác C, B và C khác A nên B( ; b), C( ;c) với b, c
16 16
là hai số thực phân biệt, b ≠ 4 và c ≠ 4.
⎛ b2 ⎞ ⎛ c2 ⎞
AB = ⎜ − 1; b − 4 ⎟ , AC = ⎜ − 1; c − 4 ⎟ . Góc BAC = 90o nên 0,50
⎝ 16 ⎝ 16
⎠ ⎠
⎛ b2 ⎞ ⎛ c2 ⎞
AB.AC = 0 ⇔ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ + (b − 4)(c − 4) = 0
⎝ 16 ⎠ ⎝ 16 ⎠
⇔ 272 + 4(b + c) + bc = 0 (1).
Phương trình đường thẳng BC là:
c2
x−
16 = y − c ⇔ 16x − (b + c)y + bc = 0 (2).
0,50
b c2 b − c
2

16 16
Từ (1), (2) suy ra đường thẳng BC luôn đi qua điểm cố định I(17; −4).
V.b 2,00
Giải bất phương trình logarit (1,00 điểm)
1
x 2 − 3x + 2
Bpt đã cho tương đương với 0 < ≤ 1. 0,50
x
⎡0 < x < 1
x 2 − 3x + 2
• > 0⇔⎢
⎣ x > 2.
x
⎡x < 0
x 2 − 4x + 2 0,50
• ≤ 0⇔⎢
x ⎣ 2 − 2 ≤ x ≤ 2 + 2.
)(
Tập nghiệm của bất phương trình là : ⎡ 2 − 2 ;1 ∪ 2; 2 + 2 ⎤ .
⎣ ⎦

Trang 3/4
Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng (1,00 điểm)
2
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B.
1 23
Thể tích khối lăng trụ là VABC.A 'B'C' = AA '.SABC = a 2. .a 2 = a (đvtt).
2 2

A'
B'


0,50
C'
E

A

B
M
C
Gọi E là trung điểm của BB ' . Khi đó mặt phẳng (AME) song song với B 'C
nên khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B 'C bằng khoảng cách giữa
B 'C và mặt phẳng (AME).
Nhận thấy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) bằng khoảng cách từ C
đến mặt phẳng (AME).
Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME). Do tứ diện BAME có BA,
0,50
BM, BE đôi một vuông góc nên
a7
1 1 1 1 1 1 4 2 7
⇒ 2 = 2 + 2 + 2 = 2 ⇒h=
= + + .
2 2 2 2
7
h BA BM BE h a a a a
a7
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng B 'C và AM bằng
7
NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn
nh− ®¸p ¸n quy ®Þnh.
----------------Hết----------------




Trang 4/4
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản