ĐÁP ÁN MÔN TOÁN - KỲ THI ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009

Chia sẻ: vuzlong

Tài liệu tham khảo và tuyển tập đề thi, đáp án môn toán học giúp các bạn ôn thi tuyển sinh tốt hơn

Nội dung Text: ĐÁP ÁN MÔN TOÁN - KỲ THI ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009

 

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối A ĐỀ CHÍNH THỨC (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) Khảo sát… I (2,0 điểm) ⎧ 3⎫ • Tập xác định: D = \ ⎨− ⎬ . ⎩ 2⎭ • Sự biến thiên: −1 - Chiều biến thiên: y ' = < 0, ∀x ∈ D. ( 2 x + 3) 0,25 2 ⎛ 3⎞ ⎛3 ⎞ Hàm số nghịch biến trên: ⎜ −∞; − ⎟ và ⎜ − ; +∞ ⎟ . 2⎠ ⎝2 ⎝ ⎠ - Cực trị: không có. 1 1 - Giới hạn và tiệm cận: lim y = lim y = ; tiệm cận ngang: y = . 2 2 x →−∞ x →+∞ 0,25 3 lim − y = −∞, lim + y = +∞ ; tiệm cận đứng: x = − . 2 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ x →⎜ − ⎟ x →⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ - Bảng biến thiên: 3 x −∞ +∞ − 2 − − y' 1 +∞ 0,25 2 y 1 −∞ 2 • Đồ thị: y 3 x=− 2 1 y= 0,25 2 x O 2. (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến… Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng ±1 . 0,25 −1 = ±1 ⇔ x0 = −2 hoặc x0 = −1. Gọi toạ độ tiếp điểm là ( x0 ; y0 ) , ta có: 0,25 (2 x0 + 3) 2 • x0 = −1 , y0 = 1 ; phương trình tiếp tuyến y = − x (loại). 0,25 • x0 = −2 , y0 = 0 ; phương trình tiếp tuyến y = − x − 2 (thoả mãn). Vậy, tiếp tuyến cần tìm: y = − x − 2. 0,25 Trang 1/4
  2. Câu Đáp án Điểm II 1. (1,0 điểm) Giải phương trình… (2,0 điểm) 1 Điều kiện: sin x ≠ 1 và sin x ≠ − (*). 0,25 2 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: (1 − 2sin x)cos x = 3(1 + 2sin x)(1 − sin x) π⎞ π⎞ 0,25 ⎛ ⎛ ⇔ cos x − 3 sin x = sin 2 x + 3 cos 2 x ⇔ cos ⎜ x + ⎟ = cos ⎜ 2 x − ⎟ 3⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ π π 2π ⇔ x = + k 2π hoặc x = − + k . 0,25 2 18 3 π 2π (k ∈ ) . Kết hợp (*), ta được nghiệm: x = − +k 0,25 18 3 2. (1,0 điểm) Giải phương trình… ⎧2u + 3v = 8 Đặt u = 3 3 x − 2 và v = 6 − 5 x , v ≥ 0 (*). Ta có hệ: ⎨ 3 0,25 ⎩5u + 3v = 8 2 ⎧ 8 − 2u 8 − 2u ⎧ ⎪v = ⎪v = ⇔⎨ ⇔⎨ 3 3 0,25 ⎪(u + 2)(15u 2 − 26u + 20) = 0 ⎪15u 3 + 4u 2 − 32u + 40 = 0 ⎩ ⎩ ⇔ u = −2 và v = 4 (thoả mãn). 0,25 Thế vào (*), ta được nghiệm: x = −2. 0,25 Tính tích phân… III (1,0 điểm) π π 2 2 0,25 I = ∫ cos5 xdx − ∫ cos 2 x dx. 0 0 π Đặt t = sin x, dt = cos xdx; x = 0, t = 0; x = , t = 1. 2 0,50 π π 1 1 2 2 ⎛2 1⎞ 8 I1 = ∫ cos5 xdx = ∫ (1 − sin 2 x ) cos xdx = ∫ (1 − t ) 2 22 dt = ⎜ t − t 3 + t 5 ⎟ = . ⎝3 5 ⎠ 0 15 0 0 0 π π π ⎞2 π 8π 2 12 1⎛ 1 0,25 I 2 = ∫ cos 2 x dx = ∫ (1 + cos 2 x ) dx = ⎜ x + sin 2 x ⎟ = . Vậy I = I1 − I 2 = − . 20 2⎝ 2 ⎠0 4 15 4 0 Tính thể tích khối chóp... IV ( SIB ) ⊥ ( ABCD) và ( SIC ) ⊥ ( ABCD); suy ra SI ⊥ ( ABCD). (1,0 điểm) S Kẻ IK ⊥ BC ( K ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ ( SIK ) ⇒ SKI = 60 . 0,50 B A I CK D Diện tích hình thang ABCD : S ABCD = 3a 2 . 0,25 3a 2 3a 2 ; suy ra S ΔIBC = Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI bằng . 2 2 2S 3 5a 3 15a BC = ( AB − CD ) + AD 2 = a 5 ⇒ IK = ΔIBC = 2 ⇒ SI = IK .tan SKI = . BC 5 5 0,25 3 15a 3 1 Thể tích khối chóp S . ABCD : V = S ABCD .SI = . 3 5 Trang 2/4
  3. Câu Đáp án Điểm Chứng minh bất đẳng thức… V (1,0 điểm) Đặt a = x + y, b = x + z và c = y + z. Điều kiện x( x + y + z ) = 3 yz trở thành: c 2 = a 2 + b 2 − ab. 0,25 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: a3 + b3 + 3abc ≤ 5c3 ; a, b, c dương thoả mãn điều kiện trên. 3 1 c 2 = a 2 + b 2 − ab = (a + b) 2 − 3ab ≥ (a + b) 2 − (a + b) 2 = (a + b) 2 ⇒ a + b ≤ 2c (1). 0,25 4 4 a 3 + b3 + 3abc ≤ 5c 3 ⇔ (a + b)(a 2 + b 2 − ab) + 3abc ≤ 5c 3 ⇔ (a + b)c 2 + 3abc ≤ 5c 3 0,25 ⇔ (a + b)c + 3ab ≤ 5c 2 . 3 (1) cho ta: (a + b)c ≤ 2c 2 và 3ab ≤ (a + b) 2 ≤ 3c 2 ; từ đây suy ra điều phải chứng minh. 4 0,25 Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c ⇔ x = y = z. VI.a 1. (1,0 điểm) Viết phương trình AB... (2,0 điểm) Gọi N đối xứng với M qua I , suy ra N (11; −1) và N thuộc đường thẳng CD. 0,25 E ∈ Δ ⇒ E ( x;5 − x ) ; IE = ( x − 6;3 − x ) và NE = ( x − 11;6 − x). M B A I E là trung điểm CD ⇒ IE ⊥ EN . 0,25 IE.EN = 0 ⇔ ( x − 6)( x − 11) + (3 − x)(6 − x) = 0 ⇔ x = 6 hoặc C D EN x = 7. • x = 6 ⇒ IE = ( 0; −3) ; phương trình AB : y − 5 = 0. 0,25 • x = 7 ⇒ IE = (1; −4 ) ; phương trình AB : x − 4 y + 19 = 0. 0,25 2. (1,0 điểm) Chứng minh ( P) cắt ( S ), xác định toạ độ tâm và tính bán kính… ( S ) có tâm I (1;2;3), bán kính R = 5. 2− 4−3− 4 0,25 Khoảng cách từ I đến ( P) : d ( I ,( P) ) = = 3 < R; suy ra đpcm. 3 Gọi H và r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến, 0,25 H là hình chiếu vuông góc của I trên ( P) : IH = d ( I ,( P) ) = 3, r = R 2 − IH 2 = 4. ⎧ x = 1 + 2t ⎪ y = 2 − 2t ⎪ Toạ độ H = ( x; y; z ) thoả mãn: ⎨ 0,25 ⎪z = 3 − t ⎪ ⎩ 2 x − 2 y − z − 4 = 0. Giải hệ, ta được H (3; 0; 2). 0,25 VII.a Tính giá trị của biểu thức… (1,0 điểm) Δ = −36 = 36i 2 , z1 = −1 + 3i và z2 = −1 − 3i. 0,25 | z1 | = (−1)2 + 32 = 10 và | z2 | = (−1)2 + (−3)2 = 10. 0,50 Trang 3/4
  4. Câu Đáp án Điểm A = | z1 | 2 + | z2 | 2 = 20. 0,25 1. (1,0 điểm) Tìm m... VI.b (2,0 điểm) (C ) có tâm I (−2; −2), bán kính R = 2. 0,25 1 1 IA.IB.sin AIB ≤ R 2 = 1; S lớn nhất khi và chỉ khi IA ⊥ IB. Diện tích tam giác IAB : S = 0,25 2 2 −2 − 2 m − 2 m + 3 R =1 ⇔ Khi đó, khoảng cách từ I đến Δ : d ( I , Δ) = =1 0,25 2 1 + m2 8 ⇔ (1 − 4m ) = 1 + m 2 ⇔ m = 0 hoặc m = 2 . 0,25 15 2. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M ... Δ 2 qua A(1;3; −1) và có vectơ chỉ phương u = (2;1; −2). M ∈ Δ1 ⇒ M (−1 + t ; t; −9 + 6t ). 0,25 ⎡ ⎤ MA = (2 − t ;3 − t ;8 − 6t ), ⎣ MA, u ⎦ = (8t − 14; 20 − 14t ; t − 4) ⇒ ⎡ MA, u ⎤ = 3 29t 2 − 88t + 68. ⎣ ⎦ ⎡ MA, u ⎤ ⎣ ⎦ Khoảng cách từ M đến Δ 2 : d ( M , Δ 2 ) = = 29t 2 − 88t + 68. u 0,25 −1 + t − 2t + 12t − 18 − 1 11t − 20 Khoảng cách từ M đến ( P ) : d ( M ,( P) ) = = . 1 + ( −2 ) + 2 3 2 2 2 11t − 20 53 ⇔ 35t 2 − 88t + 53 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 29t 2 − 88t + 68 = 0,25 . 3 35 ⎛ 18 53 3 ⎞ 53 t = 1 ⇒ M (0;1; −3); t = ⇒ M ⎜ ; ; ⎟. 0,25 ⎝ 35 35 35 ⎠ 35 Giải hệ phương trình… VII.b (1,0 điểm) ⎧ x 2 + y 2 = 2 xy ⎪ Với điều kiện xy > 0 (*), hệ đã cho tương đương: ⎨ 2 0,25 ⎪ x − xy + y = 4 2 ⎩ ⎧x = y ⎧x = y ⇔⎨2 ⇔⎨ 0,50 ⎩ y = ±2. ⎩y = 4 Kết hợp (*), hệ có nghiệm: ( x; y ) = (2;2) và ( x; y ) = (−2; −2). 0,25 -------------Hết------------- Trang 4/4
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản