DÃY CÁC SỐ NGUYÊN – PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

Chia sẻ: kiepluhanhkhonggia

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học về dãy các số nguyên – phân số viết theo quy luật

Nội dung Text: DÃY CÁC SỐ NGUYÊN – PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

 

  1. Chuyên đề 1: DÃY CÁC SỐ NGUYÊN – PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT = = = = = = = = = = = = &*&*& = = = = = = = = = = = = = (1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát n 1 1 = − a.a+ n) a a + n ( - - - Chứng minh - - - n ( a + n) − a a+n a 1 1 = = − = − a.(a + n) a.( a + n) a.(a + n) a.(a + n) a a + n  ∗ Bài 1.1: Tính 3 3 3 3 1 1 1 1 a) A = + + + ... + b) B = + + + ... + 5.8 8.11 11.14 2006.2009 6.10 10.14 14.18 402.406 10 10 10 10 4 4 4 4 c) C = + + + ... + d) D = + + + ... + 7.12 12.17 17.22 502.507 8.13 13.18 18.23 253.258 ∗ Bài 1.2: Tính: 1 1 1 1 1 1 1 1 a) A = + + + ... + b) B = + + + ... + 2.9 9.7 7.19 252.509 10.9 18.13 26.17 802.405 2 3 2 3 2 3 c) C = − + − + ... + − 4.7 5.9 7.10 9.13 301.304 401.405 ∗ Bài 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mãn: x 1 1 1 1 5 7 4 4 4 4 29 a) − − − − ... − = b) + + + + ... + = 2008 10 15 21 120 8 x 5.9 9.13 13.17 41.45 45 1 1 1 1 15 c) + + + ... + = 3.5 5.7 7.9 (2 x + 1)(2 x + 3) 93 ∗ Bài 1.4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có: 1 1 1 1 n a) + + + ... + = 2.5 5.8 8.11 (3n − 1)(3n + 2) 6n + 4 5 5 5 5 5n b) + + + ... + = 3.7 7.11 11.15 (4n − 1)(4n + 3) 4n + 3 ∗ Bài 1.5: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ; n ≥ 2 ta có: 3 3 3 3 1 + + + ... + < 9.14 14.19 19.24 (5n − 1)(5n + 4) 15 4 4 4 16 16 ∗ Bài 1.6: Cho A = + + ... + chứng minh: < A< 15.19 19.23 399.403 81 80 2 2 2 ∗ Bài 1.7: Cho dãy số : ; ; ;... 4.11 11.18 18.25 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S. 1 1 1 1 2 8 ∗ Bài 1.8: Cho A = 2 + 2 + 2 + ... + 2 . Chứng minh < A < 2 3 4 9 5 9 2 2 2 2 1003 ∗ Bài 1.9: Cho A = 2 + 2 + 2 + ... + 2 . Chứng minh: A< 3 5 7 2007 2008 1 1 1 1 334 ∗ Bài 1.10: Cho B = 2 + 2 + 2 + ... + 2 . Chứng minh: B< 4 6 8 2006 2007 1 1 1 1 ∗ Bài 1.11: Cho S = 2 + 2 + ... + . Chứng minh: S < 5 9 409 2 12 9 9 9 9 3 ∗ Bài 1.12: Cho A = 2 + 2 + 2 + ... + 2 . Chứng minh: A< 5 11 17 305 4 1
  2. 8 24 48 200.202 ∗ Bài 1.13: Cho B = + + + ... + . Chứng minh: B > 99,75 9 25 49 2012 11 18 27 1766 20 20 ∗ Bài 1.14: Cho A = + + + ... + . Chứng minh: 40 < A < 40 9 16 25 1764 43 21 2 2 2 2 2 2 3 4 5 99 ∗ Bài 1.15: Cho B = + + + + ... + . Tìm phần nguyên của B. 1.3 2.4 3.5 4.6 98.100 3 8 15 2499 ∗ Bài 1.16: Cho C = + + + ... + . Chứng minh C > 48 4 9 16 2500 1 1 1 2 ∗ Bài 1.17: Cho M = + + ... + . Chứng minh M < 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + .. + 59 3 1.4 2.5 3.6 98.101 ∗ Bài1.18: Cho N = + + + ... + . Chứng minh 97 < N < 98. 2.3 3.4 4.5 99.100 • Mở rộng với tích nhiều thừa số: 2n 1 1 = − a ( a + n)(a + 2n) a ( a + n) ( a + n)(a + 2n) Chứng minh: 2n ( a + 2n) − a a + 2n a 1 1 = = − = − a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n) (a + n)(a + 2n) 3n 1 1 = − a ( a + n)( a + 2n)( a + 3n) a ( a + n)( a + 2n) ( a + n)(a + 2n)(a + 3n) 2 2 2 ∗ Bài 1.19: Tính S = + + ... + 1.2.3 2.3.4 37.38.39 1 1 1 1 ∗ Bài 1.20: Cho A = + + ... + . Chứng minh A < 1.2.3 2.3.4 18.19.20 4 36 36 36 ∗ Bài 1.21: Cho B = + + ... + . Chứng minh B < 3 1.3.5 3.5.7 25.27.29 5 5 5 1 ∗ Bài 1.22: Cho C = + + ... + . Chứng minh C < 5.8.11 8.11.14 302.305.308 48 ∗ Bài 1.23: Chứng minh với mọi n ∈ N; n > 1 ta có: 1 1 1 1 1 A = 3 + 3 + 3 + ... + 3 < 2 3 4 n 4 1 1 1 ∗ Bài 1.24: Tính M = + + ... + 1.2.3.4 2.3.4.5 27.28.29.30 1 1 1 + + ... + 51 52 100 ∗ Bài 1.25: Tính P = 1 1 1 1 + + + ... + 1.2 3.4 5.6 99.100 1.3 2.4 3.5 (n − 1)(n + 1) 1002.1004 Bài 1.26: Tính: Q = + + + ... + + ... + 3.5 5.7 7.9 (2n − 1)(2n + 1) 2005.2007 2 2 2 2 2 3 4 2006 Bài 1. 27: Tính: R = + + + ... + 1.3 2.4 3.5 2005.2007 2 2 2 23 2 n +1 2 2006 Bài 1.28: Cho S= + + + ... + + ... + 2005 + 1 2005 2 + 1 2005 2 + 1 2 n 2005 2005 2 + 1 2005 2 + 1 1 So sánh S với 1002 m m mk + m − mk + m 2m m m 2m  Hướng dẫn: − = = ⇒ = − k −1 k +1 (k − 1)(k + 1) k2 − 1 k + 1 k − 1 k2 − 1 2006 Áp dụng vào bài toán với m ∈ {2; 2 , …., 2 } và k ∈ { 2005, 2005 , … 2005 2 } ta có: 2
  3. 2 2 22 = − 2005 + 1 2005 − 1 2005 2 − 1 22 22 23 = − 2 + 1 2005 2 − 1 2 2005 2005 2 − 1 ……………….. 1 (2). Dãy 2: Dãy luỹ thừa  n  với n tự nhiên. a  1 1 1 1 Bài 2.1: Tính : A = + 2 + 3 + ... + 100 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Bài 2.2: Tính: B = − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 Bài 2.3: Tính: C = + 3 + 5 + ... + 99 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Bài 2.4: Tính: D = − 4 + 7 − 10 + ... − 58 2 2 2 2 2 2 8 26 3 −1 n 1 Bài 2.5: Cho A = + + + ... + n . Chứng minh A > n − 3 9 27 3 2 4 10 28 3 +1 98 Bài 2.6: Cho B = + + + ... + 98 . Chứng minh B < 100. 3 9 27 3 5 5 5 5 5 Bài 2.7: Cho C = + 2 + 3 + ... + 99 . Chứng minh: C < 4 4 4 4 3 3 5 7 19 Bài 2.8: Cho D = 2 2 + 2 2 + 2 2 + ... + 2 2 . Chứng minh: D < 1. 1 .2 2 .3 3 .4 9 .10 1 2 3 100 3 Bài 2.9: Cho E = + 2 + 3 + ... + 100 . Chứng minh: E < 3 3 3 3 4 4 7 10 3n + 1 11 Bài 2.10: Cho F = + 2 + 3 + ... + n với n ∈ N*. Chứng minh: F < 3 3 3 3 4 5 8 11 302 5 1 Bài 2.11: Cho G = + 2 + 3 + ... + 100 . Chứng minh: 2 < G < 3 3 3 3 3 9 2 7 13 19 601 7 Bài 2.12: Cho H = + 2 + 3 + ... + 100 . Chứng minh: 3 < H < 5 3 3 3 3 9 11 17 23 605 Bài 2.13: Cho I = + 2 + 3 + ... + 100 . Chứng minh: I < 7 3 3 3 3 4 13 22 904 17 Bài 2.14: Cho K = + 2 + 3 + ... + 101 . Chứng minh: K < 3 3 3 3 4 7 11 15 403 Bài 2.15: Cho L = + 2 + 3 + ... + 100 . Chứng minh: L < 4,5. 3 3 3 3 (3). Dãy 3: Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật: 8 15 24 2499 Bài 3.1: Tính: A = . . ..... . 9 16 25 2500 1 1 1 1 1 Bài 3.2: Cho dãy số: 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,... 3 8 15 24 35 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy. b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy.  1  1  1  1  1  Bài 3.3: Tính: B = 1 − 1 − 1 − 1 − .....1 − .  3  6  10  15   780  1 3 5 199 1 Bài 3.4: Cho C = . . ..... . Chứng minh: C < 2 2 4 6 200 201 3
  4. 1 3 5 99 1 1 Bài 3.5: Cho D = . . ..... . Chứng minh: <D< 2 4 6 100 15 10  1  1  1   1  Bài 3.6: Tính: E =  + 1 + 1 + 1.... + 1  2  3  4   99   1  1  1   1  Bài 3.7: Tính: F =  − 1 − 1 − 1.... − 1 .  2  3  4   100  3 8 15 899 Bài 3.8: Tính: G = 2 . 2 . 2 ..... 2 . 2 3 4 30 1 2 3 4 30 31 Bài 3.9: Tính: H = . . . .... . . 4 6 8 10 62 64 I = 101.10001.100000001.....100...0001 22 2 22 Bài 3.10: Tính: n 2 −1c / s  1  1  1   1  −1 Bài 3.11: Cho K =  2 − 1 2 − 1 2 − 1.... 2 − 1 . So sánh K với 2  3  4   100  2  1  1  1   1  1 Bài 3.12: So sánh L = 1 − 1 − 1 − ....1 −  với  2  3  4   20  21  1  1  1  1  11 Bài 3.13: So sánh M = 1 − 1 − 1 − .....1 −  với  4  9  16   100  19 2 2 2 2 2 3 4 50 Bài 3.14: Tính: N = . . ..... 1.3 2.4 3.5 49.51  1  2  3   10  Bài 3.15: Tính P = 1 − 1 − 1 − .....1 −  .  7  7  7   7  2  2  2   2  Bài 3.16: Tính: Q = 1 − 1 − 1 − .....1 −   3  5  7   2007   1 1  1 1  1 1   1 1  Bài 3.17: Tính: T =  −  −  − ..... −   2 3  2 5  2 7   2 99  1.3.5.7.....39 1 Bài 3.18: So sánh: U = và V = 20 21.22.23.....40 2 −1  1  1  1   1  Bài 3.19: Cho V = 1 + 1 + 1 + .....1 +  . Chứng minh V < 2.  1.3  2.4  3.5   99.101  2 4 6 200 Bài 3.20: Cho S = . . ..... . Chứng minh: 201 < S 2 < 400 1 3 5 199 1 4 7 10 208 1 Bài 3.21: Cho A = . . . .... . Chứng minh: A < 3 6 9 12 210 25 2 2 2 2 1 2 3 100 Bài 3.22: Tính: B = . . ..... 1.2 2.3 3.4 100.101  1999  1999  1999   1999  1 + 1 + 1 + .....1 +   1  2  3   1000  Bài 3.23: Tính: C =  1000  1000  1000   1000  1 + 1 + 1 + .....1 +   1  2  3   1999   4  4  4   1  Bài 3.24: Tính: D = 1 − 1 − 1 − .....1 −  (2n − 1) 2  , với n ∈ N, n ≥ 1   1  9  25     1  1   1  Bài 3.25: Cho E = 1 − 1 − .....1 −   1 + 2  1 + 2 + 3   1 + 2 + 3 + ... + n  n+2 E và F = với n ∈ N*. Tính n F  1  1  1  1   1  1 Bài 3.26: Cho G = 1 + 1 + 1 + 1 + ....1 + 1024  và H = 2047  2  4  16  256   2  2 4
  5. Tính: G + H. n n 1.3 + 2 3.5 + 2 15.17 + 2 255.257 + 2 (2 2 − 1)(2 2 + 1) + 2 Bài 3.27: Cho I = . . . ..... n với n ∈ N. 4 16 256 65536 22 4 Chứng minh: I < 3 1 1 1 1 1 Bài 3.28: Cho dãy số: 1 ;1 2 ;1 4 ;1 8 ;1 16 ;.... 3 3 3 3 3 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy. 1 b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy. Chứng minh là số tự nhiên. 3 − 2A 3 c) Tìm chữ số tận cùng của B = 3 − 2A 2n 2n 5 13 97 3 +2 1 Bài 3.29: Cho A = . 2 . 4 ..... n và B = 2n +1 −1 với n ∈ N 6 6 6 62 6 A a) Chứng minh : M = là số tự nhiên B b) Tìm n để M là số nguyên tố. n 7 37 1297 62 + 1 Bài 3.30: Cho A = . 2 . 4 ..... 2 n 3 3 3 3  1  1  1  1  1  B = 1 + 1 + 2 1 + 4 .1 + 8 ....1 + 2 n  với n ∈ N  3  3  3   3   3  a) Chứng minh : 5A – 2B là số tự nhiên. b) Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 thì 5A – 2B chia hết cho 45. n n 5 13 97 3 2 + 2 2 Bài 3.31: Cho A = . 2 . 4 .... n .( với n ∈ N ) Chứng minh: A < 3. 3 3 3 32 (4). Tính hợp lí các biểu thức có nội dung phức tạp: 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ... + (1 + 2 + 3 + ... + 98) Bài 4.1: Tính: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99 1.98 + 2.97 + 3.96 + ... + 98.1 Bài 4.2: Tính: B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99 1 1 1 1 + + + ... + 1.300 2.301 3.302 101.400 Bài 4.3: Tính: C = 1 1 1 1 + + + ... + 1.102 2.103 3.104 299.400  1 1 1  100 − 1 + + + ... +  Bài 4.4: Tính: D =  2 3 100  1 2 3 99 + + + ... + 2 3 4 100 1 1 1 1 + + + ... + Bài 4.5: Tính: E = 51 52 53 100 1 1 1 1 + + + ... + 1.2 3.4 5.6 99.100 5 5 5 15 15 5− + − 15 − + 3 9 27 : 11 121 Bài 4.6: Tính F = 8 8 8 16 16 8− + − 16 − + 3 9 27 11 121 5
  6.  2 1 1  1 1 3 +  : 2 1,2 : 1 .1   15 5  2 −  5 4 Bài 4.7: Tính G =  3 1  43 2 5 − 2  : 4 0,32 +  7 4  56 25 1 2 3 98 99 1 2 3 92 + + + ... + + 92 − − − − ... − 99 98 97 2 1 : 9 10 11 100 Bài 4.8: Tính H = 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + + + + ... + 2 3 4 100 45 50 55 500 2 2 2 4 4 4 2− + − 4− + − 19 43 1943 : 29 41 2941 Bài 4.9: Tính I = 3 3 3 5 5 5 3− + − 5− + − 19 43 1943 29 41 2941 12 12 12 3 3 3 12 − − − 3+ + + 7 289 85 : 13 169 91 Bài 4.10: Tính K = 4 4 4 7 7 7 4− − − 7+ + + 7 289 85 13 169 91 1.2 + 2.4 + 3.6 + 4.8 + 5.10 Bài 4.11: Tính L = 3.4 + 6.8 + 9.12 + 12.16 + 15.20  3   2 4 1,6 : 1 .1,25  1,08 −  :  5 +  25  7 2 Bài 4.12: Tính M = + 0,6.0,5 : 1  5 1 2 5 0,64 −  5 − 2 .2 25  9 4  17 1 94 38  11 Bài 4.13: Tính N = 8 11 −6 :8 5  1591 1517  43  5 5 4  Bài 4.14: Tính P = 10101. + −   111111 222222 3.7.11.13.37  1 1 1 1 1 + + + + ... + 3 5 7 99 Bài 4.15: Tính Q = 1 1 1 1 1 + + + ... + + 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 1 1 1 1 + + + ... + 2 3 4 200 Bài 4.16: Tính R = 1 2 3 198 199 + + + ... + + 199 198 197 2 1 6
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản