Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 11

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

0
51
lượt xem
12
download

Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 11

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề ( có đa) luyện thi đhcđ số 11', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 11

  1. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 _______________________________________________________________ C©u I. Cho hµm sè m2 x 2 + 1 y = x 1) Kh¶o s¸t sûå biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè ûáng ví i m = 1. 2) T×m nhûäng ®iÓm trªn ®ûêng th¼ng y = 1, sao cho kh«ng thÓ cã gi¸ trÞ nµo cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®i qua. 3) T×m nhûäng ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cña hµm sè ®i qua, víi mäi m. 4) X¸c ®Þnh a ®Ó x 2 - ax + 1 > 0 víi mäi x > 0. C©u II. Cho hai phû¬ng tr×nh x2 - x + m = 0, (1) x2 - 3x + m = 0. (2) Víi nhûäng gi¸ trÞ nµo cña m th× phû¬ng tr×nh (2) cã mét nghiÖm kh¸c 0, gÊp 2 lÇn mét nghiÖm cña phû¬ng tr×nh (1)? C©u III. 1) Gäi R lµ b¸n kÝnh ®ûêng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Chûáng minh R(a 2 + b 2 + c 2 ) cotgA + cotgB + cotgC = . abc 2) 3 sè a, b, c tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b + c = abc. Chûáng minh r»ng: a(b2 - 1)(c2 - 1) + b(a2 - 1)(c2 - 1) + c(a2 - 1)(b2 - 1) = 4abc.
  2. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 _________________________________________________________ C©u I. 1) B¹n ®äc tù gi¶i nhÐ! m 2 x2 + 1 m 2 x2 + 1 − x 2) XÐt y = =1⇔ =0 x x x ≠ 0 x ≠ 0   x ≠ 0 ⇔  2 x −1 ⇔ x −1 ⇔  ⇔ x ≥ 1. m = 2  2 ≥0 x ≥ 1  x  x Víi mäi ®iÓm cña ®−êng th¼ng y = 1 mµ hoµnh ®é x ≥ 1 lu«n tån t¹i gi¸ trÞ cña m, nghiÖm cña x −1 m2 = ®Ó ®å thÞ t−¬ng øng ®i qua ®−êng th¼ng y = 1. x2 VËy víi nh÷ng ®iÓm trªn ®−êng y = 1 cã hoµnh ®é x < 1 ®å thÞ hµm sè kh«ng ®i qua víi mäi m. 3) Gäi täa ®é nh÷ng ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ ®i qua víi mäi m lµ xo , yo . Ta cã : m2x2 + 1 yo = o víi mäi m ( x o ≠ 0 ) xo ⇔ m 2 x2 − yo x o + 1 = 0 víi mäi m. o §¼ng thøc chØ x¶y ra khi ®ång thêi : x2 = 0 o −yo x o + 1 = 0 HÖ nµy v« nghiÖm. VËy kh«ng tån t¹i ®iÓm nµo trong mÆt ph¼ng täa ®é mµ ®å thÞ lu«n ®i qua víi mäi m. 4) XÐt x2 − ax + 1 > 0 víi mäi x > 0 x2 + 1 ⇔ > a , ∀x > 0 x x2 + 1 XÐt ®å thÞ y = víi x > 0 lµ nh¸nh trªn cña ®å thÞ hµm sè ®· vÏ ë phÇn 1. Ta cã a < y víi x mäi x > 0 : nghÜa lµ a < y min mµ y min = 2 , vËy víi mäi gi¸ trÞ a < 2 th× x2 − ax + 1 > 0 víi mäi x > 0. C©u II. Gäi xo lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1). NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2) gÊp ®«i nã sÏ lµ 2xo . Ta cã : x2 − xo + m = 0 (1) o 4x2 − 6xo + m = 0 (2) o 5 Trõ (2) cho (1) : 3x2 − 5xo = 0 ⇒ xo = 0 , xo = . o 3 5 10 Víi xo = 0 th× m = 0, xo = th× m = − . 3 9 Tr−êng hîp 1 : Víi m = 0, hai ph−¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh : x2 − x = 0 (1) x2 − 3x = 0 (2) Ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x1 = 0, x2 = 1. Ph−¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm x3 = 0, x 4 = 3.
  3. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 _________________________________________________________ Chóng cã mét nghiÖm chung x = 0, nh−ng hai nghiÖm cßn l¹i kh«ng gÊp ®«i nhau. Tr−êng hîp nµy lo¹i. 10 Tr−êng hîp 2 : Víi m = − , hai ph−¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh 9 10 x 2 − x − = 0 (1) 9 10 x − 3x − = 0 (2) 2 9 2 5 Ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x1 = − , x2 = . 3 3 10 1 Ph−¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm x3 = , x4 = − . 3 3 10 5 DÔ thÊy r»ng nghiÖm x3 = cña ph−¬ng tr×nh (2) lín gÊp hai lÇn nghiÖm x2 = cña 3 3 ph−¬ng tr×nh (1). 10 VËy m = − lµ gi¸ trÞ cÇn t×m. 9 C©u III. 1) Theo ®Þnh lÝ hµm sè cosin trong tam gi¸c : b 2 + c2 − a 2 a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A ⇒ cosA = (1) 2bc 4x2 − 6x o + m = 0 o a Theo ®Þnh lÝ hµm sè sin trong tam gi¸c : sin A = (2) 2R (b2 + c2 − a 2 )R Tõ (1) vµ (2) suy ra cotgA = (3) abc Do vai trß ba gãc A, B, C nh− nhau, t−¬ng tù ta cã : (a 2 + c2 − b2 )R cot gB = (4) abc (a 2 + b2 − c2 )R cot gC = (5) abc KÕt hîp (3), (4), (5) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh : (a 2 + b2 + c2 )R cot gA + cot gB + cot gC = abc 2) XÐt hai tr−êng hîp : a) Mét trong ba sè a, b, c b»ng 0. Gi¶ sö a = 0. Theo gi¶ thiÕt : a + b + c = abc ; a = 0 ⇒ b = −c. Thay a = 0 vµo biÓu thøc ph¶i chøng minh, ta cã : b(−1)( c2 − 1) + c(−1)( b2 − 1) = 0. §¼ng thøc nµy lu«n ®óng khi b = −c. b) C¶ ba sè a, b, c ®Òu kh¸c 0 : §Æt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ. Theo gi¶ thiÕt a + b + c = abc, nghÜa lµ : tgα + tgβ + tgγ = tgαtgβtgγ − tgβ − tgγ ⇔ tgβ + tgγ = tgα(tgβtgγ − 1) ⇔ = tgα 1 − tgβ tgγ
  4. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 _________________________________________________________ (bëi v× tgβtgγ − 1 lu«n kh¸c 0 do kh«ng thÓ tån t¹i tgβtgγ = 1 vµ tgβ + tgγ = 0) ⇔ tg(−β − γ) = tgα ⇔ − β − γ + k o π = α ⇔ α + β + γ = koπ . Nh− vËy, ta cÇn chøng minh : tgα( tg2β − 1)( tg2 γ − 1) + tgβ( tg2 α − 1)( tg2 γ −1) + tgγ( tg2 α − 1) × ( tg2β − 1) = tgαtgβtgγ. Chia c¶ hai vÕ cho vÕ ph¶i, ta cã : ®iÒu cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi : cotg2βcotg2γ + cotg2αcotg2γ + cotg2αcotg2β = 1 cot g2β cos2 γ cos2α sin(2β + 2 γ ) ⇔ + =1 sin 2β sin 2 γ sin 2α sin 2β sin 2 γ 1 ⇔ [cos2(β + γ) + cos2(β − γ)] − cos2α = sin2βsin2γ 2 1 ⇔ [cos2(β − γ) − cos2α] = sin2βsin2γ 2 ⇔ − sin(β − γ + α)sin(β − γ − α) = sin2βsin2γ ⇔ −sin( k o π − 2γ)sin[β − ( k o π − β)] = sin2βsin2γ ⇔ sin2γsin2β = sin2βsin2γ.
  5. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ C©u IVa. 1) §iÓm C cã täa ®é (a , m), vËy ®ûêng trßn (C) cã phû¬ng tr×nh (x - a) 2 + (y - m) 2 = m 2 . x y §ûêng th¼ng AB cã phû¬ng tr×nh + = 1. a b VËy c¸c täa ®é cña A vµ P lµ nghiÖm (x , y) cña hÖ ( x − a) 2 + ( y − m ) 2 = m 2 (1)  x y  + = 1( 2) a b §Ó gi¶i hÖ nµy, tõ (2) suy ra y x a - x a 2 y2 = 1 - = Þ (x - a) 2 = 2 b a a b ThÕ vµo (1), ta ®ûîc a 2 y2  a 2 + b2  + (y - m) = m Û y 2 2  b2 y - 2m = 0,  b2   vËy :y = 0 Þ x = a (täa ®é cña A) 2mb 2  y  2mb  y = Þ x = a 1 -  = a1 - 2   (täa ®é cña P). 2 a + b 2  b  a + b2   a 2 + b2 2) NhËn xÐt r»ng do m ¹ 0, nªn P kh«ng thuéc Oy, vµ m ¹ , nªn P  B, vËy ®ûêng trßn (K) ®ûîc hoµn toµn x¸c 2b ®Þnh. (H×nh 114). Gi¶ sö K cã täa ®é (k, b). §ûêng trßn (K) cã phû¬ng tr×nh (x - k) 2 + (y - b) 2 = k 2 . V× P Î (K), nªn ta cã 2   2mb    2mb 2 2  1 − 2  a  − k −  2 − b = k 2   a + b2    a + b2   2 2  2mb   2mb   2mb  Hay a 1 - 2  2  - 2ka1 - 2 2    2  2  + b 1 -  = 0.  a + b   a + b   a + b2  2 
  6. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ 2mb a 2 + b 2 - 2mb Do 1 - ¹ 0, suy ra k = . a 2 + b2 2a 3) C¸c giao ®iÓm P, Q cña (C) vµ (K) cã täa ®é (x , y), nghiÖm hÖ gåm 2 phû¬ng tr×nh cña (C) vµ (K)  (x - a)2 + (y - m)2 = m2 2 2   a 2 + b 2 - 2mb   a 2 + b 2 - 2mb   x -   + (y - b) =   2     2a   2a  Hay x 2 - 2ax + a 2 + y 2 - 2my = 0 (1) 2 a 2 + b 2 - 2mb x - . x + y 2 - 2by + b 2 = 0. (2) a LÊy (1) trõ cho (2), ta ® îc phû¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi x, y :  b 2 - a 2 - 2mb     x + 2(b - m)y + a 2 - b 2 = 0.  (3)  a  V× c¸c täa ®é cña P vµ Q ®Òu tháa m·n (3), nªn ta kÕt luËn : (3) lµ phû¬ng tr×nh ®ûêng th¼ng PQ. ViÕt l¹i (3) d íi d¹ng  bx  (b 2 - a 2) x -2m + y + + 2by = b2 - a2, a  a ta thÊy ®ûêng th¼ng PQ ®i qua ®iÓm cè ®Þnh (x , y), nghiÖm cña hÖ bx +y=0  a   (b 2 - a 2) x + 2by = b2 - a2. a i) NÕu b 2 - a 2 ¹ 0, ta viÕt hÖ trªn d íi d¹ng x y + = 0  a b   x 2b + 2 . y = 1. a b - a2
  7. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ Tõ hÖ nµy suy ra b(b 2 - a 2 ) ay a(a 2 - b 2 ) y = , x = - = . a 2 + b2 b a 2 + b2 ii) NÕu b 2 - a 2 = 0, hÖ (4) trë thµnh bx  +y=0  a Þ x = y = 0.  2by = 0 Trong c¶ 2 trûúâng hîp, ta cã thÓ kÕt luËn : ®ûêng th¼ng PQ lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh  a(a 2 - b 2 ) b(b 2 - a 2 )   a + b 2 ; a 2 + b 2 .  2    C©u IVb. 1) Gäi BD = y vµ CD = x (x vµ y ³ 0). 1 2 D 1 D 2 ⊥ AD 2 Û AD1 = D1 D2 + AD2 ; 2 2 2 (1) AD1 = a 2 + y 2 ; AD2 = a 2 + x 2 ; D1 D2 = a + (x - y) . 2 2 2 2 2 Thay vµo (1) Þ 2x 2 - 2yx + a 2 = 0. Coi (2) lµ phû¬ng tr×nh bËc hai Èn x tham sè lµ y. Bµi to¸n trë thµnh viÖc chøng minh r»ng tån t¹i y ³ 0 ®Ó (2) cã nghiÖm x ↔ 0. ThËt vËy: ∆ 'x = y 2 - 2a 2 ³ 0 Û y ³ a 2. Khi ®ã (2) cã 2 nghiÖm x’, x’’. Theo ®Þnh lÝ Viet th× x’ + x’’ = y ³ 0    x’.x’’ = a 2 /2 > 0, chøng tá 0 < x’ < x’’. ^ ^ Nh vËy nÕu BD1 = y > a 2 th× cã 2 ®iÓm D'2 vµ D'' mµ CD'2 = x’ vµ CD'' = x’’ ®Ó AD2 D1 = AD2 D1 = π/2. NÕu y = a 2 th× 2 2 ' '' x’ = x’’ Û D'2 ƒ D'' hay nãi c¸ch kh¸c D 2 duy nhÊt. 2
  8. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ 2) a) Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC (I cè ®Þnh) vµ K lµ trung ®iÓm cña D 1 D 2 . V× d vµ d cïng ⊥ (P) nªn d 1 // d 2 , do ®ã 1 2 BD 1 D 2 C lµ h×nh thang vµ IK lµ ® êng trung b×nh Þ BD1 + CD2 2b IK // d 1 // d 2 vµ IK = = = b kh«ng ®æi. 2 2 Trong mÆt ph¼ng (d 1 , d 2 ), qua I chØ cã mét ®ûêng th¼ng d //d 1 // d 2 nªn K Î d cè ®Þnh. MÆt kh¸c, IK = b kh«ng ®æi nªn K cè ®Þnh. VËy mÆt ph¼ng (AD 1 D 2 ) lu«n quay quanh AK cè ®Þnh. AI ⊥ giao tuyÕn BC cña hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc (ABC) vµ (d 1 , d 2 ) nªn AI ⊥ (BD 1 D 2 C) hay AI lµ ®ûêng cao cña chãp A.BD 1 D 2 C . 1 BD1 + CD2 1 VA.BD1D2C = AI . . BC = a 2 b 3 kh«ng ®æi. 3 2 6 b) Dùng IJ ⊥ AK (3) th× J cè ®Þnh. Dùng IE ⊥ D 1 D 2 (4). AI ⊥ (BD 1 D 2 C) nªn AI ⊥ D 1 D 2 (5). Tõ (4) vµ (5) ÞD 1 D 2 ⊥ (AIE) Þ (AIE)⊥ (AD 1 D 2 ). Dùng IH⊥AE th× IH ⊥ (AD 1 D 2 ) ; BC⊥(AIK) Þ AK ⊥ BC (6). Tõ (3) vµ (6) mÆt ph¼ng (JBC) cè ®Þnh  Þ (JBC) ⊥ AK Þ   (JBC) ⊥ (AD 1 D 2 ) (7) Tõ (7) Þ H Î (JBC). Tõ ®ã suy ra BC,D 1 D 2 , vµ JH c¾t nhau t¹i F. Trong mÆt ph¼ng cè ®Þnh (JBC), H nh×n IJ cè ®Þnh dûúái gãc vu«ng nªn H thuéc ®ûêng trßn ®ûêng kÝnh IJ trong mÆt ph¼ng (JBC). Giíi h¹n : Khi D chuyÓn ®éng ®Õn B th× D 2 chuyÓn ®éng ra v« cïng vµ F chuyÓn ®éng vÒ B, suy ra H chuyÓn ®éng 1 trªn ®ûêng trßn ®Õn H 1 (H 1 lµ giao cña ® êng trßn ® êng kÝnh IJ víi JB). Khi D 2 chuyÓn ®éng ®Õn C th× D 1 chuyÓn ®éng ra v« cïng vµ F chuyÓn ®éng vÒ C, suy ra H chuyÓn ®éng trªn ®ûêng trßn ®Õn H 2 (H 2 lµ giao cña ®ûêng trßn ¼ ®ûêng kÝnh IJ víi JC). VËy tËp hîp cÇn t×m lµ cung H H (kÓ c¶ mót). 1 2
  9. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 _______________________________________________________________ C©u IVa. Trªn mÆt ph¼ng täa ®é xÐt hai ®iÓm A(a, 0), B(0, b) víi ab ¹ 0. Gäi (C) lµ ®ûêng trßn tiÕp xóc víi Ox t¹i A, vµ cã t©m C víi tung ®é y C = m, trong ®ã m lµ tham sè lÊy mäi gi¸ trÞ kh¸c 0 vµ kh¸c (a 2 + b 2 )/2b. 1) §ûêng th¼ng AB c¾t ®ûêng trßn (C) t¹i giao ®iÓm thø hai lµ P. H·y x¸c ®Þnh c¸c täa ®é cña P. 2) X¸c ®Þnh t©m K cña ®ûêng trßn (K) tiÕp xóc víi Oy t¹i B, vµ ®i qua P. 3) C¸c ®ûêng trßn (C), (K) c¾t nhau t¹i P vµ Q. Chûáng tá khi m thay ®æi, ®ûêng th¼ng PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. C©u IVb. Trong mÆt ph¼ng (P) cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh a. Qua B, C, dûång lÇn lûúåt hai nöa ®ûêng th¼ng (d 1 ), (d 2 ) n»m cïng phÝa vµ vu«ng gãc víi (P). Trªn (d 1 ) lÊy ®iÓm D 1 , trªn (d 2 ) lÊy ®iÓm D 2 . 1) H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña D 1 trªn (d 1 ), sao cho trªn (d 2 ) tån t¹i mét ®iÓm D 2 duy nhÊt nh×n AD 1 d íi gãc vu«ng. 2) Gi¶ sö D 1 , D 2 chuyÓn ®éng trªn (d 1 ), (d 2 ), sao cho tæng BD 1 + CD 2 = 2b kh«ng ®æi. a) Chûáng minh r»ng mÆt ph¼ng (AD 1 D 2 ) lu«n quay quanh mét ®uêng th¼ng cè ®Þnh, vµ khèi ®a diÖn ABCD 1 D 2 cã thÓ tÝch kh«ng ®æi. b) T×m tËp hîp h×nh chiÕu vu«ng gãc cña trung ®iÓm c¹nh BC lªn mÆt ph¼ng ( AD1 D2 ).
Đồng bộ tài khoản