Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 12

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

0
69
lượt xem
14
download

Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 12

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề ( có đa) luyện thi đhcđ số 12', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 12

  1. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ C©u I. Cho hµm sè mx 2 + (m 2 + 1)x + 4m 3 + m y= . x + m 1) Víi m = - 1: a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b) T×m trªn mçi nh¸nh cña ®å thÞ mét ®iÓm, sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a chóng nhá nhÊt. 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®å thÞ hµm sè tû¬ng øng cã mét ®iÓm cùc trÞ thuéc gãc phÇn tû (II) vµ mét ®iÓm cùc trÞ thuéc gãc phÇn tû (IV) cña mÆt ph¼ng täa ®é. C©u II. Cho hÖ bÊt phû¬ng tr×nh  y − x 2 − x −1 ≥ 0    y − 2 + x +1 −1 ≤ 0  1) Gi¶i hÖ khi y = 2. 2) T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm nguyªn (x ; y) cña hÖ. C©u III. Cho phû¬ng tr×nh m msinx + (m + 1)cosx = . cosx 1 1) Gi¶i phû¬ng tr×nh khi m = . 2 2) T×m m ®Ó phû¬ng tr×nh cã nghiÖm. 3) Gi¶ sö m lµ gi¸ trÞ lµm cho phû¬ng tr×nh cã nghiÖm. Gäi x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn π x 1 + x 2 ≠ + kπ (k Î Z) . H·y tÝnh cos2(x 1 + x 2 ) 2
  2. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ C©u I. 1) m = -1 : Hµm sè cã d¹ng -x 2 + 2x - 5 y= . x-1 a) B¹n ®äc tù gi¶i. b) Hai nh¸nh n»m vÒ hai phÝa tiÖm cËn ®øng x = 1 nªn cã thÓ coi M 1 thuéc nh¸nh tr¸i cã x 1 = 1 - α vµ M 2 thuéc nh¸nh ph¶i cã x 2 = 1 + β (α vµ β > 0). Thay vµo hµm sè ®ûîc 4 4 y1 = α + vµ y 2 = -β - . Gäi d lµ kho¶ng c¸ch gi÷a M 1 vµ M 2 th× d 2 = M 1 M 2 = (x 2 - x1 ) 2 + (y 2 - y1 ) 2 . Sau khi α β 2 rót gän ®ûîc 4 2 d2 = (α + β)2[1 + (1 + ) ]. αβ V× α, β > 0 nªn α + β ³ 2 αβ ; dÊu b»ng x¶y ra khi α = β (1) ; suy ra  8 4   8  d 2 ³ 8αβ 2 2 + + 1 hay d ³ 8 2 + αβ + 4. α β αβ   αβ  8 8 V× αβ > 0 nªn theo bÊt ®¼ng thøc C«si: + αβ ≥ 4 2. DÊu b»ng x¶y ra khi αβ = (2). Thay vµo ®ûîc αβ αβ d ³ 4 2 + 2 2 (3). d nhá nhÊt khi trong (3) x¶y ra dÊu b»ng. MÆt kh¸c ®Ó trong (3) cã dÊu b»ng Û cã (1) vµ (2) Ûα=β= 4 8. 4 VËy M 1 (1- 8 , 4 8 + 24 2) vµ M 2 (1 + 4 8 , - 4 8 - 24 2). mx 2 + 2m 2 x - 3m 3 2) y’ = . Hµm sè cã hai ®iÓm cùc trÞ nªn (x + m) 2 y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x 1 < x 2 . Gãc (II) vµ (IV) n»m vÒ hai phÝa trôc Oy nªn x 1 < 0 < x 2 . Gäi g(x) = mx 2 + 2m 2 x - 3m 3 th× mg(0) < 0 Û -3m 4 < 0, "m ¹ 0 (4). Gãc (II) vµ (IV) n»m vÒ hai phÝa Ox, mÆt kh¸c ®èi víi hµm ph©n thøc bËc hai trªn bËc nhÊt th× y CT > y CD nªn ®iÓm cùc tiÓu thuéc gãc (II) vµ ®iÓm cùc ®¹i thuéc gãc (IV). Tõ ®ã suy
  3. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ X X1 -m x2 y’ - 0 + + 0 - Y C§ CT Chøng tá g(x) ®æi dÊu tõ ©m sang dû¬ng khi qua x vµ tõ dû¬ng sang ©m khi qua x Þ hÖ sè bËc hai cña g(x) lµ 1 2 - 5 m < 0 (6). Tõ (4), (5) vµ (6) suy ra m < . 5 x 2 − x ≤ 1   | x 2 − x | ≤ 1  x 2 − x ≥ −1 1 - 5 C©u II. 1) Khi y = 2 hÖ cã d¹ng  Û Û ≤ x ≤ 0. | x + 1| ≤ 1 x +1 ≤ 1 2  x + 1 ≥ −1   y−| x 2 − x |−1 ≤ 0 ( 7) 2)  | y − 2| + | x + 1|−1 ≤ 0 (8) Tõ (7) Û y ³ 1 + |x - x| Þ y ³ 1 (9). Tõ (8) Û 2 Û |y - 2| £ 1 - |x + 1| £ 1 Þ |y - 2| £ 1. (10) GhÐp (9) vµ (10) ta ® îc hÖ: y ≥ 1 y ≥ 1   Û  y − 2 ≤ 1 Û 1 £ y £ 3. | y − 2| ≤ 1   y − 2 ≥ −1 Trong kho¶ng nµy cã c¸c sè nguyªn y = 1 ; y = 2 ; y = 3. Víi y = 1 thay vµo hÖ ban ®Çu ®ûîc 1 2 3 1 | x 2 − x | ≤ 0 x 2 − x = 0  Û  v« nghiÖm. | x + 1| ≤ 0 x +1 = 0
  4. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ 1- 5 ë phÇn 1) gi¶i ® îc ≤ x ≤ 0. 2 Trong kho¶ng nµy cã duy nhÊt 1 sè nguyªn x = 0; x = 0 vËy  lµ mét cÆp nghiÖm nguyªn. y = 2 Víi y = 3 thay vµo hÖ ban ®Çu ® îc 3 | x 2 − x | ≤ 2  Û x = -1; | x + 1| ≤ 0 x = −1 vËy  lµ mét cÆp nghiÖm nguyªn. y=3 §¸p sè : Cã 2 nghiÖm nguyªn :  x = 0  x = −1  vµ  y = 2 y = 3 1 C©u III. 1) Víi m = ph ¬ng tr×nh cã d¹ng 2 1 sinx + 3cosx = . Víi ®iÒu kiÖn cosx ¹ 0 chia hai vÕ cho cosx vµ ®Æt tgx = t (víi "t) ta ® îc: cosx t2 - t - 2 = 0 Û t1 = -1 vµ t2 = 2 π Víi t 1 = -1 Û tgx = -1 Û x = - + kπ (k Î Z). 4 Víi t 2 = 2 = tgα Û x = α + kπ (k Î Z). m 2) msinx + (m + 1)cosx = (11). Víi ®iÒu kiÖn cosx ¹ 0, chia hai vÕ cña (11) cho cosx vµ ®Æt tgx = t, ta ®ûîc: cosx mt2 - mt - 1 = 0 (12).
  5. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ Khi cosx ¹ 0 th× tgx lu«n cã nghÜa nªn phû¬ng tr×nh (12) kh«ng cã ®iÒu kiÖn cña Èn t (-¥ < t < +¥). Víi m = 0 : (12) v« nghiÖm. Víi m ¹ 0 : (12) cã nghiÖm Û ∆ = m + 4m ³ 0 Û m ³ 0 hoÆc m £ -4. 2 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn m ¹ 0 ta ® îc ®¸p sè m > 0 hoÆc m £ -4. 3) Víi ®iÒu kiÖn cosx ¹ 0, (11) Û mtg x - mtgx - 1 = 0 (13). 2 1 - tg 2 (x1 + x 2 ) cos(2x + 2x ) = . 1 + tg 2 (x1 + x 2 ) 1 2 (14) π Víi gi¶ thiÕt x + x ¹ + kπ th× (14) cã nghÜa. 2 1 2 tgx1 + tgx 2 MÆt kh¸c, tg(x + x ) = (15). Víi gi¶ thiÕt cosx ¹ 0 th× tgx vµ tgx cã nghÜa ; mÆt kh¸c, víi gi¶ thiÕt x + x ¹ 1 - tgx1 tgx 2 1 2 1 2 1 2 π/2 + kπ th× 1 - tgx tgx ¹ 0 nªn (15) cã nghÜa. ¸p dông ®Þnh lý Viet ®èi víi phû¬ng tr×nh (13) khi m > 0 hoÆc m £ -4 1 2 ta ® îc tgx + + tgx = 1 vµ tgx tgx = -1/m. Thay vµo c«ng thøc (15) ta ®ûîc 1 2 1 2 1 m tg(x + x ) = = . -1 m+1 1 2 1- ( ) m Thay vµo (14) ta ®ûîc m 2 ) 1- ( m+1 2m + 1 cos(2x1 + 2x2) = = 2 . m 2 2m + 2m + 1 1+ ( ) m+1 PhÇn ®· gi¶i lµ xÐt trûúâng hîp x 1 , x 2 ®ûîc sinh ra do ta gi¶i hai phû¬ng tr×nh Khi cosx ¹ 0 th× tgx lu«n cã nghÜa nªn phû¬ng tr×nh (12) kh«ng cã ®iÒu kiÖn cña Èn t (-¥ < t < +¥). Víi m = 0 : (12) v« nghiÖm. Víi m ¹ 0 : (12) cã nghiÖm Û ∆ = m 2 + 4m ³ 0 Û m ³ 0 hoÆc m £ -4.
  6. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ 3) Víi ®iÒu kiÖn cosx ¹ 0, (11) Û mtg 2 x - mtgx - 1 = 0 (13). 1 - tg 2 (x1 + x 2 ) cos(2x 1 + 2x 2 ) = . (14) 1 + tg 2 (x1 + x 2 ) π Víi gi¶ thiÕt x 1 + x 2 ¹ + kπ th× (14) cã nghÜa. 2 tgx1 + tgx 2 MÆt kh¸c, tg(x 1 + x 2 ) = (15). Víi gi¶ thiÕt cosx ¹ 0 th× tgx 1 vµ tgx 2 cã nghÜa ; mÆt kh¸c, víi gi¶ thiÕt 1 - tgx1 tgx 2 x 1 + x 2 ¹ π/2 + kπ th× 1 - tgx 1 tgx 2 ¹ 0 nªn (15) cã nghÜa. ¸p dông ®Þnh lý Viet ®èi víi phû¬ng tr×nh (13) khi m > 0 hoÆc m £ -4 ta ® îc tgx 1 + + tgx 2 = 1 vµ tgx 1 tgx 2 = -1/m. Thay vµo c«ng thøc (15) ta ®ûîc 1 m tg(x 1 + x 2 ) = = . -1 m+1 1- ( ) m Thay vµo (14) ta ®ûîc m 2 1- () m+1 2m + 1 cos(2x1 + 2x2) = = 2 . m 2 2m + 2m + 1 1+ ( ) m+1 PhÇn ®· gi¶i lµ xÐt trûúâng hîp x 1 , x 2 ®ûîc sinh ra do ta gi¶i hai phû¬ng tr×nh
  7. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 _______________________________________________________ C©u IVa. 1 1) TÝnh Io = ∫ 1 − xdx 0 §Æt u = 1 − x ⇒ x = 1 − u2 ⇒ dx = − 2udu Khi x = 0 th× u = 1 vµ khi x = 1 th× u = 0 : 1 0 1 2 1 2 ∫ ∫ 1 − xdx = −2u du = 2 u2 du = u3 ∫ 2 Io = = 3 0 3 0 1 0 1 Ta cã I n = ∫ x n 1 − xdx . 0 §Æt u = x ⇒ du = n x n −1 dx, n 2 dv = 1 − xdx ⇒ v = − (1 − x) 1 − x (0 ≤ x ≤ 1) 3 1 2 1 2n n −1 ⇒ I n = − x n (1 − x) 1 − x 3 0 + 3 ∫ x (1 − x) 1 − xdx 0 2n 2n 2n ⇒ In = I n −1 − I n ⇒ I n = I n −1 . 3 3 2n + 3 §©y lµ c«ng thøc truy håi cho I n . 2) Khai triÓn I n ta cã : 2n 2(n − 1) 2(n − 2) 2(n − 3) 8 6 4 2 2 In = . . . ... . . . . 2n + 3 2n + 1 2n − 1 2n − 3 11 9 7 5 3 Víi mäi n ∈ N ta cã bÊt ®¼ng thøc sau : 1 1 2n(2n + 2) ≤ 2n + 1 ⇒ ≥ 2n(2n + 2) 2n + 1 V× vËy ta suy ra : 2n 2(n − 1) In ≤ . × (2n + 4)(2n + 2) 2n(2n + 2) 2(n − 2) 2(n − 3) × . × 2n(2n − 2) (2n − 2)(2n − 4) 8 6 4 2 2 ×... . . . . = 12.10 10.8 8.6 6.4 4.2 1 1 = < . (n + 1) n + 2 (n + 1)3 C©u Va. 1) Gäi M o (xo , yo ) lµ ®iÓm thuéc elip. Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (∆) t¹i M o lµ : xxo yyo + = 1 .(1) 2 a b2
  8. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 _______________________________________________________ V× T ∈ (∆) vµ cã hoµnh ®é x = a nªn tung ®é suy ra tõ b2  xo  b2  x  (1) : y = 1 −  , tøc lµ : AT =  1 − o  yo  a  yo  a  T−¬ng tù T' cã hoµnh ®é x = −a nªn cã tung ®é lµ : b2  xo  y = A 'T ' = 1 +  yo  a  Tõ ®ã : b4  x2  AT.A 'T ' = 1 − o  2  yo  a 2  (2) Nh−ng v× M o ∈ (E) nªn x2 y2 x 2 y2 o + o =1 ⇔ 1− o = o a 2 b2 a 2 b2 Tõ (2) ⇒ AT.A ' T ' = b2 = h»ng sè. 2) Víi A'(−a, 0) vµ T(a, y T ) ta cã ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng A'T lµ : y − yA ' yA ' − yT y y = ⇔ = T ⇔ x − xA ' xA ' − xT x + a 2a ⇔ y T (x + a) = 2ay ⇔ b2 (a − x o )(a + x) = 2a 2 yo y (3) T−¬ng tù ®−êng AT' cã ph−¬ng tr×nh lµ : b2 (a + xo )(x − a) = −2a 2 yo y (4) Täa ®é (x N ,y N ) cña N lµ nghiÖm cña hÖ (3) vµ (4). y Suy ra : x N = xo , y N = o . 2 Khi M o (xo , yo ) ch¹y trªn (E) ta cã : 2  yo  x2 2 x2  2  x2 y2 = 1 ⇔ o +   = 1 ⇔ N + N = 1 (5) yo o + a2 b2 a 2  b 2 a 2  b 2     2 2 Ph−¬ng tr×nh (5) chøng tá tËp hîp c¸c ®iÓm N lµ elip ®ång t©m víi (E) cã trôc lín lµ 2a vµ trôc nhá lµ b. C©u IVb. 1) Theo gi¶ thiÕt SA = SB = SC, ASB = BSC = CSA = α suy ra ∆SAB = ∆SBC = ∆SAC ⇒ AB = AC = BC ⇒ tam gi¸c ABC ®Òu. Gäi O1 lµ h×nh chiÕu cña S lªn mÆt ph¼ng ABC ⇒ O1A = O1B = O1C . Do ®ã O1 lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. V× SO1 vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ABC nªn SO1 ®i qua t©m O cña mÆt cÇu. SO1 c¾t mÆt cÇu t¹i D. Nèi AD. Tam gi¸c SAD vu«ng t¹i A v× SD lµ ®−êng kÝnh. §Æt l = SA. Hai tam gi¸c vu«ng AO1S vµ DAS ®ång d¹ng víi nhau (v× cã chung ASO1 ). Suy ra SO1 SA l2 = ⇒ SO1 = (1) SA SD 2R Gäi E lµ trung ®iÓm cña BC, ta cã :
  9. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 _______________________________________________________ α BC = 2BE = 2l sin ; 2 α 2l sin BC 2 , OA1 = = 3 3 4 α SO1 = SA 2 − O1A 2 = l 1 − sin 2 (2) 3 2 Tõ (1) vµ (2) : l2 4 α 4 α = l 1 − sin 2 ⇒ l = 2R 1 − sin 2 2R 3 2 3 2 ThÓ tÝch tø diÖn SABC lµ : 1 1 BC 2 3 V = SO1.S(∆ABC) = SO1. = 3 3 4 3 4 α α = l 1 − sin 2 .4l 2 sin 2 = 12 3 2 2 3 3 2α 4 α = l sin 1 − sin 2 = 3 2 3 2 8 3 3 2α 4 α = R sin (1 − sin 2 )2 3 2 3 2 α 4 α 2) §Ó thÓ tÝch tø diÖn ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt theo α th× sin 2 (1 − sin 2 )2 ph¶i ®¹t gi¸ trÞ lín 2 3 2 nhÊt. 2 α α 4 α §Æt x = sin 2 vµ y = sin 2  1 − sin 2  . 2 2 3 2 Ta cã : 0 < x < 1, 2  4  1 y = x  1 − x  = (16x3 − 24x 2 + 9x) ,  3  9 1 y' = (16x 2 − 16x + 3) , 3 3 1 y ' = 0 t¹i x1 = , x2 = . 4 4 B¶ng biÕn thiªn : 1 3 x 0 1 4 4 y' + 0 − 0 + y C§ CT α 1 α 1 ThÓ tÝch ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi y ®¹t cùc ®¹i, nghÜa lµ khi x = sin 2 = ⇒ sin = ⇒ 2 4 2 2 α = 60o ⇒ SABC lµ tø diÖn ®Òu. ThÓ tÝch lín nhÊt lµ :
  10. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 _______________________________________________________ 2 8 3 3 1 4 1 8 3 3 Vmax = R . 1 − .  = R . 3 4 3 4 27 C©u Vb. Trong mÆt ph¼ng täa ®é xÐt c¸c ®iÓm :  y 3   3 3  y z  Ax + , z  , B  0, y+ z , C  − , 0  2 2   2 2  2 2  ta cã : 2 y  3  2  AB =  (x +  +  y  = x 2 + xy + y2 ,  2  2  2 z  3  2  AC =  (x +  +  z  = x 2 + xz + z 2 ,  2  2  2  2 y z 3  BC =  −  +  (y + z)  = y2 + yz + z 2 . 2 2  2  Ta lu«n cã : AB + AC ≥ BC ⇒ ⇒ x 2 + xy + y2 + x 2 + xz + z 2 ≥ y2 + yz + z 2 .
  11. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ C©u Iva. Cho 1 In = ∫ xn 1- x dx (n Î N). 0 1) Chøng minh r»ng 2n + 2 I n +1 = I . 2n + 5 n 2) Chøng minh r»ng 1 In < . (n + 1) n + 1 C©u Va. Cho elip (E) x2 y2 + 2 = 1. a2 b Gäi AA’ lµ trôc lín cña elip, dùng c¸c tiÕp tuyÕn At vµ A’t’. Mét tiÕp tuyÕn qua ®iÓm M thuéc (E) c¾t At vµ A’t’ t¹i T vµ T’. 1) Chøng minh r»ng tÝch AT.A’T’ kh«ng phô thuéc M. 2) T×m tËp hîp giao ®iÓm N cña AT’ vµ A’T khi M ch¹y trªn (E). C©u IVb. Cho h×nh cÇu b¸n kÝnh R. Tõ mét ®iÓm S bÊt k× trªn mÆt cÇu, dùng 3 c¸t tuyÕn b»ng nhau, c¾t mÆt cÇu t¹i c¸c ®iÓm A, B, C, vµ tõng ®«i mét lËp víi nhau gãc a. 1) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn SABC theo R vµ a. 2) Khi a thay ®æi, x¸c ®Þnh a ®Ó thÓ tÝch Êy lín nhÊt. C©u Vb. x, y, z lµ 3 sè tïy ý. Chøng minh r»ng x 2 + xy + y 2 + x 2 + xz + z 2 ³ y 2 + yz + z 2 .
Đồng bộ tài khoản