Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 17

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

0
52
lượt xem
13
download

Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 17

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề ( có đa) luyện thi đhcđ số 17', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 17

  1. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ C©u I. Cho hµm sè 3 3 y = (x + a) + (x + b) 1) Kh¶o s¸t sûå biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè ûáng víi a = 1, b = 2 - x3. 2) Trong trûúâng hîp tæng qu¸t, c¸c sè a, b ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn g× ®Ó hµm sè cã cûåc ®¹i vµ cûåc tiÓu? 3) Chûáng minh r»ng víi mäi a, b, phû¬ng tr×nh (x + a)3 + (x + b)3 - x3 = 0 kh«ng thÓ cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. C©u II. Cho phûúng tr×nh lûúång gi¸c cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0. 3 1) Gi¶i phûúng tr×nh víi m = . 2 π 3π 2) T×m m ®Ó phû¬ng tr×nh cã nghiÖm x víi x Î ( ; ). 2 2 C©u III. T×m a ®Ó bÊt phû¬ng tr×nh sau ® îc nghiÖm ®óng víi mäi x : a.4 x + ( a − 1).2 x + 2 + a − 1 > 0.
  2. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________ C©u I. 1) B¹n ®äc tù gi¶i nhÐ! 2) Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, hµm sè cã ®¹o hµm y' = 3[(x + a)2 + (x + b)2 − x2 ] = 3[x2 + 2(a + b)x + a 2 + b2 ] . Víi y' lµ hµm bËc hai cña x, nªn ®Ó y cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu, y' ph¶i ®æi dÊu, tøc lµ cã biÖt thøc ∆' > 0 hay ∆ ' = (a + b)2 − a 2 − b2 = 2ab > 0 ⇒ ab > 0 . 3) NÕu ph−¬ng tr×nh y = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt, th× ®å thÞ cña hµm y ph¶i c¾t Ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt, do ®ã y ph¶i cã cùc ®¹i, cùc tiÓu, ngoµi ra ymax > 0 , ymin < 0 . Tõ phÇn (2) suy ra ab >0, vµ ta cã y' = 0 khi x = −(a + b) ± 2ab . Nh− vËy gäi f(x) lµ biÓu thøc cña y, th× cÇn cã 3 y max = f(−a − b − 2ab) = −(a + 2ab)3 − (b + ab)3 + (a + b + 2ab) = ab[3(a + b) + 4 2ab] > 0 , y min = f(−a − b + 2ab) = ab[3(a + b) − 4 2ab] < 0 . Nh−ng y max y min = a 2 b2 [9(a + b)2 − 32ab] = a 2 b2 [9(a − b)2 + 4ab] > 0 do ab > 0, vËy kh«ng thÓ x¶y ra tr−êng hîp trªn. Thµnh thö ph−¬ng tr×nh y = 0 kh«ng thÓ cã ba nghiÖm ph©n biÖt. C©u II. BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh ®· cho d−íi d¹ng 1 2 cos2 x − (2m + 1) cosx + m = 0 suy ra cosx = , cosx = m. 2 3 1 π 1) Víi m = nghiÖm cosx = m bÞ lo¹i. VËy cosx = ⇒ x = ± + 2kπ ( k ∈ Z). 2 2 3 2) §Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm π 3π 0 , bµi to¸n qui vÒ : t×m a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh at 2 + 4(a − 1)t + a − 1 > 0 (1) ®−îc nghiÖm ®óng víi mäi t > 0. Víi a = 0, (1) trë thµnh −4t − 1 > 0 kh«ng ®−îc nghiÖm ®óng khi t > 0. 2) NÕu a < 0, gäi f(t) lµ vÕ tr¸i cña (1). V× lim f(t) = −∞ t →+∞ nªn víi t > 0 ®ñ lín ⇒ f(t) < 0 ⇒ (1) kh«ng ®−îc nghiÖm. 3) XÐt a > 0. Khi ®ã f(t) cã biÖt sè thu gän ∆ ' = 4(a − 1)2 − a(a − 1) = (a − 1)(3a − 4). Ph©n biÖt c¸c tr−êng hîp : i) 0 < a < 1 ⇒ ∆' > 0 ⇒ f(t) cã hai nghiÖm ph©n biÖt t1 ≤ t 2 . a −1 Theo hÖ thøc Viet t1t 2 = < 0 ⇒ t1 < 0 < t 2 . a vËy f(t) < 0 khi 0 < t < t 2 ⇒ (1) kh«ng ®−îc nghiÖm víi c¸c gi¸ trÞ nµy cña t. ii) a ≥ 1 : víi t > 0 f(t) = at 2 + 4(a − 1)t + (a − 1) ≥ at 2 > 0 (1) ®−îc nghiÖm ®óng víi mäi t > 0. Thµnh thö ®¸p sè lµ a ≥ 1.
  3. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ C©u IV. Gäi I, J, K lµ t©m ®ûêng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ®Òu ABD, BCE, CAF, ta h·y chøng minh ch¼ng h¹n IJ = IK. Qu¶ vËy theo ®Þnh lÝ hµm c«sin ^ IJ2 = IB2 + BJ2 - 2IB.BJcosIBJ = (c + a 2 - 2ac cos(B + 60 o )), 1 2 3 IK 2 = 3 (c + b 2 - 2bc cos (A + 60 o )). §¼ng thøc IJ = IK tû¬ng 1 2 ®û¬ng víi a 2 - 2accos(B + 60 0 ) = b 2 - 2bccos(A + 60 0 ) Û a 2 - b 2 = c[2acos(B + 60 0 ) - 2bcos(A + 60o)]. (1) Ta cã 2acos(B + 60o) - 2bcos(A + 60o) = acosB - bcosA = =2R(sinAcosB - sinBcosA) =2Rsin(A - B). VËy vÕ ph¶i cña (1) b»ng 2Rcsin(A - B) = 4R2sinCsin(A - B). VÕ tr¸i cña (1) b»ng a2 - b2 = 4R2(sin2A - sin2B) = 2R2(cos2B - cos2A) = 4R2sin(A - B)sin(A + B) = =4R2sinCsin(A - B). Suy ra IJ = IK. Tû¬ng tù ta cã IK = KJ, vËy IJK lµ tam gi¸c ®Òu. C©u Va. 1) NÕu a + b = 0, th× c¸c ®ûêng th¼ng AN, BM kh«ng c¾t nhau. NÕu a + b ¹ 0, th× giao ®iÓm I cña c¸c ®ûêng th¼ng ®ã cã täa ®é 3(a - b) ab xI = , yI = . (1) a+ b a+b 2) Nhû ®· biÕt (®Ò sè 103, c©u IVa), ®Ó ®ûêng th¼ng
  4. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ x2 y2 Ax + By + C = 0 tiÕp xóc víi elip + 2 = 1, a2 b ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ a2A2 + b2B2 = C2 . (2) Trë vÒ bµi to¸n ®ang xÐt, ta cã ®ûêng th¼ng MN víi phû¬ng tr×nh (b - a)x a+b y = + , 6 2 vµ hÖ thøc (2) trë thµnh 9(b - a) 2 (a + b) 2 + 4 = Û ab = 4. 36 4 3) V× ab = 4, nªn a ¹ 0, b ¹ 0, vµ a, b cïng dÊu, vËy a + b ¹ 0. Tõ (1) suy ra c¸c täa ®é cña I: 3(a - b) 4 xI = , yI = . a+b a+b HiÓn nhiªn yI ¹ 0. VËy 4 a+b= yI x 4x I a - b = I (a + b) = . 3 3y I Suy ra 4 4x 2a = + y 3y 4 4x 2b = - y 3y Þ (4ab = 16) 16 16x 2 x2 16 = 2 - Û + y 2 = 1. (E’) y 9y 2 9 Ta thÊy ®iÓm I thuéc elip (E’). V× 3(a - b) 4 ab = 4, xI = , yI = a+b a+b ta thÊy yI nhËn mäi gi¸ trÞ kh¸c 0, víi trÞ sè tuyÖt ®èi kh«ng v ît qu¸ 1. Suy ra : tËp hîp c¸c ®iÓm I lµ ® êng elip (E ’) bá ®i 2 ®Ønh trªn trôc lín, ®ã lµ c¸c ®iÓm (± 3 ; 0).
  5. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ C©u Vb. 1) Gäi A’, B’ lµ c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A vµ B lªn D . Ta cã AA’ ^ D , BB’ ^ D , IM ⊥ D , vËy c¸c ® êng th¼ng AA’, BB’, IM ® îc chøa trong ba mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi D ®i qua A’, B’, M. Theo ®Þnh lÝ Talet trong kh«ng gian, ta cã A' M AI = = 1 Þ A’M = B’M. B' M BI Khi ®ã c¸c tam gi¸c vu«ng AA’M, BB’M cã hai c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau, nªn chóng b»ng nhau Þ AM = BM, vËy M Î P. 2) H¹ OH ⊥ (P). Ta cã IM ⊥ OM, IM ⊥ OH Þ IM ⊥ (OMH) Þ IM ⊥ MH. VËy M n»m trªn ®ûêng trßn ®ûêng kÝnh IH trong mÆt ph¼ng P, víi b¸n kÝnh 1 1 1 2 R= IH = OI 2 - OH 2 = d - h2 . 2 2 2 3) Tõ c¸c tam gi¸c vu«ng OMH, OMI, suy ra MH = OM 2 - OH 2 = x2 - h2 , MI = OI 2 - OM 2 = d 2 - x2 . 1 MI.MH h VËy V = VOHMI = OH . = (x 2 - h 2 )(d 2 - x 2 ) . 3 2 6 V× h vµ d kh«ng ®æi, suy ra V lín nhÊt khi d 2 + h2 x2 - h 2 = d 2 - x 2 Þ x = . 2
  6. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ C©u IV. ABC lµ mét tam gi¸c tïy ý. VÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c Êy, ngûúâi ta dûång c¸c tam gi¸c ®Òu ABD, BCE, CAF. Chûáng minh r»ng c¸c t©m c¸c ®ûúng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ®Òu nãi trªn, lµ c¸c ®Ønh cña mét tam gi¸c ®Òu. C©u Va. Cho elip (E) cã phû¬ng tr×nh x2 y2 + = 1. 9 4 Xem c¸c ®iÓm A(-3, 0), M(-3, a), B(3, 0), N(3, b), trong ®ã a, b lµ hai sè thay ®æi. 1) X¸c ®Þnh c¸c täa ®é cña giao ®iÓm I cña c¸c ®ûúâng th¼ng AN vµ BM. 2) Chûáng tá r»ng ®Ó ®ûúâng th¼ng MN tiÕp xóc víi elip (E), ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ a, b tháa m·n ®iÒu kiÖn ab = 4. 3) Víi a, b thay ®æi nhûng sao cho MN lu«n tiÕp xóc víi (E), h·y t×m tËp hîp ®iÓm I. C©u Vb. Trong kh«ng gian cho hai ®iÓm A, B cè ®Þnh ; gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Ta gäi (D) lµ mét ®ûêng th¼ng bÊt k×, c¸ch ®Òu A vµ B, tøc lµ kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (D) b»ng kho¶ng c¸ch tõ B ®Õn (D). 1) Chûáng tá r»ng h×nh chiÕu vu«ng gãc M cña I lªn (D) n»m trªn mÆt ph¼ng trung trûåc (P) cña ®o¹n AB. 2) O lµ mét ®iÓm cè ®Þnh kh«ng thuéc (P) vµ còng kh«ng thuéc ®ûêng th¼ng AB. Chûáng minh r»ng nÕu ®ûêng th¼ng (D) ®i qua O, th× giao ®iÓm cña (D) víi (P) n»m trªn mét ®ûêng trßn cè ®Þnh. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh ®ûêng trßn ®ã, biÕt OI = d, vµ kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (P) lµ OH = h. 3) TÝnh thÓ tÝch tûá diÖn OHMI theo d, h vµ x = OM. T×m x ®Ó thÓ tÝch ®ã lín nhÊt.
Đồng bộ tài khoản