Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 2

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

0
67
lượt xem
20
download

Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề ( có đa) luyện thi đhcđ số 2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 2

  1. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 _______________________________________________________________ C©u I. 1) Gi¶ sö phû¬ng tr×nh x2 + ax + b = 0 cã nghiÖm x1 vµ x2, phû¬ng tr×nh x2 + cx + d = 0 cã nghiÖm x3 vµ x4. Chûáng tá r»ng 2(x1 + x3)(x1 + x4)(x2 + x3)(x2 + x4) = = 2(b - d)2 - (a2 - c2)(b - d) + (a + c)2(b + d). 2) a, b, c lµ 3 sè tïy ý thuéc ®o¹n [0 ; 1]. Chûáng minh : a b c + + + (1 - a)(1 - b)(1 - c) ≤ 1. b + c +1 a + c +1 a + b +1 C©u II. 1) Gi¶i phû¬ng tr×nh sin3x + cos3x = 2 - sin4x. 2) k, l, m lµ ®é dµi c¸c trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC, R lµ b¸n kÝnh ®ûêng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ®ã. Chøng minh r»ng 9R k+l+m≤ . 2 C©u III. Trªn mÆt ph¼ng täa ®é cho ®iÓm A(3, 0) vµ parabol (P) cã phû¬ng tr×nh y = x2. 1) M lµ mét ®iÓm thuéc parabol (P), cã hoµnh ®é xM = a. TÝnh ®é dµi ®o¹n AM, x¸c ®Þnh a ®Ó AM ng¾n nhÊt. 2) Chûáng tá r»ng nÕu ®o¹n AM ng¾n nhÊt, th× AM vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn t¹i M cña parabol (P). C©u IVa. Cho hai sè nguyªn dû¬ng p vµ q kh¸c nhau. 2π TÝnh tÝch ph©n I = ∫ cospx cosqx dx. 0
  2. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ C©u I. 1) §Æt A = (x 1 + x 3 )(x 1 + x 4 )(x 2 + x 3 )(x 2 + x 4 ) 2 Ta cã (x1 + x3)(x1 + x4) = x1 + x1 (x 3 + x 4 ) + x 3 x 4 = -(ax1 + b) - cx1 + d = (d - b) - (a +c)x1, (x 2 + x 3 )(x 2 + x 4 ) = (d - b) - (a + c)x 2 , do ®ã A = [(d - b) - (a + c)x 1 ][(d - b) - (a + c)x 2 ] = (d - b) 2 + (a + c)(b - d)(x 1 + x 2 ) + (a + c) 2 x 1 x 2 = = (b - d)2 - (a + c)(b - d)a + (a + c)2b. Vai trß hai phû¬ng tr×nh lµ nhû nhau trong biÓu thøc cña A, nªn ta còng cã: A = (b - d) 2 - (a + c)(b - d)a + (a + c) 2 b. Céng hai biÓu thøc nµy cña A th× suy ra kÕt qu¶. 2) Kh«ng gi¶m tæng qu¸t cã thÓ xem a £ b £ c khi ®ã theo b®t C«si ta cã a + b + 1 + 1 - a + 1 - b (a + b + 1)(1 - a)(1 - b) £   = 1  3  1 1 - c Suy ra (1 - a)(1 - b) £ Þ (1 - a)(1 - b)(1 - c) £ a + b + 1 a + b + 1 a b c Tõ ®ã + + + (1 - a)(1 - b)(1 - c) ≤ b + c +1 a + c +1 a + b +1 a b c 1 - c £ + + + = 1. a + b +1 a + b +1 a + b +1 a + b +1 C©u II. 1) Ta cã sin 3 x + cos 3 x £ sin 2 x + cos 2 x = 1, 2 - sin 4 x ³ 1. VËy dÊu = chØ cã thÓ x¶y ra khi ta cã ®ång thêi sin 3 x + cos 3 x = 1 π  Û sinx = 1 Þ x = + 2kπ (k Î Z).  2 − sin x = 1 4 2 2) Gi¶ sö k, l, m lµ ®é dµi c¸c trung tuyÕn kÎ tõ c¸c ®Ønh A, B, C thÕ th×
  3. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ a2 2k2 + = b2 + c2 , 2  b2  3 2 2l + = a 2 + c2 ,  Þ k2 + l2 + m2 = (a2 + b2 + c2). 2  4  c2 2m + = a2 + b2 2 2 MÆt kh¸c a 2 + b 2 + c 2 = 4R 2 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C), 4sin 2 A + 4sin 2 B + 4sin 2 C = 2(1 - cos2A) + 2(1 - cos2B) + 4(1 - cos 2 C) = = 8 + 4cosCcos(A - B) - 4cos 2 C = 8 + cos 2 (A - B) - [2cosC - cos(A - B)] 2 £ 9, k 2 + l2 + m2 9R 2 suy ra: ≤ . 3 4 2  k + l + m k 2 + l 2 + m 2 9R 2 9R Nh vËy:   ≤ ≤ Þk+l+m£ .  3  3 4 2 C©u III. 1) V× M thuéc P, nªn M cã tung ®é a 2 , vËy AM = (x M - x A ) 2 + (y M - y A ) 2 = a 4 + (a - 3) 2 . 2 Hµm f(a) =a 4 + (a - 3) 2 cã ®¹o hµm f’(a) = 4a 3 + 2(a - 3) = 2(a - 1)(2a 2 + 2a + 3), suy ra khi a = 1, f(a) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. VËy ®o¹n AM ng¾n nhÊt khi M ƒ M (1 , 1). 2) Víi M (1 , 1) ®ûêng th¼ng AM cã hÖ sè gãc y - yA 1 k= M = - . xM - xA 2 V× P cã phû¬ng tr×nh y = x 2 Þ y’ = 2x, nªn t¹i M tiÕp tuyÕn cña P cã hÖ sè gãc k’ = 2, suy ra tiÕp tuyÕn Êy vu«ng gãc víi ®ûêng th¼ng AM.
  4. _www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 _______________________________________________________ C©u IVa. XÐt hai tr−êng hîp sau : 2π a) p = q : I = ∫ cos2 pxdx o 1 2π 1 sin 2px  2π = ∫ 2 o (1 + cos2px)dx =  x + 2 2p   o =π 1 2π b) p ≠ q : I= 2 o ∫[cos(p + q)x + cos(p − q)x]dx 1  sin(p + q)x sin(p − q)x  2π =  +  =0 2 p+q p−q  o C©u Va. Ph−¬ng tr×nh (C1 ) vµ (C2 ) lÇn l−ît ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng : (C1 : (x − 3)2 + y2 = 22 , (C2 ) : (x − 6)2 + (y − 3)2 = 12 VËy (C1 ) cã t©m I1 (3, 0) , b¸n kÝnh R1 = 2 , (C2 ) cã t©m I 2 (6, 3) , b¸n kÝnh R2 = 1 . Ta t×m ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi (C1 ) vµ (C2 ) d−íi d¹ng x = m. Tõ ®iÒu kiÖn tiÕp xóc ta cã hÖ : | 3 − m |= 2  ⇒ m = 5. | 6 − m |= 1 VËy ®−êng th¼ng ®óng x = 5 lµ ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi (C1 ) vµ (C2 ) . Mäi ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi (C1 ) vµ (C2 ) kh¸c víi ®−êng th¼ng ®øng ®Òu cã d¹ng ax − y + b = 0 Theo ®iÒu kiÖn tiÕp xóc, ta cã  3a + b  =2  a2 + 1  (3a + b)2 = 4(a 2 + 1)   ⇒   6a − 3 + b | 3a + b |= 2 | 6a − 3 + b |   =1  a2 + 1  (3a + b)2 = 4(a 2 + 1)  ⇔  3a + b = 2(6a − 3 + b)  (3a + b)2 = 4(a 2 + 1)  hoÆc  3a + b = −2(6a − 3 + b)   9 + 17 −33 − 9 17 a = , b=  8 8  9 − 17 −33 + 9 17 ⇔ a = , b=  8 8 a = 0, b = 2  VËy ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi hai ®−êng trßn (C1 ) , (C2 ) trong tr−êng hîp nµy lµ :
  5. _www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 _______________________________________________________ 9 + 17 33 + 9 17 (d1 ) : y = x− , 8 8 9 − 17 33 − 9 17 (d2 ) : y = x− 8 8 (d3 ) : y = 2 . Tãm l¹i, ta cã 4 ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi (C1 ) vµ (C2 ) lµ (d1 ),(d2 ),(d3 ) vµ x = 5. C©u IVb. 1) AC'lµ ®−êng cao trong tam gi¸c c©n SAC, do ®ã ®Ó C' thuéc ®o¹n SC, S ph¶i lµ gãc nhän, muèn vËy ph¶i cã OC < SO ⇒ h > 2a. Tø gi¸c AB'C'D' cã c¸c ®−êng chÐo AC' vµ B'D' vu«ng gãc víi nhau. Gäi K lµ giao ®iÓm c¸c ®−êng chÐo Êy. Ta cã : 4ah = 2dt(SAC) = AC'.SC = AC'. h2 + 4a 2 ⇒ 4ah ⇒ AC' = h + 4a 2 2 MÆt ph¼ng (AB'C'D') c¾t BC t¹i B1 víi AB1 // BD , AB1 = 2a . NÕu B'C'D' lµ tam gi¸c ®Òu th× B'KC' lµ nöa tam gi¸c ®Òu, vËy B1AC' lµ nöa tam gi¸c ®Òu, suy ra : 4ah = AC' = AB1. 3 2 2 h + 4a = 2a 3 ⇒ h = 2a 3 . Khi ®ã SO = h = 3OA , suy ra SAC lµ tam gi¸c ®Òu, vËy C' lµ trung ®iÓm cña SC. 2) H×nh chãp S.ABCD cã thÓ tÝch : 1 4 V = SO.dt(ABCD) = ha 2 . 3 3 Tam gi¸c SAB cã c¹nh AB = a 5 vµ ®−êng cao h¹ tõ ®Ønh S 4a 2 + 5h2 SH = , 5 a do ®ã cã diÖn tÝch s = 4a 2 + 5h2 . Tõ ®ã suy ra diÖn tÝch toµn phÇn h×nh chãp S.ABCD : 2 S = 4s + dt (ABCD) = 4a 2 + 2a 4a 2 + 5h2 , thµnh thö : 3V 2ah r= = . S 2a + 4a 2 + 5h2 C©u Vb. Tr−íc hÕt ta h·y chøng minh r»ng : A+B 2tg ≤ tgA + tgB 2 dÊu = chØ x¶y ra khi A = B. Qu¶ vËy : sin(A + B) 2sin(A + B) tgA + tgB = = ≥ cosA cosB cos(A + B) + cos(A − B)
  6. _www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 _______________________________________________________ A+B A+B 4sin cos 2sin(A + B) 2 2 = 2tg A + B ≥ = cos(A + B) + 1 A+B 2 2 cos2 2 §Ó ý r»ng kÕt qu¶ nµy chØ ®óng víi gi¶ thiÕt A, B lµ gãc nhän, v× khi ®ã : 0 < 2cosA cosB = cos (A + B) + cos (A − B) ≤ cos (A + B) + 1. Trë vÒ víi ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n : A+B 1 tg2 A + tg2 B = 2tg2 ≤ (tgA + tgB)2 ⇒ 2 2 ⇒ (tgA − tgB)2 ≤ 0 ⇒ tgA = tgB ⇒ A = B
  7. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 _______________________________________________________________ C©u Va. Cho hai ®ûêng trßn (C1) x2 + y2 - 6x + 5 = 0, (C2) x2 + y2 - 12x - 6y + 44 = 0. X¸c ®Þnh phû¬ng tr×nh c¸c ®Ûêng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ 2 ®ûêng trßn trªn. C©u IVb. H×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi víi c¸c ®ûêng chÐo AC = 4a, BD = 2a, chóng c¾t nhau t¹i O. §ûêng cao cña h×nh chãp lµ SO = h. MÆt ph¼ng qua A, vu«ng gãc víi SC, c¾t SB, SC, SD lÇn lûúåt t¹i B’, C’, D’. 1) X¸c ®Þnh h ®Ó B’C’D’ lµ tam gi¸c ®Òu. 2) TÝnh b¸n kÝnh r cña h×nh cÇu néi tiÕp h×nh chãp theo a vµ h. C©u Vb. Hai gãc nhän A, B cña tam gi¸c ABC tháa m·n ®iÒu kiÖn A+B tg2A + tg2B = 2tg2 . 2 Chûáng tá r»ng ABC lµ mét tam gi¸c c©n.
Đồng bộ tài khoản