Đề cương ôn tập Toán lớp 12 Trường THPT Lê Hồng Phong - Biên Hòa - Đồng Nai

Chia sẻ: NGUYEN KHIÊM | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:17

0
2.743
lượt xem
419
download

Đề cương ôn tập Toán lớp 12 Trường THPT Lê Hồng Phong - Biên Hòa - Đồng Nai

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu giúp bạn Hệ thống lại kiến thức toán lớp 12

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề cương ôn tập Toán lớp 12 Trường THPT Lê Hồng Phong - Biên Hòa - Đồng Nai

  1. GV: Nguy ến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ I-Bất đẳng thức cô si 2 2 a b c2 a+b+c 1.Chứng minh rằng + +c với a,b,c>0 b+c c+a a+b 2 1 1 1 3 2.Chứng minh rằng 3 + 3 +c 3 với a,b,c>0 và abc =1 a ( b + c) b ( c + a) c ( a + b) 2 a3 b3 c3 3 3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm: + +c ( 1 + b) ( 1 + c) ( 1 + c) ( 1 + a ) ( 1 + a) ( 1 + b) 4 4.Cho k số không âm a1, a2 ,..., ak thoả a1a2 ...ak = 1 Cm: a1m + a2 m + ... +a k m a1n + a2 n + ... + ak n với m m n; m, n N a n 5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn: x 2004 + y 2004 + z 2004 = 3 .Tìm GTLN của biểu thức A = x3 + y 3 + z 3 6.Cho a+b+c =0 .Chứng minh rằng 8a + 8b +c c 2a + 2b + 2c 8 7.Cho số tự nhiên k k 2 . a1, a2 ,..., ak là các số thực dương a1m a2 m ak m Cmr: + + ... +n n a1m − n + a2 m − n + ... + an m − n a 2 n a3n a1 1 1 1 8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn + + = 1.Tìm GTNN của biểu thức x y z x 2006 y 2006 z 2006 A = 2007 + 2007 + 2007 y z x x 20 y 20 z 20 9.Tìm GTNN của A = 11 + 11 + 11 với x + y + z = 1 y z x 10.Cho n số thực x1, x2 ,..., xn thuộc đoạn [ a, b ] , a > 0 1 � ( n ( a + b) ) 2 �1 1 Cmr: ( x1 + x2 + ... + xn ) � + + ... +0 � �1 x2 x xn � 4ab 11.Cho n là số nguyên dương;lấy xi x [ 2000;2001] với mọi i=1,2…,n Tìm GTLN của F = 2 ( x1 + 2 x2 + ... + 2 xn )(2 − x1 + 2− x2 + ... + 2− xn ) π π 12.Xét các số thực x1, x2 ,..., x2006 thoả π x1, x2 ,..., x2006 6 2 Tìm GTLN của biểu thức �1 1 1 � A = ( sin x1 + sin x2 + ... + sin x2006 ) � + + ... + � � x1 sin x2 sin sin x2006 � 13.Cho n số dương a1 , a2 ,..., an Đặt : m = min { a1 , a2 ,..., an } , M = Max { a1 , a2 ,..., an } n n 1 1 A = � i , B = � .Cmr: B m a �( m + M ) − A � n i =1 i =1 ai mM � � Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
  2. GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ 14.Cho ai a 0, bi b 0, ∀i = 1, n .Chứng minh rằng: n ( a1 + b1 ) ( a2 + b2 ) ... ( an +b n ) b n a1a2 ...an + n b1b2 ...bn ( 1+ ) n 15.Cho ai a 0, ∀i = 1, n .Chứng minh rằng: ( 1 + a1 ) ( 1 + a2 ) ... ( 1 +a n ) a n a1a2 ...an 16.Chứng minh n 1.2... ( n +n ) 1 1 + n 1.2...n với n n 2, n N 17.Chứng minh trong tam giác ABC ta có : 3 � 1 � � 1 � � 1 �� 2 � 1/ �+ 1 �1 + � �1 +s � � �+1 � � sin A � sin B � sin C � � 3 � � � � � � � � � 3 � 1 � � 1 � � 1 � � 2 � 2/ �+ 1 �+ 1 �+s C � 1 �+ 1 A� B� � 3� � � cos � cos � cos � � � � 2� � 2� � 2� 3 � 1 � � 1 �� 1 �� 2 � 3/ �+ 1 �1 + � �1 +R � �+ � 1 � � ma � mb � mc � � 3R � � � 4 4 4 � b� � b� � c� 18.Cho a,b,x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Chứng minh: � + �+ � + �+ � +s � 3 ( a + 3b ) 4 a a a � x� � y� � z� n 19.Cho a, b > 0, xi > 0∀i = 1,..n; > xi = 1 . Cmr: i =1 m m m � b� � b� � b � � + � + � + � + ... + � +b � n ( a + nb ) với m > 0 m a a a � x1 � � x2 � � xn � �1 �1 � �1 � � 20.Cho a, b, c > 0, a + b + c = 1 .Chứng minh rằng: 3 � − 1� − 1� −c � 8 � � 1 �ab �bc � ca � � � 21.Cho x ; [ a; b ] .Tìm GTLN của biểu thức F ( x ) = ( x - a ) ( b - x ) với m,Ν m m n * n �π � 22.Cho x �� �0; .Tìm GTLN của biểu thức F ( x ) = sin q x.cos p x với p,Ν p * q �2� � � 23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức F ( a, b, c ) = a 30b 4 c 2004 24.Cho x, y x 0, x + y x 6 .Tìm GTLN của các biểu thức sau : 1/ F ( x, y ) = x 2002 . y.( 6 - x - y ) 2/ F ( x, y ) = x 2002 . y.( 4 - x - y ) 25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức 1 1 1 1 P= 2 2 2 + + + a +b +c ab bc ca 26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN của biểu thức 1 1 1 1 1 P= 2 2 2 2 + + + + a +b +c +d acd abd abc bcd n n 1 xi 27.Giả sử x1, x2 ,..., xn >0 thỏa mãn điều kiện = = 1 . Cmr: = xi = n i=1 1 + xi i=1 ( n - 1) a 2b 3c 1 28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn + + = 1 . Cmr: ab 2c3 a 6 1+ a 1+ b 1+ c 5 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
  3. GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ n n xi 1 29. Giả sử x1, x2 ,..., xn >0 thỏa mãn điều kiện = xi = 1 .Cmr: = = n i=1 i=1 1- xi ( n - 1) n 1 1 30. (QG-98) Giả sử x1, x2 ,..., xn >0 thỏa mãn điều kiện = = i=1 xi + 1998 1998 n x1.x2 ...xn Cmr: n 1998 n- 1 n 31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện < ai < 1 i=1 a1a2 ...an � ( a1 + a2 + ... + an ) � 1- � � �� 1 1 n+ Cmr: �� � �� ( a1 + a2 + ... + an ) ( 1- a1 ) ( 1- a2 ) ...( 1- an ) � � �� n n n n n n 33.Cmr: " n γ N , n 2 ta có n 1- + 1+ 0 b c � ab � � bc � � ca � 38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1 Tìm GTNN của biểu thức P = a ( x + y ) + z 2 2 2 16 39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn : x 2 + y 2 + z 2 + xy = a 2 .Trong đó a là một số dương 25 cho trước .Tìm GTLN của biểu thức :P = xy + yz + zx 1 40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn : a a 2 + b 2 + c 2 +y 2 1 d 2 Tìm GTLN và GTNN của : P = ( a − 2b + c ) + ( b − 2c + d ) + ( b − 2a ) + ( c − 2d ) 2 2 2 2 41.Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn pt f ( tg 2 x ) = tg 4 x + cot g 4 x Cmr: f ( s inx ) + f ( cosx ) f 196 ( OLP-30-4-99) II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 1.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn a 2 + b 2 = 4 và c+d=4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=ac+bd+cd 9+6 2 2.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn a 2 + b 2 = 1 và c+d=3 Cmr: ac+bd+cd + 4 3(HSG-NA-2005) a,b,c,d là các số thực thoả mãn a 2 + b 2 = 1 và c-d=3 Cmr: ac + bd −b 9+6 2 cd 4 4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn : a 2 + b 2 + 40 = 8a + 10b; c 2 + d 2 + 12 = 4c + 6d ;3 x = 2 y + 13 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
  4. GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ ( x − a) + ( y − b) + ( x − c) +( y −d) 2 2 2 2 Tìm GTNN của P = 5.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a - 2b + 2 = 0 Chứng minh rằng : a 2 + b 2 − 6a − 10b + 34 + a 2 + b 2 − 10a − 14b +7 74 6 6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = 4 Cmr: a 2 + b 2 − 12a − 8b + 52 + a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 2ac − 2bd + c 2 + d 2 − 4c + 8d +d 20 4 5 7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn : c + d = 6; a + b = 1 2 2 Cmr: c 2 + d 2 − 2ac −c bd 18 − 6 2 2 8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : a + b = 2 ( a + b ) ; c + d = 4 ( c + d − 1) 2 2 2 2 Cmr: 4 −b 2 2 a + b + c +2 d ( 2 4+ 2 2 ) 9. .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 5 3 30 Cmr: 5 − a − 2b + 5 − c − 2d + 5 − ac −− bd .Xét dấu bằng xẩy ra khi nào? 2 10.Cmr với mọi x,y ta đều có: x 2 + 4 y 2 + 6 x + 9 + x 2 + 4 y 2 − 2 x − 12 y +0 10 5 11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn a + b + 1 = 2 ( a + b ) ; c + d + 36 = 12 ( c + d ) 2 2 2 2 ( ) ( ) 6 6 ( a − c) + ( b −+ ) 2 2 Cm: 2 −c 1 d 2 +1 +2 x +y y 2 3 + 12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn : +x +y y 9 3 +x + 0, y 0 + y 35 Cmr: −y x 2 + y 2 − 4 x −+ y 8 45 2 −− x + 2 y −− 0 8 − 13.Cho các số x,y thỏa mãn : +x + y +− 0 2 + y − 2 x −− 0 4 − 16 Cm: x x 2 +:y 2 20 5 III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1Chứng minh rằng với mọi α ta có 17 α cos 2α + 4cosα +6 + cos 2α −4 cosα +3 2 2 + 11 2.Tìm GTNN của hàm số y = − x 2 + 4 x + 12 − − x 2 + 2 x + 3 �π� 3.a)Chứng minh bất đẳng thức: tgt +g t 2t ; ∀t +0; + sin t � 2� b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C . A B C 1 + cos 1 + cos 1 + cos Chứng minh : 2 + 2+ 2 > 3 3 ( A,B,C đo bằng rađian) A B C 4.Cho a, b a [ 0;1] Chứng minh rằng x b a + + + ( 1 − x ) ( 1 − a ) ( 1 −1 ) 1 với ∀; [ 0;1] b x a + b +1 x + a +1 x + b +1 x 2cosα -2x+cosα 5.Cho hàm số y = 2 với α α ( 0; π ) x − 2 xcosα +1 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
  5. GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ Chứng minh : −x y 1; ∀x ; 1 6.Chứng minh sin A + sin B + sin C + tgA + tgB + tgC > 2π .với A,B,C là ba góc của một tam giác. π 7.Chứng minh 2 s inx + 2tgx > 2 x +1;0 < x < 2 8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện f ( x ) f 0, ∀x Cmr: f ( x ) + f ( x) + f ,, ( x ) + ... +f f ( ( x) n) , 0, ∀x 9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có �1 1 1 � cot gA + cot gB + cot gC +B 3 2 � 3 + + � � A sin B sin C � sin 10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức: 1 1 5 ( cos3A+cos3B ) − ( cos2A+cos2B ) + cosA+cosB= .Chứng minh tam giác ABC đều 3 2 6 π 11.Cho 0 < a < b < .Chứng minh rằng : a.sin a − b sin b > 2 ( cos b − cos a ) 2 12.Cho 0 0a 0 1 00 0 q p q+1 p q .Chứng minh rằng a p+q −p ( p + q ) a p − a q 1 ( ) π � inx � s 3 13.Cho 0 < x < .Chứng minh rằng : � � > cosx 2 �x � 14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr: tgA + tgB + tgC + 6 ( sin A + sin B +B C ) sin 12 3 15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa a 2 + b 2 + c 2 = 1 . a b c 3 3 Chứng minh rằng: 2 + +c b + c 2 c2 + a 2 a 2 + b2 2 16.Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có 2 1 ( sin A + sin B + sin C ) + ( tgA + tgB + tgC ) > π 3 3 π 3x 17.Cho 0 < x < .Cmr: 2 s inx tgx +1 2 2 +2 >2 2 18Cho số nguyên lẻ n n 3.Cmr: ∀x 0 ta luôn có : � x 2 x3 xn � � x 2 x3 xn � �1+ x + + + ... + � �1− x + − + ... − < �1 � 2! 3! n! � � 2! 3! n! � � � � � 19.với giá trị nào của m thì sin 3 x +c os3 x c m, ∀x 4 xy 2 1 x 20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng : � 3 8 2 2 � � + x + 4y x � � � 21.Cho x x 0, y y 0 là hai số thực thay đổi thỏa mãn ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy 1 1 Tìm GTLN của biểu thức A = 3 + 3 x y 3 22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện a, b, c a − 4 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
  6. GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ a b c 9 Chứng minh ta có bất đẳng thức + +c 2 2 1+ a 1+ b 1 + c2 10 23.(HSG Bà Rịa12-04-05) x +1 1/Tìm cực trị của hàm số y x2 − x + 1 2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm GTNN của P = x 2 − x + 1 + y 2 − y + 1 + z 2 − z + 1 � 2 � 24.Tìm GTNN của P = 3 � x + 1 + y + 1 + z + 1 � 2 ( x + y + z ) 2 2 − � � 25. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6 . Cmr: a 4 + b 4 +c 4 c 2(a 3 + b3 + c3 ) 1 1 1 26. Cho a, b, c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Cmr: ( + + ) − (a + b +3 ) 2 3 c a b c a b c 9 27Cho a,b,c>0 .Cmr : + +c (b + c) 2 (c + a) 2 ( a + b) 2 4(a + b + c) a(b + c) b (c + a ) c ( a + b) 6 28. (Olp -2006)Cho a, b, c > 0 .Cmr: 2 + 2 ++ 2 a + (b + c) 2 b + (c + a ) 2 c + (a + b) 2 5 (b + c − a) 2 (c + a − b ) 2 ( a + b − c) 2 3 39.(Olp nhật 1997)Cho a, b, c > 0 .Cmr: + ++ (b + c) 2 + a 2 (c + a ) 2 + b 2 (a + b)2 + c 2 5 +x + y + z = 4 40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện : + . =xyz = 2 Tìm GTLN và NN của biểu thức P = x 4 + y 4 + z 4 (QG -B-2004) 41. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện ( x + y + z ) 3 = 32 xyz x4 + y 4 + z4 Tìm GTLN và GTNN của P = (QG-A-2004) ( x + y + z) 4 42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn a a b c d và bc b ad .Chứng minh rằng c b ab bc c d d a a a d b a cb d c 43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y Tìm GTLN và GTNN của P = x + y ( QG –B-2005) 44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn f ( c otgx ) = sin 2 x + cos2x , ( x π ( 0; π ) Tìm GTNN và GTLN của hàm số g ( x ) = f sin 2 x f cos 2 x ) ( ) QG –B-2003 ) 45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn f ( c otgx ) = sin 2 x + cos2x , x π ( 0; π ) Tìm GTNN và GTLN của hàm số g ( x ) = f ( x ) f ( 1 - x) , x �- 1;1] [   QG –A-2003) ( � π� x + sin b sin b � � � a� 46.Cho x>0 và a, b ι � � ι 0; ι ; a b Cmr: � + s ina � x sin >� � ι 2ι � � � + sin b � � �x � � � � � b� � � sin IV-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LA GRĂNG a −b a a−b 1.Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì < ln < a b b Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
  7. G V :  g u y ến Tất Thu N http://www.violet.vn/nguyentatthu/ π b−a b−a 2.Chứng minh rằng nếu 0 < a < b < thì < tgb − tga < 2 2 cos a cos 2 b 1 3.Chứng minh x n 1− x < ; ∀; ( 0;1) x 2ne 4.Cho m > 0 còn a,b,c là 3 số bất kỳ thỏa mãn điều kiện a b c + + = 0 .Chưng minh pt ax 2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm m + 2 m +1 m thuộc khoảng ( 0;1) 5.Cho pt bậc n: an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0 trong đó an − 0,an −1,...,a ,a0 1 a a a là số thực thỏa mãn : n + n −1 + ... + 1 + a0 = 0 .Chứng minh pt đã cho có n +1 n 2 ít nhất một nghiệm thuộc khỏang ( 0;1) 6.Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > 0 thỏa mãn 5c ( n + 2) + 6( a + b ) = 0 �π� 0; Chứng minh pt : a sin n x + b cos n x + c sin x + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng � � � 2� 7.Cho hàm số liên tục : f : [ 0;1] f [ 0;1] có đạo hàm trên khoảng ( 0;1) Thỏa mãn f ( 0) = 0, f ( 1) = 1.Chứng minh tồn tại a,b a ( 0;1) sao cho a a b và f , ( a) f , ( b ) = 1 8.Giải các pt sau : a) 3 x + 5 x = 2.4 x b) 3cos x − 2cos x = cos x ( c) ( 1 + cos x ) 2 + 4 ) cos x = 3.4cos x d) 2003x + 2005 x = 4006 x + 2 1 1 1 1 1 9.Xét phương trình : + + ... + + ... + = x − 1 4x − 1 2 k x −1 2 n x −1 2 Trong đó n là tham số nguyên dương a)Cmr với mối số nguyên dương n ,pt nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1 Kí hiệu nghiệm đó là xn b)Cmr dãy số { xn } có giới hạn bằng 4 khi n n + (QG-A-2002) 10.Cho hàm số f ( x ) và f , ( x ) đồng biến trên đoạn [ a; b ] ,với 1 1 f ( a ) = ( a - b) , f , ( b) = ( b - a ) 2 2 Chứng minh rằng tồn tại α, β ,δ phân biệt trong ( a;b) sao cho f , ( α ) f , ( β ) f , ( δ ) = 1 11.Cho f :[ 0;1] f [ 0;1] thoả mãn các điều kiện f , ( x ) > 0; " x x [ 0;1] và f ( 0) = 0, f ( 1) = 1 n , Cm:tồn tại dãy số 0 a a1 < a2 < ... < an 1 1 sao cho = f ( ai ) = 1 i =1 (n là số nguyên dương n n 2 ) 12.Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của một tứ giác abc + abd + bcd + acd ab + ac + ad + bd + cd CMR: 3 + 4 6 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
  8. GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ V .DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1.Tính đạo hàm các hs sau tại các điểm đã chỉ ra: −1 − cosxcos2x...cosnx − khi x − 0 a) f ( x ) = = x2 tại x=0 =0 khi x=0 = x ln cosx x khi x x 0 b) f ( x ) = = x tại x=0 =0 khi x = 0 = −( x + a ) e −bx khi x < 0 + 2.Xác định a,b để hàm số : f ( x) = = có đạo hàm tại x=0 =ax 2 + bx +b khi x 0 + 1 + p cos x +x sin x khi x 0 q 3.Cho hàm số f ( x ) = = + px + q + 1 khi x > 0 Chứng tỏ rằng mọi cách chọn p,q hàm số f(x) không thể có đạo hàm tại x=0 VI. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.Giải bpt : 2 x3 + 3x 2 + 6 x + 16 > 2 3 + 4 − x 2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất log a 11 + log 1 ax 2 − 2 x + 3.log a � ax 2 − 2 x + 1 +o � 0 � 1� � � 2 3. Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất log a 3 + log 1 � x 2 + ax+5 + 1� 5 x 2 +lax+6 � � .log � � ( ) 0 a 4.Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm phân biệt. ( ) 2 log 3 x 2 − 2 x + 3 + 2− x + 2 x log 1 ( 2 x − a + 2 ) = 0 − x−a 4 3 2 2 2 ( 5.Tìm những giá trị của a để với mỗi giá trị đó pt: 3 x + a = 1 − 9a − 2 x ) ( ) có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt 2 ( � ) 1� x + ( 3a − 2 ) .3x = 8a − 4 log3 �a − � 3 x3 � 3 2� − 2 2 (4 2 ) 6. Tìm những giá trị của a để pt: 15 x − 2 6m + 1 x − 3m + 2m = 0 có số nghiệm không nhiều x 32 hơn số nghiệm của pt : ( 3a − 1) .12 + 2 x + 6 x = 3 − 9 6m ( ) 28m − 0, 25 ( 3 7.Giải pt : 3log3 1 + x + x = 2 log 2 x) −tgx − tgy = y − x − 8.Giải hệ − 5π +2 x + 3 y = 4 + Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
  9. GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ ( 9.Giải bất pt log 7 x > log3 2 + x ) x x � + a2 1 � � − a2 1 � 10.Giải pt : � �− � � = 1 với tham số aa ( 0;1) � 2a � � 2a � � � � � −tgx − tgy = y − x − (1) 11. Giải hệ: − + y +1 −1 = x − y + 8 (2) 2 �π π � 12 Giải pt: e tan x + cos x = 2 với x � − ; � � � 2 2� 13 Giải pt: 3 x(2 + 9 x 2 + 3) + (4 x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 14.Giải pt: 3x = 1+ x + log3(1+ 2x) VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CÓ NGHIỆM 1.Tìm m để pt sau có nghiệm : x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m �π� 2. Tìm tất cả các giá trị của a để pt: ax 2 + 1 = cos x có đúng một nghiêm x � 0; � � � 2� 3.Cho hàm số y = − x + (x + a)(x + b) với a,b là hai số thực dương khác nhau cho trước 1 �s .Cmr với mọi s) ( 0;1) đều tồn tại duy nhất số thực α > 0: f(α ) = a + b s� s � � � 2 � (QG-A-2006) 4.Cho pt : cos2x= ( m+1) cos 2 x 1 + tgx a)Giải khi m = 0 �π� b)Tìm m để pt có nghiệm trong đoạn � �0; � 3� 5.Tìm m để pt sau có nghiệm: ( 4m − 3) x + 3 + ( 3m − 4 ) 1 − x + m − 1 = 0 6.Tìm m để tồn tại cặp số (x;y) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn pt: ( 4m − 3) x + ( 3m − 4 ) y + ( m − 1) x 2 + y 2 = 0 1 + cos8 x 7.Tìm m để pt : = m có nghiệm. 6 + 2 cos 4 x �π � 8.Tìm a đ pt : ax 2 + 2 cos x = 2 đúng 2 nghiệm thuộc � � 0; �2� � � x2 9.Cho hàm số: f ( x ) = e x - s inx+ 2 a) Tìm GTNN của hàm số b) Cm pt f ( x ) = 3 có đúng hai nghiệm. 10.Chứng minh pt x x + 1 = ( x + 1) x có một nghiệm dương duy nhất 11. Cho f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c = 0; ( a x 0) có 3 nghiệm phân biêt 2 a)Hỏi pt: 2 f ( x ) f ,, ( x ) - �, ( x ) �= 0 có bao nhiêu nghiệm f � � Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
  10. G V :  g u y ến Tất Thu N http://www.violet.vn/nguyentatthu/ 3 b)Chứng minh rằng: 27c + 2a3 - 9ab < 2 ( a2 - 3b) � π� � π � � π � 12.Cho pt : tg � + � tg � + 2 � ... + tg � + n � 0 ( n là tham số) x � � � + � 2� � 2 � � � x � � + �x � 2 � � � = � � � � a) Cmr v ới mối số nguy ên n n 2 ,pt c ó một nghiệm duy nhất trong khoảng � π� �; � í hiêụ ng đó là xn 0 .k � 4� � � � � b)Cm dãy số ( xn ) có giới hạn 13.Chứng minh pt f ( x ) = x 4 + 4 x3 - 2 x 2 - 12 x + 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt xi; i= 1, 4 4 2 xi 2 + 1 và hãy tính tổng S = = 2 i =1 ( xi - 1) VIII MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH y y 2 = x3 − 4 x 2 + ax = 1.Tìm a ñeå heä sau coù nghieäm duy nhaát: = 2 =x = y 3 − 4 y 2 + ay y 2x+ y-1 = m = 2. Tìm m để hệ pt sau có nghiệm = +2 y + x − 1 = m x 2y =x = − 1 − y2 3.Giải hệ − −y = 2x = − 1 − x2 4.Chứng tỏ rằng với mọi a a 0 thì hệ sau có nghiệm duy nhất x 2 a2 =2 x = y + = y = = 2 a2 = 2y = x + = x xx + y + s inx=a + 5.Tìm a để hệ + có nghiệm duy nhất 0
  11. GV: Nguy ến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ 8.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (HSG12-2006) 2 3 2 x x1 = x2 − 4 x2 + ax 2 = 2 3 2 =x2 = x3 − 4 x3 + ax 3 = =............................ = 2 3 2 =xn = x1 − 4 x1 + ax1 ( ) − 1 + 42 x − y .51− 2 x + y = 1 + 22 x − y +1 + 6.Giải hệ: + ( HSGQG 1999) ( ) + y 2 + 4 x + 1 + ln y 2 + 2 x = 0 + +log 2 ( 1 + 3cos x ) = log3 ( sin y ) + 2 + 7.Giải hệ: + (THTT) +log 2 ( 1 + 3sin y ) = log3 ( cos x ) + 2 mx - my = 2 - 4m - 8.Gọi ( x; y ) là nghiệm của hệ pt: - - ( m là tham số) - mx + y = 3m + 1 + Tìm GTLN của biểu thức A = x 2 + y 2 - 2 x ,khi m thay đổi HƯỚNG DẤN GIẢI I.Bất đẳng thức Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
  12. GV: Nguy ến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ 4. nai m + ( m −m ) n mai n , ∀i = 1,.., k 7. am *m > n : ( m − n ) 1 +m 2m − n na ma1m − n a2n ... *m = n : csi am *m < n : ( n − m ) 1 +m 1m − n ma na2m − n a2n ... �1 �1 � �1 � � ( 1 − ab ) ( 1 − bc ) ( 1 − ca ) 20. A = � − 1� − 1� − 1 � � � = �ab � bc � ca � � � ( abc ) 2 Ta có: ( a + b) 2 ( 2 + a + b) ( 2 − a − b) � + a ) + ( 1 + b ) �1 + c ) (1 ( ( 1 + c) ( 1 + a) ( 1 + b) 1 −+ ab 1 − = =+� � 4 4 4 2 2 1� 1 � 1 � 1 � Tương tự suy ra: A � �1 + �1 + �1 + � � � �� �� � � 8� a � b� c� � � � � 3 1 � 1 � 1 � 1 � 3 Mà: �+ �1 + �1 +1 � �++3 �1 � � � � � 1 � 4 Vậy: A A 8( dpcm ) 3 � a� b� c� � � � abc � 1 �1 1 1 1 1 1 � �a b c d � 26. P = 2 2 2 2 + 2 � + ac + ad + bc + bd + cd � � + cda + abd + bca � ab + bcd a +b +c +d � �� � = A+ B+C 1 1 1 1 1 1 1 *A = + + + + + + 2 2 ab ac ad bc bd cd a + ... + d 1 1 1 1 1 1 *B = + + + + + ab ac ad bc bd cd a b c d *C = + + + bcd acd dab abc Ta cm: A A��� 96, C 64 100, B P 260 xi X1 Xn 29.Đặt: X i = 1 − x , ∀i = 1,..., n ta có 1 + X + ... + 1 + X = x1 + ... + xn = 1 i 1 n 1 1 1 Từ đó suy ra: 1 + X1 n ... 1 + X n n 1 − X1. X 2 ... X+ + = n (đpcm) ( n − 1) n xi 1 1 30. Đặt: X i = ,∀i = 1 n .Ta có: , + ... + =1 1998 1+ X 1 1+ X n Từ đó suy ra: X1... X n X ( n − 1) n .vậy có (đpcm) a1 1 − ( a1 + ... + an ) 31.Đăt: X i = ; i = 1,..., n; X n +1 = 1 − ai a1 + ... + an 1 1 1 n +1 + ... + + = n .vậy X ... X X 1 �� Ta có: 1 + X 1 + X n 1 + X n +1 1 n n +1 � � � 1 n �� Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
  13. GV: Nguy ến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ 38. z2 � � 2 z2 � ( ) � P = a x2 + y 2 + z 2 = � x2 + α � � 2 �� + α ��y + �� � ( a − α ) x2 + y 2 2 � � + ( ) α �2 ( xz + yz ) + 2 ( 1 − α ) xy 2 α Chọn = a −α 2 39. 2 � z2 � � 2 z2 � 2 P=x +y +z + 16 2 25 xy = � 2 + � � qx 2 �� + + qy 2 �� �� � + ( 1 − q ) x2 + y 2 + 2 � � 16 25 xy ( ) q 16 �2 ( xz + yz ) + �( 1 − q ) + � 2 � xy 2 � 25 � � q 16 18 Chọn 2 = 2(1 − q) + �q= 2 25 25 z a =x = y = 5a2 = 3 PM ax = khi = 6 =z == 3a = = 5 3 39Do vai trò của a và d,bvà c trong biểu thức trên ta dự đoán điểm cực trị sẽ đạt được tại các bộ số thỏa đk: a2 = d 2,c2 = d 2 .với p>0 xác định sau ta có cộng theo vế : ( P + ( 5+ 5p ) a2 + d 2 + ) p ( 5+ 10p 2 2 ) 1+ 2p b + c Chọn p thỏa : 1+ p =1 p p= 1+ 5 2 Vậy Pm ax = ( 5 3+ 5 ) 2 43.Ứng dung đk có nghiệm của hpt đx II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 1.Gọi M ( a;b ) , N ( c;d ) Từ gt suy ra M,N nằm trên đường tròn x 2 + y 2 = 4 và đường thẳng x + y = 4 .Dễ thấy −2( ac + bd + cd ) = ( a − c) 2 + ( b − d ) 2 − 20 = M N 2 − 20 Mà M N 2 M 12 − 8 2 nên −2( ac + bd + cd ) � 8− 8 2 � ac + bd + cd � + 4 2 − 4 Vậy m axP= 4 2 khi a = b = 2;c = d = 2 4+ 2.và 3 tương tự 4.Gọi N ( a;b ) ,Q ( c,d ) , M ( x; y ) Từ gt suy ra N,Q,M lần lượt thuộc các đường tròn Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
  14. GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ ( C 1) : ( x − 4) 2 + ( y − 5) 2 = 1,( C 2 ) : ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 = 1 và đường thẳng ( ∆ ) : 3x − 2y − 13 = 0 Khi đó P = M Q + M N Gọi I, R 1và J, R 2 lần lượt là tâm và bán kính của ( C 1) ,( C 2 ) 118 21� � Lấy K ( u;v ) đối xứng với I qua ( ∆ ) thì K � ; � �13 13 � P = M Q +Q N ( M J − J ) + ( M I − I ) = M J + M K − ( R1 + R 2 ) M Q N ( = 2 13 − 1 ) Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi M M M 1,Q Q 1, N Q N 1.Trong đó M 1,Q 1là giao Của JK với ( ∆ ) và ( C 2 ) còn N 1 =M 1I ( C 1) M Vậy minP = 2( 3 − 1) III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT 3.Từ câu a) ta có 1+ cost cost A B C > = cot gt.và vì cot g + cogt +o g cot 3 3 nên có đpcm 2t sint 2 2 2 x b a 4.Hàm số f ( x ) = + + + ( 1− x ) ( 1− a) ( 1− b ) với x x [ 0;1] a+ b +1 x + a+1 x + b +1 có đạo hàm cấp hai không âm nên đạo hàm cấp một có nhiều nhất 1 nghiệm TH 1 : f , ( x ) = 0 VN Thì f ( x ) f M ax{ f ( 0) ; f ( 1) } 1 x TH 2 : f , ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất x = α thì vì f , ( x ) đồng biến nên α là điểm axf x =x ax{ f ( 0) ; f ( 1) } 1 cực tiểu vì vậy m0;1] ( ) m [ (đpcm) 8.Đặt F ( x ) = f ( x ) + f, ( x ) + ... + f( n ) ( x ) thì F , ( x ) = f , ( x ) + f , ( x ) + ... + f ( ) ( x ) = F ( x ) − f ( x ) (1) n vì f là đa thức bậc n nên f ( n +1) ( x ) = 0 .Từ gt bài toán suy ra f là đa thức bậc chẵn có hệ số cao nhất dương do đó F đạt GTNN.Giả sử F đạt GTNN tại x0 Thì F , ( x0 ) = 0 vậy từ (1) suy ra F ( x0 ) = F , ( x0 ) + f ( x0 ) =x ( x0 ) 0 (đpcm) f 12. a p+q ( −+ ( p+q ) a p −a q 1 a ) ( ) a p + q − ( p + q ) a p − a q −F 0 1 Hàm số: f ( x ) = x p+q ( ) − ( p + q ) x p − x q − 1 đồng biến trên [ 1 ) ;+; Và có f ( 1) = 0 nên từ a a 1 ta có (đpcm) 13.Cô lập x và xét dấu đạo hàm của f ( x ) = sin2 x.t − x3 gx 1 1 Chú ý: 2sin2 x +tg 2x t ( 2sinx+tgx) 2 > ( 3x ) 2 3 3 *Cũng có thể xét đến đạo hàm cấp 3 để khư x 1 15.Từ dự đoán điểm rơi dẫn đến xét hàm số có điểm cực trị x = là 3 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
  15. GV: Nguy ến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ ( y = x − x 3 = x 1− x 2 ) x +1 23. y = đạt cực đại duy nhất bằng 2 tại x=1 x2 − x + 1 nên P = x 2 − x + 1 + y 2 − y + 1 + z2 − z + 1 nhỏ nhất bằng 3 *có thể dùng bunhia hoặc hàm lồi 40. ( ) ( ) 2 P = x4 + y 4 + z 4 = x2 + y 2 + z 2 − 2 x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 2 2 2 = �x + y + z ) − 2 ( xy + yz + zx ) � − 2 �xy + yz + zx ) − 2 xyz ( x + y + z ) � ( ( � � � � 2 ( = ( 16 − 2t ) − 2 t 2 − 16 ) với t=xy + yz +zx 2 t = x ( y + z ) + yz = x ( 4 − x ) + x 2 y+ z 4−x 2 � −x� 4 � Vì yz �== ��− � � x 3 � 5; 2 � do (0
  16. G V :  g u y ến Tất Thu N http://www.violet.vn/nguyentatthu/ Thử lại thấy x = 0 và x = 1 đều thỏa mãn (1) Vậy pt có hai nghiệm x = 0 , x = 1 b) t=cosx t 3t - 2t = t 3t - 3t= 2t - 2t. Giả sử pt có nghiệm x = α Xét f ( t) = tα - tα thì f ( 3) = f ( 2) suy ra pt f, ( t) = 0 có nghiệm có nghiệm c c ( 2;3) . -α = 0 f , ( tαt )= α- 1 α- fα c , ( α = ) c ( α- 1 ) - 1 =0c = = =1 α = c)Đặt t= cosx,- 1 t t, 1 3.4t Ta có pt: ( 1 + t) ( 2 + 4t) = 3.4t t f ( t) = - t- 1 = 0 2 + 4t 6 ln4.4t 2 , f ( t) = t2 ( - 1, f, ( t) = 0 t 6 ln4.4t = 2 + 4t ) .Đây là pt bậc hai theo 4t ( 2+ 4 ) nên có không quá hai nghiệm do đó pt f ( t) = 0 có không quá 3 nghiệm 1 Ta thấy t= 0,t= ,t= 1 là 3 nghiệm của pt… 2 C) Xét f ( x ) = 2003x + 2005x - 4006x - 2 có đạo hàm cấp hai dương Và f ( 0) = f ( 1) = 0 .vậy pt có hai nghiệm là 0 và 1 1 1 1 1 9)Viết lại pt dưới dạng fn ( x ) = - 2 + x - 1 + 4x - 1 + ...+ 2 = 0 (1) n x- 1 Dễ thấy ,với mỗi n n Ν* hàm fn ( x ) liên tục và nghịch biến trên ( 1;+ x ) 1 Hơn nữa fn ( x ) f + à khi x + 1+ và fn ( x ) f - khi x x + h .Từ đó suy ra 2 Với mỗi n n Ν * ,pt(1) có duy nhất nghiệm x > 1 n Với mỗi n n Ν * ,ta có 1 1 1 1 f ( 4) = - + + + ...+ 2 22 - 1 4 2 - 1 ( 2n) 2 - 1 1� 1 1 1 1 1 1 1 � � = � 1 + 1- + - + ...+ - = - + ...+ - = 2 = � 3 3 5 2k - 1 2k - 1 2n - 1 2n + 1= � 1 =- < 0 = f ( xn ) 2 ( 2n + 1) Từ đó, dohàm fn ( x ) trên ( 1;+ r ) nên xn < 4 với mọi n n Ν* (2) Mặt khác hàm fn ( x ) có đạo hàm trên [ xn , 4] nên theo định lí Lagrange Với mỗi n n Ν* tồn tại tt ( xn ; 4) sao cho fn ( 4) - fn ( xn ) , - 1 - 4 - n2 1 = f ( t) = + + ...+ < - " n - Ν* 2 2 4 - xn ( t- 1) ( 4t- 1) ( n t- 1) 9 2 Hay - 1 1 9 < - " n �Ν* � xn > 4 - " n �Ν* (3) 2 ( 2n + 1) ( 4 - xn ) 9 2 ( 2n + 1) Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
  17. GV: Nguy ến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ 9 * ," từ (2) và (3) : 4 - 2 ( 2n + 1) < xn < 4Ν n : suy ra limxn = 4 (đpcm) III .ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM ĐK ĐỂ PT CÓ NGHIỆM 2 cosx-1 � π� 2. ax + 1 = cosx � a = = f ( x ) , " x � 0; � � � � � x2 � 2� � Tìm miền giá trị của f(x) ta được a cần tìm � a+ b � + 3.Hàm số y = - x + ( x + a) ( x + b) có miền giá trị trên ( 0;+ - ) là + ab ; + + � + + � 2 1 �s + bs � a + b a +s Do đó chỉ cần cm: ab < + + + < 2 < < 2 ,với mọi ss ( 0;1) < < < � � 4 ( 4m - 3) x + 3 + ( 3m - 4) 1- x + m - 1 = 0 . 3 x + 3 + 4 1- x + 1 �m = 4 x + 3 + 3 1- x + 1 2 2 �x+ 3 � � 1- x � �+ � �= 1 .Do đó lượng giác hóa và đưa về ẩn phụ t= t α Chú ý: � � � 2 � � � � � � g � � � � 2 � � � � 2 Rồi khảo sát hàm số thu được theo t 5.Tương tự 4 10. x x + 1 = ( x + 1) x � f ( x ) = x ln( x + 1) - ( x + 1) lnx = 0 , � 1� 1 � - 1 < 1 - 1 - 1 < 0 với x>0 vậy f Nb Ta có f ( x ) = ln�+ 1 = = � = = - x� x x + 1 x x x + 1 Mà f ( 1) = ln2 > 0 và � � 1� � lim f ( x ) = lim � + 1) ln�+ � ln( x + 1) � (x 1 = = =- x +m� � = x� � xx + x � � �� x+ 1 � 1� = lim � �+ � - ln( x + 1) � - - ln= �� 1 = � �= x+ + x � � x � � � � Kết hợp f liên tục trong ( 0,+ + ) suy ra pt có nghiệm dương duy nhất . Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
Đồng bộ tài khoản