ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN (HAY NGHỊCH BIẾN) TRÊN MỘT KHOẢNG

Chia sẻ: zzthuazz

Bài toán trên có nhiều cách giải khác nhau. Trước đây trong chương trình môn toán THPT cũ chưa phân ban ta thường sử dụng cách so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai dựa vào định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. Hiện nay trong chương trình môn toán THPT phân ban định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai không có trong sách giáo khoa lớp 10 nên.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN (HAY NGHỊCH BIẾN) TRÊN MỘT KHOẢNG

 

  1. Giáo viên: Lê-Viết-Hòa Tổ Toán-Tin Trường THPT Vinh Xuân SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ TRƯỜNG THPT VINH XUÂN TỔ TOÁN­TIN ------------------ LÊ VIẾT HÒA PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN (HAY NGHỊCH BIẾN) TRÊN MỘT KHOẢNG. Chuyên đề khoa học Vinh Xuân, 11/11/2008 Chuyên đề: Phương pháp tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một miền. Trang 1
  2. Giáo viên: Lê-Viết-Hòa Tổ Toán-Tin Trường THPT Vinh Xuân MỤC LỤC Trang Phần 1: Mở đầu. ……………………………………………………………… 2 1. Lý do chọn đề tài. 2. Mục đích nghiên cứu đề tài. 3. Phạm vi nghiên cứu đề tài. 4. Giả thuyết khoa học của đề tài. 5. Phương pháp nghiên cứu. Phần 2: Nội dung.……………………………………………………………… 3 1. Cơ sở lý thuyết. 2. Kiến thức chuẩn bị. 3. Ví dụ minh họa. 4. Bài tập. Phần 3: Kết luận-Đề xuất-Kiến nghị.………………………………………… 6 1. Đề xuất-Kiến nghị. 2. Kết luận. Chuyên đề: Phương pháp tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một miền. Trang 2
  3. Giáo viên: Lê-Viết-Hòa Tổ Toán-Tin Trường THPT Vinh Xuân Phần 1: MỞ ĐẦU. 1. Lý do chọn đề tài. Trong chương trình môn toán THPT, qua các kỳ thi, kiểm tra ở lớp 12 chúng ta th ường g ặp bài toán “Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f ( x, m ) đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng I nào đó” (trong đó I là một trong các khoảng ( − ; a ) , ( b; + ) hay ( a; b ) ). Bài toán trên có nhiều cách giải khác nhau. Trước đây trong chương trình môn toán THPT cũ chưa phân ban ta thường sử dụng cách so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai dựa vào định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. Hiện nay trong chương trình môn toán THPT phân ban định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai không có trong sách giáo khoa lớp 10 nên việc so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai sẽ gặp một số khó khăn nhất định. 2. Mục đích nghiên cứu đề tài. Bài viết này sẽ đề cập đến cách giải quyết bài toán trên khi trong tay chúng ta không có định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai để so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai. 3. Phạm vi nghiên cứu đề tài. + Khách thể: Chương trình môn Toán THPT. + Đối tượng: Các bài toán về tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hay ngh ịch bi ến trên một khoảng I nào đó. (Trong đó I là một trong các khoảng sau ( − ; a ) , ( b; + ) hay ( a; b ) ) 4. Giả thuyết khoa học của đề tài. Không sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai vẫn có thể giải quyết được bài toán trên một cách trọn vẹn như trường hợp có sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. 5. Phương pháp nghiên cứu. Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết. Chuyên đề: Phương pháp tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một miền. Trang 3
  4. Giáo viên: Lê-Viết-Hòa Tổ Toán-Tin Trường THPT Vinh Xuân Phần 2: NỘI DUNG. Để giải quyết bài toán trên nếu chúng ta biết cách so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai mà không dựa vào định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. Sau đây là một số kiến thức liên quan cần thiết cho việc giải quyết vấn đề trên. 1. Cơ sở lý thuyết. Định lý Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai f ( x ) = x + bx + c = 0 ( a 0 ) có hai nghiệm x1 , x2 thì ta có 2 −b S = x1 + x2 = a . c P = x1.x2 = a 2. Hệ quả. Từ định lý Vi-et, ta có: 1/ f ( x ) = 0 có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P<0 ∆ 0 2/ f ( x ) = 0 có 2 nghiệm cùng dấu ⇔ P>0 ∆ 0 3/ f ( x ) = 0 có 2 nghiệm cùng âm ⇔ S < 0 P>0 ∆ 0 4/ f ( x ) = 0 có 2 nghiệm cùng dương ⇔ S > 0 P>0 Do đó, ta có: 1/ f ( x ) = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 < α < x2 ⇔ f ( x ) = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 − α < 0 x2 − α > 0 t1 < 0 ⇔ g ( t ) = 0 có 2 nghiệm (với t = x − α ) t2 > 0 ⇔ g ( t ) = 0 có 2 nghiệm trái dấu. ⇔ Pg < 0 2/ f ( x ) = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 x2 < α ⇔ f ( x ) = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 − α < 0 x2 − α < 0 t1 < 0 ⇔ g ( t ) = 0 có 2 nghiệm (với t = x − α ) t2 < 0 ⇔ g ( t ) = 0 có 2 nghiệm cùng âm. ∆g 0 ⇔ Sg < 0 Pg > 0 3/ f ( x ) = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn α < x1 x2 ⇔ f ( x ) = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 − α > 0 x2 − α > 0 Chuyên đề: Phương pháp tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một miền. Trang 4
  5. Giáo viên: Lê-Viết-Hòa Tổ Toán-Tin Trường THPT Vinh Xuân t1 > 0 ⇔ g ( t ) = 0 có 2 nghiệm (với t = x − α ) t2 > 0 ⇔ g ( t ) = 0 có 2 nghiệm cùng dương. ∆g 0 ⇔ Sg > 0 Pg > 0 3. Ví dụ minh họa. Sau đây chúng ta xét một số ví dụ minh họa: x 2 + mx − 1 Bài 1: Tìm m để hàm số y = , ( 1) đồng biến trên ( 1; + )? x −1 Giải: TXĐ: D = R \ { 1} x2 − 2x − m + 1 g ( x) Ta có y ' = = ( x − 1) ( x − 1) 2 2 Hàm số (1) đồng biến trên ( 1; + ) ( ⇔ y ' � ∀x � 1; +� 0, ) ⇔ g ( x ) � ∀x � 1; +� 0, ( ) ∆ 'g < 0 ⇔ g ( x ) = 0, c� nghi � x1 , x2 th� m� x1 2 m a n x2 1 ∆ 'g = m < 0 ⇔ x 2 − 2 x − m + 1 = 0, c� nghi � x1 , x2 th� m� x1 2 m a n x2 1 m<0 ⇔ (với t = x − 1 ) t 2 − m = 0, c� nghi � th� m� t 1 t 2 0 2 m a n m<0 ∆' = m 0 ⇔ S =0 0 P = −m 0 m<0 ⇔ m=0 ⇔m 0 Vậy với m � −� ] thì hàm số (1) đồng biến trên ( 1; + ) . ( ;0 1 3 Bài 2: Tìm m để hàm số y = ( m − 2 ) x − ( m − 6 ) x − ( m + 1) x, ( 2 ) nghịch biến trên ( −1;0 ) 2 3 2 3 2 Giải: TXĐ: D = R Ta có y ' = ( m − 2 ) x 2 − 3 ( m − 6 ) x − ( m + 1) 2 Hàm số (2) nghịch biến trên ( −1;0 ) ⇔ y ' � ∀x � −1;0 ) 0, ( 1 + Khi m=2, ta có y ' = 12 x 1 0 −� x tức là y ' � ∀x � −1;0 ) 0, ( 12 + Khi m � � ( m − 2 ) > 0 nên ta có 2 2 y ' � ∀x � −1;0 ) ⇔ y’=0 có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 0, ( −1 < 0 x2 x1 −1 x2 , ( a ) ⇔y’=0 có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 0 x2 , ( b) Chuyên đề: Phương pháp tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một miền. Trang 5
  6. Giáo viên: Lê-Viết-Hòa Tổ Toán-Tin Trường THPT Vinh Xuân *Xét trường hợp (a): −1 x2 ⇔( m − 2 ) x 2 − 3 ( m − 6 ) x − ( m + 1) = 0 có 2 nghiệm 2 y’=0 có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 x1 , x2 thoả mãn x1 −1 x2 ⇔( m − 2 ) t − ( 2m − 5m − 10 ) t + m − 2m − 15 = 0 22 2 2 có 2 nghiệm thỏa mãn t 1 0 t 2 (với t = x + 1 ) m2 − 2m − 15 ⇔ 0 ( m − 2) 2 m � −3;5] [ ⇔ m 2 *Xét trường hợp (b): x2 ⇔( m − 2 ) x 2 − 3 ( m − 6 ) x − ( m + 1) = 0 có 2 nghiệm 2 y’=0 có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 0 x1 , x2 thoả mãn x1 0 x2 − ( m + 1) ⇔ 0 ( m − 2) 2 m −1 ⇔ m 2 Kết hợp các trường hợp, ta có m � −1;5] thì hàm số (2) nghịch biến trên ( −1;0 ) . [ 1 3 1 Bài 3: Tìm m để hàm số y = − mx + ( m − 1) x + 3 ( 2 − m ) x − , ( 3) nghịch biến trên ( − ; −2] 2 3 3 Giải: TXĐ: D = R Ta có y ' = − mx + 2 ( m − 1) x + 3 ( 2 − m ) 2 Hàm số (3) nghịch biến trên (− ; −2] ⇔ y ' � ∀x � −� −2] 0, ( ; + Khi m=0, ta có y ' = −+ x 6 0 2 �۳ x 3 tức là ∀x � −� −2] không thỏa mãn y ' 0 (loại) ( ; + Khi m 0 . Điều kiện cần để y ' � ∀x � −� −2] là m>0. Do đó 0, ( ; m>0 ∆ ' = −2m 2 + 4m + 1 0 y ' � ∀x � −� −2] 0, ( ; m>0 y ' = 0,c� nghi � tho�− 2 x 1 2 m x2 m>0 � 2− 6� �+ 6 2 � m � −� � ; � � � ; +�� � 2 � � 2 � � � m>0 �− mx 2 + 2 ( m − 1) x + 3( 2 − m ) = 0 c� nghi � tho�− 2 � 1 � 2 2 m x x �+ 6 2 � m� ; +� � 2 � m>0 − mt 2 + 2 ( 3m − 1) t + 10 − 11m = 0, c� nghi � th� m� 0 t 1 < t 2 ( t = x + 2) 2 m a n Chuyên đề: Phương pháp tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một miền. Trang 6
  7. Giáo viên: Lê-Viết-Hòa Tổ Toán-Tin Trường THPT Vinh Xuân �+ 6 2 � m� ; +� � 2 � m>0 ∆' > 0 S >0 P 0 �+ 6 2 � m� ; +� � 2 � m>0 −2 m 2 + 4 m + 1 > 0 2 ( 3m − 1) >0 m 11m − 10 0 m �+ 6 2 � m� ; +� � 2 � � 2+ 6 � 10 m ; �11 2 � � 10 � Kết hợp với các trường hợp, ta có m � ; +� thì hàm số (3) nghịch biến trên ( − ; −2] . � 11 � 4. Bài tập. 1 3 1/ Tìm a để hàm số y = − x + ( a − 1) x + ( a + 3) x − 4, ( 4 ) đồng biến trên khoảng ( 0;3) ? 2 3 x 2 − 2mx + 3m 2 2/ Tìm m để hàm số y = , ( 5 ) đồng biến trên khoảng ( 1; + ) ? x − 2m 3/ Tìm m để hàm số y = x − 3 ( 2m + 1) x + ( 12m + 5 ) x + 2 đồng biến trên mỗi khoảng ( − ; −1) và 3 2 ( 2; + ) ------------------------------o0o------------------------------ Chuyên đề: Phương pháp tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một miền. Trang 7
  8. Giáo viên: Lê-Viết-Hòa Tổ Toán-Tin Trường THPT Vinh Xuân Phần 3: KẾT LUẬN-ĐỀ XUẤT-KIẾN NGHỊ. 1. Đề xuất-Kiến nghị. Ngoài cách giải quyết theo cách trên, trong một số trường hợp chúng ta có th ể dùng đạo hàm để giải quyết bài toán trên một cách đơn giản hơn. 2. Kết luận. Trên đây là cách giải quyết vấn đề “ Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng” mà không sử dụng đến định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai . Nếu chúng ta dùng đạo hàm để giải bài toán trên đôi lúc sẽ gặp phải một số khó khăn nhất định ( như khi giải ví dụ 2 ở trên) mà cách giải quyết bằng đạo hàm không khắc phục được. Trong khi đó cách gi ải quy ết như trên có thể khắc phục được cả 2 nhược điểm là không sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và khi dùng đạo hàm gặp khó khăn. Trong khi viết chuyên đề này, tôi rất cám ơn quý đồng nghiệp, đặc biệt là các giáo viên trong tổ đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu để chuyên đề được hoàn thành. R ất mong quý th ầy cô trong tổ và đồng nghiệp vui lòng góp ý kiến để chuyên đề lần sau tôi vi ết đ ược t ốt h ơn. Chân thành cám ơn! Chuyên đề: Phương pháp tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một miền. Trang 8
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản