Đề thi cao học Huế 2009 giải tích

Chia sẻ: trungtran2

Đề thi cao học Huế 2009 giải tích dùng tham khảo, luyện tập kỹ năng giải bài tập, hướng tới việc ôn thi cao học, tài liệu sẻ giúp ích cho các rất nhiều trong việc tự học, giúp các anh chị trong các kỳ thi cao học. Tài liệu gồm các đề thi sưu tầm và lời giải chi tiết.

Nội dung Text: Đề thi cao học Huế 2009 giải tích

 

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:……………………………… ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:……………………………… KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 (Đợt 2) Môn thi: GIẢI TÍCH (Dành cho cao học) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a. Cho dãy số thực . Chứng minh rằng nếu chuỗi hội tụ tại thì nó sẽ hội tụ tại mọi . b. Cho chuỗi hàm  Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối và đều của chuỗi hàm .  Tính tổng của chuỗi hàm . Câu 2. Cho là một không gian mêtric. Trên ta định nghĩa a. Chứng minh rằng là một mêtric trên . b. Chứng minh rằng là một không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi cũng là một không gian mêtric đầy đủ. Câu 3. Cho là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường cơ sở và là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn điều kiện: với mỗi dãy hội tụ về thì dãy bị chặn. Chứng minh rằng là ánh xạ tuyến tính liên tục. Câu 4. Xét không gian Hilbert phức gồm tất cả các dãy số phức sao cho với tích vô hướng . Giả sử là một dãy số phức bị chặn. Cho xác định bởi a. Chứng minh rằng là toán tử tuyến tính liên tục. Tính chuẩn của . b. Chứng minh rằng nếu là dãy số thực thì là một toán tử tự liên hiệp. ----------------------------------------------------- Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
  2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:……………………………… ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:……………………………… KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2010 ( Đợt 1) Môn thi: GIẢI TÍCH (Dành cho cao học) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a. Chứng minh bất đẳng thức 2 < ln + 1 , ∀ ∈ ℝ+. + 2 b. Cho > 1, tìm tất cả các số thực để chuỗi sau hội tụ ∞ − 1 . =1 c. Cho hàm số xác định trên hình vuông = 0; 1 × 0; 1 1 − nếu ≤ , = 1 − nếu > . Khảo sát tính khả vi của hàm tại các điểm trong của . Câu 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên > 1, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất trong tập = 0; 1 × 0; 1 : + + = 3 2 + 2 + = 6. Câu 3. Cho = 0;1 với chuẩn = max : ∈ 0; 1 . Cho ánh xạ : ⟶ xác định bởi = ∙ 1 − − 1 − ∙ , ∀ ∈ , ∈ 0; 1 . Chứng minh là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tìm . Câu 4. Cho là một không gian Hilbert. ∞ a. Giả sử , ∈ ℕ∗ là hệ trực giao trong . Chứng minh rằng, chuỗi =1 hội tụ yếu khi và chỉ khi nó hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn). b. Cho là dãy hội tụ yếu về trong . Giả sử dãy hội tụ về trong ℝ. Chứng minh dãy hội tụ mạnh về . ----------------------------------------------------- Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
  3. ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 1 NĂM 2010 Câu 1. (4đ) 2 +4 a. Xét hàm = ln 1 + − , ≥ 0. Ta có ′ = , > 0. +2 +1 +2 2 2 Do vậy > 0 = 0 hay ln 1 + > , > 0. (1đ) +2 b. Đặt = − 1 thì > 0 và = 1 + . Theo trên ta có 2 1 2 < ln = ln 1 + < hay < ln < (0,5đ) + 2 + 2 ∞ ∞ 1 Suy ra lim→∞ = ln . Nên các chuỗi =1 − 1 và =1 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi > 1 và phân kỳ khi ≤ 1. (1đ) c. Dễ thấy khả vi tại các điểm của mà < hay > . (0,5đ) Để xét tính khả vi của tại các điểm , , < 1, ta xét hàm = , , khi đó ′ + = − ≠ ′ − = 1 − tại mọi < 1. Suy ra không khả vi tại các điểm , , < 1. (1đ) Câu 2. (2đ) Xét không gian metric = ℝ2 với khoảng cách xác định bởi 1 , 1 , 2 , 2 = max 1 − 2 , 1 − 2 , ∀ 1 , 1 , 2 , 2 ∈ , là không gian metric đầy đủ. (0,5đ) Xét hàm : ⟶ xác định bởi + + 2 + 2 + 2 , = , , , ∈ . 3 6 ∀ 1 , 1 , 2 , 2 ∈ ta có 1 , 1 , 2 , 2 = 2 2 2 2 1 − 2 + 1 − 2 1 − 2 + 1 − 2 = max , (0,5đ) 3 6 Chú ý 1 − 2 + 1 − 2 ≤ 1 − 2 + 1 − 2 ≤ 1 − 2 + 1 − 2 ≤ 2 1 , 1 , 2 , 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 1 − 2 + 1 − 2 ≤ 1 − 2 + 1 − 2 ≤ 2 1 − 2 + 1 − 2 ≤ 4 1 , 1 , 2 , 2 . (0,5đ) 2 Do đó 1 , 1 , 2 , 2 ≤ 1 , 1 , 2 , 2 . Theo nguyên lý ánh xạ 3 co, có duy nhất , ∈ sao cho , = , , tức là hệ phương trình có duy nhất nghiệm. (0,5đ) Câu 3. (2đ) Kiểm tra tính tuyến tính của . (0,5đ)
  4. ∀ ∈ , ∈ 0; 1 ta có ≤ 1 − + 1 − ≤ . Nên ≤ .Vậy A liên tục và ≤ 1 (1đ) Xét hàm = 2 − 1, ∈ 0; 1 . Ta có = 1 còn = max∈ 0;1 1 − 2 =1 Vậy = 1. (0,5đ) Câu 4. (2đ) a. Đặt = =1 . Giả sử lim→∞ = 0. Khi đó với mọi ∈ ta có lim < − 0 , > ≤ lim − 0 ∙ = 0. Vậy → 0 . (0,5đ) →∞ →∞ Ngược lại, giả sử → 0 khi đó với mọi ∈ ta có lim→∞ < , > =< 0 , >. Do đó dãy < , > bị chặn. Theo nguyên lý bị chặn đều ≤ , ∀. Suy ra 2 = 2 ≤ 2 , ∀. Vì vậy ∞ 2 hội tụ nên ∞ =1 =1 =1 hội tụ. (0,5đ) b. Giả sử → . Ta có − 2 =< − , − >=< , > −< , > −< , > + +< , > = 2 −< , > −< , > + 2 (0,5đ) Theo giả thiết lim→∞ = nên lim→∞ − = 0. Vậy lim = . (0,5đ) →∞
  5. ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 2 NĂM 2009 Câu 1. (4đ) a. Ta có Nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Abel tại mọi a. Ta có nên ta chỉ cần xét chuỗi trong . Với bất kỳ ta có . Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối tại mọi và hội tụ đều trên các khoảng . Do khi nên chuỗi không hội tụ đều trên khoảng b. Chú ý Do đó Vậy Câu 2. (2đ) a. (1đ) Kiểm tra 2 tiên đề đầu tiên về mêtric (0,5đ) Tiên đề còn lại chứng minh dựa vào hàm đơn điệu tăng trên . (0,5đ) b. (1đ) cơ bản trong cơ bản trong (0,5đ) cơ bản trong cơ bản trong (0,5đ) Câu 3. (2đ) Giả sử không bị chặn trên mặt cầu đơn vị khi đó tồn tại trên dãy mà . Khi đó dãy hội tụ về 0 nhưng Trái giả thiết. Câu 4. (2đ) a. Kiểm tra tính tuyến tính của . (0,5đ)
  6. ta có Vì dãy bị chặn nên . Do đó Vậy liên tục và Xét dãy ta có nên . Suy ra b. (1đ) ta có Vì là số tực nên tổng của chuỗi này là một số thực. Vậy toán tử là tự liên hợp.
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản