ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011 Môn thi: Toán

Chia sẻ: Lam Vu | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

0
521
lượt xem
146
download

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011 Môn thi: Toán

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs năm học 2010-2011 môn thi: toán', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011 Môn thi: Toán

  1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THỊ XÃ PHÚ THỌ NĂM HỌC 2010-2011 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2.0 điểm) Số N có dạng p x q y r z ( p,q,r là các số nguyên tố. x,y,z là các số nguyên dương ) NNN và pq-r =3; pr-q = 9. Biết các số p ; q ; r tương ứng có ít ước số hơn ước số của N là 20;12 và 15. Tìm N ? Câu 2: (2.0 điểm) Giải phương trình : 3 x 5 + 10 x 4 + 7 x 3 + 7 x 2 + 10 x + 3 = 0 Câu 3: ( 2.0 điểm) a) Cho a,b,c là các số hữu tỷ đôi một khác nhau. 1 1 1 Chứng minh rằng: P = + + là số hữu tỷ. (a − b) 2 (b − c) 2 (c − a ) 2 b) Tính giá trị của biểu thức : Q = x 3 + y 3 − 3( x + y ) + 2010 biết x = 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 ; y = 3 17 + 12 2 + 3 17 − 12 2 Câu 4. (2.0 điểm ) Cho hình thang ABCD (AB//CD) giao điểm của hai đường chéo là O. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. 1 1 2 + = a) Chứng minh rằng: AB CD MN b) Biết S AOB = a 2 ; SCOD = b 2 tính S ABCD ? Câu 5 (2,0 điểm) µ µ Cho tam giác PAB có B =450; P =1200 .trên tia BP lấy điểm C sao cho PC = 2PB. Tính góc · ACB --------------Hết-------------- Họ và tên thí sinh: …………………………………………… SBD:………………..
  2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THỊ XÃ PHÚ THỌ NĂM HỌC 2010-2011 Môn thi: Toán I- Hướng dẫn chung: 1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đ ủ đi ểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi. 3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số. Điể Câu Đáp án m Số N có dạng p x q y r z ( p,q,r là các số nguyên tố. x,y,z là các số nguyên dương ) và NNN pq-r =3; pr-q = 9. Biết các số p ; q ; r tương ứng có ít ước số hơn ước số của N là 20;12 và 15. Tìm N ?  pq − r = 3 ⇒ ( p + 1) ( r − q ) = 6 Ta có  0.5  pr − q = 9 - Vì p + 1 ≥ 3 ⇒ p = 2, q = 5, r = 7 ⇒ N = 2 x3 y 7 z 0.5 Khi đó số các ước của N bằng (x+1)(y+1)(z+1) - NNN Số các ước tương ứng của tương ứng là : ,, 257 x ( y + 1) ( z + 1) ; ( x + 1) y ( z + 1) ; ( x + 1) ( y + 1) z 0.5 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) − x ( y + 1) ( z + 1) = 20  ⇒ ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) − ( x + 1) y ( z + 1) = 12  ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) − ( x + 1) ( y + 1) z = 15 ( y + 1) ( z + 1) = 20  - ⇔ ( x + 1) ( z + 1) = 12 ⇔ x = 2, y = 4, z = 3 0.5  ( x + 1) ( y + 1) = 15 Vậy N= 22547 3 = 857500 Câu 2: (2.0 điểm) Giải phương trình : 3 x 5 + 10 x 4 + 7 x 3 + 7 x 2 + 10 x + 3 = 0 (1) ( ) (1) ⇔ ( x + 1) 3 x + 7 x + 7 x + 3 = 0 4 3 0.5 Ta có : 3 x 4 + 7 x3 + 7 x + 3 = 0 và x+ 1 = 0 Trường hợp : x+ 1 = 0 ⇒ x =- 1 Trường hợp : 3 x 4 + 7 x3 + 7 x + 3 = 0 Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế phương trình 0.5  2 1  1 1 cho x ta được 3  x + 2 ÷+ 7  x + ÷=0. Đặt t = x + ta có : 3t2 +7t– 6 =0 2  x  x x −3 + 5 −3 − 5 Tìm được nghiệm x1= -1 ; x2= ; x3= 1.0 2 2
  3. Điể Câu Đáp án m Câu 3: ( 2.0 điểm) a) Cho a,b,c là các số hữu tỷ đôi một khác nhau. 1 1 1 Chứng minh rằng: P = + + là số hữu tỷ. ( a − b ) 2 (b − c ) 2 ( c − a ) 2 b) Tính giá trị của biểu thức : Q = x 3 + y 3 − 3( x + y ) + 2010 biết x = 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 ; y = 3 17 + 12 2 + 3 17 − 12 2 a) Với a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau, ta được biểu thức P có nghĩa. Biến đổi biểu thức P, ta được : ( b − c) ( c − a ) + ( a − b) ( c − a ) + ( a − b) ( b − c) 2 2 2 2 2 2 ⇒P= ( a − b) ( b − c) ( c − a ) 2 2 2 ( a − b ) ( c − a ) + ( b − c ) ( a − b ) + ( c − a )  2 2 2 2 2   ⇒P= ( a − b) ( b − c) ( c − a ) 2 2 2 ( a − b ) ( c − a ) + ( c − b ) ( a − b ) + ( c − a )  2 2 2 2 2   ⇒P= ( a − b) ( b − c) ( c − a ) 2 2 2 ( a − b ) 2 ( c − a ) 2 + ( a − b ) + ( c − a )  ( a − b ) 2 + ( c − a ) 2  2    ⇒P= ( a − b) ( b − c) ( c − a ) 2 2 2 0.5 ( a − b ) 2 ( c − a ) 2 +  ( a − b ) 2 + ( c − a ) 2 + 2 ( a − b ) ( c − a )  . ( a − b ) 2 + ( c − a ) 2     ⇒P= ( a − b) ( b − c) ( c − a ) 2 2 2 2 ( a − b ) ( c − a )  + 2 ( a − b ) ( c − a )  . ( a − b ) + ( c − a )  +  ( a − b ) + ( c − a )  2 2 2 2 2       ⇒P= ( a − b) 2 ( b − c) 2 ( c − a ) 2 { } 2 ( a − b ) ( c − a )  + ( a − b ) + ( c − a )  2 2    ⇒P= 2 ( a − b ) ( b − c ) ( c − a )    ( a − b ) ( c − a )  + ( a − b ) + ( c − a )  2 2    ⇒P= ( a − b) ( b − c) ( c − a ) Vì a, b, c là các số hữu tỉ, nên suy ra : ⇒ ( a − b ) ( c − a )  + ( a − b ) + ( c − a )  và ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) 2 2    0.5 cũng là các số hữu tỉ. Do đó : ⇒ P là một số hữu tỉ (đpcm).
  4. Điể Câu Đáp án m Đặt x = 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 = a + b suy ra: a3 + b3 = 6; a.b = 1 Ta có: x 3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)= 6 + 3(a +b) = 6 + 3x Hay x 3 - 3x = 6 0.5 Tương tự Đặt y = 3 17 + 12 2 + 3 17 − 12 2 = c + d, suy ra c3 + d3 = 34; c.d = 1 Ta có: y3 = c3 + d3 + 3cd(c + d)= 34 + 3(c +d) = 34 + 3y Hay y3 - 3y = 34 Vậy Q = x 3 + y 3 − 3( x + y ) + 2010 = x 3 − 3x + y 3 − 3 y + 2010 0.5 = 6 + 34 + 2010 =2050 Câu 4. (2.0 điểm ) Cho hình thang ABCD (AB//CD) giao điểm của hai đường chéo là O. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. 1 1 2 + = a) Chứng minh rằng: AB CD MN b) Biết S AOB = a 2 ; SCOD = b 2 tính S ABCD ? B A M N O C D 1 1 2 + = Chứng minh rằng: AB CD MN Theo định lý Talet do MN song song với AB và CD ta có : MO AM MO DM MO MO AM MD AD 0.5 ⇒ = = + = + = =1 ; CD AD AB AD CD AB AD AD AD NO NO a) + =1 Tương tự : CD AB NO + MO NO + MO MN MN + = 2 Hay + =2 Vậy : CD AB CD AB 0.5 1 1 2 + = Do đó : AB CD MN b) 0.5 S AOB OB S AOD OA S AOB S AOD OA OB = = = = và nhưng Ta có do đó S AOD OD SCOD OC S AOD SCOD OC OD Hay S 2 AOD = S AOB .SCOD = a 2 .b 2 Suy ra : S AOD = a.b
  5. Điể Câu Đáp án m Tương tự : S BOC = a.b 0.5 Vậy : S ABCD = a 2 + b 2 + 2a.b = ( a + b ) 2 µ µ Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác PAB có B =450; P =1200 trên tia BP lấy điểm C sao cho PC = 2PB. Tính góc · ACB x A E D C B P Dựng CD ⊥ AP trên tia CD lấy điểm E sao cho D là trung điểm của CE, suy ra 0.5 PE = PC. Tam giác PCE cân tại đỉnh P PA là đường cao nên cũng là phân giác của góc CPE, · · do đó EPA = APC =600 nhưng PC = 2PB nên PE = 2PB. Từ đó trong tam giác 0.5 · · EBP có EPB = 600 suy ra EBP = 900 · · Vì A thuộc tia phân giác của các góc EBC và EPC nên A cách đều BE và EP, 0.5 · suy ra A thuộc tia phân giác của góc PEx · · · · Ta có : xEA + AEP + PEB = 1800 hay 2AEP + 300 =1800 0.5 Do đó AEP = 750 ⇒ · · ACB = 750 -----------------------Hết-----------------------

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản