ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2008 – Môn TOÁN

Chia sẻ: trungtran1

Tài liệu mang tính chất tham khảo giúp ích cho các bạn trong luyện thi quốc gia, rèn luyện kỹ năng giải đề, giải các bài tập, tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2008 – Môn TOÁN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
LỚP 12 THPT NĂM 2008 – Môn TOÁN


Câu 1:Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình (ẩn )
sau:




Câu 2:Cho tam giác ABC có góc là góc nhọn,trong đó E là
trung điểm của AB.Trên tia EC lấy điểm M sao cho
.Kí hiệu là số đo của góc ,hãy tính tỉ số theo




Câu 3:Đặt .Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà
và chia hết cho m?




Câu 4:Cho dãy số thực được xác định như sau:
và với mọi
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi .Hãy tìm
giới hạn đó




Câu 5:Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi
số gồm tối đa 2008 chữ số và trong đó có ít nhất 2 chữ số 9?
Câu 6:Cho x,y,z là các số thực không âm ,đôi một khác
nhau.Chứng minh rằng

Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?




Câu 7:Cho tam giác ABC,trung tuyến AD.Cho đường thẳng d
vuông góc với đường thẳng AD.Xét điểm M nằm trên d.Gọi E,F
lần lượt là trung điểm của MB,MC.Đường thẳng đi qua E và
vuông góc với d cắt đường thẳng AB ở P,đường thẳng đi qua F
và vuông góc với d cắt đường thẳng AC ở Q.CMR đường thẳng
đi qua M vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua 1 điểm cố
định ,khi điểm M di động trên đường thẳng d.
Lời giải của một số học sinh 11 chuyên toán trường Quốc Học Huế.
Bạn có thể trao đổi qua forum ở trang web:
http://toan.edu.ms/forum/viewtopic.php?f=78&t=172
Theo phân công lao động thì mình sẽ post giải bài 4,5,6 trình
(pi3.14) giải bài 1,2 và bạn Nhật sẽ giải bài 3,7. Phần việc của
mình

Bài 4

Bằng qui nạp ta có Với mọi n.

Xét với

Ta có

Mà do đó tăng , tương tự ta có giảm

Xét dãy bằng qui nạp ta có bị chặn trên bới 2,
theo trên nó là dãy tăng nên có giới hạn.

Đặt

Khi đó từ đó có

Tương tự dãy giảm, bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn. Ta
cũng có giới hạn là 1.

Vậy
Bài 5

Gọi các số phải tìm có dạng

Do số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số chia hết cho 9.

Bước 1 Tìm tất cả các số chia hết cho 9
Có 10 cách chọn các chữ số , 10 cách chọn chữ số , ... , 10
cách chọn chữ số ứng với các
cách chọn này có 9 cách chọn chữ số để thoả mãn bài toán.
Vậy có số chia hết cho 9

Bước 2 Tìm số các số chia hết cho 9 không có chữ số 9 trong nó

Có 8 cách chọn các chữ số có 9 cách chọn do đó có
tất cả số

Bước 3 Tìm số các số chia hết cho 9 mà trong nó chỉ có duy
nhất một chữ số 9

Có số có n-1 chữ số thoả bài toán, ta đưa chữ số 9 vào số
trên thì được 1 số thoả bài toán. Có (n-1) vị trí có thể đưa chữ số
9 vào
Như vậy có số


Cuối cùng số các số phải tìm là

Tính tổng ni thì dễ dùng cấp số nhân với đạo hàm là ok

Ăn cơm cái đã, tí nữa post tiếp
Bài 6

Giả sử

Ta có







Từ đây ta suy ra:
Vậy ta sẽ chứng minh rằng:




Cái ni thì hiển nhiên đúng theo Cauchy

Từ đó suy ra đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi:




Bài 6

Cách ni của một anh bên TPHCM ý tưởng cũng tương tự, post lên xem thử

Cho là các số không âm khác nhau đôi một , tìm hằng số k tốt nhất của bất đẳng thức




Đặt :

Ta chung minh :

That vay , khong mat tinh tong quat gia su ta co :




Vay ta chi can chung minh bat dang thuc trong truong hop Dat va khac !
Ta co :




Cách 1 : biến đổi tưong đương chứng minh tươnng đương với
Hiển nhiên đúng !

Cách 2 :




Tu do ta tim duoc gia tri nho nhat cua la va dat duoc tai 2 diem la va

vay hang so tot nhat can tim la va dau bang xay ra tai hai diem la

va
Bài 2
Lấy điểm sao cho là hình bình hành
Ta có thẳng hàng.


Do đó: tam giác cân tại Suy ra
Trên tia lấy điểm sao cho
Xét hai tam giác và có




Do đó
Suy ra
Suy ra tam giác cân tại
Lấy là trung điểm thì


Vậy
Bài 2 ngắn gọn, đơn giản, mình giải trước:
Từ C kẻ CF song song với BM (F thuộc cạnh BC, cái này dễ thấy, chắc các bạn không thắc
mắc).
Khi đó CE là phân giác của góc ACB.
Áp dụng định lí Talet và tính chất phân giác, ta có

.

mặt khác theo công thức tính diện tích


suy ra


Từ đó suy ra


Tương tự .

suy ra .
Theo phân công lao động thì mình sẽ post giải bài 4,5,6 trình
(pi3.14) giải bài 1,2 và bạn Nhật sẽ giải bài 3,7. Phần việc của
mình

Bài 4

Bằng qui nạp ta có Với mọi n.

Xét với

Ta có
Mà do đó tăng , tương tự ta có giảm

Xét dãy bằng qui nạp ta có bị chặn trên bới 2,
theo trên nó là dãy tăng nên có giới hạn.

Đặt

Khi đó từ đó có

Tương tự dãy giảm, bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn. Ta
cũng có giới hạn là 1.

Vậy
Bài 5

Gọi các số phải tìm có dạng

Do số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số chia hết cho 9.

Bước 1 Tìm tất cả các số chia hết cho 9

Có 10 cách chọn các chữ số , 10 cách chọn chữ số , ... , 10
cách chọn chữ số ứng với các
cách chọn này có 9 cách chọn chữ số để thoả mãn bài toán.
Vậy có số chia hết cho 9

Bước 2 Tìm số các số chia hết cho 9 không có chữ số 9 trong nó

Có 8 cách chọn các chữ số có 9 cách chọn do đó có
tất cả số

Bước 3 Tìm số các số chia hết cho 9 mà trong nó chỉ có duy
nhất một chữ số 9

Có số có n-1 chữ số thoả bài toán, ta đưa chữ số 9 vào số
trên thì được 1 số thoả bài toán. Có (n-1) vị trí có thể đưa chữ số
9 vào
Như vậy có số


Cuối cùng số các số phải tìm là

Tính tổng ni thì dễ dùng cấp số nhân với đạo hàm là ok

Ăn cơm cái đã, tí nữa post tiếp
Nhầm hết rồi
Đính chính lại này

Gọi các số phải t“m có dạng

Do số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số chia hết cho 9.

Bước 1 T“m tất cả các số chia hết cho 9

Có 10 cách chọn các chữ số , 10 cách chọn chữ số , ... , 10 cách chọn chữ số ứng với
các
cách chọn này có 1 cách chọn chữ số để thoả mãn bài toán. Vậy có số chia hết cho 9

Bước 2 T“m số các số chia hết cho 9 không có chữ số 9 trong nó

Có 8 cách chọn các chữ số có 9 cách chọn,chữ số a_n có duy nhất 1 cách
chọn.Do đó có tất cả số

Bước 3 T“m số các số chia hết cho 9 mà trong nó chỉ có duy nhất một chữ số 9
Nếu số 9 đứng đầu: Có số( và có 1 cách chọn)
Nếu số 9 không đứng đầu : Có (Lấy số có chữ số không có số 9 nào r�“i
thêm số 9 vào)
Còn đây là bài 1
Giả sử hệ có nghiệm (x,y). Ta có x,y>0.
Đặt và


Ta có hệ (1)

Suy ra

Đặt



Ta có
(2)
Lại xét hàm
Ta có

Khi đó .
từ đó, g(t) là hàm đồng biến trên đoạn (3)
Nhận xét: Từ (1) nếu a0 suy ra và
Từ (2) (3) suy ra



Mặt khác ta có kết hợp với bảng biến thiên suy ra phương trình
có 2 nghiệm, từ đó dễ dàng suy ra hệ có 2 nghiệm.
Bài 7 thì mình sử dụng phương pháp tọa độ, tuy nhiên lời giải hơi dài, sẽ post sau
Còn đây là bảng biến thiên của bài 1 mình giải ở trên
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản