ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 11

Chia sẻ: Phan Duyha | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:3

5
1.901
lượt xem
369
download

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 11

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 11

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 11

  1. SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ NĂM HỌC 2008 - 2009 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình 3 x + 1 + 3 x − 1 = 3 5x Câu 2. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z khác 0, ta có: x2 y2 z2 x y z + + ≥ + + y2 z2 x2 y z x u1 = 11 Câu 3. (2,0 điểm) Cho dãy số (un) xác định bởi:  un+1 = 10un + 1 − 9 n, n∈ N . ∀ Tìm công thức tính un theo n. Câu 4. (2,0 điểm) Tổng của m những số nguyên dương liên tiếp bằng 2008. Xác định các số đó. Câu 5. (2,5 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’. a) Chứng minh rằng (IJK) song song với các mặt đáy. b) Chứng minh rằng các đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy. _________________Hết_________________
  2. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu 1. (5 điểm) 3 x + 1 + 3 x − 1 = 3 5x ⇔ 2x + 3 3 x2 − 1 ( 3 ) x + 1 + 3 x − 1 = 5x 5 ⇒ 3 x2 − 1 3 5x = x ⇒ 4x3 − 5x = 0 ⇒ x = 0; = ± x . 2 5 Thö ¹it t ph­ ¬ng rnh  3  Öm :x  0;x  ± l  a hÊy  t× cã  nghi   =    = . 2 Câu 2: (4 điểm) Ta có: x2  x 2 + 1 ≥ 2  y  y y2  y 2 + 1 ≥ 2  z  z z2  z ≥ 2  x2  x Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được: x2 y2 z2  x y z 2 + 2 + 2 + 3 ≥ 2  + +  (1) y z x  y z x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta được: x2 y2 z2 x2 y2 z2 + + ≥ 3 3 2 . 2 . 2 = 3 (2) y2 z2 x2 y z x  x2 y2 z2   x y z Từ (1) và (2) suy ra: 2  2 + 2 + 2  ≥ 2  + +  y z x   y z x Từ đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Câu 3: Ta có: u1 = 11 = 10 + 1 u2 = 10. + 1 − 9 = 102 = 100 + 2 11 u3 = 10. + 1 − 9. = 1003 = 1000 + 3 102 2 Dự đoán un = 10n + n (1) Chứng minh: Ta có: u1 = 11 = 101 + 1 công thức (1) đúng với n = 1. Giả sử công thức (1) đúng với n = k ta có: uk = 10k + k Ta có: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1). Công thức (1) đúng với n = k + 1. Vậy un = 10n + n, ∀n∈ ¥ . Câu 4. (4 điểm) Giả sử tổng của m số nguyên dương liên tiếp bắt đầu từ số k bằng 2008: k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008
  3. m ( m − 1) ⇒ m k+ = 2008 2 ⇒ m ( 2k + m − 1) = 4016 = 24.251 Nếu m lẻ ⇒ 2k + m - 1 chẵn. Khi đó: m = 251, 2k + m - 1 = 24 (không xảy ra) 2k + m − 1 = 251 m = 16 Nếu m chẵn ⇒ 2k + m - 1 lẻ. Ta có:  ⇒  m = 24  k = 118 Vậy các số cần tìm là 118, 119,…133. Câu 5. (3 điểm) Trên tia BI, lấy điểm H sao cho BH = a. Khi đó BH = AB = BC nên ta có: ∆A BM = ∆H BM ( g.   ∆CBN   ∆H BN( g. . Do đó: MH = AM và NH = CN. c. c)vµ  =  c. c) · · · · BH M = BA M = 900   BH N = BCN = 900. Suy ra M, H, N thẳng hàng, BI vuông góc vµ  với Mn tại H và MN = AM + NC. A B 1 1 Vậy SBM N = BH . N = a( A M + N C ) . M 2 2 1 3 Vì AM = 3MD nên M D = a; M = a.A M 4 4 H Đặt NC = x, áp dụng định lý Pitago cho D IN C tam giác vuông MDN, ta có: M N 2 = M D 2 + D N 2 ⇔ ( A M + N C ) = M D 2 + ( DC − N C ) 2 2 2 3  a 2 a ⇔  a + x = + ( a − x) ⇔ x = 2 4  16 7 1 3 a  25 Suy a:SBM N = a a +  = a2 . r 2 4 7  56

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản