ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 11

Chia sẻ: duyha0608

Tài liệu tham khảo đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 11

Nội dung Text: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 11

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 11
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ NĂM HỌC 2008 - 2009
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)




ĐỀ BÀI


Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình
3
x + 1 + 3 x − 1 = 3 5x
Câu 2. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z khác 0, ta có:
x2 y2 z2 x y z
+ + ≥ + +
y2 z2 x2 y z x
u1 = 11
Câu 3. (2,0 điểm) Cho dãy số (un) xác định bởi: 
un+1 = 10un + 1 − 9 n, n∈ N .

Tìm công thức tính un theo n.
Câu 4. (2,0 điểm) Tổng của m những số nguyên dương liên tiếp bằng 2008. Xác
định các số đó.
Câu 5. (2,5 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là
tâm của các hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’.
a) Chứng minh rằng (IJK) song song với các mặt đáy.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy.

_________________Hết_________________
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu 1. (5 điểm)
3
x + 1 + 3 x − 1 = 3 5x ⇔ 2x + 3 3 x2 − 1 ( 3
)
x + 1 + 3 x − 1 = 5x

5
⇒ 3 x2 − 1 3 5x = x ⇒ 4x3 − 5x = 0 ⇒ x = 0; = ±
x .
2
5
Thö ¹it t ph­ ¬ng rnh  3  Öm :x  0;x  ±
l  a hÊy  t× cã  nghi   =    = .
2
Câu 2: (4 điểm)
Ta có:
x2  x
2
+ 1 ≥ 2 
y  y
y2  y
2
+ 1 ≥ 2 
z  z
z2  z
≥ 2 
x2  x
Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được:
x2 y2 z2  x y z
2
+ 2 + 2 + 3 ≥ 2  + +  (1)
y z x  y z x
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta được:
x2 y2 z2 x2 y2 z2
+ + ≥ 3 3 2 . 2 . 2 = 3 (2)
y2 z2 x2 y z x
 x2 y2 z2   x y z
Từ (1) và (2) suy ra: 2  2 + 2 + 2  ≥ 2  + + 
y z x   y z x
Từ đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Câu 3:
Ta có:
u1 = 11 = 10 + 1
u2 = 10. + 1 − 9 = 102 = 100 + 2
11
u3 = 10. + 1 − 9. = 1003 = 1000 + 3
102 2
Dự đoán un = 10n + n (1)
Chứng minh:
Ta có: u1 = 11 = 101 + 1 công thức (1) đúng với n = 1.
Giả sử công thức (1) đúng với n = k ta có: uk = 10k + k
Ta có: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1). Công thức (1) đúng với n = k + 1.
Vậy un = 10n + n, ∀n∈ ¥ .
Câu 4. (4 điểm)
Giả sử tổng của m số nguyên dương liên tiếp bắt đầu từ số k bằng 2008:
k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008
m ( m − 1)
⇒ m k+ = 2008
2
⇒ m ( 2k + m − 1) = 4016 = 24.251
Nếu m lẻ ⇒ 2k + m - 1 chẵn. Khi đó: m = 251, 2k + m - 1 = 24 (không xảy ra)
2k + m − 1 = 251 m = 16
Nếu m chẵn ⇒ 2k + m - 1 lẻ. Ta có:  ⇒
 m = 24  k = 118
Vậy các số cần tìm là 118, 119,…133.
Câu 5. (3 điểm)
Trên tia BI, lấy điểm H sao cho BH = a. Khi đó BH = AB = BC nên ta có:
∆A BM = ∆H BM ( g.   ∆CBN   ∆H BN( g. . Do đó: MH = AM và NH = CN.
c. c)vµ  =  c. c)
· · · ·
BH M = BA M = 900   BH N = BCN = 900. Suy ra M, H, N thẳng hàng, BI vuông góc
vµ 
với Mn tại H và MN = AM + NC. A B
1 1
Vậy SBM N = BH . N = a( A M + N C ) .
M
2 2
1 3
Vì AM = 3MD nên M D = a; M = a.A M
4 4 H
Đặt NC = x, áp dụng định lý Pitago cho
D IN C
tam giác vuông MDN, ta có:
M N 2 = M D 2 + D N 2 ⇔ ( A M + N C ) = M D 2 + ( DC − N C )
2 2


2
3  a
2
a
⇔  a + x = + ( a − x) ⇔ x =
2


4  16 7
1 3 a  25
Suy a:SBM N = a a +  = a2 .
r
2 4 7  56
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản