intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Đề thi học phần toán cao cấp 3 - 4

Chia sẻ: Nguyen Ngoc Son Son | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

199
lượt xem
28
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi học phần toán cao cấp 3 - 4', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học phần toán cao cấp 3 - 4

  1. TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 07 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Cho hàm số: Câu 1: x z = x 3 + 2 x 2 − 2 xy + + 5 y − 2 y2 2 1. Tìm cực trị của hàm 2. Tại điểm N(-2,1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 450 3. Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất. Biểu diễn trên hình vẽ. ∫( − 2 xy ) dx + ( xy − y 2 + y ) dy Ñx 2 Câu 2: Tính L L là đường cong nối 3 điểm A (-1, 1), B ( 2 , 2), C (0, 2) trong đó đoạn AB là đường y = x 2 , đoạn BC là đường y=2 và đoạn CA là đường y = x + 2 bằng 2 cách: Cách 1: Tính trực tiếp tích phân đường loại 2. Cách 2: Áp dụng công thức Green. Giải hệ phương trình vi phân: Câu 3: { y ' =3 y −2 z +1 z ' = y +z −3 với điều kiện khi x=0 thì y=0 và z=0. Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn Giảng viên ra đề 2:
  2. Bài giải x z = x 3 + 2 x 2 − 2 xy + + 5y − 2 y2 Câu 1: 2  zx' =3 x2 + 4 x − 2 y + 1 = 0 5  z'y =−2 x − 4 y +5= 0 2 →-2y=x- 2  Thay vào phương trình trên ta có: 51 3x 2 + 4 x + x − + = 3x 2 + 5 x − 2 = 0 22 1 13 x1 = y1 = 3 12 → → 2 9 x2 = − y2 = 3 4 1 13 9 M1 ( , ) M2 (-2, ) 3 12 4 z xx = 6 x + 4 = r '' 6 -8 z xy = −2 = s '' -2 -2 z '' = 4 = − t -4 -4 yy s2 - rt 4+24=28 4-32=-28 0 ∂l 2 4 4 -4 Tại điểm N(-2,1) hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 450 . 5 3. Hướng thay đổi nhanh nhất là i+5j. 2
  3. y C Câu 2: * Trực tiếp: 2 B 1 A x -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 x: -1→ 2 , y = x 2 AB: 2 −2 x.x 2 +( x.x 2 −x 4 +x 2 ) .2 x dx ∫ x 2   −1 2 = ∫ x 2 −2 x 3 +2 x 4 −2 x 5 +2 x 3 dx   −1  x3 x6  2 2 2x5 = ∫ x +2 x −2 x dx = + − 2 4 5 ÷−1   3 5 3 −1 22 82 8 1 2 1 22 82 2 = + −+++= + + −2 3 5 3353 3 5 5 BC: x: 2 →0, y=2  x3 2 0 0 22 ∫ ( x − 4 x ) dx =  3 − 2 x ÷ 2 = − 3 + 4 2   2 CA: x : 0→-1, y=x+2 ∫{ x } −1 −2 x ( x +2 )  + x ( x +2 ) −( x + 2 ) +( x + 2 )  dx 2 2    0 −1 = ∫ ( x 2 −2 x 2 −4 x + x 2 +2 x − x 2 −4 x −4 + x + 2 )dx 0 −  x3 5 x 2 − 1 = ∫ ( −x −5 x −2 )dx = − − −2 x ÷ 0 1 2 3 2  0 15 = − +2 32 Vậy 22 82 2 22 15 ∫( − 2 xy ) dx + ( xy − y 2 + y ) dy = Ñx + + − 2− + 4+ − + 2 2 3 55 3 32 L 8 2 67 = + 5 30 * Áp dụng công thức Green:
  4. ∂P ∂Q = −2 x , Q = xy − y 2 + y , =y P = x 2 − 2 xy ∂y ∂x I = ∫∫ ( y + 2 x ) dxdy Vậy D Phần 1: x:-1→0 y= + x2  y2  y= + 0 0 ( 2 x +y )dy =∫dx 2 x y + ÷y =x 2 2 =∫dx ∫ 2 2 x  − − y= 2 1 1 x ( x + ) − x 3 −x 4 dx  2 0 2 =∫ x ( x + ) +  2 2 2 2 2 − 1   x4  0 x2 =∫2 x 2 + x + + x + − x3 − 4 2 22 dx ÷ 2 2 − 1  x4  0 5x2 =∫ − −x + + x+ ÷ 3 2 6 2 dx 2 2 −  1  x5 0 x4 5 x3 =− − + + x2 + x ÷ 1 3 2  −  10 2 6  1 1 5 1 10 7 =− + + −+ =− + = 32 10 2 6 10 12 30 Phần 2: x : 0→ 2 y=2  y 2  y =2 2 2 ∫ dx ∫2 ( 2 x + y ) dy = ∫ 2 xy + 2 ÷ y =x2 dx 0  y =x 0  x4   x4  2 2 = ∫ 4 x +2 −2 x − ÷ = ∫ − −2 x 3 4 x +2 ÷ 3 dx dx 2 2 0 0   x5  x4 =− − +2 x 2 +2 x ÷0 2  10 2  42 82 =− −2 +4 +2 2 = +2 10 5 Vậy 7 42 16 2 7 82 67 ∫∫ =− − +2 2 +2 = + +2 = + 30 10 10 30 5 30 D Câu 3: y '' = 3 y ' − 2 z ' = 3 y ' − 2 ( y + 2 − 3) = 3 y' − 2 y − 2z + 6 = 3 y' − 2 y + y' − 3 y −1 + 6
  5. = 4 y' −5 y + 5 → y '' − 4 y ' + 5 y = 5 * Phương trình thuần nhất: y '' − 4 y ' + 5 y = 0 Phương trình đặc trưng: λ 2 − 4λ + 5 = 0 ∆' = 4 −5 =− → ∆' =±i 1 →λ = 2 ±i →y1 = e 2 x cos x, y2 = e 2 x sin x y = c1e2 x cos x + c2e 2 x sin x * Phương trình không thuần nhất: { c1e 2 x cos x +c2 e 2 x s inx =0 ' ' c1 ( 2 e 2 x cos x −e 2 x s inx ) +c2 ( 2 e 2 x sin x +e 2 x cos x ) =5 ' ' { ' ' c1 cos x +c2 s inx =0 → c1 ( 2cos x −s inx ) +c2 (2sin x +cos x ) =5 e −2 x ' ' →{ ' ' c1 cos x +c2 s inx =0 −c1sinx +c2 cos x ) =5 e −2 x ' ' → c1' = −5e −2 x s inx → c1 = − 5∫ e −2 x sin xdx + c1* → c2 = 5e −2 x cosx → c2 = 5∫ e −2 x cosxdx + c2 ' * ∫e −2 x sin xdx = ? e −2 x = u → du=-2 e −2 x dx * sinxdx=dv →v =- cosx cos x − 2∫ e− 2 x cos xdx −2x = −e e− 2 x = u → du = − 2e− 2 x dx cos xdx = dv → v = sinx =− −2 x cos x −2 e −2 x s inx +2 ∫e −2 x sin xdx  e   → ∫e −2 x sin xdx =− −2 x cos x −2e −2 x sin x 5 e 1 2 ∫ → e −2 x sin xdx =− e −2 x cos x − e −2 x sin x 5 5 * ∫e cosxdx → −x −x −x =u → du =− e 2 dx 2 2 e 2 cos xdx =dv → =s inx v
  6. ∫e cosxdx = e − 2 x sin x + 2∫ e − 2 x sin x −2x e− 2 x = u → du = − 2e− 2 x dx sin xdx = dv → v = − cos x ∫e cosxdx = e − 2 x sin x + 2∫ e − 2 x sin x −2x = e −2 x sin x +2 − −2 x cosx −2 ∫e −2 x cosx  e  → ∫e −2 x cosxdx =e −2 x sin x −2e −2 x cosx 5 1 −2 x 2 →∫e −2 x cosxdx = sin x − e −2 x cosx e 5 5 → c1 = e −2 x cos x + 2e −2 x sin x + c1  *   c2 = e −2 x sin x − 2e −2 x cosx + c2  *   Vậy y = ( cos x + 2sinx ) e− 2 x .e2 x cos x + c1*e 2 x cos x + ( sinx − 2cos x ) e − 2 x .e 2 x sinx + c2e 2 x sinx * y = ( c1* cos x + c2 sinx ) e2 x + 1 * y ' =  − c1* sin x + 2c2 sinx + c2 cos x + 2c1* cos x  e 2 x =  ( 2c2 − c1* ) sinx + ( 2c1* + c2 ) cos x  e 2 x * * * *     Thay vào 2z = y’-3y-1 ( ) ( ) =  2c2 − c1* sinx + 2c1* + c2 cos x  e 2 x − 3  c1* cos x + c2 sinx  e 2 x − 3 − 1 * * *     = ( − c − c ) sinx + ( c − c1* ) cos x  e 2 x − 4 * * *   1 2 2  c2 − c1*  c1* + c2 * * → z= cos x − sinx ÷e2 x − 2 2 2  y = 0 → 0 = c1* + 1 → c1* = − 1 c2 + 1 * 3 z=0→ 0= − 2 → c2 = * 2 2   3 → y =  − cos x + sinx ÷ e2 x + 1   2 5  1 z =  cos x − sinx ÷e 2 x − 2 4  4 Đáp án-Thang điểm
  7.  1 13  Câu 1(2đ): * 3x 2 + 5 x − 2 = 0 →  , (1) ÷  3 12   9 →  −2, ÷  4  1 13  * Tại M 1  , ÷ không cực trị (28) (0.25)  3 12   9 * Tại M 2  −2, ÷cực trị (-28,-8) (0.25)  4 2. Tại điểm N(-2,1) hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 450 (0.25) 5 3. Hướng thay đổi nhanh nhất là i+5j (0.25) 2 Câu 2(5đ): Vẽ hình: (1/2) 22 82 2 1. Trực tiếp AB→ (1/2) + + −2 3 5 5 22 BC → − (1/2) +4 3 15 CA→ − + 2 (1/2) 32 8 2 67 ∫ Ñ = 5 + 30 (1/2) L ∫∫ ( y + 2 x ) dxdy 2. Công thức Green: (1/2) D Tích phân trên bằng tổng 2 tích phân: y= x+2 0 7 ∫ dx ∫ ( 2 x + y ) dy = 30 (1.0) −1 y = x2 y =2 2 82 ∫ dx ∫ ( 2 x + y ) dy = 5 + 2 (1.0) 2 y=x 0 8 2 67 ∫∫ ( y + 2 x ) dxdy = + Vậy 5 30 D Câu 3(3đ): * Khử → y '' − 4 y ' + 5 y = 5 (1/2) * Thuần nhất → λ 2 − 4λ + 5 = 0 → λ = 2 ± i → y1 = e 2 x cos x, y2 = e 2 x sin x (1/2)
  8. { ' ' c1 cos x + c2 sinx = 0 * Không thuần nhất: → − c1sinx + c2 cos x = 5 e−2 x ' ' → c1' = − 5e −2 x s inx → c1 = −5∫ e −2 x sin xdx + c1* (0.25) → c2 = 5e −2 x cosx → c2 = 5∫ e −2 x cosxdx + c2 ' * (0.25) → c1 = e −2 x cos x + 2e −2 x sin x + c1  *   (1/2) c2 = e −2 x sin x − 2e −2 x cosx + c2  *   y = ( c1 cos x + c2 s inx ) e 2 x + 1 * * (0.25)  c* − c*  c* + c* → z =  2 1 cos x − 1 2 s inx ÷e 2 x − 2 (0.25) 2 2  * Thay điều kiện:  y =( −5cos x +sinx ) e2 x +5 e2 x → (1/2) 5 1 z =−( 3cos x + 2sinx ) e 2 x + e 2 x +  2 2
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2