intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Đề thi học phần toán cao cấp 3 - 5

Chia sẻ: Nguyen Ngoc Son Son | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

283
lượt xem
45
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về Đề thi học phần toán cao cấp 3 dành cho các bạn ôn thi môn toán

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học phần toán cao cấp 3 - 5

  1. TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 10 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1(2 điểm): Cho hàm số: z = x 3 − 2 x 2 + y 2 − 4 xy − 3 x − 6 y 1. Tìm các điểm cực trị của hàm z. 2. Tại điểm N (-1, 2), hàm z sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra kh ỏi đi ểm N theo hướng lập với trục Ox góc 300. 3. Tại điểm N đó, hãy tìm hướng để hàm z tăng nhanh nhất. Biểu diễn trên hình vẽ. Câu 2(3 điểm): Cho hệ toạ độ Oxy với i và j là vector đơn vị theo trục Ox và trục Oy.   12 Xét trường vector V =  x + y − 2 xy ÷i + ( − x + y + xy ) j . 2 2   2 1. Chứng minh rằng trường vector V là trường có thế. Hãy tìm hàm th ế c ủa tr ường vector V thoả mãn điều kiện hàm thế đó có giá trị bằng 1 tại gốc toạ độ. 2. Tính tích phân (tính trực tiếp):   12  x + y − 2 xy ÷dx + ( − x + y + xy ) dy 2 2   2 L(BA) với L là đường parabole y=x2 nối 2 điểm A (-1, 1) và B (2, 4). 3. Kiểm chứng kết quả ở phần 2) bằng cách sử dụng hàm thế tìm được ở phần 1). Câu 3(2 điểm): Cho một vật thể phẳng, trong hệ toạ độ Oxy với trục Oy hướng th ẳng đ ứng lên trên, được giới hạn bởi các đường có phương trình lần lượt là : y = 0, y = b, y = x và y = x-2. Mật độ của vật thể đó được xác định là p(x, y) = 2 – x - y. Hãy xác định độ cao tối đa (thông qua tham số b) c ủa vật th ể đ ể vật th ể đó không b ị đổ dưới tác động duy nhất là của lực trọng trường. Câu 4 (3 điểm): Giải hệ phương trình vi phân:  y ' =4 y +3 z −x  z ' =−10 y −2 z +x  3 với điều kiện: khi x = 0 thì y = 0 và z = 0. Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn Giảng viên ra đề 2:
  2. Câu 1: 1. Tìm điểm cực trị: z = x 3 − 2 x 2 + y 2 − 4 xy − 3 x − 6 y { z x = 3 x 2 − 4 x − 4 y − 3= 0 ' →y=2x+3 z 'y = 2 y − 4 x − 6 = 0 Thay vào ta có: 3 x 2 − 4 x − 4 ( 2 x + 3) − 3 = 0 → 3 x 2 − 12 x − 15 = 0 → x 2 − 4 x − 5 = 0 x1 = −1 → y1 = 1 x2 = 5 → y2 = 13 M 1 (−1,1), M 2 (5,13) M 2 ( 5,13) M 1 (−1,1) z xx = 6 x − 4 = r '' -10 26 z xy = −4 = s '' -2 -4 z 'yy = = ' 2 t 2 2 s2 - rt 16+20=36 16-52=-36
  3. ∂P y2 P ( x, y ) = x + − 2 xy → = y − 2x ∂y 2 ∂Q Q( x, y ) = − x 2 + y 2 + xy → = −2 x + y ∂x ∂P ∂Q ur Vậy ∂y = ∂x →Vậy trường V có thế. x 7 Hàm thế φ ( x, y ) được tìm theo công thức φ ( x, y ) = ∫ P( x, y 0) + ∫ Q( x, y )dy + C x0 y0 Ta chọn x0=0, y0=0 Ta có: y x φ ( x, y ) = ∫ xdx + ∫ ( − x 2 + y 2 + xy ) dy + C 0 0 2 y 3 xy 2  y = y 2 x = +  −x y + + ÷ y =0 + C x 0 2 3 2  x2 y 3 xy 2 φ ( x, y ) = − x 2 y + + +C 2 3 2 Tại O (0, 0), Ф có giá trị là 1 nên C=1. Vậy hàm Ф phải tìm là: x2 y 3 xy 2 φ ( x, y ) = − x2 y + + +1 2 3 2   y2 2. Tính trực tiếp: ∫  x + − 2 xy ÷dx + ( − x + y + xy ) dy 2 2 2 L ( BA )   A (-1, 1), B(2, 4), L: y=x2.   −1  y2 − 2 xy ÷+ ( − x 2 + y 2 + xy ) .2 x  dx = ∫  x + 2 2     ( x2 ) 2  −1 = ∫ x + − 2 x.x 2 − 2 x 3 + 2 x 5 + 2 x 4 dx   2   2 −1 x x5 x 6  2   5 = ∫  x − 4 x 3 + x 4 + 2 x 5 ÷dx =  − x 4 + + ÷ −1 2 2  2 2 2 3 11 64  1 = − 1 − + −  2 − 16 + 16 + ÷ 23 3 2 = −24 3. Tính qua hàm thế φ ( x, y )
  4.   y2 ∫ )  2 − 2 xy ÷dx + ( − x + y + xy ) dy x+ 2 2 L ( BA   = φ ( A) − φ ( B) = φ (−1,1) − φ (2, 4) 1 1 1  64  =  − 1 + − ÷−  2 − 16 + 16 + ÷ = −24 2 3 2  3 Câu 3: 1. Vẽ hình: Phương trình của các biến: AB: y=0 BC: y=x-2 CD: y=b DA: y=x 2. Khối lượng của vật thể: x= y+2 b ∫ ( 2 + x + y ) dx m = ∫∫ P ( x, y )dxdy = ∫ dy x= y D 0 ( ( y + 2) )   b b x2   1 = ∫ dy  2 x + + xy ÷ x = y + 2 = ∫ dy  2 ( y + 2 − y ) + − y2 + y ( y + 2 − y )  2 x= y   2 2   0 0 b   1 = ∫ dy  4 + 2 y + ( y 2 + 4 y + 4 − y 2 )    2 0 b = ∫ dy ( 4 y + 6 ) = ( 2 y 2 + 6 y ) = 2b 2 + 6b b 0 0 3. Moment của vật thể đối với trục Oy: x= y +2 b mx = ∫ xP ( x, y ) dxdy = ∫ dy ∫ x ( 2 + x + y ) dx x= y D 0 x= y+2  2 x 3 yx 2  x = y + 2 b b ( 2 x + x + xy ) dx = ∫ dy  x + 3 + 2 ÷ x= y = ∫ dy ∫ 2   x= y 0 0 b   1 1 = ∫ dy  ( y + 2 ) − y 2  + ( y + 2 ) − y 3  + y ( y + 2 ) − y 2   2 3 2   3 2   0 b   1 1 = ∫ dy   y 2 + 4 y + 4 − y 2  +  y 3 + 6 y 2 + 12 y + 8 − y 3  + y  y 2 + 4 y + 4 − y 2     3 2    0
  5. b   8 = ∫ dy  4 y + 4 + 2 y 2 + 4 y + + 2 y 2 + 2 y    3 0 b 20  4 y 3 4b3 2 20 20 = ∫ dy  4 y + 10 y + ÷ = + 5 y2 + = + 5b 2 + b b y 0  3 3 3 3 3 0 Vậy toạ độ x của trọng tâm M là : 4b3 4b 2 20 20 + 5b + b + 5b + 2 Mx = 3 3 =3 3 2b 2 + 6b 2b + 6 4. Để vật thể không bị đổ thì Mx < 2 4b 2 20 + 5b + < 4b + 12 3 3 Ta có: 4b 2 16 → + b − < 0 → 4b 2 + 3b − 16 < 0 3 3 Giải: −3 ± 265 ∆ = 9 + 256 = 265 → b1,2 = 8 265 − 3 Chiều cao tối đa là: b = 8 Câu 4: * Phương pháp khử:  10  y '' = 4 y ' +3 z ' −1 = 4 y ' +3 − y −2 z +2 x ÷ 1 − 3  = 4 y ' −10 y −6 z +6 x −1 = 4 y ' −10 y +( − y ' +8 y −2 x ) +6 x −1 2 = 2 y ' −2 y +4 x −1 Vậy y '' − 2 y ' + 2 y = 4 x − 1 * Giải phương trình thuần nhất: y '' −2 y ' +2 y =0 Phương trình đặc trưng: λ 2 − 2λ + 2 = 0 ∆ = 4 − 8 = −4 → ∆ = ±2i 2 + 2i λ1 = = 1+ i 2 2 − 2i λ2 = = 1− i 2 Vậy phương trình thuần nhất có hai nghiệm: y1 = e x s inx và y2 = e x cos x
  6. Nghiệm tổng quát là: y = c1e x s inx + c2e x cos x * Giải phương trình không thuần nhất: Phương pháp hằng số biến thiên. { c1e x sinx + c2e x cos x = 0 ' ' c1e x [ sinx + cos x] + c2e x [ cos x − sinx ] = 4 x −1 ' ' { ' ' c1 sinx + c2 cos x = 0 → c1 cos x − c2 sinx = e − x ( 4 x −1) ' ' → c1' = e − x ( 4 x − 1) cos x và c2 = −e − x ( 4 x − 1) s inx ' * Giải tìm c1 ( x) và c2 ( x) c1 = ∫ e − x ( 4 x − 1) cos xdx = ∫ 4e − x x cos xdx − ∫ e − x cos xdx Xét ∫ e cos x.xdx = ? −x 1 Đặt e− x cos xdx = dv → v = ∫ e − x cos xdx = e − x ( s inx − cos x ) 2 x=u→du=dx Vậy 1 −x 1 xe ( s inx − cos x ) − ∫ e − x ( s inx − cos x ) ∫e −x cos xdx = 2 2 1 1 1 = xe − x ( s inx − cos x ) − ∫ e − x sin xdx + ∫ e − x cos xdx 2 2 2 Vậy c1 = 2 xe − x ( s inx − cos x ) − 2 ∫ e − x sin xdx + 2 ∫ e − x cos xdx − ∫ e − x cos xdx = 2 xe − x ( s inx − cos x ) − 2 ∫ e − x sin xdx + ∫ e − x cos xdx 1 = 2 xe − x ( s inx − cos x ) − 2. e − x ( s inx − cos x ) 2 1 = 2 xe − x ( s inx − cos x ) − e − x ( s inx+ cos x ) + e − x ( s inx − cos x ) 2  1  1 = e − x s inx  2 x − 1 +  + e − x cos x  −2 x − 1 −   2  2  1  3 * = e − x s inx  2 x − ÷+ e − x cos x  −2 x − ÷+ c1  2  2 Tương tự c2 = − ∫ e − x ( 4 x − 1) sin xdx = −4∫ e − x s inx.xdx + ∫ e − x sin xdx Xét ∫ e . s inx.x.dx = ? −x 1 Đặt e− x sin xdx = dv → v = e − x ( sin x + cos x ) 2 x=u→du=dx
  7. Vậy 1 −x 1 xe ( s inx + cos x ) − ∫ e − x ( s inx + cos x ) dx ∫e −x .s inx.x.dx = 2 2 Vậy c2 = −2 xe − x ( s inx + cos x ) + 2 ∫ e − x ( s inx + cos x ) dx + ∫ e − x s inxdx = −2 xe − x ( s inx + cos x ) + 3∫ e − x sin xdx + 2 ∫ e − x cos xdx 3 = −2 xe − x ( s inx + cos x ) + e − x ( s inx + cos x ) + e − x ( s inx- cos x ) 2  3  3 = e − x s inx  −2 x + + 1 + e − x cos x  −2 x + − 1  2  2  5  1 = e − x s inx  −2 x +  + e− x cos x  −2 x +   2  2  5  1 * c2 = e − x s inx  −2 x +  + e − x cos x  −2 x +  + c2  2  2 Thang điểm 1. x 2 − 4 x − 5 = 0 → M 1 (−1,1) Không cực trị Bài 1: 36 (0.5) Cực tiểu M 2 (5,13) -36, 26 (0.5) 3 1 2. z x' = −4 , z y = 2 (tại N)→ −4. + 2. < 0 → giảm. ' (0.5) 2 2 3. Hướng tăng nhanh nhất (-4, 2). (0.5) ur ∂P ∂P = y − 2x = → V là trường có thế. Bài 2: 1. ∂y (0.5) ∂x Hàm thế Ф có giá trị là 1 tại O (0, 0) là hàm
  8. x2 y 3 xy 2 φ ( x, y ) = − x2 y + + +1 (0.5) 2 3 2 2. Tính trực tiếp:   −1  x4 = ∫  x + − 2 x.x 2 ÷+ ( − x 2 + x 4 + xy 2 ) 2 x  dx (1.0) 4 2    = −24 2 70 3. Tính qua hàm thế: φ ( A) = − φ ( B) = (1.0) 3 3 A (-1, 1) B (2, 4) →=-24 1. Vẽ hình Bài 3: (0.5) x= y+ 2 b ∫ ( 2 − x − y ) dx = 2b 2. Khối lượng m = ∫∫ P( x, y )dxdy = ∫ dy + 6b 2 (0.5) x= y D 0 3. Moment tục Ox x= y +2 b 4b3 20 x ( x + y + 2 ) dx = mx = ∫∫ xP ( x, y )dxdy = ∫ dy ∫ + 5b 2 + b (0.5) 3 3 x= y D 0 Toạ độ trọng tâm: 4b3 20 + 5b 2 + b Mx = 3 3 2b + 6b 2 Để vật thể không đổ: 0
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2