Đề thi học sinh giỏi 12 môn toán tỉnh thanh hoá

Chia sẻ: thaonguyen

Chứng minh rằng với mối điểm M(m;3) trên đường thẳng y=3 ta luôn tìm được hai điểm T1,T2 trên trục hoành, sao cho các đường thẳng MT1, MT2 là tiếp tuyến của (C). Khi đó hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MT1,MT2.

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi 12 môn toán tỉnh thanh hoá

Së Gi¸o dôc v ® o t¹o Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH
thanh ho¸ Năm h c: 2008-2009
Môn thi: To¸n
Đ CHÍNH TH C L P : 12 THPT
S báo danh Ngày thi: 28/03/2009
……………………. Th i gian: 180 phút (không k th i gian giao đ )

B i 1(5,0 ®iÓm)
Cho h m sè y = x 3 − 3 x 2 + 2 cã ®å thÞ (C)
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ (C) cña h m sè.
2. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:
x 3 − 3 x 2 + 2 = m 3 − 3m 2 + 2
3. Víi mçi ®iÓm M thuéc (C) kÎ ®−îc bao nhiªu tiÕp tuyÕn víi (C)?
B i 2(4,0 ®iÓm)
1
e2 x2
1. TÝnh tÝch ph©n: I = ∫ 2 dx
0 x + 4x + 4
2. Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau m trong ®ã chØ cã
mét ch÷ sè lÎ ?

B i 3 (5,0 ®iÓm)
π π
1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin(3x − ) = sin 2 x. sin( x + )
4 4
2. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau nghiÖm ®óng víi mäi x
m m m
( 2 − log 2 ) x 2 − 2(1 + log 2 ) x − 2(1 + log 2 ) < 0.
m +1 m +1 m +1
x+log2 y x − log y
3. Víi gi¸ trÞ n o cña x, y th× 3 sè u1 = 8 , u2 = 2 2 , u = 5y theo thø
3
tù ®ã, ®ång thêi lËp th nh mét cÊp sè céng v mét cÊp sè nh©n.
B i 4 (5,0 ®iÓm)
1.Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh:
2
x 2 + ( y − 1) = 1
Chøng minh r»ng víi mçi ®iÓm M(m; 3) trªn ®−êng th¼ng y = 3 ta lu«n t×m
®−îc hai ®iÓm T1 , T2 trªn trôc ho nh, sao cho c¸c ®−êng th¼ng MT1`, MT2 l tiÕp
tuyÕn cña (C). Khi ®ã h y viÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MT1T2.
2. Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC l tam gi¸c vu«ng c©n (AB = BC =1)
v c¸c c¹nh bªn SA = SB = SC = 3. Gäi K, L lÇn l−ît l trung ®iÓm cña AC v BC.
Trªn c¹nh SA, SB lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm M, N sao cho SM = BN = 1. TÝnh thÓ tÝch
cña tø diÖn LMNK.
B i 5 (1,0 ®iÓm)
Cho n l sè nguyªn lÎ v n >2. Chøng minh r»ng víi mäi a kh¸c 0 lu«n cã:
a2 a3 an a2 a3 a n −1 an
(1 + a + + + ... + )(1 − a + − + ... + − ) 3
VËy *  m < −1 ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm

* m =∈ {− 1; 0; 2; 3} ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm
* − 1 < m < 0; 0 < m < 3 ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm
0,5
3.(1®)
3 2
M thuéc ®å thÞ (C) suy ra M (a; a − 3a + 2) .®êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (C) t¹i
T(x0;y0) th× (d) cã ph¬ng tr×nh:
2 3 2
y = (3 x 0 − 6 x 0 )( x − x 0 ) + x 0 − 3 x 0 + 2 0,25
3 2 2 3 2
M ∈ (d ) ⇒ a − 3a + 2 = (3 x − 6 x0 )(a − x0 ) + x − 3x + 2
0 0 0

⇔ (a 3 − x0 ) − 3(a 2 − x0 ) − (3x0 − 6 x0 )(a − x0 )
3 2 2


[
⇔ (a − x0 ) 2 x0 − (a + 3) x0 + 3a − a 2 = 0
2
]
 x0 = a
a −3
⇔ (a − x0 )( x0 − )=0⇔
2  x0 = 3 − a 0,25
 2
3−a
TH1 a= ⇔ a = 1 ⇒ M ≡ I (1 ; 0) cã 1 tiÕp tuyÕn duy nhÊt 0,25
2
3−a 0,25
TH2 a ≠ ⇔ a ≠ 1 ⇒ M ≠ I (1 ; 0) cã 2 tiÕp tuyÕn
2
B i2 1
x2
4® 1.(2®) I= e2 ∫ 2
dx 0,25
0 x + 4x + 4
1 u = x 2 du = 2 xdx
x2  
TÝnh J= ∫ 2 dx §Æt  dx ⇒  1 0,5
0
x + 4x + 4 dv = ( x + 2) 2 v = − x + 2
 
1 1 1 1
x2 x 1 dx
⇒J =− + 2∫ dx = − + 2 ∫ dx − 4∫ 0,5
x+2 0 0
x+2 3 0 0
x+2
1 1 1 1 5 3
− + 2 x 0 − 4 ln x + 2 0 = − + 2 − 4(ln 3 − ln 2) = − 4 ln 0,5
3 3 3 2
5 3 0,25
⇒ I = e 2 − 4e 2 ln
3 2
2.(2®)
− − −− − − −− − − −− − − −
Ta kÝ hiÖu sè A l a1a2 a3a4 a5 a6
• Cã 5 kh¶ n¨ng chän mét ch÷ sè lÎ
• Mçi c¸ch chän 1 ch÷ sè lÎ v 5 ch÷ sè ch½n cã P6=6! C¸ch s¾p xÕp 6 ch÷ sè 0,5
® cho v o 6 vÞ trÝ tõ a1®Õn a6
Nh vËy cã 5.P6 =5.6! c¸ch s¾p xÕp 10 ch÷ sè tõ 0 ®Õn 9 v o 6 vÞ trÝ tõ a1 ®Õn a6
m mçi c¸ch chØ cã mét ch÷ sè lÎ.
*Trong tÊt c¶ c¸c c¸ch s¾p xÕp ®ã th× nh÷ng c¸ch xÕp cã ch÷ sè 0 ®øng ë vÞ trÝ
a1 kh«ng ph¶i l mét sè cã 6 ch÷ sè 0,5
1
* Do tÝnh b×nh ®¼ng cña c¸c ch÷ sè ® chän cã sè c¸ch s¾p xÕp kh«ng ph¶i
6
5.6! 0,5
l sè cã 6 ch÷ sè v b»ng = 5.5!
6
VËy sè c¸c sè cã 6 ch÷ sè m trong nã chØ cã mét sè lÎ l
5.6! - 5.5! = 5!(30 - 5) = 25.5! = 3000 sè 0,5
B i3 π
5® 1.(2®) §Æt t = x + khi ®ã ph¬ng tr×nh ® cho trë th nh
4
π 0,5
sin(3t − π ) = sin( 2t + ) sin t ⇔ − sin 3t = cos 2t sin t (*)
2
§Æt z = sin t §K z ≤ 1 ph¬ng tr×nh (*) trë th nh
z = 0
3x − 4 z 3 + (1 − 2 z 2 ) z = 0 ⇔ 6 z 3 − 4 z = 0 ⇔  2 2 0,5
z =
 3
π 0,25
* z = 0 ⇒ sin t = 0 ⇔ t = kπ ⇒ x = − + kπ ; k ∈ Z
4
2 2 1 − cos 2t 2 1
* z2 = ⇒ sin 2 t = ⇔ = ⇔ cos 2t = − = cosα
3 3 2 3 3
 α  π α
2t = α + l 2π t = 2 + lπ  x = − 4 + 2 + lπ
⇔ ⇔ ⇒ ,l ∈ Z
2t = −α + l 2π t = − α + lπ  x = − π − α + lπ
  0,5
 2  4 2
π π α 0,25
VËy PT cã nghiÖm l x = − + kπ , x = − ± + lπ . k , l ∈ Z
4 4 2
m
2.(2®) §Æt a = 1 + log 2 , bÊt ph¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
m +1
(3 − a) x 2 − 2ax − 2a < 0 (1) 0,5
VÕ tr¸i cña (1) l mét tam thøc b©c hai Èn x cã hÖ sè cña x l 3 − a . 2




TH1: 3 - a = 0 ⇔ a = 3
0,5
Khi ®ã (1) l 6 x− 6 < 0 ⇔ x < 1 suy ra (1) kh«ng nghiÖm ®óng mäi x

a > 3
3 − a < 0 a > 3 
TH2  , ⇔ 2 ⇔  a < 3 ⇔ a > 6
∆ < 0 a + 2a(3 − a) < 0  a > 6 0,5


m m
Víi a > 6 ta cã 1 + log 2 >6⇔ > 32
m +1 m +1

31m + 32 31
⇔ 0 víi mäi a v n lÎ n > 2 0,25
2! 4! (n − 1)!

§Æt vÕ tr¸i cña bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh l f(a)
, , , an an an
Ta cã f (a ) = uv + vu = u (−v − ) + v(u − ) = − (u + v)
n! n! n!
 ,
 f (a ) > 0 khi a < 0
Do u + v > 0 , a ≠ 0 ⇒  , 0,25
 f (a ) < 0 khi a > 0

Ta cã b¶ng biÕn thiªn

a −∞ 0 +∞
,
f (a) + -
f (a ) 1


do a kh¸c 0 nªn f(a)
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản