Đề thi học sinh giỏi các tinh 08-09

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

0
108
lượt xem
50
download

Đề thi học sinh giỏi các tinh 08-09

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuy n t p đ thi h c sinh gi i các t nh thành 2008-2009 phuchung - 11 Toán- THPT Qu c H c Hu Ngày 30 tháng 5 năm 2009 M cl c 1 H i Phòng 1.1 Ch n sinh gi i không chuyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ngh An 2.1 Ch n...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi các tinh 08-09

  1. Tuy n t p đ thi h c sinh gi i các t nh thành 2008-2009 phuchung - 11 Toán- THPT Qu c H c Hu Ngày 30 tháng 5 năm 2009 M cl c 1 H i Phòng 4 1.1 Ch n sinh gi i không chuyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Ngh An 5 2.1 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Ch n đ i tuy n Đ i h c Vinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Ch n h c sinh gi i không chuyên . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Th a Thiên Hu 9 3.1 Ch n h c sinh gi i không chuyên . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4 Hà Tĩnh 12 4.1 Ch n h c sinh gi i không chuyên . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 C n Thơ 14 5.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1
  2. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 M CL C 6 Bà R a Vũng Tàu 17 6.1 Ch n đ i tuy n trư ng chuyên Lê Quý Đôn . . . . . . . . . . 17 7 Thanh Hóa 18 7.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7.3 Lam Sơn 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 8 H i Dương 20 8.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9 Đ ng Tháp 22 9.1 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10 Tp. H Chí Minh 23 10.1 Tp. H Chí Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 10.2 PTNK ĐHQG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 10.2.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 10.2.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 11 Hà N i 26 11.1 Tp. Hà N i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 11.2 Đ i h c sư ph m Hà N i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 11.2.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 11.2.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 11.3 Đ i h c KHTN Hà N i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 11.3.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 11.3.2 Vòng 2 - Ngày 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 11.3.3 Vòng 2 - Ngày 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 12 Qu ng Bình 30 12.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 12.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 13 Kon Tum 32 13.1 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 - - -phuchung- - - 2
  3. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 M CL C 14 Vĩnh Phúc 33 14.1 H c sinh gi i l p 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 15 Bình Đ nh 34 15.1 H c sinh gi i l p 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 15.2 H c sinh gi i l p 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 16 Thái Bình 35 16.1 Đ thi h c sinh gi i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 17 Khánh Hòa 37 17.1 H c sinh gi i b ng B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 18 Nam Đ nh 38 18.1 Ngày 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 18.2 Ngày 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 19 Bình Phư c 39 19.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 19.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 20 B c Ninh 41 20.1 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 21 B c Giang 43 21.1 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 - - -phuchung- - - 3
  4. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 1 H I PHÒNG 1 H i Phòng 1.1 Ch n sinh gi i không chuyên Bài 1: (3 đi m) 2x + 1 Cho hàm s y = x−2 1. Ch ng minh r ng m i ti p tuy n c a đ th l p v i 2 đư ng ti m c n m t tam giác có di n tích không đ i. 2. Tìm các đi m thu c đ th hàm s tho mãn ti p tuy n t i đi m đó l p v i 2 đư ng ti m c n 1 tam giác có chu vi nh nh t. Bài 2: (1 đi m) Cho phương trình: (65 sin x − 56) (80 − 64 sin x − 65cos2 x) = 0 (1) Ch ng minh r ng t n t i 1 tam giác có các góc tho mãn phương trình (1). Bài 3: (3 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là n a l c giác đ u c nh a, đư ng cao SA = h. 1. Tính th tích kh i chóp S.ABCD. 2. M t ph ng đi qua A và vuông góc v i SD c t SB, SC, SD theo th t t i các đi m A’, B’, C’. Ch ng minh r ng t giác AB’C’D’ n i ti p trong 1 đư ng tròn. 3. Ch ng minh r ng AB’>C’D’. Bài 4: (2 đi m) Cho phương trình ax3 + 21x2 + 13x + 2008 = 0 (1). Bi t r ng phương trình (1) có 3 nghi m th c phân bi t, h i phương trình sau có t i đa bao nhiêu nghi m th c: 2 4 (ax3 + 21x2 + 13x + 2008) (3ax + 21) = (3ax2 + 42x + 13) Bài 5: (1 đi m) Cho h phương trình sau: cos x = x2 y tan y = 1 Ch ng minh r ng h đã cho có duy nh t 1 nghi m (x; y) tho mãn 0 < x < y
  5. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 2 NGH AN 1.2 Ch n đ i tuy n qu c gia Bài 1: Tìm nghi m nguyên dương c a phương trình: x2 + y 2 + z 2 + t2 = 10.22008 Bài 2: Cho 3 s th c dương x, y, z tho mãn x + y + z + 1 = 4xyz. Ch ng minh r ng: xy + yz + xy ≥ x + y + z Bài 3: Cho hàm s f (x) : N ∗ → N tho mãn: f (1) = 2; f (2) = 0; f (3k) = 3f (k) + 1; f (3k + 1) = 3f (k) + 2; f (3k + 2) = 3f (k) H i có th t n t i n đ f (n) = 2008 đư c không? Bài 4: Cho tam giác ABC v i O, I theo th u t là tâm c a đư ng tròn ngo i, n i ti p tam giác. Ch ng minh r ng AIO ≤ 900 khi và ch khi AB + AC ≥ 2.BC Bài 5.   u1 = 1 Cho dãy (un ) tho mãn: u2 n  un+1 = un + 2008 n ui Hãy tính lim i=1 ui+1 2 Ngh An 2.1 Ch n đ i tuy n qu c gia 2.1.1 Vòng 1 Bài 1 (2đ): Gi i h phương trình:   |y|√ |x − 3| = (2 z − 2 + y)y = 1 + 4y  2 x + z − 4x = 0 - - -phuchung- - - 5
  6. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 2 NGH AN Bài 2 (3đ) Cho s nguyên a.Ch ng minh r ng: phương trình x4 − 7x3 + (a + 2)x2 − 11x + a = 0 không th có nhi u hơn 1 nghi m nguyên. Bài 3 (3đ) √ √ Cho dãy s th c xn đư c xác đ nh b i: x0 = 1, xn+1 = 2+ xn −2 1 + xn ∀n ∈ N n Ta xác đ nh dãy yn b i công th c yn = xi .2i , ∀n ∈ N ∗ .Tìm công th c t ng i=1 quát c a dãy yn Bài 4 (3đ) Cho các s nguyên a,b,c khác 0 tho mãn:   a b c  + + ∈Z b c a  a+ b +c ∈Z  c a b 4 4 3a 2b c4 Ch ng minh r ng: 2 + 2 + 2 − 4|a| − 3|b| − 2|c| ≥ 0 b c a Bài 5 (3đ) Trong mp to đ Oxy cho 9 đi m có to đ là các s nguyên,trong đó không có 3 đi m nào th ng hàng. Ch ng minh r ng t n t i ít nh t 1 tam giác có 3 đ nh là 3 trong 9 đi m trên có di n tích là 1 s ch n. Bài 6 (3đ) Cho 2 đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc trong t i đi m K,((O ) n m trong (O)).Đi mA n m trên (O)sao cho 3 đi m A, O, O không th ng hàng.Các ti p tuy n AD và AE c a (O ) c t (O) l n lư t t i Bvà C (D, E là các ti p đi m).Đư ng th ng AO c t (O) t i F .Ch ng minh r ng các đư ng th ng BC, DE, F K đ ng quy Bài 7 (3đ) Cho n ≥ 2, n ∈ N .Kí hi u A = {1, 2, ..., n}.T p con B c a t p A đư c g i là 1 t p "t t" n u B khác r ng và trung bình c ng c a các ph n t c a B là 1 s nguyên.G i Tn là s các t p t t c a t p A.Ch ng minh r ng Tn −n là 1 s ch n - - -phuchung- - - 6
  7. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 2 NGH AN 2.1.2 Vòng 2 Bài 1 (2đ) √ Gi i phương trình: 16x3 − 24x2 + 12x − 3 = 3 x Bài 2 (3đ) Tìm t t c các s nguyên a, b, c tho mãn đi u ki n 1 < a < b < c và abc chia h t cho (a − 1)(b − 1)(c − 1) Bài 3 (3đ) √ Cho a, b, c, x, y, zlà các s th c thay đ i tho mãn (x + y)c − (a + b)z = 6. Tìm GTNN c a bi u th c: F = a2 + b2 + c2 + x2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz Bài 4 (3đ) Tìm t t c các hàm f : R → R sao cho: f (x + cos(2009y)) = f (x) + 2009cos(f (y)), ∀x, y ∈ R Bài 5 (3đ) Cho tam giác ABC thay đ i.G iH là tr c tâm,O là tâm đư ng tròn ngo i ti p và R là bán kính đư ng tròn ngo i ti p c a tam giác ABC.Xác đ nh OH GTNN c a s k sao cho
  8. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 2 NGH AN 2.2 Ch n đ i tuy n Đ i h c Vinh Bài 1: Ch ng minh r ng v i m i x thì: 1 1 1 1 + cosx + cos2x + cos3x + cos4x > 0 2 3 4 Bài 2: Tìm các giá tr không âm c a m đ phương trình sau có nghi m: √ √ √ x−m+2 x−1= x Bài 3: Đ t A = {n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7}. Tìm m i s nguyên dương n sao cho t n t i hai t p B, C r i nhau th a m n đ ng th i: 1.A = B ∪ C 2. x = y(x ∈ B, y ∈ C) Bài 4: Trong m t ph ng cho đư ng tròn (O) và đư ng th ng d không có đi m chung v i (O). G i H là hình chi u c a O lên d, g i M là m t đi m trên d ( M không trùng v i H). T M k các tuy p tuy n MA, MB v i (O). G i C, D là hình chi u c a H lên MA, MB. Các đư ng th ng CD, AB c t OH t i I và K. Cm I là trung đi m c a HK. 2.3 Ch n h c sinh gi i không chuyên Bài 1: (3 đi m) π Tìm m đ phương trình sau có 4 nghi m phân bi t thu c đo n [0; ] 4 4 4 2 sin x + cos x + cos 4x = m Bài 2: (3 đi m) Cho h : ( a là tham s ) √ √ √x + y = 4 √ x+7+ y+7≤a Tìm a đ h có nghi m (x; y) th a mãn đi u ki n : x ≥ 9 Bài 3:(3 đi m) Cho hàm s : - - -phuchung- - - 8
  9. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 3 TH A THIÊN HU √ 3 1 + xsin2 x − 1, khix = 0 0, khix = 0 Tính đ o hàm c a hàm s t i x = 0 và ch ng minh r ng hàm s đ t c c ti u t ix=0 Bài 4: (3 đi m) Cho 3 s dương a, b, c thay đ i . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : √ √ √ bc ca ab P = √ + √ + √ a + 3 bc b + 3 ca c + 3 ab Bài 5:(3 đi m) Cho n là s t nhiên , n ≥ 2. Ch ng minh đ ng th c sau : n2 Cn + (n − 1)2 Cn + (n − 2)2 Cn + ... + 22 Cn − 2 + 12 Cn − 1 = n(n + 1)2n−2 0 1 2 n n Bài 6: (2 đi m) Cho kh i chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . G i M, N, P l n lư t là trung đi m c a các c nh AB, AD, SC . Ch ng minh r ng m t ph ng (MNP) chia kh i chóp S.ABCD thành hai ph n có th tích b ng nhau. Bài 7:(2 đi m) Cho t di n ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC và m t ph ng (CAB) 1 vuông góc v i m t ph ng (DAB). Ch ng minh r ng : cotBCD.cotBDC = 2 3 Th a Thiên Hu 3.1 Ch n h c sinh gi i không chuyên Bài 1: (3 đi m) 1 1 Cho phương trình cos x − sin x + − + m = 0 (1) sin x cos x 2 π 3π a) V i m = , tìm các nghi m c a phương trình (1) trên kho ng − ; . 3 4 4 b) V i giá tr nào c a m thì phương trình (1) có 2 nghi m trên kho ng π 3π − ; . 4 4 - - -phuchung- - - 9
  10. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 3 TH A THIÊN HU Bài 2: (3 đi m) Cho đi m A c đ nh trên đư ng tròn và đi m C di đ ng trên đư ng tròn đó. D ng hình thoi ABCD (hư ng quay c a tia AB đ n AC và AD theo chi u √ dương lư ng giác) sao cho góc ABC = 2arc cot 2. a) Xác đ nh phép đ ng d ng bi n đi m C thành đi m B. b) Tìm qu tích c a các đi m B và D. Xác đ nh các qu tích đó. Bài 3: (3 đi m) a) Gi i h phương trình  log8 xy = 3log8 x.log8 y x 3  log2 = logy x y 4 e) Gi i b t phương trình: 1 3 log2 x.log 3 x + 3 > log2 x + log 3 x 2 4 2 4 Bài 4: (2 đi m) 3 7 11 4n − 1 Cho dãy s un = + 2 + 3 +···+ v i m i s nguyên dương n. 2 2 2 2n a) Ch ng t r ng các t s c a các s h ng liên ti p c a un l p thành m t c p s c ng. b) Hãy bi n đ i m i s h ng c a thành m t hi u liên quan đ n 2 s h ng k ti p c a nó, t đó rút g n un và tính lim un Bài 5: (3 đi m) a) Tính t ng các s ch n có 4 ch s đư c vi t t các ch s 1, 2, 3, 4. b) Tìm h s c a s h ng không ch a trong khai tri n nh th c Niu-tơn c a √ n 1 √ + x 3 x2 bi t r ng t ng các h s c a các s h ng trong khai tri n 3 x này là a0 + a1 + a2 + ... + an = 4096 Bài 6: (3 đi m) Cho c c nư c ph n trên là hình nón đ nh S, đáy có tâm O bán kính R, chi u cao SO = h. Trong c c nư c đã ch a m t lư ng nư c có chi u cao a so v i đính S. Ngư i ta b vào c c nư c m t viên bi hình c u thì nư c dâng lên v a ph kín qu c u. Hãy tính bán kính c a viên bi theo R và h. - - -phuchung- - - 10
  11. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 3 TH A THIÊN HU Bài 7: (3 đi m) Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC c nh đáy a, góc gi a m i m t bên và m t đáy b ng ϕ. a) Tính bán kính m t c u ti p xúc v i m t đáy và các c nh bên c a hình chóp. b) M t ph ng (P) t o b i đư ng th ng AB và đư ng phân giác c a góc gi a m t bên SAB và m t đáy (góc này có đ nh trên AB) c t hình chóp theo m t thi t di n và chia hình chóp đ u thành hai ph n. Tính t s th tích c a hai ph n đó. 3.2 Ch n đ i tuy n qu c gia Bài 1: (4 đi m) Tìm các c p s th c (x; y) sao cho: 2x + 4y = 32 xy = 8 Bài 2: (6 đi m) Cho kh i lăng tr đ ng (L) có c nh bên b ng 7a. Đáy c a (L) là l c giác l i ABCDEF có t t c các góc đ u b ng nhau và AB = a, CD = 2a, EF = 3a, DE = 4a, F A = 5a, BC = 6a. a) Tính theo a th tích c a kh i lăng tr (L) b) Ch ng t r ng có th chia kh i lăng tr (L) thành 4 kh i đa di n trong đó có m t kh i lăng tr đ u đáy tam giác và ba kh i h p. Bài 3: (6 đi m) √ G i (C) là đ th hàm s y = x3 − 2 2x đư c d ng trên m t ph ng t a đ Oxy. a) Ch ng t r ng n u m t hình bình hành có t t c các đ nh đ u n m trên (C) thì tâm c a hình bình hành đó là g c t a đ O. b) H i có bao nhiêu hình vuông có t t c các đ nh n m trên (C) Bài 4: (4 đi m) a) Cho t p h p S có n ph n t . Ch ng minh r ng có đúng 3n c p có th t (X1 ; X2 ) v i X1 và X2 là các t p con c a S th a mãn đi u ki n X1 ∪ X2 = S b) H i có bao nhiêu cách thành l p t p h p {A; B}, trong đó A và B là hai t p h p khác nhau sao cho A ∪ B = {1, 2, 3, .., 2008} - - -phuchung- - - 11
  12. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 4 HÀ TĨNH 4 Hà Tĩnh 4.1 Ch n h c sinh gi i không chuyên Bài 1 : a/Tìm các giá tr c a m đ hàm s y = x3 − 3(m − 1)x2 + 3(2m + 1)x + 1 √ đ t c c đ i, c c ti u t i (x1 ; x2 ) sao cho |x1 − x2 | ≤ 2 5 √ b/Tìm m đ phương trình có nghi m :(m − 1)x = (m − 2)( x − 1) Bài 2 : Gi i h phương trình:  4  x − 16 y4 − 1 = 8x y  2 x − 2xy + y 2 = 8 Bài 3 : Nh n d ng tam giác: √ 4 √ √ A B C sinA + 4 sinB + 4 sinC = 4 cos + 4 cos + 4 cos 2 2 2 Bài 4: Hình chóp t giác đêu S.ABCD có góc gi a m t bên và đáy là α.V đư ng cao SH c a hình chóp,G i E là điêm thu c SH và có kho ng cách t i 2 m t(ABCD) và (SCD) b ng nhau.mp(P) đi qua E,C,D c t SA,SB l n lư t t i M,N. a/Thi t di n là hình gì? b/G i th tích các kh i đa di n S.NMCD và ABCDNM l n lư t là V1 , V2 .Tìm α đ 3V2 = 5V1 Bài 5 : Cho x, y, z ≥ 0 th a x + y + z = 1.TÌM GTNN c a: 1−x 1−y 1−z P = + + 1+x 1+y 1+z 4.2 Ch n đ i tuy n qu c gia 4.2.1 Vòng 1 Bài 1 : Gi s đ th hàm s - - -phuchung- - - 12
  13. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 4 HÀ TĨNH f (x) = x3 − 6x2 + 9x + d c t tr c hoành t i 3 đi m có hoành đ x1 , x2 , x3 v i x1 < x2 < x3 . Ch ng minh: 0 < x1 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4. Bài 2 : Gi i phương trình: cos 2x 4 4 cot6 x + 3(1 − ) =7 sin2 x Bài 3: Cho t giác ABCD n i ti p đư ng tròn (O; R). Các tia đ i c a các tia BA, DA, CB, CD cùng ti p xúc v i đư ng tròn (I; r). Đ t d = OI. Ch ng minh r ng: 1 1 1 = + r2 (d + R)2 (d − R)2 Bài 4: Tìm t t c các hàm f : R → R, g : R → R tho mãn đ ng th i các đi u ki n sau: 1)∀x, y ∈ R thì 2f (x) − g(x) = f (y) − y 2) ∀x ∈ R thì f (x).g(x) ≥ x + 1 Bài 5 : Dãy s (xn ) v i n = 1, 2, 3, ... đư c xác đ nh b i: 1 x1 = 3, xn+1 = x2 − xn + 2∀n ∈ N ∗ 2 n n 1 Tìm gi i h n c a dãy Sn = i=1 xi 4.2.2 Vòng 2 Bài 1: 1) Gi i phương trình: x2 − 10[x] + 9 = 0 2) Gi i b t phương trình: √ √ √ x3 − x2 + x − 1 < 5 + −x + 8 - - -phuchung- - - 13
  14. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 5 C N THƠ Bài 2: −1 x2 − 1 Cho dãy (xn )∞ bi t x1 = n=1 , xn+1 = n v i m i n = 1, 2, 3, ... 2 2 Tìm gi i h n c a dãy (xn )∞ khi n → ∞ n=1 Bài 3: Cho hàm f : N → N tho mãn tính ch t f (f (n)) + f (n) = 2n + 3∀n ∈ N Tính f (2008) Bài 4: Cho tam giác ABC n i ti p (O) và ngo i ti p (I). Đư ng th ng d c t các c nh AB, AC l n lư t t i M, N 1) Ch ng minh r ng đư ng th ng d đi qua I khi và ch khi AB + BC + CA 1 1 = + AB.AC AM AN 2) K là m t đi m b t kỳ trên đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC, K thu c cung BC không ch a đi m A (K khác B, C). Các tia phân giác c a các góc ˆ ˆ BKA, CKA c t các c nh AB, AC l n lư t t i D, E. Ch ng minh r ng DE luôn luôn đi qua I khi K thay đ i. Bài 5: √ Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P = 13 sin x + 9 cos2 x − 4 cos x + 3 v i x ∈ [0; π] Bài 6: Cho p là m t s nguyên t . Ch ng minh đa th c sau b t kh quy trên Z[x]: xp−1 + 2xp−2 + 3xp−3 + ..... + (p − 1)x + p 5 C n Thơ 5.1 Vòng 1 Bài 1: ( 2.5 đi m ) Gi i phương trình sau trên R: - - -phuchung- - - 14
  15. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 5 C N THƠ x4 − 6x2 − 12x − 8 = 0 Bài 2: ( 2.5 đi m ) Gi i h phương trình sau trên R: y 2 − xy + 1 = 0 x2 + y 2 + 2x + 2y + 1 = 0 Bài 3: ( 3 đi m ) ˆ Trong m t ph ng cho tam giác ABC , có AB = a , AC = b , BAC = 135o , ˆ o đi m M n m trên c nh BC c a tam giác sao cho BAM = 45 . Tính đ dài AM theo a,b . Bài 4: ( 3 đi m ) Trong không gian cho hình chóp S.ABC , tr ng tâm tam giác ABC là G , trung đi m SG là I. M t ph ng (α) qua I c t các tia SA , SB , SC l n lư t t i M , N , P (không trùng v i S) . Xác đ nh v trí m t ph ng (α) đ th tích kh i chóp S.MNP là nh nh t . Bài 5: ( 3 đi m ) Trong không gian cho hình chóp S.ABC , T là đi m thay đ i trong m t ph ng ABC. Đư ng th ng qua T . song song v i đư ng th ng SA c t m t ph ng (SBC) t i A’ . Đư ng th ng qua T . song song v i đư ng th ng SB c t m t ph ng (SBC) t i B’ . Đư ng th ng qua T . song song v i đư ng th ng SC c t m t ph ng (SBC) t i C’ . M t ph ng (A’B’C’) c t đư ng th ng ST t i đi m I . SI Ch ng minh t s không thay đ i khi đi m T thay đ i trong m t đáy ST ABC trong m t đáy ABC c a hình chóp S.ABC. Bài 6: ( 3 đi m ) Cho đa th c v i h s th c P (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d, bi t r ng phương trình P (x) = 0 không có nghi m th c . Ch ng minh F (x) = P (x) + P (x) + P (x) + P (x) + P (4) (x) > 0 v i m i s th c x . - - -phuchung- - - 15
  16. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 5 C N THƠ Bài 7: ( 3 đi m ) Cho n√ th c a1 ,√2 , ..., an khác 0 √đôi m t phân bi t . Ch ng minh phương s a , trình 1 + a1 x + 1 + a2 x + ... + 1 + an x = n có không có quá hai nghi m th c phân bi t . 5.2 Vòng 2 Bài 1: ( 3 đi m ) Tìm t t c các nghi m th c c a phương trình : √ x2 + 5x − 10 = 60 − 24x − 5x2 Bài 2: ( 3 đi m ) Cho các s th c dương a , b , c . Ch ng minh b t đ ng th c : (a − b − c)2 (b − c − a)2 (c − a − b)2 1 + 2 + 2 ≥ 2a2 + (b + c)2 2b + (c + a)2 2c + (a + b)2 2 Bài 3: ( 3 đi m ) Trong m t ph ng cho tam giác đ u AEF và hình ch nh t ABCD . Các đ nh E , F c a tam giác đ u l n lư t n m trên các c nh BC , CD c a hình ch nh t ABCD . Ch ng minh r ng t ng di n tích c a hai tam giác ABE và ADF b ng di n tích tam giác CEF. Bài 4: ( 4 đi m ) √ Cho hàm s f (x) = (x3 − 3x2 + 2) x2 − 2x + 3 . Ch ng minh r ng v i m i s th c m , h phương trình sau luôn có nghi m th c : f (2008) (x) + f (2008) (y) = 0 x2 − my = 4 − m Bài 5: ( 3 đi m ) Cho dãy s th c (an ) đư c xác đ nh b i công th c truy h i:   a1 = 1  2  a a2 n  n+1 = 2 an − a2 + 1 n Ch ng minh a1 + a2 + ... + an ≤ 1 v i m i s nguyên dương n . Bài 6: ( 4 đi m ) Tìm t t c các c p s nguyên (x, y) th a mãn : - - -phuchung- - - 16
  17. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 6 BÀ R A VŨNG TÀU 2008x3 − 3xy 2 + 2008y 3 = 2009 6 Bà R a Vũng Tàu 6.1 Ch n đ i tuy n trư ng chuyên Lê Quý Đôn Bài 1: Gi i h phương trình: 8 2 18 x2 + y 2 + z 2 = yz + = 2zx − = 3xy + x y z Bài 2: 1 Cho dãy s xác đ nh b i x1 = 1; xn+1 = − 2008. Ch ng minh r ng 2(x2 n + 1) dãy s có gi i h n h u h n. Câu 3: Cho tam giác ABC nh n, n i ti p đư ng tròn (O). G i I là đi m gi a c a cung BC không ch a đi m A và K là trung đi m c a BC. Hai ti p tuy n c a (O) t i B, C c t nhau M; AM c t BC t i N. Ch ng minh r ng: 1) AI là phân giác góc M AK NB AB 2 2) = NC AC 2 Bài 4: Tìm t t c các hàm s liên t c trên R và th a mãn: f (x) − 2f (2x) + f (4x) = x2 + x v i m i x Bài 5: Cho a, b, c là các s không âm phân bi t. Ch ng minh r ng: √ 2 2 2 1 1 1 11 + 5 5 (a + b + c )( + + )≥ (a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 2 Bài 6: Trên bàn c vua kích thư c 8x8 đư c chia thành 64 ô vuông đơn v , ngư i ta b đi m t ô vuông đơn v nào đó v trí hàng th m và c t th n . G i - - -phuchung- - - 17
  18. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 7 THANH HÓA S(m;n) là s hình ch nh t đư c t o b i m t hay nhi u ô vuông đơn v c a bàn c sao cho không có ô nào trùng v i v trí c a ô b xóa b ban đ u. Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a S(m;n). 7 Thanh Hóa 7.1 Vòng 1 Bài 1: (5 đi m) a) Gi i b t phương trình: 2 −4 3x + (x2 − 4).3x−2 ≥ 1 b) Xác đ nh t t c các hàm s f (x) : R → R tho mãn: f (x) = max {2xy − f (y)} , ∀x ∈ R y∈R Bài 2: (4 đi m) Cho A là m t t p h p g m 8 ph n t . Tìm s l n nh t các t p con g m 3 ph n t c a A sao cho giao c a 2 t p b t kì trong các t p con này không ph i là m t t p h p g m 2 ph n t . Bài 3: (5 đi m) Cho hàm s : f (x) = xn + 29xn−1 + 2009 v i n ∈ N, n ≥ 2. Ch ng minh r ng f (x) không th phân tích thành tích c a 2 đa th c h s nguyên có b c l n hơn ho c b ng 1. Bài 4: (6 đi m) Cho tam giác ABC, D là m t đi m b t kì trên tia đ i c a tia CB. Đư ng tròn n i ti p các tam giác ABD và ACD c t nhau t i P và Q. Ch ng minh r ng đư ng th ng P Q luôn đi qua m t đi m c đ nh khi D thay đ i. 7.2 Vòng 2 Bài 1: Gi i phương trình: log3 2x + 1 + log5 4x + 1 + log7 6x + 1 = 3x - - -phuchung- - - 18
  19. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 7 THANH HÓA Bài 2: Ch ng minh v i m i s dương a1 , a2 , ...an tho n mãn a1 .a2 ...an = 1. Ta có b t đ ng th c: √ a2 + 1 + ... + a2 + 1 ≤ 2(a1 + ... + an ) 1 n Bài 3: Tìm t t c các c p s nguyên dương (x,y) sao cho: x29 − 1 = y 12 − 1 x−1 Bài 4: Đư ng tròn (w) ti p xúc v i hai c nh b ng nhau AB,ÂC c a tam giác cân ABC và c t c nh BC t i K,L . Đo n K,L c t (w) t i đi m th hai M . P,Q tương ng đ i x ng v i K qua B,C. Ch ng minh đư ng tròn ngo i ti p PMQ ti p xúc v i (w) 7.3 Lam Sơn 11 Bài 1: √ √ Gi i phương trình: x + 4 − x2 = 2 + x 4 − x2 Bài 2: Gi i h phương trình: 2y(x2 − y 2 ) = 3x x(x2 + y 2 ) = 10y Bài 3: Cho tam giác ABC , M là trung đi m BC và H là tr c tâm. Ch ng minh r ng: 1 M A2 + M H 2 = AH 2 + BC 2 2 Bài 4: √ √ Cho phương trình: sinx + 2 − sinx2 + sinx 2 − sinx2 = m 1) Gi i phương trình v i m = 3. 2) Tìm m đ phương trình có nghi m. Bài 5: - - -phuchung- - - 19
  20. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 8 H I DƯƠNG 5 1 Cho dãy s (un ) xác đ nh b i: u1 = un+1 = 1 + ; n = 1, 2, 3, ... 2 un So sánh : u2008 và u2009 Bài 6: Có t t c bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s mà t ng các ch s b ng 9. Bài 7: Ch ng minh r ng m i ư c nguyên dương l c a s 32009 + 1 đ u có d ng 3k + 1 8 H i Dương 8.1 Vòng 1 Bài 1: (2 đi m) 1 a)Tìm đi u ki n c a tham s m đ đ th hàm s y = ( x + m)3 − x + 2 c t 3 tr c hoành t i hai đi m phân bi t có hoành đ l n hơn 2. b)Cho hàm s y = 2cos2 x + 2sinxcosx + mx Tìm đi u ki n c a tham s m đ hàm s có c c tr . Bài 2: (2,5 đi m) a)Cho đa th c: 1 2 3 P (x) = C2009 + 2C2009 (2x) + 3C2009 (2x)2 + ... + 2009C2009 (2x)2008 . 2009 Tính t ng các h s b c l c a đa th c đã cho . b)Gi i h phương trình:  x  5 = 2y + 1 + 2log5 (4y + 1) 5y = 2z + 1 + 2log5 (4z + 1)  z 5 = 2x + 1 + 2log5 (4x + 1) Bài 3: (2 đi m) a)Cho t di n ABCD có AB = a, CD = b ; góc (AB, CD) = α,kho ng cách gi a AB và CD b ng d. Tính th tích c a kh i t di n ABCD theo a, b, d và α b)Trong các t di n OABC có OA, OB, OC đôi m t vuông góc và th tích - - -phuchung- - - 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản