Đề thi học sinh giỏi các tỉnh

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

1
400
lượt xem
170
download

Đề thi học sinh giỏi các tỉnh

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi học sinh giỏi các tỉnh nhằm giúp cho học sinh ôn tập, luyện tập và vận dụng các kiến thức vào việc giải các bài tập và đặc biệt khi giải những bài tập cần phải tính toán một cách nhanh nhất, thuận lợi nhất đồng thời đáp ứng cho kỳ thi tuyển sinh đại học và cao đẳng.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi các tỉnh

  1. Së gi¸o dôc - ®μo t¹o K× thi chän häc sinh giái líp 12 Th¸i b×nh N¨m häc 2000 - 2001 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi 1 : ( 4 ®iÓm ) T×m tÊt c¶ gi¸ trÞ cña tham sè a ®Ó ph−¬ng tr×nh : x 3 − 3x 2 − a = 0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt , trong ®ã cã ®óng hai nghiÖm lín h¬n 1 . Bµi 2 : ( 6 ®iÓm ) Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é cho c¸c ®−êng th¼ng cã ph−¬ng tr×nh : x sin t + y cos t + cos t + 2 = 0 , trong ®ã t lµ tham sè . 1, Chøng minh r»ng khi t thay ®æi , c¸c ®−êng th¼ng nµy lu«n tiÕp xóc víi om mét ®−êng trßn cè ®Þnh . 2, Gäi (x0 ; y0) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x sin t + y cos t + cos t + 2 = 0 .C ⎨ 2 ⎩ x + y + 2y − 3 = 0 2 h Chøng minh r»ng : x 0 + y0 ≤ 9 2 2 at M Bµi 3 : ( 3 ®iÓm ) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè : n 2 cos 2 x + cos x + 1 y= .V cos x + 1 w Bµi 4 : ( 4 ®iÓm ) W Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é cho hai ®−êng th¼ng d1 , d2 cã ph−¬ng tr×nh : (d1) : 4x +3y + 5 = 0 w (d2) : 3x – 4y – 5 = 0 H·y viÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn tiÕp xóc víi hai ®−êng th¼ng trªn vµ cã t©m n»m trªn ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh : x – 6y – 8 = 0 Bµi 5 : ( 3 ®iÓm ) Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau ®óng víi mäi x > 0. x2 e >1+ x + x 2
  2. Së gi¸o dôc - ®μo t¹o K× thi chän häc sinh giái líp 12 Th¸i b×nh N¨m häc 2001 - 2002 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi 1 : ( 6 ®iÓm ) −2x 2 + (m + 2)x + m Cho hµm sè: y = 2x − m 1 ,T×m c¸c ®iÓm cè ®Þnh cña ®å thÞ hµm sè khi m thay ®æi . 2 , T×m c¸c ®−êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè . 3 , Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè ®· cho cã cùc ®¹i , cùc tiÓu Bµi 2 : ( 4 ®iÓm ) 1 , T×m m ®Ó : 9x 2 + 20y 2 + 4z 2 − 12xy + 6xz + mzy ≥ 0 víi mäi sè thùc x , y , z. 2 , Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè a , b , c kh¸c 0 vµ m > 0 tho¶ m·n hÖ thøc : a b c + + =0 m + 2 m +1 m th× ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (0 ; 1) 2 Bµi 3 : ( 4 ®iÓm ) 1, Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hµm sè : y = cos 6 x + sin 6 x + a sin x cos x x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x . 2, T×m d¹ng cña tam gi¸c ABC tho¶ m·n : ⎧cot gA − cot gB = A − B ⎨ ⎩1000A + 1001B = 2π Bµi 4 : ( 4 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC , gäi d1 , d2 , d3 lµ kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm M n»m phÝa trong tam gi¸c ®Õn c¸c c¹nh cña tam gi¸c . 8S3 1 , Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : d1d 2 d 3 ≤ , trong ®ã S lµ diÖn tÝch tam 27abc gi¸c ABC ; a , b , c lµ ®é dµi c¸c c¹nh tam gi¸c . 2 , LËp bÊt ®¼ng thøc t−¬ng tù cho tø diÖn trong kh«ng gian. Bµi 5 : ( 2 ®iÓm ) Cho ®−êng trßn t©m O , ®−êng kÝnh AB = 2R . Qua ®iÓm M thuéc ®−êng trßn , kÎ ®−êng th¼ng MH vu«ng gãc víi AB ( H thuéc AB ) . §iÓm I thuéc ®−êng th¼ng MH tho¶ m·n : IM = 2IH . T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I khi M di chuyÓn trªn ®−êng trßn
  3. Së gi¸o dôc - ®μo t¹o K× thi chän häc sinh giái líp 12 Th¸i b×nh N¨m häc 2002 - 2003 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi 1 : ( 3 ®iÓm ) ⎧e x ⎪ víi x ≥ 0 Cho hµm sè y = ⎨ 2 ⎪ x + x + 1 víi x < 0 ⎩ TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè t¹i ®iÓm x = 0 Bµi 2 : ( 2 ®iÓm ) LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè sau : y = x n (2 − x) 2 víi n nguyªn d−¬ng . om Bµi 3 : ( 2 ®iÓm ) T×m a ®Ó hµm sè sau chØ cã cùc tiÓu mµ kh«ng cã c−c ®¹i : y = x 4 + 4ax 3 + 3(a + 1)x 2 + 1 .C Bµi 4 : ( 3 ®iÓm ) h Cho ph−¬ng tr×nh : x 3 + mx 2 − 1 = 0 (1) at 1, Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã mét nghiÖm d−¬ng . M 2, X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt . Bµi 5 : ( 6 ®iÓm ) n Trong mÆt ph¼ng Oxy cho hai ®iÓm A(a ; 0) , B(0 ; a) (víi a > 0)vµ ®−êng trßn .V (ξ) cã ph−¬ng tr×nh : x 2 + y 2 − 2ax − m 2y + a 2 = 0 ( m lµ tham sè ) w 1 , Chøng minh r»ng ®−êng trßn (ξ) tiÕp xóc víi Ox t¹i A . T×m giao ®iÓm thø W hai P cña ®−êng trßn (ξ) vµ ®−êng th¼ng AB. 2 , LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (ξ′) ®i qua P vµ tiÕp xóc Oy t¹i B. w 3 , Hai ®−êng trßn (ξ) vµ (ξ′) c¾t nhau t¹i P vµ Q . Chøng minh r»ng khi m thay ®æi ®−êng th¼ng PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . Bµi 6 : ( 2 ®iÓm ) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi 2 ®−êng th¼ng : x + y − 3 = 0 , 7x − y + 4 = 0 cã chøa ®iÓm M0(-1 ; 5) Bµi 7 : ( 2 ®iÓm ) Cho c¸c sè thùc x1 , x2 , … , x2002 , y1 , y2 , … , y2000 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau : 1) e ≤ x1 ≤ x 2 ≤ ... ≤ x 2002 < y1 ≤ y 2 ≤ ... ≤ y 2000 2) x1 + x 2 + ... + x 2002 ≥ y1 + y 2 + ... + y 2000 Chøng minh : x1 x 2 ...x 2002 > y1 y 2 ...y 2000
  4. Së gi¸o dôc - ®μo t¹o K× thi chän häc sinh giái líp 12 Th¸i b×nh N¨m häc 2003 - 2004 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi 1 : ( 5 ®iÓm ) x4 Cho hµm sè y = − 3x 2 + x − 1 2 1 , Chøng minh r»ng hµm sè cã 3 cùc trÞ . 2 , Cho tam gi¸c cã to¹ ®é ®Ønh lµ to¹ ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ trªn , t×m to¹ ®é träng t©m tam gi¸c. Bµi 2 : ( 4 ®iÓm ) 1 , T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho tõ ®ã cã thÓ kÎ ®−îc 2 tiÕp tuyÕn víi parabol y = 4x − x 2 vµ hai tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc nhau. 5 17 2 , TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c cã ®Ønh lµ ®iÓm M( ; ) vµ c¸c tiÕp ®iÓm cña c¸c 2 4 tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua ®iÓm M. Bµi 3 : ( 5 ®iÓm ) 1, Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x 3 − 3x = y3 − 3y ⎪ ⎨ 6 ⎪x + y = 1 6 ⎩ 2, Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh ; 3x + 2ax + 2 − 32 x + 4ax + a + 2 = x 2 + 2ax + a 2 2 Bµi 4 : ( 4 ®iÓm ) Cho hä ®−êng cong ( Cm) cã ph−¬ng tr×nh : x2 y2 + =1 m 2 m 2 − 16 trong ®ã m lµ tham sè , m ≠ 0 , m ≠ ±4 . 1 , Tuú theo gi¸ trÞ cña m , x¸c ®Þnh tªn gäi cña ®−êng cong ®ã . 2 , Gi¶ sö A lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®−êng th¼ng x = 1 vµ A kh«ng thuéc trôc hoµnh. Chøng minh r»ng víi mçi ®iÓm A lu«n cã 4 ®−êng cong hä ( Cm) ®i qua A . 3 , Khi m = 5 h·y tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng cong trªn. Bµi 5 : ( 2 ®iÓm ) Chøng minh r»ng trong tam gi¸c ABC lu«n cã : ⎛ 1 1 1 ⎞ cot gA + cot gB + cot gC + 3 3 ≤ 2 ⎜ + + ⎟ ⎝ sin A sin B sin C ⎠
  5. Së gi¸o dôc - ®μo t¹o K× thi chän häc sinh giái líp 12 Th¸i b×nh N¨m häc 2004 - 2005 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi 1 : ( 5 ®iÓm ) Cho ®−êng cong (Cm) cã ph−¬ng tr×nh : y = (m + 1)x 3 − 3(m + 1)x 2 − (6m − 1)x − 2m 1 , Chøng minh r»ng (Cm) lu«n ®i qua ba ®iÓm cè ®Þnh th¼ng hµng khi m thay ®æi . 2 , T×m tËp hîp c¸c ®iÓm trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é ®Ó (Cm) kh«ng ®i qua víi mäi m. om Bµi 2 : ( 3 ®iÓm ) X¸c ®Þnh d¹ng cña tam gi¸c ABC nÕu : a cos A + b cos B + c cos C a + b + c .C = a sin A + b sin B + c sin C 9R Bµi 3 : ( 4 ®iÓm ) h x 2 y2 at Cho parabol y = x 2 − 2x vµ elip + =1 9 1 M 1, Chøng minh r»ng parabol vµ elip lu«n cã bèn giao ®iÓm cã hoµnh ®é x1 , x2 , , x3 ,x4 tho¶ m·n −1 < x1 < 0 < x 2 < 1 < x 3 < 2 < x 4 < 3 n 2, ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua 4 giao ®iÓm trªn . .V Bµi 4 : ( 6 ®iÓm ) ⎧2z + 1 = x 3 + x 2 + x w ⎪ 1, Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨2y + 1 = z 3 + z 2 + z W ⎪ ⎩ 2x + 1 = y + y + y 3 2 w x x ⎛ 1+ a2 ⎞ ⎛ 1− a2 ⎞ 2 , Gi¶i ph−¬ng tr×nh : ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ = 1 víi 0 < a < 1 ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠ Bµi 5 : ( 2®iÓm ) Cho hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [ 0;1] tho¶ m·n ®iÒu kiÖn f(0) = f(1) . Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh : 1 f (x) = f (x + ) 2004 lu«n cã nghiÖm thuéc [ 0;1]
  6. Së gi¸o dôc - ®μo t¹o K× thi chän häc sinh giái líp 12 Th¸i b×nh N¨m häc 2005 - 2006 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi 1 : ( 5 ®iÓm ) x 3 − 3x 2 + 3x + a Cho hµm sè : y = x 1 , T×m a ®Ó ®å thÞ hµm sè trªn cã ba ®iÓm cùc trÞ . 2 , Chøng minh r»ng c¸c ®iÓm cùc trÞ nµy lu«n n»m trªn mét parabol cè ®Þnh khi a thay ®æi Bµi 2 : ( 4 ®iÓm ) Cho hai ph−¬ng tr×nh : x 2 + x + 2m − 1 = 0 (1) x 2 + 2x + 2m + 1 = 0 (2) 1 , T×m m ®Ó hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung . 2 , T×m m ®Ó mét trong hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh nµy n»m trong kho¶ng hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh kia vµ ng−îc l¹i . Bµi 3 : ( 5 ®iÓm ) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh : 1) 5sin x + cos 2x + 2 cos x = 0 2) 2007 x − 2006 x = 2005x − 2004 x Bµi 4 : ( 4 ®iÓm ) Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ®−êng trßn cã ph−¬ng tr×nh : x 2 + y 2 = 1 1 , ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®−êng trßn t¹i ®iÓm M , biÕt tia OM hîp víi chiÒu d−¬ng trôc Ox mét gãc a. π 2 , Gi¶ sö khi a thay ®æi tõ 0 ®Õn , tiÕp tuyÕn trªn thay ®æi theo vµ quýet 4 ®−îc mét miÒn trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é . TÝnh phÇn diÖn tÝch giíi h¹n bëi miÒn ®ã vµ ®−êng th¼ng y = 0 . Bµi 5 : ( 2®iÓm ) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm : ⎧ 2 1− m ⎪ x + 2xy − 7y ≥ 2 ⎨ 1+ m ⎪3x + 10xy − 5y ≤ 2 ⎩ 2 2
  7. Së gi¸o dôc - ®μo t¹o K× thi chän häc sinh giái líp 12 Th¸i b×nh N¨m häc 2006 - 2007 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi 1 : ( 5 ®iÓm ) x 2 − 2x + m Cho hµm sè : y = (Cm ) víi m ≠ 0 . x−2 1 , T×m m ®Ó ®å thÞ (Cm) c¾t trôc hoµnh t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A , B sao cho c¸c tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i A , B vu«ng gãc nhau . 2 , T×m m ®Ó tam gi¸c t¹o bëi mét tiÕp tuyÕn bÊt k× cña ®å thÞ (Cm) víi hai tiÖm cËn cã diÖn tÝch b»ng 1 . Bµi 2 : ( 4 ®iÓm ) om 1 , Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 1 1 2cos 2x −1 + = cos 2x + log 2 (3cos 2x − 1) 2 .C 2 2 , T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm : ⎧ x 2 + 4xy 2 + 12y 4 ≥ 72 ⎪ h ⎨ 2 at ⎪3x + 20xy + 80y = a 2 4 ⎩ M Bµi 3 : ( 3 ®iÓm ) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC . §−êng ph©n gi¸c trong AD ( D ∈ BC ) , ®−êng cao CH ( H ∈ AB ) lÇn l−ît cã ph−¬ng tr×nh : x – y = 0 , 2x + y + 3 = 0 . n C¹nh AC ®i qua ®iÓm M(0 ; -1) vµ AB = 2AM . H·y viÕt ph−¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña .V tam gi¸c ABC . w Bµi 4 : ( 2 ®iÓm ) W Trªn hÖ to¹ ®é Oxy cho ®−êng (C) cã ph−¬ng tr×nh : x 2 + y 2 = 9 . T×m m ®Ó trªn ®−êng th¼ng y = m cã ®óng 4 ®iÓm sao cho tõ mçi ®iÓm ®ã kÎ ®−îc ®óng w hai tiÕp tuyÕn ®Õn (C) vµ mçi cÆp tiÕp tuyÕn Êy t¹o thµnh mét gãc 45 Bµi 5 : ( 5®iÓm ) 1 , Chøng minh r»ng víi mäi x > 1 ta cã : x −1 ln x < x 2 , T×m sè thùc α tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc : 1 α≤ − n , víi mäi n nguyªn d−¬ng. 1 ln(1 + ) n
  8. Së gi¸o dôc - ®μo t¹o K× thi chän häc sinh giái líp 12 Th¸i b×nh N¨m häc 2007 - 2008 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi 1 : ( 5 ®iÓm) Cho hai sè m , p ( m ≠ 0 ). x 2 − m2 XÐt ®å thÞ (Cm): y = vµ (Cp): y = x 3 − (2 p − 1) x x 1, T×m ®iÒu kiÖn cña m vµ p ®Ó hai ®å thÞ tiÕp xóc nhau. 2, Gi¶ sö hai ®å thÞ tiÕp xóc nhau , chøng minh r»ng tiÕp ®iÓm cña chóng thuéc thÞ hµm sè y = x – x3 Bµi 2 : (2 ®iÓm ) BiÕt r»ng ph−¬ng tr×nh : x3 + x 2 + ax + b = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt . Chøng minh r»ng : a2 – 3b > 0 Bµi 3 : ( 5 ®iÓm ) 1, T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm : ⎧ x ≥ 2log ( x + 3) ⎪5 ⎨ ⎪1 + log 2 (m − x) ≥ log 2 ( x + 1) 4 ⎩ 2, T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm : (2m − 1) x + 2 + (m − 2) 2 − x + m − 1 = 0 Bµi 4 : ( 6 ®iÓm) 1, Cho tam gi¸c ABC víi B (1 ; 2) , ®−êng ph©n gi¸c trong cña gãc A cã ph−¬ng tr×nh 2x + y + 1 = 0 (d) . T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh A vµ C biÕt r»ng kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn (d) b»ng hai lÇn kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (d) vµ C n»m trªn trôc tung . 2, Cho A(0 ; 4) vµ B(-4 ; 0) . XÐt ®−êng th¼ng Δ : ax + by + 2 = 0 ( a2 + b2 > 0) lu«n tiÕp xóc víi ®−êng trßn : x2 + y2 = 16 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng kho¶ng c¸ch tõ A vµ B ®Õn Δ Bµi 5: (2 ®iÓm) Gäi xi lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh : 1 x 2 − 2ai x + (ai − 1) 2 ≤ 0 ( i = 1; n ) vµ ≤ ai ≤ 5, i = 1; 2;...; n 2 x12 + x2 + ... + xn 2 2 x + x + ... + xn Chøng minh r»ng : ≤1+ 1 2 2n n
  9. Së gi¸o dôc - ®μo t¹o K× thi chän häc sinh giái líp 12 Th¸i b×nh N¨m häc 2008 - 2009 ***** M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) ******* Bµi 1 : ( 3 ®iÓm) 1, Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè : y = x − 3 x − 2 (ξ) 3 2, Gäi d lµ ®−êng th¼ng ®i qua M(2 ; 0) vµ cã hÖ sè gãc k . T×m k ®Ó ®−êng th¼ng d c¾t (ξ) t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt. Bµi 2 : (4 ®iÓm ) ⎧ x1 = 1 ⎪ 1, Cho d·y (xn) x¸c ®Þnh bëi : ⎨ 2008 víi n ≥ 1 x n +1 = 1 + om ⎪ 1 + xn ⎩ Chøng minh r»ng d·y (xn) cã giíi h¹n vµ t×m giíi h¹n ®ã . .C 2, T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh : x + y + 2x(y − 1) + m = 2 cã nghiÖm . Bµi 3 : ( 2 ®iÓm ) h 1 at Cho < a, b, c, d < 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : 4 M 1 1 1 1 F = log a (b − ) + log b (c − ) + log c (d − ) + log d (a − ) 4 4 4 4 n Bµi 4 : ( 3 ®iÓm) .V 1, Gi¶i ph−¬ng tr×nh : x 2 − x − 2008 1 + 16064x = 2008 2, T×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh w cos x − sin x − cos 2x 1 + sin 2x = 0 tho¶ m·n 2008 < x < 2009 W Bµi 5: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC biÕt A(1 ; -2), hai ®−êng ph©n gi¸c trong cña gãc B vµ C lÇn l−ît w cã ph−¬ng tr×nh lµ (d1) : 3x + y – 3 = 0 vµ (d2) : x – y – 1 = 0 . LËp ph−¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC. Bµi 6: (4 ®iÓm) Cho mét tam diÖn vu«ng Oxyz vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh bªn trong tam diÖn . Gäi kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn ba mÆt ph¼ng Oyz , Ozx , Oxy lÇn l−ît lµ a , b , c . Mét mÆt ph¼ng ( α ) qua A c¾t Ox , Oy , Oz lÇn l−ît t¹i M , N , P . a b c 1, Chøng minh r»ng + + =1 OM ON OP 2, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña mÆt ph¼ng ( α ) ®Ó thÓ tÝch tø diÖn OMNP ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . Khi thÓ tÝch tø diÖn OMNP nhá nhÊt , h·y chØ râ vÞ trÝ ®iÓm A . 3, Chøng minh r»ng : ( MN + NP + PM)2 ≤ 6(OM 2 + ON 2 + OP 2 ) Bµi 7: (2 ®iÓm) ⎧0 < a ≤ b ≤ c ≤ d Cho ⎨ . Chøng minh r»ng : a b .b c .c d .d a ≥ a d .d c .c b .b a ⎩ bc ≤ ad
  10. THI NĂM H C 2000 - 2001 Ngày thi: 25 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút Dong Thap Bài 1: Cho dãy s xác nh như sau: n 1 un = ∑ ; ∀n ∈ Ν và n ≥ 1 . i =1 i ( i + 1)( i + 2 )( i + 3 ) Tìm lim un . x →+∞ 1 Bài 2: Cho phương trình: y 3 − 9 y 2 + 11 y − = 0 (1) 3 a. Ch ng minh r ng tan 10 ; tan 50 ; tan 2 700 là 3 nghi m phân bi t c a phương 2 0 2 0 trình (1). b. Tính P = tan 6 100 + tan 6 500 + tan 6 700 . Bài 3: Tìm t t c các a th c P ( x) có h s nguyên sao cho ta có: x.P ( x − 20) = ( x − 2000).P ( x) ; ∀x ∈ Ζ . Bài 4: Cho hình chóp S . ABC nh S ; SA = x ; SB = y ; SC = z . a. Ch ng minh r ng VS . ABC = x. y.z.VS . A ' B 'C ' ; v i SA ' = SB ' = SC ' = 1 ơn v dài. A '; B '; C ' n m tương ng trên các tia SA; SB; SC . b. Xác nh x, y, z di n tích xung quanh c a hình chóp S . ABC b ng 3k 2 ( k là s th c cho trư c) và th tích c a nó l n nh t. Bài 5: Cho a, b, c là 3 s th c dương và ab + bc + ca = abc . Ch ng minh r ng: a 2 + 2b 2 b 2 + 2c 2 c 2 + 2a 2 + + ≥ 3. ab bc ca 1
  11. THI NĂM H C 2001 - 2002 Ngày thi: 24 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho 3 s th c dương a, b, c th a i u ki n abc = 1 . Ch ng minh r ng: 1 + ab 2 1 + bc 2 1 + ca 2 18 + + ≥ 3 3 3. c 3 a 3 b 3 a +b +c Bài 2: Cho x, y là 2 s th a mãn i u ki n: om x − 2 y −1 ≤ 0  x + 3y − 6 ≤ 0 .C 2 x + y − 2 ≥ 0  a. Ch ng minh: x 2 + y 2 ≤ 10 . h at b. Tìm t t c các giá tr c a x, y : x 2 + y 2 = 10 . M Bài 3: Cho phương trình: x n + x n −1 + x n − 2 + ... + x 2 + x − 1 = 0 (1), n nguyên dương. a. Ch ng minh r ng v i m i n thì phương trình (1) có nghi m dương duy nh t xn . n .V b. Tìm lim xn . x →+∞ w Bài 4: Cho tam giác ABC có BC > CA > AB . G i D là m t i m n m trên o n BC . Trên ph n n i dài c a BA v phía A ch n i m E . Bi t r ng BD = BE = CA . G i P là W giao i m c a ư ng tròn ngo i ti p tam giác EBD v i c nh AC . G i Q là giao i m th hai c a BP v i ư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC . Ch ng minh r ng: w a. Tam giác AQC và tam giác EPD là hai tam giác ng d ng. b. Ta có: BP = AQ + CQ . Bài 5: Cho 3 tia Ox, Oy, Oz vuông góc v i nhau ôi m t t o thành góc tam di n Oxyz . i m M c nh n m trong góc tam di n. M t m t ph ng (α ) qua M c t Ox, Oy, Oz l n lư t t i A, B, C . G i kho ng cách t M n các m t ph ng ( OBC ) , ( OCA) , ( OAB ) l n lư t là a, b, c . a. Ch ng minh tam giác ABC là tam giác nh n. b. Tính OA, OB, OC theo a, b, c th tích t di n OABC là nh nh t. 2
  12. THI NĂM H C 2002 - 2003 Ngày thi: 24 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: a. Cho 4 s th c dương a, b, c, d . Ch ng minh r ng: a4 b4 c4 d4 a+b+c+d + + + ≥ ( a + b ) ( a + b ) (b + c ) (b + c ) ( c + d ) (c + d ) ( d + a ) ( d + a ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 . b. Cho 6 s th c dương a, b, c, d , e, f . Ch ng minh r ng: (a + b + c) + (d + e + f ) 2 2 ≤ a 2 + d 2 + b 2 + e2 + c 2 + f 2 . Bài 2: Kí hi u Ν * là t p các s nguyên dương. Tìm t t c các hàm f : Ν* → Ν * th a mãn ng th i hai i u ki n sau: ( i ) : f ( n + 1) > f ( n ) ( ii ) : f ( f ( n ) ) = n + 2002, ∀n ∈ Ν * Bài 3: Cho dãy {an } , n ∈ Ν * ư c xác nh b i: a1 = a2 = 1; a3 = 2   a a + p v i p∈ Ν*.  an +3 = n + 2. n +1  an nh p m i s h ng c a dãy {an } u là s nguyên. Bài 4: Cho a th c f ( x ) = x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ... + an là a th c b c n ≥ 2 có các nghi m th c b1 , b2 ,..., bn . Cho x > bi , ∀i = 1...n . Ch ng minh:  1 1 1  f ( x + 1)  + + ... +  ≥ 2n . 2  x − b1 x − b2 x − bn  Bài 5: Cho t di n ABCD có các c nh xu t phát t A ôi m t vuông góc v i nhau. G i a là c nh l n nh t xu t phát t A và r là bán kính hình c u n i ti p t di n. Ch ng minh r ng: ( a ≥ 3+ 3 r . ) 3
  13. THI NĂM H C 2003 - 2004 Ngày thi: 23 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: Gi i phương trình sau: 1 + 1 − x 2  (1 − x ) − (1 + x )  = 2 + 1 − x2 . 3 3     Bài 2: 3 2 a. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a ( x + y + z ) bi t: y 2 + yz + z 2 = 1 − x . 2 om b. Tìm các s nguyên a, b, c th a mãn b t ng th c: a + b + c + 3 < ab + 3b + 2c . 2 2 2 .C Bài 3: Trong tam giác ABC ta d ng các ư ng phân giác trong AA ', BB ', CC ' ; giao h i m A ', B ', C ' l n lư t thu c các c nh BC , CA, AB . Các giao i m này l p thành tam at giác A ' B ' C ' . Ch ng minh r ng: S A ' B 'C ' 2abc = M . S ABC ( a + b )( b + c )( c + a ) n .V Bài 4: Cho Ζ là t p các s nguyên. Cho hàm f : Ζ → Ζ th a mãn các i u ki n: ( i ) : f ( −1) = f (1) w ( ii ) : f ( x ) + f ( y ) = f ( x + 2 xy ) + f ( y − 2 xy ) W v i m i x, y ∈ Ζ . a. Ch ng minh f ( − n ) = f ( n ) , ∀n ∈ Ν . w b. Tìm t t c các hàm f có tính ch t nói trên. 4
  14. THI NĂM H C 2004 - 2005 Ngày thi: 14 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: V i 3 s th c x, y, z tùy ý, ta t: S = x + y + z ; P = xy + yz + zx ; Q = xyz . a. Ch ng minh: x3 + y 3 + z 3 = S 3 − 3SP + 3Q . b. Hãy bi u di n x 4 + y 4 + z 4 theo S , P và Q . Bài 2: Tìm a th c f ( x ) có t t c các h s u là s nguyên không âm nh hơn 9 và th a mãn f ( 9 ) = 2004 . Bài 3: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có c nh AB là c nh chung. Hai m t ph ng ( ABCD ) và ( ABEF ) vuông góc v i nhau. Tìm v trí ư ng vuông góc chung c a hai ư ng th ng AE và BD . Bài 4: V i s nguyên dương a = a1a2 ...ak , k ∈ Ν * , ta t: T ( a ) = a1 + a2 + ... + ak ( t ng các ch s c a a ) Dãy s { xn } , n ∈ Ν * xác nh như sau:  x = (T ( 2004 ) )2004  1   xn = (T ( xn −1 ) ) 2004  Ch ng minh r ng dãy { xn } , n ∈ Ν * b ch n. Bài 5: Tam giác ABC có 3 góc nh n n i ti p trong ư ng tròn tâm O bán kính R . Cho AB = c; BC = a; CA = b . Ch n I là i m b t kì trong tam giác ABC ; g i x, y, z là các kho ng cách t I n các c nh BC , CA, AB . Ch ng minh: a 2 + b2 + c 2 x+ y+ z≤ . 2R 5
  15. THI NĂM H C 2005 - 2006 Ngày thi: 9 tháng 10 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: Tính t ng: S = t an10 . t an20 + t an20 .t an30 + ... + t an20040. t an20050 . Bài 2: a. Cho P ( x ) là a th c v i h s nguyên sao cho: P ( a ) = P ( b ) = P ( c ) = 1 v i a, b, c là các s nguyên ôi m t khác nhau. Ch ng om minh phương trình P ( x ) = 0 không có nghi m nguyên. b. Tìm m t a th c f ( x ) b c 5 sao cho f ( x ) − 1 chia h t cho ( x − 1) và f ( x ) 3 .C chia h t cho x3 . h Bài 3: at a. T ng c a 2 s nguyên dương b ng 2310. Ch ng minh r ng tích c a hai s này không chia h t cho 2310. M b. Tìm nghi m nguyên ( x, y ) c a phương trình y = 2 x + y 2 + 2 ( 2 x + 1) y + 8 x . n .V Bài 4: a. Cho tam giác ABC n i ti p ư ng tròn ( O ) . Các ư ng th ng v qua A, B, C w ôi m t song song, c t ư ng tròn ( O ) t i các i m A1 , B 1 , C1 ( khác v i W A, B, C ). Ch ng minh r ng tr c tâm các tam giác A1 BC , B1CA, C1 AB th ng hàng. b. Cho tam giác ABC u c nh b ng 2 ơn v dài. ư ng th ng ( d ) không i qua w b t kì nh nào c a tam giác. G i α , β , γ là góc gi a ( d ) và theo th t v i các ư ng th ng i qua các c nh BC , CA, AB c a tam giác u ABC . Tính: M = sin α .sin β .sin γ + cos α .cos β .cos γ . 2 2 2 2 2 2 Bài 5: Cho dãy {un } , n nguyên dương, xác nh như sau: u1 = 2  n ui  u 2 − un . t Sn = ∑ . un +1 = n + un i =1 ui +1 − 1  2005 Tìm lim S n . x →+∞ 6
  16. THI NĂM H C 2006 - 2007 Ngày thi: 22 tháng 10 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: Tìm t ng c a các s nguyên dương t m n n , k c m và n ( m < n ) , suy ra t ng các s gi a 1000 và 2000 mà không chia h t cho 5. x+2 Bài 2: Tìm t t c các s th c x sao cho k = là s nguyên. x + 4x + 5 2 Bài 3: Ch ng minh r ng n u a, b, c là 3 c nh c a m t tam giác tương ng v i các nh A, B, C thì: a + b − 2c b + c − 2a c + a − 2b + + ≥ 0. C A B sin sin sin 2 2 2 Bài 4: Tìm t t c các a th c d ng f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c , v i a, b, c là các s nguyên, sao cho a, b, c là nghi m c a f ( x ) . 1 Bài 5: Cho F (1) = F ( 2 ) = 1, F ( n + 2 ) = F ( n + 1) + F ( n ) và hàm s f ( x) = . 1+ x ( ) t: Gn ( x ) = x + f ( x ) + f ( f ( x ) ) + ... + f f (... f ( x ) ...) , trong s h ng sau cùng f l p F (1) F ( 2) F ( n + 1) l i n l n. Ch ng minh: Gn (1) = + + ... + . F ( 2) F ( 3) F ( n + 2) Bài 6: T i m P n m ngoài ư ng tròn cho trư c k hai ti p tuy n ti p xúc v i ư ng tròn l n lư t t i A và B . Ch n i m S n m trên dây cung AB . Tia PS c t cung nh 2 PR.PQ AB t i R và c t cung l n AB t i Q . Ch ng minh: PS = . PR + PQ Bài 7: Ch ng minh r ng m i s nguyên dương n tùy ý luôn bi u di n dư i d ng t ng c a các s h ng 2 r 3s v i r , s là các s nguyên không âm. 7
  17. THI NĂM H C 2007 - 2008 Ngày thi: 14 tháng 10 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: a. Tìm t t c các s nguyên m sao cho phương trình x 2 + ( m 2 − m ) x − m3 + 1 = 0 có m t nghi m nguyên. ( ) ( ) x x b. Gi i b t phương trình: log 2 2 − 1 + 3 + 1 − log 2 2 +1 ≤ 2. om Bài 2: a. Gi i phương trình: 4sin 2 5 x − 4sin 2 x + 2 ( sin 6 x + s in4x ) + 1 = 0 . b. Cho các s th c x1 , x2 ,..., xn th a mãn sin 2 x1 + 2sin 2 x2 + ... + n sin 2 xn = a , v i n .C n ( n + 1) là s nguyên dương, a là s th c cho trư c, 0 ≤ a ≤ h . Xác nh các giá tr 2 c a x1 , x2 ,..., xn sao cho t ng S = s in2x1 + 2s in2x2 + ... + n s in2xn t giá tr l n at nh t và tìm giá tr l n nh t này theo a và n . M Bài 3: n a. Cho 3 s th c a, b, c th a abc = 1 . Ch ng minh: .V 1 1 1 3 + 6 2 + 6 2 ≥ . a6 (b2 + c2 ) b ( c + a 2 ) c ( a + b2 ) 2 w b. Cho tam giác ABC nh n th a mãn i u ki n: W cot A ( cot A + 2 cot B )  A+ B  = 2 cot   − cot B . Ch ng minh tam giác ABC là tam  A+ B   2  w 2 cot   + cot B  2  giác cân. Bài 4: Cho tam giác ABC , trên các c nh BC , CA, AB l n lư t l y các i m A ', B ', C ' sao cho AA ', BB ' và CC ' ng quy t i i m M . G i S1 , S 2 , S3 l n lư t là di n tích c a MA ' MB ' MC ' các tam giác MBC , MCA, MAB và t = x, = y, = z. MA MB MC Ch ng minh r ng: ( y + z − 1) S1 + ( x + z − 1) S 2 + ( x + y − 1) S3 = 0 . 8
  18. Bài 5: Cho dãy {un } , n là s nguyên dương, xác nh như sau: u1 = 1   1 + un 2 − 1 . un +1 = , un > 0  un n −1 π 1  Tính u n và ch ng minh r ng: u1 + u2 + ... + un ≥ 1 + 1 −   . 4  2    Bài 6: Cho a th c f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + b có 3 nghi m x1 , x2 , x3 và a th c g ( x ) = x3 + bx 2 + bx + a . Tính t ng: S = g ( x1 ) + g ( x2 ) + g ( x3 ) theo a, b . 9
  19. THI NĂM H C 2008 - 2009 Ngày thi: 16 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút 2 3 Câu 1: Gi i phương trình: ( tan x − cot x ) = tan 2 x + cot 2 x − 2 . 3 Câu 2: Cho tam giác ABC n i ti p ư ng tròn tâm I . G i D là trung i m c a c nh AB , E là tr ng tâm c a tam giác ADC . Ch ng minh r ng n u AB = AC thì IE vuông góc v i CD . om Câu 3: Tìm nghi m nguyên dương c a phương trình: x2 − 2 y 2 = 1. .C Câu 4: Cho dãy s { xn } , n ∈ Ν * ư c xác nh b i: h  x1 = 1  at  x 2008 . Tìm gi i h n c a dãy un v i:  xn +1 = n + xn M  2008 x1 2007 x2 2007 xn 2007 un = + + ... + n . x2 x3 xn +1 .V Câu 5: Cho n là s t nhiên, ch ng minh r ng: ( C0n ) + ( C1n ) + ... + ( Cnn ) = C2 n . 2 2 n 2 w W Câu 6: 1 1 1 a. Cho x, y, z ≥ 1 và + + = 2 . Ch ng minh r ng: w x y z x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 . b. Cho a th c f ( x ) = x3 − 3 x − 1 có 3 nghi m là a, b, c . Hãy tính: 1+ a 1+ b 1+ c S= + + . 1− a 1− b 1− c Câu 7: Cho i m A ( 0;3) và parabol ( P ) : y = x2 . G i M là m t i m thu c ( P ) có hoành xM = a . Tìm a dài AM là ng n nh t. T ó ch ng t r ng n u o n AM là ng n nh t thì AM vuông góc v i ti p tuy n t i M c a ( P ) . 10
Đồng bộ tài khoản