ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG NĂM HỌC: 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN 9

Chia sẻ: gioipy

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG I ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 1 trang)

Nội dung Text: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG NĂM HỌC: 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN 9

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG
I
NĂM HỌC: 2010 - 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN 9
(Đề gồm 1 trang)
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)


Câu 1.
a. Phân tích Q thành nhân tử: Q = x + 5 x − 2 2 x − 2 10

b. Tính Q khi biết x = 13 − 4 10

Câu 2. Cho hàm số: y = x − 2m − 1 ; với m tham số.
a. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O.

b. Tính theo m tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox;

2
Oy. H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của m để OH =
2
b. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Câu 3.
a. Giải phương trình: x −1 + 2 x − 2 + x + 1 = 5 x − 2

b. Cho a; b là hai số dương thỏa mãn: a 2 + b 2 = 6 .

Chứng minh: 3(a 2 + 6) ≥ (a + b) 2

c. Giải phương trình nghiệm nguyên: x + xy − 2008 x − 2009 y − 2010 = 0
2



Câu 4.
Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông
góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H l ần l ượt là hình
chiếu của M trên CD và AB.
· · · ·
a. Tính sin 2 MBA + sin 2 MAB + sin 2 MCD + sin 2 MDC

b. Chứng minh: OK = AH (2 R − AH )
2



c. Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.

Hết./.
HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG
NĂM HỌC: 2010 - 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề)
Nội dung cần đạt Điểm
Câu Ý
( ) ( ) 0,5
Q = x + 5 x − 2 2 x − 2 10 = x x + 5 −2 2 x+ 5 =
a 0,5
( )( )
x+ 5 x −2 2
1 2,0
x = 13 − 4 10 ⇒ x = 8 − 2.2 2. 5 + 5 = (2 2 − 5) 2 = 2 2 − 5 0,5
( )( )
b
Vậy: Q = 2 2 − 5 + 5 2 2 − 5 − 2 2 = 2 2.(− 5) = −2 10 0,5
y = x − 2m − 1 ; với m tham số
1
a 0,25
Để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) thì −2m − 1 = 0 ⇔ m = −
2
Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A
0,5
( 2m + 1;0 )
Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B ( 0; −2m − 1)
b
0,5
Ta có: ∆ AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên:
2 2,0
m = 0
1 1 2
1 1 1
Hay 2 = 2 + 2 ⇔ 2 = ⇔
= +
 m = −1
(2m + 1) 2
OH 2 OA2 OB 2 x A yB
x +x 2m + 1
Hoành độ trung điểm I của AB: xI = A B =
2 2 0,5
y A + yB −(2m + 1)
Tung độ trung điểm I của AB: yI = =
c 2 2
Ta có: yI = − xI ⇒ Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là đường 0,25

thẳng y = − x
Điều kiện: x ≥ 2 0,2
3 2,5

x −1 + 2 x − 2 + x + 1 = 5 x − 2 ⇔ x − 2 + 2 x − 2 + 1 + x + 1 = 5 x − 2 0,2

( )
2
0,3
a ⇔ x − 2 +1 + x +1− 5 x − 2 = 0 ⇔ x − 2 +1+ x +1− 5 x − 2 = 0

⇔ x − 2 − 4 x − 2 + 4 = 0 ⇔ ( x − 2 − 2) 2 = 0 ⇔ x = 6 > 2
0,3
Vậy nghiệm của pt là: x = 6
Với a; b là hai số dương ta có:
b

2
  1 
1 0,25
+ b.1÷ ≤ ( 2a 2 + b 2 )  + 1÷ (Theo Bunhiacopski)
( a + b)
2
=  2.a.
2 
 
2
0,25
3
⇔ ( a + b ) ≤ ( a2 + 6)
2
(Vì a 2 + b 2 = 6 ) Hay 3(a 2 + 6) ≥ (a + b) 2
2
x 2 + xy − 2008 x − 2009 y − 2010 = 0
⇔ x 2 + xy + x − 2009 x − 2009 y − 2009 = 1 0,25
⇔ x ( x + y + 1) − 2009( x + y + 1) = 1 ⇔ ( x − 2009)( x + y + 1) = 1 0,5
c   x − 2009 = 1   x = 2010
 
  x + y + 1 = 1 ⇔   y = −2010
0,25
  x − 2009 = −1   x = 2008
 
  x + y + 1 = −1   y = −2010
 
0,25
C
K M




B
O A
H




D

Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên:
· · · ·
sin 2 MBA + sin 2 MAB + sin 2 MCD + sin 2 MDC =
a 0,75
· · · ·
(sin 2 MBA + cos 2 MBA) + (sin 2 MCD + cos 2 MCD) = 1 + 1 = 2 3,5
Chứng minh: OK 2 = AH (2 R − AH )
Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH
b 0,5
đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH
Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) 0,5
4
P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH) 0,25
OH 2 + MH 2 OM 2 R 2 0,25
Mà OH.MH ≤ = = (Pitago)
2 2 2
R2
= 2 R 4 . đẳng thức xẩy ra ⇔ MH = OH
c Vậy P ≤ 4 R 2 .
0,25
2

⇔ OH = R 2 0,25
2
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản