Đề thi học sinh giỏi cấp quốc gia Toán

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

0
280
lượt xem
19
download

Đề thi học sinh giỏi cấp quốc gia Toán

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn học sinh có tài liệu ôn tập những kiến thức cơ bản, kỹ năng giải các bài tập Toán nhanh nhất và chuẩn bị cho kì thi sắp tới tốt hơn. Hãy tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán học cấp quốc gia.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi cấp quốc gia Toán

  1. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ nhất Bài 1 : Cho c là một số thực dương . Dãy số {x n }, n = 0,1,2,…., được xây dựng theo cách sau : x n1 = c  c  xn (n=0,1,2,….) nếu các biểu thức dưới căn là không âm . Tìm tất cả các giá trị của c đề với mọi giá trị ban đầu x 0  (0,c) dãy {x n } được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn hữu hạn lim x n khi n  . Bài 2 : Trên mặt phẳng cho trước hai đường tròn (O 1 ,r 1 ) và (O 2 ,r 2 ). Trên đường tròn (O 1 ,r 1 ) lấy một điểm M 1 và trên đường tròn (O 2 ,r 2 ) lấy một điểm M 2 sao cho đường thẳng O 1 M 1 cắt đường thẳng O 2 M 2 tại một điểm Q. Cho M 1 chuyển động trên đường tròn (O 1 ,r 1 ) , M 2 chuyển động trên đường tròn (O 2 ,r 2 ) cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc như nhau . 1/ Tìm quĩ tích trung điểm đoạn thẳng M 1 M 2 . 2/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác M 1 QM 2 luôn đi qua một điểm cố định . Bài 3 : Cho đa thức : P(x) = x 3 + 153x 2 - 111x + 38 1/ Chứng minh rằng trong đoạn [1;3 2000 ] tồn tại ít nhất 9 số nguyên dương a sao cho P(a) chia hết cho 3 2000 2/ Hỏi trong đoạn [1;3 2000 ] có tất cả bao nhiêu số nguyên dương a mà P(a) chia hết cho 3 2000 ? --------------------
  2. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ hai Bài 4 : Cho trước góc α với 02 đa thức P n (x) chia hết cho g(x) Bài 5 : Tìm tất cả các số tự nhiên n>3 sao cho tồn tại n điểm trong không gian thoả mãn đồng thời các các tính chất sau đây : a/ Không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng . b/ Không có bốn điểm nào trong chúng cùng nằm trên một đường tròn c/ Tất các các đường trong đi qua ba điểm trong chúng đểu có bán kính bằng nhau. Bài 6 : Với mỗi đa thức hệ số thực P(x) , kí hiệu A P là tập hợp các số thực x sao cho P(x) = 0 . Tìm số phần tử nhiều nhất có thể có của A P khi P(x) thuộc tập hợp các đa thức có hệ số thực với bậc ít nhất là 1 và thoả mãn đẳng thức : P(x 2 - 1) = P(x).P(-x) với mọi giá trị thực x --------------------
  3. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ nhất Bài 1 : Cho số thực c >2 . Dãy số (x n ) , n=0,1,2,…, được xây dựng theo cách sau : x 0 = c , x n1 = c  c  xn (n=0,1,2,…) nếu các biểu thức dưới căn là không âm. Chứng minh rằng dãy (x n ) được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn hữu hạn limx n khi n   Bài 2 : Trên mặt phẳng cho trước hai đường tròn (O 1 ,r 1 ) và (O 2 ,r 2 ). Trên đường tròn (O 1 ,r 1 ) lấy một điểm M 1 và trên đường tròn (O 2 ,r 2 ) lấy một điểm M 2 sao cho đường thẳng O 1 M 1 cắt đường thẳng O 2 M 2 tại một điểm Q. Cho M 1 chuyển động trên đường tròn (O 1 ,r 1 ) , M 2 chuyển động trên đường tròn (O 2 ,r 2 ) cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc như nhau . 1/ Tìm quĩ tích trung điểm đoạn thẳng M 1 M 2 . 2/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác M 1 QM 2 luôn đi qua một điểm cố định . Bài 3 : Cho đa thức : P(x) = x 3 - 9x 2 + 24x – 27 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n luôn tồn tại một số nguyên dương a n sao cho P(a n ) chia hết cho 3 n . -----------------------------
  4. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ hai Bài 4 : Cho trước góc α với 0
  5. với mọi số thực x. -----------------------------
  6. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ nhất Bài 1 : Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại hai điểm A, B và P 1 P 2 là một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó (P 1  (O 1 ), P 2  (O 2 )). Gọi M 1 và M 2 tương ứng là hình chiếu vuông góc của P 1 và P 2 trên đường thẳng O 1 O 2 . Đường thẳng AM 1 cắt (O 1 ) tại điểm thứ hai N 1 , đường thẳng AM 2 cắt (O 2 ) tại điểm thứ hai N 2 . Hãy chứng minh N 1 ,B,N 2 thẳng hàng . Bài 2 : Cho số nguyên dương n và cho hai số nguyên nguyên tố cùng nhau a, n n b lớn hơn 1. Giả sử p, q là hai ước lẻ lớn hơn 1 của a 6 + b 6 . Hãy tìm số dư trong phép chia p 6 + q 6 cho 6.(12) n . n n Bài 3 : Với mỗi cặp số thực (a, b), xét dãy số {x n }, n N, được xác định bởi: x 0 = a và x n1 = x n + b.sinx n với mọi n  N. 1/ Cho b = 1 . Chứng minh rằng với mọi số thực a, dãy {x n } có giới hạn hữu hạn khi n   . Hãy tính giới hạn đó theo a. 2/ Chứng minh rằng với mỗi số thực b>2 cho trước, tồn tại số thực a sao cho dãy {x n } tương ứng không có giới hạn hữu hạn khi n   . ( N là tập hợp các số tự nhiên) -----------------------------
  7. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ hai Bài 4 : Xét các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện sau :  1  2  z  min{x 2 , y 3}   x  z 3  6   y 3  z 10  2 5   Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 1 2 3 P(x,y,z) = 2  2  2 x y z 2x Bài 5 : Cho hàm số g(x) = . Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định , 1 x2 liên tục trên khoảng (-1;1) và thoả mãn hệ thức : (1 - x 2 ).f(g(x)) = (1 + x 2 ) 2 .f(x) với mọi x  (-1;1). Bài 6 : Cho số nguyên n  1. Xét hoán vị (a 1 ,a 2 ,…,a 2n ) của 2n số nguyên dương đầu tiên sao cho các số |a i 1 - a i |, i = 1,2,….,2n – 1, đôi một khác nhau . Chứng minh rằng a 1 - a 2n = n khi và chỉ khi 1  a 2k  n với mọi k = 1,2,…,n. -----------------------------
  8. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ nhất Bài 1 : Trong mắt phẳng cho hai đường tròn cố định (O,R 1 ) và (O,R 2 ) có R 1 >R 2 . Một hình thang ABCD (AB//CD) thay đổi sao cho bốn đỉnh A,B,C,D nằm trên đường tròn (O,R 1 ) và giao điểm của hai đường chéo AC,BD nằm trên đường tron (O,R 2 ). Tìm quỹ tích giao điểm P của hai đường thẳng AD và BC . Bài 2 : Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên tập hợp số thực R và thoả mãn hệ thức : f(y – f(x)) = f(x 2002 - y) – 2001y.f(x) với mọi số thực x, y. Bài 3 : Cho tập hợp S gồm tất cả các số nguyên trong đoạn [1;2002]. Gọi T là tập hợp gồm tất cả các tập hợp con không rỗng của S . Với mỗi tập hợp X thuộc T , kí hiệu m(X) là trung bình cộng của tất cả các số thuộc X . Đặt : m=  m( X ) |T | ở đây tổng lấy theo tất cả các tập hợp X thuộc T . Hãy tính giá trị của m. (|T| kí hiệu số phần tử của tập hợp T) ----------------------------------
  9. ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ hai Bài 4 : Cho a, b, c là ba số thực tuỳ ý . Chứng minh rằng : 3 6(a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 )≤ 27abc + 10(a 2 + b 2 + c 2 ) 2 Hỏi dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? Bài 5 : Xét phương trình : 1 1 1 1 1 + + +…+ +…+ =0 2x x 1 x4 xk 2 x  n2 trong đó n là tham số nguyên dương . 1/ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm trong khoảng (0;1) ; kí hiệu nghiệm đó là x n . 2/ Chứng minh rằng dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn khi n   Bài 6 : Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn điều kiện : C n n = (2n) k 2 trong đó k là số các ước nguyên tố của C n n .2 (C 2 n kí hiệu số tổ hợp chập n của tập hợp có 2n phần tử) n ----------------------------------
  10. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 12/3/2003 Bài 1 : Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện : f(cotgx) = sin2x + cos2x với mọi x thuộc khoảng (0;  ). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : g(x) = f(x).f(1-x) trên đoạn [-1;1] Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định (O 1 ) và (O 2 ) tiếp xúc với nhau tại điểm M , và bán kính của đường tròn (O 2 ) lớn hơn bán kính của đường tròn (O 1 ). Xét điểm A nằm trên đường tròn (O 2 ) sao cho 3 điểm O 1 ,O 2 ,A không thẳng hàng . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O 1 ) (B và C là các tiếp điểm) . Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O 2 ),tương ứng, tại E và F . Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O 2 ) . Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định , khi A di động trên đường tròn (O 2 ) sao cho ba điểm O 1 ,O 2 ,A không thẳng hàng . ( (O) kí hiệu đường tròn tâm O) Bài 3 : Với mỗi số nguyên n>1 , kí hiệu s n là số các hoàn vị (a 1 ,a 2 ,….,a n ) của n số nguyên dương đầu tiên , mà mỗi hoán vị (a 1 ,a 2 ,…., a n ) đều có tính chất 1  |a k - k|  2 với mọi k = 1,2,3,…,n. Chứng minh rằng : 1,75.s n1 < s n < 2.s n1 với mọi số nguyên n >6 ------------------------------------------------
  11. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 13/3/2003 Bài 4 : Hãy tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho hệ phương trình : (x+1) 2 + y 12 = (x+2) 2 + y 2 = … = (x+k) 2 + y k = … = (x+n) 2 + y n 2 2 2 có nghiệm nguyên (x,y 1 ,y 2 ,….,y n ) Bài 5 : Cho hai đa thức : P(x) = 4x 3 - 2x 2 - 15x + 9 và Q(x) = 12x 3 + 6x 2 - 7x + 1 1/ Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có ba nghiệm thực phân biệt 2/ Kí hiệu α và β tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x) và Q(x) . Chứng minh rằng: α 2 + 3β 2 = 4 Bài 6 : Cho tập hợp F gồm tất cả các hàm số f : R   R  thoả mãn điều kiện: f(3x)  f(f(2x)) + x với mọi số thực dương x. Hãy tìm số thực α lớn nhất sao cho với mọi hàm số f thuộc tập hợp F ta đều có : f(x)  α với mọi số thực dương x. ( R  kí hiệu tập hợp các số thực dương). --------------------------------------

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản