Đề thi học sinh giỏi ĐBSCL môn Toán trường THPT Lê Quý Đôn - Kèm đáp án

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

0
154
lượt xem
31
download

Đề thi học sinh giỏi ĐBSCL môn Toán trường THPT Lê Quý Đôn - Kèm đáp án

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kì thi học sinh giỏi là kì thi quan trọng đối với mỗi học sinh. Dưới đây là đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long môn Toán của trường THPT Lê Qúy Đôn kèm đáp án giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới được tốt hơn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi ĐBSCL môn Toán trường THPT Lê Quý Đôn - Kèm đáp án

  1. SÔÛ GIAÙO DUÏC–ÑAØO TAÏO LONG AN KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI TRÖÔØNG THPT LEÂ QUYÙ ÑOÂN ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG NAÊM HOÏC : 2005 – 2006 ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN TOAÙN Thôøi gian : 180 phuùt ___________________________________________________________________________ Baøi 1 : (Ñaïi soá) Cho caùc soá thöïc x, y thoûa phöông trình x(x-1) + y(y-1) = xy Tìm giaù trò nhoû nhaát vaø giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc x 2 + y2 + xy. Baøi 2 : (Löôïng giaùc) Cho ABC laø tam giaùc coù ba goùc nhoïn . Chöùng minh raèng : tgA tgB tgC 3  3  3 1 tg B tg C tg A Baøi 3 : (Giaûi tích) Daõy soá x n  ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : xn x1  3 ; xn  1  3  ( n = 1, 2, 3, ….). xn  1 2 Chöùng minh raèng daõy soá ( x n ) coù giôùi haïn höõu haïn khi n   vaø tìm giôùi haïn cuûa noù. Baøi 4 : (Hình hoïc phaúng) Cho tam giaùc ABC vaø M laø trung ñieåm cuûa BC , moät ñöôøng troøn baát kì qua A caét caùc tia AB, AC, AM theo thöù töï taïi E, F, K. Chöùng minh raèng : AB.AE + AC.AF = 2AK.AM Baøi 5 : (Hình hoïc khoâng gian) Cho töù dieän ABCD coù BAC  CAD  DAB  60 0 . Chöùng minh raèng : AB 2  AC 2  AD 2  8R 2 trong ñoù R laø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. ( Kí hieäu BAC laø goùc BAC )
  2. SÔÛ GIAÙO DUÏC–ÑAØO TAÏO LONG AN KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI TRÖÔØNG THPT LEÂ QUYÙ ÑOÂN ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG Naêm hoïc : 2005 – 2006 ÑAÙP AÙN MOÂN TOAÙN Baøi 1 : (Ñaïi soá) Cho caùc soá thöïc x, y thoûa phöông trình x(x-1) + y(y-1) = xy Tìm giaù trò nhoû nhaát vaø giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc x 2 + y2 + xy. -------------------- 2 2 Ñaët a = x + y + xy . Töø ñieàu kieän cuûa x, y ta suy ra: x + y + 2xy = a ( 0,5 ñieåm)  x  y  2 xy  a Goïi a laø moät giaù trò cuûa bieåu thöùc x2 + y2 + xy thì heä pt:  2 phaûi coù nghieäm.  x  y 2  xy  a ( 0,5 ñieåm) S  2 P  a Ñaët: S = x+ y, P = xy (S2  4P) , heä phöông trình trôû thaønh :  2 ( 0,5 ñieåm) S  P  a  S  2P  a   2 ( 0,5 ñieåm) 4 P  (4a  1) P  a  a  0 2 Heä pt coù nghieämkhi vaø chæ khi phöông trình : a f(P) = 4P2 -(4a+1)P+a2-a= 0 coù nghieäm thoûa P  ( 0,5 ñieåm) 3   0  a    a Ñieàu naøy töông ñöông vôùi : f    0   f    0 ( 0,5 ñieåm) 3  3  4a  1  a  8  3  a  12a 2  24a  1  0    0  a 2  12a  0 ( 0,5 ñieåm) 9  4a  1  a  8  3  0  a  12 ( 0,5 ñieåm) 2 2 2 2 Keát luaän : Max (x + y + xy ) = 12 vaø Min (x + y + xy ) = 0 Baøi 2 : (Löôïng giaùc) Cho ABC laø tam giaùc coù ba goùc nhoïn . Chöùng minh raèng : tgA tgB tgC 3  3  3 1 tg B tg C tg A ---------------------------------- Do tam giaùc ABC nhoïn neân tgA > 0 ,tgB > 0 , tgC > 0. Vieát laïi baát ñaúng thöùc : cot g 3 B cot g 3C cot g 3 A   1 ( 0,5 ñieåm ) cot gA cot gB cot gC
  3. Aùp duïng baát ñaúng thöùc Coâsi : cot g 3 B  cot gA. cot gB  2 cot g 2 B ( 0,5 ñieåm ) cot gA cot g 3C  cot gB. cot gC  2 cot g 2 C cot gB cot g 3 A  cot gC. cot gA  2 cot g 2 A ( 0,5 ñieåm ) cot gC Suy ra : cot g 3 B cot g 3C cot g 3 A    cot g 2 A  cot g 2 B  cot g 2 C cot gA cot gB cot gC  1  (cot gA  cot gB) 2  (cot gB  cot gC ) 2  (cot gC  cot gA) 2 2  ( 0,5 ñieåm ) 3 3 3  cot g 2 A  cot g 2 B  cot g 2 C  cot gA  cot gB  cot gC  cot g B cot g C cot g A 1    2 cot gA cot gB cot gC 3 ( 0,5 ñieåm ) Maët khaùc : (cot gA  cot gB  cot gC )  3 , vì baát ñaúng thöùc naøy töông ñöông vôùi: 2 cotg2A+cotg2B+cotg2C +2(cotgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA)  3 ( 0,5 ñieåm )  (cot gA  cot gB) 2  (cot gB  cot gC ) 2  (cot gC  cot gA) 2  0 . ( 0,5 ñieåm ) Töø ñoù suy ra : cot g 3 B cot g 3C cot g 3 A   1 ( 0,5 ñieåm ) cot gA cot gB cot gC Baøi 3 : (Giaûi tích) Daõy soá x n  ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : xn x1  3 ; xn  1  3  ( n = 1, 2, 3, ….). xn  1 2 Chöùng minh raèng daõy soá ( x n ) coù giôùi haïn höõu haïn khi n   vaø tìm giôùi haïn cuûa noù. -----------------------------------------------------  Töø caùch xaùc ñònh daêy soá, suy ra xn  3 , n  1 x Giaû söû daõy coù giôùi haïn laø a thì a laø nghieäm cuûa phöông trình : x  3  (1) ( x  3 ) x2 1 (0,5 ñieåm) 1   Ñaët : sin    0     , phöông trình (1) trôû thaønh : sin   cos   3 sin  . cos   0 x  2 (0,5 ñieåm) Ñaët : t  sin   cos  ( t  2 ) , ta ñöôïc phöông trình : 3t  2t  3  0  t   3 2 (0,5 ñieåm)
  4. 1  1  sin   cos    sin 2    sin     1  3  3 3.( 5  1) Suy ra : .Vaäy : a  3.(1  5 ) 2  sin   6 (0,5 ñieåm) x 1  Xeùt haøm soá f ( x)  3  ( x  3 ) coù f ' ( x)  x 1 2  x  1 2 3 (0,5 ñieåm) Aùp duïng ñònh lí Lagrange : xn1  a  f ( xn )  f (a)  f ' (c) . x  a vôùi c naèmgiöõa xn vaø a. 1 2 2 Vì c  3  f ' (c)   . Do ñoù : x n 1  a  . xn  a 0,5 ñieåm)  c  1 2 3 4 4 n 1 n 1  2  2 Suy ra : 0  x n  a       4  . x1  a , vaø do lim  4  . x1  a  0 0,5 ñieåm)     3.( 5  1) Do ñoù : lim xn  a  (0,5 ñieåm) 2 Baøi 4 : (Hình hoïc phaúng) Cho tam giaùc ABC vaø M laø trung ñieåm cuûa BC , moät ñöôø ng troøn baát kì qua A caét caùc tia AB, AC, AM theo thöù töï taïi E, F, K. Chöùng minh raèng : AB.AE + AC.AF = 2AK.AM -------------------------------------------------------------------- A Goïi AD laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn thì : AE  ED , AF  FD , AK  KD (0,5 ñieåm) Ta coù : AB  AC  2 AM (0,5 ñieåm) E F  AD. ( AB  AC )  2 AM . AD (0,5 ñieåm) K  AD. AB  AD. AC  2 AM . AD (0,5 ñieåm) B C  AE. AB  AF . AC  2 AM . AK (0,5 ñieåm) M (Coâng thöùc chieáu)  AE. AB cos 0  AF . AC cos 0  2 AK . AM cos 0 (0,5 ñieåm)  AE. AB cos 0  AF . AC cos 0  2 AK . AM cos 0 (0,5 ñieåm)  AE. AB  AF . AC  2 AK . AM (0,5 ñieåm) Baøi 5 : (Hình hoïc khoâng gian) Cho töù dieän ABCD coù BAC  CAD  DAB  60 0 . Chöùng minh raèng : AB 2  AC 2  AD 2  8R 2 trong ñoù R laø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. ( Kí hieäu BAC laø goùc BAC )
  5. ------------------------------------------------------------------------------- Goïi G laø troïng taâm vaø O laø taâm maët caàu ngoaïi teáp töù dieän ABCD thì : GA  GB  GC  GD  0  OA  OB  OC  OD  4OG ( 0,5 ñieåm )   OA2  OB 2  OC 2  OD 2  2 OA.OB  OA.OC  OA.OD  OB.OC.  OB.OD  OC.OD (0,5ñ)  16OG 2  AB 2  AC 2  AD 2  BC 2  CD 2  DB2  16R 2  16OG2 ( 0,5 ñieåm ) 2 2  2 2 2  Maët khaùc : BC  CD  DB  2 AB  AC  AD   AB. AC  AC. AD  AD. AB  2 ( Ñònh lí haøm soá cosin ) ( 0,5 ñieåm )  2 2   3 AB  AC  AD   AB. AC  AC. AD  AD. AB   16R  16OG  16R 2 2 2 2 ( 0,5 ñieåm )  2 2    2 AB  AC  AD  AB  AC  AD  AB. AC  AC. AD  AD. AB  16R 2 2 2 2 2  (0,5 ñieåm)  2   2 AB  AC  AD  16R ( Vì AB  AC  AD  AB. AC  AC. AD  AD. AB  0 2 2 2 2 2 2 (0,5 ñieåm)  AB  AC  AD  8R 2 2 2 2 (0,5 ñieåm)
  6. SÔÛ GIAÙO DUÏC–ÑAØO TAÏO LONG AN KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI TRÖÔØNG THPT LEÂ QUYÙ ÑOÂN ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG NAÊM HOÏC : 2005 – 2006 ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN TOAÙN Thôøi gian : 180 phuùt ___________________________________________________________________________ Baøi 1 : (Ñaïi soá) Cho caùc soá thöïc x, y thoûa phöông trình x(x-1) + y(y-1) = xy Tìm giaù trò nhoû nhaát vaø giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc x 2 + y2 + xy. Baøi 2 : (Löôïng giaùc) Cho ABC laø tam giaùc coù ba goùc nhoïn . Chöùng minh raèng : tgA tgB tgC 3  3  3 1 tg B tg C tg A Baøi 3 : (Giaûi tích) Daõy soá x n  ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : xn x1  3 ; xn  1  3  ( n = 1, 2, 3, ….). xn  1 2 Chöùng minh raèng daõy soá ( x n ) coù giôùi haïn höõu haïn khi n   vaø tìm giôùi haïn cuûa noù. Baøi 4 : (Hình hoïc phaúng) Cho tam giaùc ABC vaø M laø trung ñieåm cuûa BC , moät ñöôøng troøn baát kì qua A caét caùc tia AB, AC, AM theo thöù töï taïi E, F, K. Chöùng minh raèng : AB.AE + AC.AF = 2AK.AM Baøi 5 : (Hình hoïc khoâng gian) Cho töù dieän ABCD coù BAC  CAD  DAB  60 0 . Chöùng minh raèng : AB 2  AC 2  AD 2  8R 2 trong ñoù R laø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. ( Kí hieäu BAC laø goùc BAC )
  7. SÔÛ GIAÙO DUÏC–ÑAØO TAÏO LONG AN KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI TRÖÔØNG THPT LEÂ QUYÙ ÑOÂN ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG Naêm hoïc : 2005 – 2006 ÑAÙP AÙN MOÂN TOAÙN Baøi 1 : (Ñaïi soá) Cho caùc soá thöïc x, y thoûa phöông trình x(x-1) + y(y-1) = xy Tìm giaù trò nhoû nhaát vaø giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc x 2 + y2 + xy. -------------------- 2 2 Ñaët a = x + y + xy . Töø ñieàu kieän cuûa x, y ta suy ra: x + y + 2xy = a ( 0,5 ñieåm)  x  y  2 xy  a Goïi a laø moät giaù trò cuûa bieåu thöùc x2 + y2 + xy thì heä pt:  2 phaûi coù nghieäm.  x  y 2  xy  a ( 0,5 ñieåm) S  2 P  a Ñaët: S = x+ y, P = xy (S2  4P) , heä phöông trình trôû thaønh :  2 ( 0,5 ñieåm) S  P  a  S  2P  a   2 ( 0,5 ñieåm) 4 P  (4a  1) P  a  a  0 2 Heä pt coù nghieämkhi vaø chæ khi phöông trình : a f(P) = 4P2 -(4a+1)P+a2-a= 0 coù nghieäm thoûa P  ( 0,5 ñieåm) 3   0  a    a Ñieàu naøy töông ñöông vôùi : f    0   f    0 ( 0,5 ñieåm) 3  3  4a  1  a  8  3  a  12a 2  24a  1  0    0  a 2  12a  0 ( 0,5 ñieåm) 9  4a  1  a  8  3  0  a  12 ( 0,5 ñieåm) 2 2 2 2 Keát luaän : Max (x + y + xy ) = 12 vaø Min (x + y + xy ) = 0 Baøi 2 : (Löôïng giaùc) Cho ABC laø tam giaùc coù ba goùc nhoïn . Chöùng minh raèng : tgA tgB tgC 3  3  3 1 tg B tg C tg A ---------------------------------- Do tam giaùc ABC nhoïn neân tgA > 0 ,tgB > 0 , tgC > 0. Vieát laïi baát ñaúng thöùc : cot g 3 B cot g 3C cot g 3 A   1 ( 0,5 ñieåm ) cot gA cot gB cot gC
  8. Aùp duïng baát ñaúng thöùc Coâsi : cot g 3 B  cot gA. cot gB  2 cot g 2 B ( 0,5 ñieåm ) cot gA cot g 3C  cot gB. cot gC  2 cot g 2 C cot gB cot g 3 A  cot gC. cot gA  2 cot g 2 A ( 0,5 ñieåm ) cot gC Suy ra : cot g 3 B cot g 3C cot g 3 A    cot g 2 A  cot g 2 B  cot g 2 C cot gA cot gB cot gC  1  (cot gA  cot gB) 2  (cot gB  cot gC ) 2  (cot gC  cot gA) 2 2  ( 0,5 ñieåm ) 3 3 3  cot g 2 A  cot g 2 B  cot g 2 C  cot gA  cot gB  cot gC  cot g B cot g C cot g A 1    2 cot gA cot gB cot gC 3 ( 0,5 ñieåm ) Maët khaùc : (cot gA  cot gB  cot gC )  3 , vì baát ñaúng thöùc naøy töông ñöông vôùi: 2 cotg2A+cotg2B+cotg2C +2(cotgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA)  3 ( 0,5 ñieåm )  (cot gA  cot gB) 2  (cot gB  cot gC ) 2  (cot gC  cot gA) 2  0 . ( 0,5 ñieåm ) Töø ñoù suy ra : cot g 3 B cot g 3C cot g 3 A   1 ( 0,5 ñieåm ) cot gA cot gB cot gC Baøi 3 : (Giaûi tích) Daõy soá x n  ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : xn x1  3 ; xn  1  3  ( n = 1, 2, 3, ….). xn  1 2 Chöùng minh raèng daõy soá ( x n ) coù giôùi haïn höõu haïn khi n   vaø tìm giôùi haïn cuûa noù. -----------------------------------------------------  Töø caùch xaùc ñònh daêy soá, suy ra xn  3 , n  1 x Giaû söû daõy coù giôùi haïn laø a thì a laø nghieäm cuûa phöông trình : x  3  (1) ( x  3 ) x2 1 (0,5 ñieåm) 1   Ñaët : sin    0     , phöông trình (1) trôû thaønh : sin   cos   3 sin  . cos   0 x  2 (0,5 ñieåm) Ñaët : t  sin   cos  ( t  2 ) , ta ñöôïc phöông trình : 3t  2t  3  0  t   3 2 (0,5 ñieåm)
  9. 1  1  sin   cos    sin 2    sin     1  3  3 3.( 5  1) Suy ra : .Vaäy : a  3.(1  5 ) 2  sin   6 (0,5 ñieåm) x 1  Xeùt haøm soá f ( x)  3  ( x  3 ) coù f ' ( x)  x 1 2  x  1 2 3 (0,5 ñieåm) Aùp duïng ñònh lí Lagrange : xn1  a  f ( xn )  f (a)  f ' (c) . x  a vôùi c naèmgiöõa xn vaø a. 1 2 2 Vì c  3  f ' (c)   . Do ñoù : x n 1  a  . xn  a 0,5 ñieåm)  c  1 2 3 4 4 n 1 n 1  2  2 Suy ra : 0  x n  a       4  . x1  a , vaø do lim  4  . x1  a  0 0,5 ñieåm)     3.( 5  1) Do ñoù : lim xn  a  (0,5 ñieåm) 2 Baøi 4 : (Hình hoïc phaúng) Cho tam giaùc ABC vaø M laø trung ñieåm cuûa BC , moät ñöôø ng troøn baát kì qua A caét caùc tia AB, AC, AM theo thöù töï taïi E, F, K. Chöùng minh raèng : AB.AE + AC.AF = 2AK.AM -------------------------------------------------------------------- A Goïi AD laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn thì : AE  ED , AF  FD , AK  KD (0,5 ñieåm) Ta coù : AB  AC  2 AM (0,5 ñieåm) E F  AD. ( AB  AC )  2 AM . AD (0,5 ñieåm) K  AD. AB  AD. AC  2 AM . AD (0,5 ñieåm) B C  AE. AB  AF . AC  2 AM . AK (0,5 ñieåm) M (Coâng thöùc chieáu)  AE. AB cos 0  AF . AC cos 0  2 AK . AM cos 0 (0,5 ñieåm)  AE. AB cos 0  AF . AC cos 0  2 AK . AM cos 0 (0,5 ñieåm)  AE. AB  AF . AC  2 AK . AM (0,5 ñieåm) Baøi 5 : (Hình hoïc khoâng gian) Cho töù dieän ABCD coù BAC  CAD  DAB  60 0 . Chöùng minh raèng : AB 2  AC 2  AD 2  8R 2 trong ñoù R laø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. ( Kí hieäu BAC laø goùc BAC )
  10. ------------------------------------------------------------------------------- Goïi G laø troïng taâm vaø O laø taâm maët caàu ngoaïi teáp töù dieän ABCD thì : GA  GB  GC  GD  0  OA  OB  OC  OD  4OG ( 0,5 ñieåm )   OA2  OB 2  OC 2  OD 2  2 OA.OB  OA.OC  OA.OD  OB.OC.  OB.OD  OC.OD (0,5ñ)  16OG 2  AB 2  AC 2  AD 2  BC 2  CD 2  DB2  16R 2  16OG2 ( 0,5 ñieåm ) 2 2  2 2 2  Maët khaùc : BC  CD  DB  2 AB  AC  AD   AB. AC  AC. AD  AD. AB  2 ( Ñònh lí haøm soá cosin ) ( 0,5 ñieåm )  2 2   3 AB  AC  AD   AB. AC  AC. AD  AD. AB   16R  16OG  16R 2 2 2 2 ( 0,5 ñieåm )  2 2    2 AB  AC  AD  AB  AC  AD  AB. AC  AC. AD  AD. AB  16R 2 2 2 2 2  (0,5 ñieåm)  2   2 AB  AC  AD  16R ( Vì AB  AC  AD  AB. AC  AC. AD  AD. AB  0 2 2 2 2 2 2 (0,5 ñieåm)  AB  AC  AD  8R 2 2 2 2 (0,5 ñieåm)

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản