Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9

Chia sẻ: LPT Anh Khoa Nguyễn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

1
756
lượt xem
187
download

Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học, biết cấu trúc ra đề thi như thế nào và xem bản thân mình mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành đề thi này. Hãy tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9

  1. MATHVN.COM | www.MATHVN.com BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THEO TỪNG DẠNG DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài 1: Cho biểu thức 1 1 a2  2 P=       2 1  a 2 1  a 1  a3 a) Rút gọn P. b) Tìm Min P. Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x x 2  y 2  xy Tính giá trị biểu thức : P = xy - 1 x-y Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = xy Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0 Bài 4: Cho biểu thức P = 15 x  11  3 x  2  2 x  3 x  2 x  3 1- x x 3 1 a) Tìm các giá trị của x sao cho P = 2 2 b) Chứng minh P ≤ 3 Bài 5: Cho biểu thức 3a  9a  3 a 1 a 2 P=   a a 2 a  2 1 a a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên. Bài 6: Cho biểu thức P= a 4 a -4  a 4 a -4 8 16 1-  a a2 a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên. Bài 7: Cho biểu thức  a 1   1 2  P=   :   a  1 a  a   a  1 a  1      a) Rút gọn P. www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 1
  2. MATHVN.COM | www.MATHVN.com b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2 c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0. Bài 8: Cho biểu thức  4 x 8x   x  1 2  P=   2 x 4x x2 x :      x  a) Rút gọn P. b) Tính x để P = -1 c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1. Bài 9: Cho biểu thức  y - xy   x y x  y P=  x :     x y    xy  y xy  x xy    a) Tìm x, y để P có nghĩa. b) Rút gọn P. c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3 Bài 10: Cho biểu thức  x  1 x - 1 x 2  4x  1  x  2007 P=        x 1 x 1  x 2 1   x a) Tìm x để P xác định. b) Rút gọn P. c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên. Bài 11: Rút gọn P.  2 2 2 2 4 2 2 P =  a  a  b  a  a  b : 4 a  a b    a  a 2  b2  a  a 2  b2   b2 Với | a | >| b | > 0 Bài 12: Cho biểu thức  x 2 2 x  2  1 x  P=   .   x 1  x  2 x  1  2    a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0. c) Tìm GTLN của P. Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức 2x 5 x 1 x  10 P=   x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6 Không phụ thuộc vào biến số x. Bài 14: Chứng minh giá trị của biểu thức P = x  3 2  3 .6 7  4 3  x 4 9  4 5 . 2  5  x Không phụ thuộc vào biến số x. www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 2
  3. MATHVN.COM | www.MATHVN.com Bài 15: Cho biểu thức P= x2  x x2  x   x 1 x  x 1 x  x 1 Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 . Bài 16: Cho biểu thức 2 P= x  x  2x  x 2(x  1)  x x 1 x x 1 a) Rút gọn P. b) Tìm GTNN của P c) Tìm x để biểu thức Q = 2 x nhận giá trị là số nguyên. P Bài 17: Cho biểu thức  2x x  x  x x  x  x 1 x P=       x x 1 x  1  2x  x  1 2 x  1  a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó. Bài 18: Rút gọn biểu thức 3 5 3 5 P=  10  3  5 10  3  5 Bài 19: Rút gọn biểu thức a) A = 4 7  4 7 b) B = 4  10  2 5  4  10  2 5 c) C = 4  15  4  15  2 3  5 Bài 20: Tính giá trị biểu thức P= x  24  7 2 x  1  x  4  3 2 x  1 1 Với ≤ x ≤ 5. 2 Bài 21: Chứng minh rằng: 2 3  5  13  48 P= 6 2 là một số nguyên. Bài 22: Chứng minh đẳng thức: www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 3
  4. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 3 3 1 1 2  2 1 3 3 1 1 1 1 2 2 Bài 23: Cho x = 3 5 2  7  3 5 2  7 Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x 1  xy 1  xy Bài 24: Cho E =  xy xy Tính giá trị của E biết: x= 4  8. 2  2  2 . 2  2  2 3 8  2 12  20 y= 3 18  2 27  45 2 Bài 25: Tính P = 1  2007 2 2007  2007 20082 2008 Bài 26: Rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 P= + + ... + 1 5 5 9 2001  2005 Bài 27: Tính giá rẹi của biểu thức: P = x + y3 - 3(x + y) + 2004 biết rằng 3 x = 33 2 2 3 32 2 y = 3 17  12 2  3 17  12 2  a 1 a 1  1  Bài 28: Cho biểu thức A =   a 1   4 a  a     a 1 a  a) Rút gọn A. b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - 6 ) 4  15 Bài 29: Cho biểu thức x  4 x  1  x  4 x  1  1  A=  1   x 2  4 x  1  x 1 a) x = ? thì A có nghĩa. b) Rút gọn A. Bài 30: Cho biểu thức 1 1 x 1 1 x 1 P=   1 x  1 x 1 x  1 x 1 x a) Rút gọn P. 2 b) So sánh P với . 2 www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 4
  5. MATHVN.COM | www.MATHVN.com Bài 31: Cho biểu thức 1 3 2 P=   x 1 x x 1 x  x 1 a) Rút gọn P. b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1. Bài 32: Cho biểu thức 2 a 9 a  3 2 a 1 P=   a 5 a 6 a 2 3 a a) Rút gọn P. b) a = ? thì P < 1 c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên. Bài 33: Cho biểu thức x 2 x 1 x P=   xy  2 y x  x  2 xy  2 y 1  x a) Rút gọn P. b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0. Bài 34: Cho biểu thức x 2 x 1 x P=   xy  2 y x  x  2 xy  2 y 1  x a) Rút gọn P. b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0. Bài 35: Cho biểu thức  1 1  2 1 1 x3  y x  x y  y 3 P =       :  x  y x y x  y  xy 3  x 3 y a) Rút gọn P. b) Cho xy = 16. Tìm Min P. www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 5
  6. MATHVN.COM | www.MATHVN.com DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT. Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab. Tính giá trị của biểu thức: P = a b a b 2 2 Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x +2y = 5xy Tính giá trị biểu thức E = x  y x y Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0 CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0 Tính giá trị biểu thức: yz xz xy M= 2  2  2 x y z 3 3 3 Bài 4: Cho a + b + c = 3abc. Tính giá trị của biểu thức:  a  b  c P = 1  1  1    b  c  a Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3 b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 . Tính giá trị của biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007 Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức: P = a4 + b4 + c4 Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007 x y xy x3 y3 Bài 8: Cho   1 và  2 . Tính 3  3 a b ab a b Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 P=  2 2  2 2 b 2  c 2  a 2 a  c  b 2 a b  c 2 x4 y 4 1 Bài 10: Cho   ; x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng: a b ab a) bx2 = ay2; www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 6
  7. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 2008 2008 x y 2 b) 1004  1004  a b ( a  b)1004 Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì: 1 1 1   =1 1  x  xy 1  y  yz 1  z  xz Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức: A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3 Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức: a2 b2 c2 P=   (a  b)(a  c ) (b  c)(b  a ) (c  b)(c  a ) Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều. Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì: bc cb ab 2 2 2      (a  b)(a  c ) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) a  b b  c c  a Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p 1 1 1 1 abc Chứng minh rằng:     p  a p  b p  c p p( p  a )( p  b)( p  c) Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh : a b 2(ab  2)  3 3  2 2 b 1 a 1 a b  3 x y z a b c Bài 18: Cho    1 và    0 a b c x y z x2 y 2 z2 Tính giá trị biểu thức A = 2  2  2 a b c a b c Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và   0 bc ca ab a b c Tính giá trị của P = 2  2  (b  c ) (c  a) ( a  c) 2 Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0. Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd Chứng minh: c = d. Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2. x y Tính giá trị biểu thức: A = x y Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy. www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 7
  8. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 2 xy Tính giá trị của phân thức A =  6 x  xy  y 2 2 Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007. ax 2  by 2  cz 2 Tính giá trị của biểu thức: P= bc ( y  z )2  ac( x  z ) 2  ab( x  y ) 2 Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008. Tính giá trị biểu thức: x3 y3 z3 P=   ( x  y )( x  z ) ( y  x)( y  z ) ( z  y )( z  x) x  y  z  1  Bài 27: Cho  x 2  y 2  z 2  1 x3  y 3  z 3  1  Tính giá trị của biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 . Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức: P= a 2   (b  c )2 (a  b  c )  ( a  b  c) ( a  c) 2  b 2  Bài 29: Cho biểu thức P = (b + c – a ) – 4b2c2. 2 2 2 2 Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0. Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:  xy  y  z  3   yz  y  z  8  zx  x  z  15  Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z. Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:  2 2 2 x  y  z  1  3 x  y3  z3  1  Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003) 2 3 6 84 Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = 2 3 4 x y b) Tính giá trị biểu thức: Q = x y Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005) Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2. a) So sánh a và b + c. b) So sánh a3 và b3 + c3. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0 www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 8
  9. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 2) Tính A = 3 20  14 2  3 20  14 2 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 2. b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m. c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện x 12 + x 22  10. c  0 Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:  c  a   ab  bc  2ac 2 Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm. Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt. Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai  x1  x 2  5 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:  3 3  x1  x 2  35 Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm. Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0 2b c Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0) có nghiệm nếu  4 a a Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa 5 mãn: x 12 - x 22 = 9 Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN b) B = x12 + x22 - đạt GTNN. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài 11: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2: 3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức: www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 9
  10. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 1 1 S= 3  3 x1 x 2 Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 3 x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức: 3 x12  5 x1 x 2  3 x 2 2 A= 4 x1 x 2  4 x13 x 2 3 Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a. 2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = 6. 3) Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < 1 < x2. Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1) a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) . Tìm GTNN của M = x12 + x22 Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: 1 1 1   a b 2 CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm: x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0. Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1) a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m. b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó. Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình sau phải có nghiệm: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (2) Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1) a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m. b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN. Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m. 2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22  10. 3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: E = x12 + x22 đạt GTNN. Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. CMR: a2 + b2 là một hợp số. www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 10
  11. MATHVN.COM | www.MATHVN.com DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. Giải phương trình: Bài 1: x3 + 2x2 + 2 2 x + 2 2 . Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1) Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 Bài 7: a) (x + 2 )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 2 b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0 b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0 c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0 Bài 9: a) x4 = 24x + 32 b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0 5 3 Bài 10: x 8  x 9 1 2x 7x Bài 11: 2  2 1 3x  x  2 3x  5x  2 4x 2 Bài 12: x2 +  12  x  2 2 2 2 x 2  x  2 x2  4 Bài 13: 20     5   48 2 0  x 1   x 1  x 1 3x 7x Bài 14: a) 2  2  4 x  3x  1 x  x  1 x 2  10 x  15 4x b) 2  2 x  6 x  15 x  12 x  15 x 2  3x  5 x 2  5 x  5 1 c) 2  2  x  4x  5 x  6x  5 4 2 81x Bài 15: a) x2 +  40 x  9 2 www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 11
  12. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 2 x b) x2 +  15 x  12 2 2 x 1  x 1  40 Bài 16: a)        x   x 2 9 2 2 x 2  x 2 5 x2  4 b)       0  x 1   x 1  2 x2 1 8 x 8 x c) x. x   15 x 1  x 1  2 x 1 Bài 17: x +2   = 8( Đề thi HSG V1 2004)  x  Bài 18: x  1  5 x  1  3x  2 Bài 19: 3 x 1  3 7  x  2 Bài 20: x  2 x 1  x  2 x 1  2 Bài 21: 3x2 + 21x + 18 + 2 x 2 7 x  7  2 Bài 22: a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 Bài 23: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003) Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 Bài 25: a) x3 - 6x + 4 = 0 b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 Bài 26: a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0 b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 x 2 48 x 4 Bài 27:  2  10  0 3 x 3 x Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x 3  1 ( Đề thi HSG 1998) x  14 Bài 29: x 5  3 3 x 5 Bài 30: x4 - 4 3 x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000) x4  4 Bài 31:  5x  0 ( Đề thi HSG V2 2003) x2  2 Bài 32: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0 b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0 Bài 33: (x + 3 x + 2)(x + 9 x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005) Bài 34: a) x2 + 4x + 5 = 2 2 x  3 b) 3 x 3  8 = 2x2 - 6x + 4 4 c) 2  x  2 2 x 3 www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 12
  13. MATHVN.COM | www.MATHVN.com Bài 35: 3 x 1  x  2  3 x  3  0 3 Bài 36: Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m a) Giải phương trình khi m = 5. b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương trình có nghiệm. Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0 Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0. Bài 40: x2 + 9x + 20 = 2 3x  10 Bài 41: x2 + 3x + 1 = (x + 3) x 2 1 Bài 42: x2 + x  2006 =2006 DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC ab Bài 1) Với a, b > 0 thì  ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2 Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có: 2 (a 2  b 2 )( x 2  y 2 )  (ax + by) .Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 3) Cho a, b, c, d > 0. Cm: ab  cd  a  c b  d  Bài 4) CM bất đẳng thức: a2  b2  c2  d 2  a  c 2  b  d 2 Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức: a2 b2 c2 abc    bc ca ab 2 Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì: 1 1 1 1   ...   n 1 n  2 2n 2 Bài 7) Cho a3 + b3 = 2. Cmr: a + b  2. Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) a2 + b2 + c2 = 2 (2) 4 CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn  ;0 khi biễu diễn trên trục số.    3  Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5. CMR: 2a2 + 3b2  5. Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1. 1 CM: a2 + 4b2  . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003). 5 2 2 2 2 2 1 Bài 11) Chứng minh:  (Đề thi HSG 2001). 3 2 2 2 2 Bài 12) Chứng minh: www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 13
  14. MATHVN.COM | www.MATHVN.com a) (a  b )( x  y )  (ax + by)2 2 2 2 2 b) 0  x  2  4  x  2 a b c 3 Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm:    bc ca ab 2 1 1 1 Bài 14) Cho S  1    ...  . 2 3 100 CMR: S không là số tự nhiên. 1 1 4 Bài 15) a) Cho x, y dương. CMR:   . Dấu bằng xảy ra khi nào? x y x y abc b) Tam giác ABC có chu vi P  . 2 1 1 1 1 1 1 Cm:    2    pa pb pc a b c Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì? x Bài 16) a) CM x > 1 ta có: 2 x 1 a2 b2 b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của: P   b 1 a 1 Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) 1 1 1 Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì      9 .   a b c Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2. CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005). Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5. Cm: a + 2b  10. Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab. 8 CMR:  a2  b2  8 . 3 Dấu bằng xảy ra khi nào? 1 1 2 Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT:   3 a b ab Bài 24) CMR nếu: a) 1  a  5 thì 3 a  1  4 5  a  10 b) a + b  0; b  1  0; a  b  2 thì a  1  b  1  2 2 3 1 4 Bài 25) Cho biểu thức P  4 3  4 3  x  x  x 1 x  x  x 1 x  x  x  x2  x  1 5 4 3 32 CMR: 0  P  với x  1 . 9 www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 14
  15. MATHVN.COM | www.MATHVN.com a a ak Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và  1.Cmr :  b b bk b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì: a b c   < 2. bc ca ab Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. 1 1 Chứng minh rằng: 1  1    9     a  b (Đề thi HSG V2 2003 - 2004) Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0: x2 y2  x y 2  2  4  3    y x y x   DẠNG 6: CỰC TRỊ Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x + y. 1  1  Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của P =  1  2   1  2    x  y   2  x  x  1 2 Bài 3) Cho P = . Tìm GTNN, GTLN của P và các giá trị tương ứng của x. x2  1 Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y  0, x + y = 10 Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5. Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2 + y2. Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 x2  x 1 Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2  x  1 Bài 8) Tìm GTLN của A = x + 2  x x y z Bài 9) Tìm GTLN của P =   với x, y, z > 0. y z x Bài 10) Tìm GTLN của P = ( x  1990)2  ( x  1991)2 Bài 11) Cho M = a  3  4 a  1  a  15  8 a  1 a) Tìm điều kiện của a để M được xác định. b) Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng. Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 1 1 1    2 . Tìm GTNN của P = x.y.z. 1 x 1 y 1 z 2 1 Bài 13) Tìm GTNN của P =  1 x x Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x + 2y. Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2. www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 15
  16. MATHVN.COM | www.MATHVN.com Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức 1 2 P= 2 2 + + 4xy x y xy x2  x  1 Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P = với x bất kỳ. x2  1 Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức 1 2 A= 2 2 x y xy 2 2 1  1 Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =  x     y      x  y 1 Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 + y4) + 4xy 1  1 Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =  1   1      x  y  Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 4. 2 2  1 1 Tìm GTNN của biểu thức P =  x     y      y  x Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 1 1 1 E = a   b   c          a b  c   Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1. Tìm GTNN của: P = a3 + b3 Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1. 1 1 Tìm GTNN của P =  a 1 b 1 x2  y2 Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của P = x y Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm GTNN của 1 P = 8(x4 + y4) + xy Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = 0 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1 Bài 29) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x x + y y biết x + y = 1 x 2  2 x  2000 Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P = x2 www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 16

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản