Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Bắc Giang

Chia sẻ: Nguyễn Thu Thúy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

0
33
lượt xem
6
download

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Bắc Giang

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để bước vào kì thi học sinh giỏi được thuận lợi hơn, mời các bạn lớp 11 tham khảo "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Bắc Giang". Thông qua giải đề thi các bạn sẽ được làm quen với các dạng đề và các cách giải đề khác nhau, tích lũy thêm kiến thức và biết cách vận dụng lý thuyết, công thức vào đúng bài.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Bắc Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> BẮC GIANG<br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> Đề thi có 01 trang<br /> <br /> ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH<br /> NĂM HỌC 2012-2013<br /> MÔN THI: TOÁN - LỚP 11 CHUYÊN<br /> Ngày thi:31 /03/2013<br /> Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề<br /> <br /> Câu 1. (4 điểm)<br /> 1) Giải phương trình<br /> sin 2 x cos 2 x + 4sin x cos 2 x − 3sin 2 x − cos2 x − 2 cos x + 3 = 0,<br /> (x ∈ ℝ ).<br /> 2) Giải phương trình<br /> x − 1 + x + 7 + x 2 − 3 x − 2 = 0,<br /> (x ∈ ℝ ).<br /> Câu 2. (4 điểm)<br /> y<br /> <br /> + y2 = 0<br /> x +<br /> 2<br /> 1+ x + x<br /> <br /> 1) Giải hệ phương trình<br /> (x, y ∈ ℝ ).<br />  2<br />  x + 2 x 2 + 1 + y 2 = 3,<br />  y2<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> 3<br /> 2) Cho n là số nguyên dương thoả mãn: 1Cn + 2Cn + 3Cn + ... + nCnn = 128n.<br /> Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của<br /> f ( x) = 2(1 + x) n + x(2 + x) n +1 .<br /> Câu 3. (4 điểm)<br /> 1) Cho dãy số (un) được xác định như sau<br />  x1 = 1<br /> <br /> 1<br /> 2013 <br /> <br />  xn +1 = 2  xn + x  , n ≥ 1.<br /> n <br /> <br /> <br /> Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm lim xn .<br /> <br /> n →+∞<br /> <br /> 2) Tính giới hạn<br /> <br /> lim<br /> x →0<br /> <br /> 4 + x.3 1 + 2 x − 2<br /> .<br /> x<br /> <br /> Câu 4. (6 điểm)<br /> 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Đường thẳng chứa cạnh BD có<br /> phương trình: 2x + y – 1 = 0. Điểm M(6;-1) và điểm N(2;1) lần lượt nằm trên các đường thẳng (AB),<br /> (AD). Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết B có hoành độ dương.<br /> 2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với<br /> mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SB và (ABCD) bằng 600. Gọi N là trung điểm BC.<br /> a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và AN.<br /> b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DN.<br /> Câu 5. (2 điểm)<br /> Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng<br /> sin A + sin B + sin C<br /> ≤ 1.<br /> A<br /> B<br /> C<br /> cos + cos + cos<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> --------------------------------Hết------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br /> Họ và tên thí sinh................................................ Số báo danh:.................................................<br /> Giám thị 1: (Họ tên và ký).........................................................................................................<br /> Giám thị 2: (Họ tên và ký).........................................................................................................<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> BẮC GIANG<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH<br /> NGÀY THI 31 /3/2013<br /> MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN<br /> Bản hướng dẫn chấm có 03 .trang<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> Câu<br /> Câu I<br /> <br /> Phương pháp – Kết quả<br /> 1) Phương trình đã cho tương đương với<br /> sin 2x(2cos2 x -1) + 4sin x cos2 x –3sin2x –(2cos2 x – 1 ) –2cos x + 3 = 0<br /> ⇔ (2sin2xcos2x – 2cos2 x) + (4sinxcos2 x – 2cos x) – 4sin 2x + 4 = 0<br /> ⇔ 2cos2x(sin2x – 1) + 2cos x(sin2x – 1) – 4(sin 2x - 1) = 0<br /> ⇔ (sin 2x - 1)(cos2 x + cos x - 2) = 0<br /> sin 2 x = 1<br /> π<br /> <br /> cos x = 1 ⇔  x = + kπ<br /> ⇔ <br /> 4<br /> <br /> cos x = −2<br />  x = k 2π<br /> <br /> <br /> ) (<br /> <br /> x −1 −1 +<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> 0,5<br /> <br /> 2) Điều kiên x ≥ 1<br /> Phương trình tương đương với<br /> <br /> (<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> )<br /> <br /> x + 7 − 3 + x2 − 3x + 2 = 0<br /> <br /> x−2<br /> x−2<br /> +<br /> + ( x − 1)( x − 2) = 0<br /> x −1 + 1<br /> x+7 +3<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> ⇔ ( x − 2) <br /> +<br /> + x − 1 = 0<br /> x+7 +3<br />  x −1 + 1<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> Vì x ≥ 1 nên<br /> +<br /> + x −1 > 0<br /> x −1 + 1<br /> x+7 +3<br /> Do đó (*) ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2.<br /> ⇔<br /> <br /> Câu II<br /> <br /> (*)<br /> <br /> 1) Điều kiện y ≠ 0.<br /> Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x + y ( x 2 + 1 − x) + y 2 = 0<br /> x<br /> + y + x2 + 1 − x = 0<br /> y<br /> x<br /> ⇔ x2 + 1 = x − ( + y)<br /> y<br /> ⇔<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được<br /> <br />  x<br /> <br /> x2<br /> + 2  x −  + y  + y 2 = 3<br /> 2<br /> y<br /> <br />  y<br /> 2<br /> <br /> x<br /> <br /> x<br /> <br /> ⇔  + y  − 2 + y  = 3<br /> y<br /> <br /> y<br /> <br /> x<br />  y + y = −1<br /> ⇔<br /> x<br /> y + y=3<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ( 3)<br /> <br /> thay vào<br /> <br /> giải ra ta có nghiệm (x, y) = (0, -1).<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> 3<br /> 2) Chứng minh được 1Cn + 2Cn + 3Cn + ... + nCnn = n.2n −1<br /> Từ đó suy ra 2n – 1 = 128 ⇔ n = 8.<br /> <br /> 8<br /> <br /> i =0<br /> <br /> Vậy f ( x) = 2(1 + x)8 + x(2 + x)9 = ∑ 2C8k x k + ∑ C9i 29 −i xi +1<br /> <br /> Câu<br /> III<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 9<br /> <br /> k =0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Từ đó tìm được hệ số cần tìm là 2C86 + C95 .2 4 = 2072.<br /> 1) Dễ thấy xn > 0 với mọi n<br /> 1<br /> 2013  1<br /> 2013<br /> Ta có xn +1 =  xn +<br /> = 2013<br />  ≥ .2 xn .<br /> xn  2<br /> xn<br /> 2<br /> 2013 với mọi n ≥ 1.nên (xn) là dãy bị chăn dưới<br /> 2<br /> 2013 − xn<br /> 1 2013<br /> − xn ) =<br /> ≤ 0 vì xn ≥ 2013 , ∀n ≥ 2<br /> Mặt khác xn +1 − xn = (<br /> 2 xn<br /> 2 xn<br /> Do đó dãy (xn) giảm kể từ số hạng thứ 3.<br /> Từ đó suy ra dãy (xn) có giới hạn hữu hạn.<br /> 1<br /> 2013 <br /> 2013<br /> Đặt a = lim xn suy ra a =  a +<br /> ⇔ a = ± 2013<br /> ⇔a=<br /> n →+∞<br /> 2<br /> a <br /> a<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Do đó xn ≥<br /> <br /> Suy ra lim xn =<br /> n →+∞<br /> <br /> 2) Ta có lim<br /> x →0<br /> <br /> 2013 vì xn > 0 với mọi n.<br /> <br /> 4 + x.3 1 + 2x − 2<br /> 4 + x .( 3 1 + 2 x − 1) + 4 + x − 2<br /> = lim<br /> x →0<br /> x<br /> x<br />  4 + x .( 3 1 + 2 x − 1)<br /> 4+ x −2<br /> = lim <br /> +<br /> <br /> <br /> x →0 <br /> x<br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2 4+ x<br /> 1<br /> <br /> = lim <br /> +<br /> x →0  3<br /> <br /> 4+ x +2<br /> (1 + 2 x) 2 + 3 1 + 2 x + 1<br /> <br /> 4 1 19<br /> = + = .<br /> 3 4 12<br /> Câu<br /> IV<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1) Gọi n(a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.<br /> Vì góc giữa AB và BD bằng 450 nên ta có<br /> <br /> 2<br /> | 2a + b |<br /> =<br /> ⇔ 3a 2 + 8ab − 3b 2 = 0<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 5(a + b )<br />  a = −3b<br /> ⇔ <br /> a = b<br /> 3<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> TH1: a = - 3b, chọn b = -1, a = 3<br /> Lập được phương trình (AB): 3x – y – 19 = 0<br /> (AD): x + 3y – 5 = 0.<br /> Từ đó tìm được A(<br /> TH2: a =<br /> <br /> 31 2<br /> 13 24<br /> 2 9<br /> ; − ), B (4; −7), C (− ; − ), D(− ; )<br /> 5 5<br /> 5<br /> 5<br /> 5 5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> b<br /> , chọn b = 3, a = 1<br /> 3<br /> <br /> Lập được phương trình (AB): x + 3y – 3 = 0<br /> Tìm được B(0; 1) (loại)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2) Góc giữa SB và (ABCD) là SBA = 600<br /> Từ đó tính được SA = a 3<br /> Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AD và SA ⇒ KL//SD và CK // AN<br /> Do đó góc α giữa SD và AN chính là góc giữa KL và CK<br /> a 5<br /> a 11<br /> , KL = a, LC =<br /> Tính được CK =<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 5<br /> CK + KL − LC<br /> Do đó cos CKL =<br /> =−<br /> 2CK .KL<br /> 10<br /> 5<br /> .<br /> Suy ra cos α =<br /> 10<br /> 2) Dễ chứng minh được DN // (SBK)<br /> Do đó d(SB; DN) = d(D; (SBK))<br /> Mà AD cắt (SBK) tại K là trung điểm AD<br /> nên d(D; (SBK)) = d(A; (SBK)) := h.<br /> Tứ diện ABSK là tứ diện vuông nên<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> =<br /> +<br /> +<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> h<br /> AS<br /> AB<br /> AK 2<br /> a 3<br /> .<br /> Từ đó tìm được d(SB; DN) = h =<br /> 4<br /> <br /> Câu V<br /> <br /> Chứng minh được<br /> <br /> sin A + sin B ≤ 2 cos<br /> <br /> Từ đó chứng minh được<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> C<br /> 2<br /> <br /> sin A + sin B + sin C ≤ cos<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> <br /> A<br /> B<br /> C<br /> + cos + cos<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Suy ra điều phải chứng minh.<br /> Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.<br /> <br /> Lưu ý khi chấm bài:<br /> Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ.<br /> Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên.<br /> <br /> 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU<br /> -<br /> <br /> Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn<br /> cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.<br /> Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải<br /> cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.<br /> Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh<br /> kiến thức và tối ưu kết quả học tập.<br /> <br /> -<br /> <br /> CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ<br /> -<br /> <br /> Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát,<br /> hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.<br /> Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung<br /> thời gian tốt nhất để học.<br /> Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):<br /> <br /> + Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý<br /> thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên<br /> cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn<br /> cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.<br /> + Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này<br /> Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em<br /> thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm<br /> các dạng toán mới.<br /> <br /> HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM<br /> -<br /> <br /> -<br /> <br /> Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn<br /> cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt<br /> đầu học Online trực tiếp như ở lớp.<br /> Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động<br /> thời gian học tập của mình.<br /> Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian<br /> ngắn nhất.<br /> Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề<br /> nhanh hơn - hiệu quả hơn.<br /> Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên<br /> toàn quốc.<br /> Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá<br /> trình học.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản