Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Chia sẻ: Nguyễn Thu Thúy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

0
68
lượt xem
19
download

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh" nội dung bám sát chương trình học, cấu trúc đề trình bày khoa học và logic. Mời các em tham khảo để làm quen với cách thức ra đề cũng như ôn tập lại kiến thức và nâng cao tư duy Toán học.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> NĂM HỌC 2012-2013<br /> MÔN TOÁN LỚP 11<br /> Thời gian làm bài: 180 phút<br /> <br /> Câu 1. a) Giải phương trình:<br /> <br /> 2 3 sin x. 1  cos x   4 cos x.sin 2<br /> 2sin x  1<br /> <br /> x<br /> 3<br /> 2<br /> 0<br /> <br /> b)Tính giới hạn sau<br /> L  lim<br /> x 0<br /> <br /> 2 x  1. 3 2.3x  1. 4 3.4 x  1...2013 2012.2013 x  1<br /> x<br /> <br /> Câu 2. a) Cho khai triển:<br /> <br /> 1  x  x<br /> <br /> 2<br /> <br />  x 3  ...  x10<br /> <br /> 11<br /> <br /> <br /> <br />  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  ...  a110 x110<br /> <br /> Chứng minh đẳng thức sau:<br /> 0<br /> 1<br /> 2<br /> 3<br /> 10<br /> 11<br /> C11a0  C11a1  C11a2  C11a3  ...  C11 a10  C11 a11  11<br /> <br /> b) Tính tổng:<br /> n<br /> <br /> 1<br /> 3<br />  1 nCnn<br /> Cn 2Cn2 3Cn<br /> S<br /> <br /> <br />  ... <br /> 2.3 3.4 4.5<br />  n  1 n  2 <br /> <br /> Câu 3. a) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao BB '  5; CC '  2 và cos CBB ' <br /> <br /> 2<br /> .<br /> 5<br /> <br /> Tính diện tích tam giác ABC.<br /> b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn A  B  C <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> . Tính các góc của tam giác<br /> <br /> đó khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất<br /> P  2 cos 4C  4cos 2C  cos 2 A  cos 2 B<br /> <br /> Câu 4. Cho hình chóp SABC có SC   ABC  và tam giác ABC vuông tại B. Biết<br /> AB  a; AC  a 3 và góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng  với sin  <br /> <br /> 13<br /> .<br /> 19<br /> <br /> Tính độ dài SC theo a.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> Câu 5. Cho dãy số  an <br /> <br /> 4<br /> <br /> a1  3<br /> thỏa mãn: <br /> n  1, n <br />  n  2  2 a  n 2 a   n  1 a a<br /> n<br /> n 1<br /> n n 1<br /> <br /> <br /> Tìm lim an .<br /> <br /> ----------------------------------------------------HẾT ----------------------------------------------------<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11<br /> Câu<br /> 1a)<br /> <br /> Đáp án<br /> <br /> <br />  x  6  k<br /> 1<br /> <br /> Điều kiện: sin x   <br /> , k,l <br /> 2<br />  x  5  l<br /> <br /> 6<br /> <br /> <br /> Điểm<br /> 0,5<br /> <br /> (*).<br /> <br /> Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:<br /> 2 3 sin x. 1  cos x   4 cos x.sin 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x<br /> 3  0<br /> 2<br /> <br />  2 3 sin x  2 3 sin x.cos x  2 cos x 1  cos x   3  0<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> 3 sin x  cos x  3sin 2 x  2 3 sin x.cos x  cos2 x  0<br /> <br /> 3 sin x  cos x<br /> <br /> <br /> <br />  3 sin x  cos x  0<br /> 3 sin x  cos x  2  0  <br />  3 sin x  cos x  2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> TH1: 3 sin x  cos x  0  cot x  3  x <br /> 3,0<br /> điểm<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> TH2: 3 sin x  cos x  2  2  sin x cos<br />  x<br /> <br /> <br /> 6<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />  k 2  x <br /> <br /> <br /> 6<br /> <br /> <br /> 6<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  k , k <br /> <br />  cos x sin<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />   2  sin  x    1<br /> 6<br /> 6<br /> <br /> <br /> 1b)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 7<br /> 2<br />  k 2 , x <br />  k 2 , k <br /> 6<br /> 3<br /> <br /> <br /> L  lim<br /> <br /> <br /> <br /> 2x 1 1<br /> <br /> 3<br /> <br /> <br />  lim<br /> x 0<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 2.3 x  1. 4 3.4 x  1...2013 2012.2013 x<br /> x2<br /> <br /> x 0<br /> <br /> <br /> <br /> 2.3x  1  1<br /> <br /> 4<br /> <br /> 3.4 x  1...2013 2012.2013x<br /> x 0<br /> <br /> n<br /> <br /> Chứng minh công thức: lim<br /> x 0<br /> <br /> 2013<br /> <br />  ...  lim<br /> <br /> x<br /> <br /> 3,0<br /> điểm<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br />  k 2 , k <br /> 3<br /> <br /> Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm<br /> x<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ax  1  1 a<br />   a  0; n <br /> x<br /> n<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> *<br /> <br /> 2012.2013x  1<br /> x<br /> <br />  (1).<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 1,0<br /> <br /> Áp dụng (1) ta thu được<br /> L  1  2  3  ...  2012 <br /> <br /> 2a)<br /> <br /> 2011.2012<br />  2011.1006  2023066 .<br /> 2<br /> 11<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> Xét x  1 từ khai triển trên nhân hai vế với  x  1 ta có:<br /> <br /> x<br /> <br /> 11<br /> <br /> 11<br /> <br /> 11<br /> <br /> 11<br /> <br />    x  1  a<br /> <br /> 1<br /> <br /> 11 k<br /> <br /> k<br /> VT (2)   C11 x11k  1<br /> <br /> 0<br /> <br />  a1 x  a2 x 2  ...  a110 x110<br /> <br /> <br /> <br /> (2)<br /> <br /> 1<br />  Hệ số của x11 trong vế trái bằng C11  11<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> k 0<br /> <br /> 2,5<br /> điểm<br /> <br /> 1,0<br /> <br />  11 k<br /> k <br /> VP(2)    C11 x11 k  1   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a110 x110 <br />  k 0<br /> <br />  Hệ số của x11 trong vế phải bằng<br /> 0<br /> 1<br /> 2<br /> 3<br /> 10<br /> 11<br /> C11a0  C11a1  C11a2  C11a3  ...  C11 a10  C11 a11<br /> <br /> Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh<br /> <br /> 2b)<br /> <br /> Ta có<br /> <br /> k<br /> Cn<br /> n!<br /> 1<br /> C k 1<br />  n  1!<br /> <br /> <br /> .<br />  n1 (3)<br /> k  1 k ! k  1 n  k  ! n  1  k  1 !  n  1   k  1  ! n  1<br /> <br /> <br /> k<br /> <br /> k<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  1 kCnk   1 kCnk22<br /> Áp dụng 2 lần công thức (3) ta được:<br />  k  1 k  2   n  1 n  2 <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Cho k chạy từ 1 đến n rồi cộng vế các đẳng thức trên ta có<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  n  1 n  2  S  Cn3 2  2Cn4 2  3Cn5 2  ...   1<br /> <br /> n<br /> <br /> n 2<br /> nCn  2<br /> <br /> n<br /> <br /> 2<br /> 3<br /> 3<br /> 4<br /> 4<br /> 5<br /> n<br />    Cn 1  Cn 1   2  Cn 1  Cn 1   3  Cn 1  Cn 1   ...   1 nCn 11<br /> n<br /> <br /> 2<br /> 3<br /> 4<br /> n 1<br />  Cn 1  Cn 1  Cn 1  ...   1 Cn 1<br /> <br /> 2,0<br /> điểm<br /> <br /> <br /> <br /> 0<br /> 1<br /> 0<br /> 1<br /> 2<br /> 3<br /> 4<br /> 5<br />  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  ...   1<br /> <br /> 1   n  1  1  1<br /> <br /> Vậy S <br /> <br /> n 1<br /> <br /> n 1<br /> <br /> <br /> <br /> n 1<br /> Cn 1 <br /> <br /> 0,5<br /> <br />  n<br /> <br /> n<br /> .<br />  n  1 n  2 <br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> 3a)<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 1<br /> <br /> Xét hai trường hợp:<br /> +) B và C không tù. Khi đó<br /> <br /> A<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 1<br />  sin C <br /> , cos C <br /> 5<br /> 5<br /> 5<br /> BB '<br /> 5<br /> BC <br /> <br /> cos CBB ' 2<br /> CC ' 4<br /> 3<br />  , cos B <br /> Suy ra sin B <br /> BC 5<br /> 5<br /> <br /> B’<br /> <br /> cos CBB ' <br /> <br /> C’<br /> <br /> H<br /> C<br /> <br /> B<br /> <br /> 2,5<br /> điểm<br /> <br />  sin A  sin B cos C  sin C cos B <br /> <br /> 2<br /> BB ' 5<br /> 1<br /> 5<br />  AB <br />   S  AB.CC ' <br /> sin A 2<br /> 2<br /> 2<br /> 5<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> +) B hoặc C tù<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Do BB '  CC ' nên B  C và C tù  sin C <br /> 4<br /> 5<br /> <br /> Còn sin B  , cos B <br /> S<br /> <br /> 3b)<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> , cos C  <br /> 5<br /> 5<br /> <br /> 2<br /> 25<br /> 3<br /> , AB <br /> (giống trường hợp 1)  sin A <br /> 5<br /> 2<br /> 5 5<br /> <br /> Suy ra<br /> <br /> 25<br /> 2<br /> <br /> Ta có A  B  C <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> C <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />  0  cos C <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> cos 2 A  cos 2 B  2cos  A  B  cos  A  B   2cocC cos  A  B   2 cos C (3)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ( Do cos C  0 và cos  A  B   1 ).<br /> Dấu bằng trong (3) xảy ra khi A  B hoặc C <br /> 2,5<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> điểm<br /> <br /> Từ đó P  4  2 cos2 C  1  2  2 cos 2 C  1  1  2 cos C <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br />  8 cos C  2 cos C  1  2 cos C<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản