Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Bắc Giang

Chia sẻ: Nguyễn Thu Thúy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

0
77
lượt xem
16
download

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Bắc Giang

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bạn đang lo lắng cho kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh sắp tới và không biết nên ôn tập như thế nào. Hãy tham khảo ngay "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Bắc Giang" và nhiều tài liệu đề thi liên quan trên trang tailieu.vn để ôn tập và nắm vững kiến thức nhé! Chúc các bạn đạt điểm cao trong kì thi!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Bắc Giang

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> NĂM HỌC 2013 - 2014<br /> MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN<br /> Ngày thi: 29/3/2014<br /> Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> BẮC GIANG<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> (Đề thi có 01 trang)<br /> Câu 1 ( 4, 0 điểm)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1) Giải phương trình 3  4sin 2 x 3  4sin 2 3x  1  2cos10 x.<br /> <br />  2  x  2 y2<br /> <br /> 2) Giải hệ phương trình <br /> 2<br /> 4 1  x  xy 4  y  0.<br /> <br /> Câu 2 ( 6, 0 điểm)<br /> 1) Một đoàn tàu có 4 toa chở khách với mỗi toa có ít nhất 5 chỗ trống. Trên sân ga có 5 hành khách chuẩn<br /> bị lên tàu. Tính xác suất để trong 5 hành khách lên tàu đó có một toa có 3 khách lên, hai toa có 1 khách lên và<br /> một toa không có khách nào lên tầu.<br /> 3<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển f ( x)    x  x 2  (2 x  1)15 thành đa thức.<br /> 4<br /> <br /> 13<br /> <br /> 3) Cho các số thực dương a, b  a  b  và hai dãy số un  ;vn  xác định như sau:<br /> <br /> u1  a ; v1  b<br /> <br /> <br /> un  vn<br /> un 1  2 ; vn 1  un .vn ,  n <br /> <br /> <br /> *<br /> <br /> .<br /> <br /> Chứng minh rằng hai dãy un  ;vn  có giới hạn hữu hạn và lim un  lim vn .<br /> Câu 3 ( 2, 0 điểm). Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 2a  4b  11c  0 . Chứng minh rằng phương trình<br /> <br /> ax2  bx  c  0 luôn có nghiệm thuộc khoảng  0;1 .<br /> Câu 4 ( 6, 0 điểm)<br /> 1) Cho đường thẳng  có phương trình x  y  3  0 và đường tròn  C  : x  2    y  1  1 . Tìm tọa<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> độ điểm M nằm trên đường thẳng  sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm ) và<br /> đường thẳng AB đi qua điểm E  3;-2  .<br /> 2) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có AB  AD = a ; AA '=<br /> <br /> a 3<br /> ; BAD  600. Gọi M và N lần lượt là<br /> 2<br /> <br /> trung điểm của A'D' và A'B', E là giao điểm của MN và A'C'.<br /> a) Tính cosin của góc tạo bởi đường thẳng BE và mặt phẳng (ACC'A').<br /> b) Chứng minh rằng AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN).<br /> Câu 5 ( 2, 0 điểm). Cho x, y <br /> <br /> thỏa mãn<br /> <br /> x  4  y 8 <br /> <br /> x y<br /> . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất<br /> 3<br /> <br /> của S  x  y .<br /> ------ HẾT -----Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm<br /> Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:..................................<br /> Giám thị 1 (Họ tên và ký)..............................................................................................................<br /> Giám thị 2 (Họ tên và ký)..............................................................................................................<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> BẮC GIANG<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> <br /> HDC ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN<br /> (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)<br /> <br /> NGÀY THI 29/3/2014<br /> <br /> Hướng dẫn giải<br /> <br /> Câu<br /> Câu 1<br /> Xét sin x<br /> <br /> 0<br /> <br /> x<br /> <br /> k ,k<br /> <br /> Xét sin x<br /> <br /> 0<br /> <br /> x<br /> <br /> k ,k<br /> <br /> Điểm<br /> (4đ)<br /> <br /> . Thay vào phương trình ban đầu, không thỏa mãn.<br /> (*).<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Nhân hai vế của phương trình đã cho với sin x<br /> Phương trình tương đương với<br /> sin 9 x sin x 2 cos10x sin x<br /> x<br /> <br /> 1.1.<br /> (2.0 điểm)<br /> <br /> cos 6x sin 5x<br /> <br /> 0<br /> <br /> x<br /> <br /> m<br /> <br /> sin11x<br /> <br /> 5<br /> <br /> sin x<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> , m, n<br /> n<br /> <br /> 12<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 6<br /> <br /> Kết hợp với (*) ta được nghiệm của phương trình là<br /> <br /> x<br /> <br /> m<br /> <br /> x<br /> <br /> m<br /> <br /> 5k; m, n, k<br /> <br /> 5<br /> <br /> 12<br /> <br /> ,<br /> n<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 6<br /> <br /> .<br /> <br />  2  x  2 y  2 (1)<br /> <br /> <br /> 2<br /> 4 1  x  xy 4  y  0 (2).<br /> <br /> x<br /> 1 2y<br /> thỏa mãn.<br /> <br /> 2<br /> x<br /> <br /> 2<br /> 1.2<br /> (2.0 điểm)<br /> <br /> Xét f t<br /> <br /> 0;<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> t 4<br /> 2<br /> x<br /> <br /> Thay vào (1) 2<br /> <br /> g<br /> <br /> 2<br /> <br /> KL x ; y<br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> x<br /> <br /> y<br /> <br /> 3<br /> <br /> 4<br /> y2<br /> <br /> 0 nên y<br /> <br /> y<br /> <br /> 4<br /> <br /> x<br /> <br /> y<br /> <br /> (2.0 điểm)<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 2<br /> <br /> , chứng minh được f (t ) đồng biến trên<br /> 4<br /> .<br /> y2<br /> <br /> 2y 2 . Xét g t<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> t2<br /> <br /> 2t<br /> <br /> 2<br /> <br /> nghịch biến trên<br /> <br /> 2 và từ đó x = 1.<br /> <br /> ;0<br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br /> 1; 2 .<br /> <br /> (6đ)<br /> <br /> Câu 2<br /> 2.1<br /> <br /> 0 ; và x = 0 không<br /> <br /> 2<br /> <br /> t 2 trên 0;<br /> y<br /> <br /> 0. Kết hợp (2) được x<br /> <br /> Gọi A là biến cố cần tính xác suất.<br /> Số cách xếp 5 khách lên 4 toa là | | 45<br /> Số cách chọn ba khách để xếp lên cùng một toa là C 53<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 10 .<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 1<br /> Số cách chọn một toa để xếp ba người này là C 4<br /> <br /> 4<br /> <br /> Số cách xếp hai người (mỗi người một toa) vào ba toa còn lại là A2<br /> 3<br /> Suy ra |<br /> <br /> | 10.4.6<br /> <br /> A<br /> <br /> 240<br /> |<br /> <br /> Vậy xác suất cần tìm là P<br /> <br /> 2.2<br /> (2.0 điểm)<br /> <br /> 21<br /> <br /> 2x )21<br /> <br /> Ta có (1<br /> <br /> |<br /> <br /> A<br /> <br /> |<br /> <br /> 240<br /> 45<br /> <br /> |<br /> <br /> 1<br /> (2x+1)6 .(2x+1)15<br /> 64<br /> <br /> Ta có f (x )<br /> <br /> 6<br /> <br /> 15<br /> .<br /> 64<br /> <br /> 1<br /> (1<br /> 64<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 2x)21 .<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> k<br /> C 21 2k x k<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> k 0<br /> <br /> 13<br /> Hệ số của số hạng chứa x 13 trong khai triển của (2x+1)21 là C 21 213<br /> <br /> Vậy hệ số của số hạng chứa x 13 trong khai triển thành đa thức của f (x ) là<br /> 1 13 13<br /> 13<br /> C 21 2<br /> C 21 27 26046720<br /> 64<br /> Ta có<br /> v2<br /> <br /> u1v1<br /> u1<br /> <br /> u2<br /> <br /> ab<br /> v1<br /> <br /> b<br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> uk<br /> <br /> uk<br /> vk<br /> <br /> 2.3<br /> <br /> uk v k<br /> <br /> 1<br /> <br /> v1<br /> <br /> v2<br /> <br /> uk<br /> 1<br /> <br /> vk<br /> <br /> u1<br /> <br /> vk (do uk<br /> <br /> 1<br /> <br /> u2<br /> 1<br /> <br /> ...<br /> <br /> uk<br /> <br /> vk 1 )<br /> <br /> vk<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> uk .<br /> <br /> 2<br /> <br /> ...<br /> <br /> vk ;<br /> <br /> vk ;<br /> vk<br /> 1<br /> <br /> uk<br /> <br /> 1<br /> <br /> uk<br /> <br /> ...u1 .<br /> <br /> Vậy (un ) giảm và bị chặn dưới; (vn ) tăng và bị chặn trên nên tồn tại<br /> lim un<br /> <br /> un<br /> <br /> un<br /> 1<br /> <br /> vn<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Vậy lim un<br /> <br /> Xét f (x )<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> lim vn<br /> <br /> ;<br /> <br /> .<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> lim vn<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> u1<br /> <br /> ...<br /> <br /> uk 1.vk<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> (2.0 điểm)<br /> <br /> uk<br /> <br /> vk<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> v1<br /> a<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> Chứng minh bằng quy nạp v1 v2<br /> <br /> Câu 3<br /> ax<br /> <br /> bx<br /> <br /> c liên tục trên đoạn [0; 1].<br /> <br /> (2 đ)<br /> 0.5<br /> <br /> 1<br /> f (1) 2a+4b+11c=0<br /> 3<br /> 1<br /> f (1) 0 thì x = 1/3 là nghiệm thỏa mãn.<br /> Nếu f (0) 9 f<br /> 3<br /> 1<br /> ; f (1) không đồng thời bằng 0 thì trong ba số này phải có cả số<br /> Nếu f (0);9 f<br /> 3<br /> âm và số dương.<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Từ tính liên tục của f(x) ta được phương trình ax2  bx  c  0 luôn có nghiệm<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Ta có f (0)<br /> 2.0 điểm<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 9f<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> thuộc khoảng  0;1 .<br /> (6đ)<br /> <br /> Câu 4<br /> Đường tròn (C) có tâm I(2; 1).<br /> Gọi M(2m ; 2m + 3) thuộc . Trung điểm của IM là E(m+1; m+ 2).<br /> Đường tròn đường kính MI có phương trình<br /> 2<br /> 2<br /> (C1 ) : x (m 1)<br /> y (m 2)<br /> (m 1)2 (m 1)2<br /> 4.1<br /> (2.0 điểm)<br /> <br /> Lập luận {A, B}<br /> <br /> C1<br /> <br /> 2(m<br /> <br /> 1)y<br /> <br /> 1)x<br /> <br /> 2(m<br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br /> (C ) nên đường thẳng AB:<br /> 6m<br /> <br /> 1<br /> <br /> Vì AB đi qua E nên từ (*) suy ra m<br /> <br /> 0.<br /> <br /> (*)<br /> 9<br /> . Suy ra M<br /> 4<br /> <br /> 0.5<br /> 9<br /> ;<br /> 2<br /> <br /> 3<br /> .<br /> 2<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> A<br /> B<br /> O<br /> F<br /> C<br /> <br /> D<br /> <br /> A'<br /> N<br /> <br /> B'<br /> <br /> E<br /> <br /> 4.2a<br /> <br /> M<br /> <br /> O'<br /> <br /> (2 .0 điểm)<br /> D'<br /> <br /> C'<br /> <br /> Gọi O là giao điểm của AC và BD<br /> Suy ra AC vuông góc với BD; CC' vuông góc với BD theo giả thiết.<br /> BD (ACC'A') . Vậy OE là hình chiếu của BE trên mặt phẳng (ACC'A').<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Góc (BE, (ACC'A')) = góc (BE, OE) = góc BEO.<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Xét tam giác EOO' vuông tại O', tính được EO<br /> <br /> a 15<br /> .<br /> 4<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 2 15<br /> .<br /> 15<br /> 15<br /> Vậy cosin của góc giữa đường thẳng BE và (ACC'A') là<br /> .<br /> 19<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Theo chứng minh trên ta có BD vuông góc AC' (1)<br /> Gọi O' là trung điểm của A'C'; I là giao điểm của OO' và AC'.<br /> Xét tam giác ACC' và tam giác EOO' có CAC ' EOO' 300 ; AIO<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Trong tam giác BEO vuông tại O. Tính được tan BEO=<br /> <br /> 4.2b<br /> (2.0 điểm)<br /> <br /> Từ đó chứng minh được EO vuông góc với AC' (2)<br /> Từ (1) và (2) suy ra AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN).<br /> <br /> Câu 5<br /> <br /> 600<br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> 0.5<br /> (2đ)<br /> <br /> Đặt a<br /> <br /> x<br /> <br /> a<br /> <br /> 4;b<br /> <br /> b<br /> <br /> Suy ra<br /> <br /> a2<br /> <br /> b2<br /> <br /> y<br /> <br /> S<br /> 3<br /> <br /> a<br /> S<br /> <br /> 4<br /> <br /> Từ (*) và do a, b<br /> <br /> 0 nên<br /> <br /> Giải (**) được 6<br /> <br /> 2.0 điểm<br /> <br /> 8 (a,b<br /> <br /> S<br /> <br /> S<br /> 3<br /> <br /> b<br /> S2<br /> <br /> ab<br /> S<br /> 3<br /> S2<br /> <br /> 0).<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 9S+36<br /> 18<br /> <br /> (*)<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 9S+36<br /> (**)<br /> 0<br /> 18<br /> 2<br /> S<br /> S 2 9S+36<br /> 4<br /> 3<br /> 18<br /> <br /> 12 .<br /> <br /> Vậy Smin 6 khi a = b = 1 hay x = -3; y = 9.<br /> Smax 12 khi a = b = 2 hay x = 0; y = 12.<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Lưu ý khi chấm bài:<br /> - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic.<br /> Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng.<br /> - Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần<br /> tương ứng.<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản