Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hà Nam

Chia sẻ: Nguyễn Thu Thúy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

0
135
lượt xem
49
download

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hà Nam

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nếu yêu thích môn Toán và muốn thử sức với những đề thi, mời các bạn tham khảo "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hà Nam". Đề thi gồm 5 bài tập trong khoảng thời gian 180 phút, mời các bạn cùng tham gia thử sức mình với đề thi, sau khi giải đề nhớ tham khảo đáp án nhé! Chúc các bạn hoàn thành bài test thật tốt!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hà Nam

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD&ĐT HÀ NAM<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> NĂM HỌC 2013-2014<br /> MÔN: TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 180 phút<br /> <br /> Câu 1(3,0 điểm). Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 0;1007 <br /> 8sin 2 x.cos x  3 s inx  cos x<br />  0.<br /> 7 <br /> 3 <br /> <br /> <br /> sin  x <br />  3cos  x <br /> <br /> <br /> 2 <br /> 2 <br /> <br /> <br /> <br /> Câu 2 ( 6,0 điểm).<br /> 1. Tìm hệ số của x 4 trong khai triển (1  x  3x 2 )2n biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn<br /> 1<br /> 2<br /> n<br /> C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1  2 2014  1 .<br /> <br /> 2. Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần,<br /> các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Trong các số được tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên một<br /> số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4?<br /> Câu 3 (3,0 điểm). Cho dãy số  un  xác định như sau:<br /> u1  2014<br /> <br /> un1  1  u1u 2 ...u n<br /> <br /> (n <br /> <br /> *<br /> <br /> )<br /> <br /> n<br /> <br /> 1<br /> . Tìm l imSn .<br /> n<br /> k 1 uk<br /> <br /> Đặt Sn  <br /> <br /> Câu 4 ( 2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O,R), AD=R. Dựng các hình bình hành<br /> ABMD, ACND. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác DMN.<br /> Câu 5 (6,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a . Gọi I là tâm của hình vuông<br /> CD D’C’, K là trung điểm của cạnh CB.<br /> a. Dựng thiết diện của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cắt bởi mặt phẳng (AKI). Tính diện tích<br /> của thiết diện theo a .<br /> b. Tính góc tạo bởi hai đường thẳng A’D’ và AQ với Q là giao điểm của (AKI) và CC’.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM<br /> Nội dung<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Câu 1(3,0 điểm). Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 0;1007 <br /> 8sin 2 x.cos x  3 s inx  cos x<br />  0.<br /> 7 <br /> 3 <br /> <br /> <br /> sin  x <br />   3cos  x <br /> <br /> 2 <br /> 2 <br /> <br /> <br /> 7<br /> Điều kiện xác định sin  x <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> <br />   3cos  x <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />   0  x   k , k  .<br /> 6<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> pt  4sin 2 x.s inx  3 sinx  cos x  0  2(cos x  cos3x )  3 sinx  cos x  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> <br />  cos3x  cos x <br /> s inx  cos3x  cos  x  <br /> 2<br /> 2<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3x  x  3  m2<br />  x  6  m<br /> <br /> <br /> ,m .<br /> <br /> <br /> 3x    x     m 2<br /> x <br /> m<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> 12<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Kết hợp điều kiện xác định ta có nghiệm của phương trình đã cho là<br /> x<br /> <br /> <br /> 12<br /> <br /> m<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> (m  ).<br /> <br /> Vì x  0;1007   0  <br /> <br /> <br /> 12<br /> <br /> m<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />  1007  1  m  2014, m  .<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Suy ra các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn 0;1007  gồm 2014 nghiệm<br /> lập thành một cấp số cộng có công sai d <br /> Tổng các nghiệm là S <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> , x1 <br /> <br /> 5<br /> .<br /> 12<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2014  5<br />   3043154<br />  (2014  1).  <br /> .<br />  2.<br /> 2  12<br /> 2<br /> 3<br /> <br /> Câu 2 (6,0 điểm).<br /> 1 (3,0 điểm). Tìm hệ số của x 4 trong khai triển (1  x  3x 2 )2n biết rằng n là số tự<br /> 1<br /> nhiên thỏa mãn C2 n 1  C22n 1  ...  C2nn 1  2 2014  1<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 0<br /> 2 n 1<br /> C2 n 1  C2 n 1<br /> 1<br /> 2n<br /> C2 n 1  C2 n 1<br /> <br /> ...<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> n<br /> n 1<br /> C2 n 1  C2 n 1<br /> <br /> 1 0<br /> 0<br /> 1<br /> n<br /> n 1<br />  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1  (C2 n 1  ....  C22n 1 )  2 2 n<br /> 2<br /> <br /> Từ giả thiết suy ra n=1007<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Xét khai triển<br /> 2 2014<br /> <br /> 1  x  3x <br /> <br /> 2014<br /> <br /> <br /> <br /> C<br /> <br /> k<br /> 2014<br /> <br /> (1  x )k ( 3x 2 )2014k<br /> <br /> k 0<br /> <br /> k<br /> <br /> 2014<br /> <br /> k<br />   C2014  Cki (  x )i ( 3x 2 )2014 k<br /> k 0<br /> <br /> 2014<br /> <br /> <br /> <br /> i 0<br /> <br /> k<br /> <br />  C<br /> k 0<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> k<br /> 2014<br /> <br /> Cki ( 1)i ( 3)2014k x 40282 k i<br /> <br /> i 0<br /> <br /> Ta tìm i, k là các số tự nhiên thỏa mãn<br />  k  2014<br />  i  4<br /> <br /> 4028  2k  i  4<br />  k  2013<br /> <br /> 0  k  2014<br />  <br /> <br /> i  2<br /> 0  i  k<br /> <br />  k  2012<br /> <br /> <br />  i  0<br /> <br /> 4<br /> 2<br /> 2013<br /> 2012<br /> Vậy hệ số của x4 trong khai triển là C2014  3C2013C2014  9C2014<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2.(3,0 điểm). Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó<br /> chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Trong các số<br /> được tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số được chọn<br /> chia hết cho 4?<br /> Gọi số cần tìm là abcdef với a , b, c, d , e, f  1,3, 4,8<br /> Sắp xếp chữ số 3 vào 3 trong 6 vị trí, có C63 cách. Sắp xếp 3 chữ số 1;4;8 vào 3 vị trí<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> còn lại có 3! Cách. Vậy có tất cả C63 .3!  120 số.<br /> Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng tạo thành 1số chia hết cho<br /> 4.<br /> Trong các số trên, số lấy chia hết cho 4 có tận cùng là 48, 84. Trong mỗi trường hợp<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 3<br /> có C4  4 cách sắp xếp chữ số 3và 1 vào 4 vị trí còn lại, suy ra có 8 số chia hết cho<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 4.<br /> Gọi A là biến cố: “ Số lấy ra chia hết cho 4”<br /> Vậy số các kết quả thuận lợi cho A là A  8<br /> Số phần tử của không gian mẫu là   120<br /> Xác suất của biến cố A là PA <br /> <br /> A<br /> 8<br /> 1<br /> <br /> <br />  120 15<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> Câu 2 (3,0 điểm). Cho dãy số  un  xác định như sau:<br /> u1  2014<br /> <br /> un1  1  u1u 2 ...u n (n  1)<br /> n<br /> <br /> 1<br /> . Tìm l imSn .<br /> n<br /> k 1 uk<br /> <br /> Đặt Sn  <br /> <br /> ui 1  1  u1u2 ...ui i  1<br />  ui 1  1  ui (ui  1)<br /> <br /> 1,0<br /> <br />  ui  1 i  1, ui 1  1  u1 i  1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br />   <br /> <br /> ui 1  1 ui  1 ui<br /> ui ui  1 ui 1  1<br /> <br /> Sn <br /> <br /> 1<br /> 1<br />  ... <br /> u1<br /> un<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 2<br /> 1<br />  <br /> <br />  ... <br /> <br />  <br /> u1 u2  1 u3  1<br /> un  1 un 1  1 u1 un 1  1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> un 1  1  u1u2 ...un  u1 (1  u1 )n 1  2014.2015n 1<br /> 0<br /> <br /> 1<br /> un 1  1<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 2014.2015n 1<br /> <br /> 1<br /> 1<br />  0  lim<br /> n 1<br /> n 2014.2015<br /> n u<br /> n 1  1<br /> lim<br /> <br /> lim sn <br /> <br /> n<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> <br /> .<br /> u1 1007<br /> <br /> Câu 4 ( 2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O,R), AD=R. Dựng các<br /> hình bình hành ABMD, ACND. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp của tam<br /> giác DMN.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> B<br /> A<br /> <br /> O<br /> M<br /> C<br /> <br /> D<br /> <br /> I<br /> <br /> N<br /> <br /> Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ABMD, ACND là hình bình hành suy ra AD  BM , BM  CN .<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> <br /> <br /> Xét phép tịnh tiến theo vectơ AD<br /> T : A  D<br /> AD<br /> BM<br /> CN<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> Suy ra T : O  I , suy ra OI = AD = R. Vậy quĩ tích của điểm I là đường tròn tâm<br /> AD<br /> (O,R).<br /> Câu 5 (6,0 điểm). Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a . Gọi I là tâm<br /> của hình vuông CDC’D’, K là trung điểm của CB.<br /> a. Dựng thiết diện của hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cắt bởi mặt phẳng (AKI).<br /> Tính diện tích của thiết diện theo a .<br /> b.Tính góc tạo bởi hai đường thẳng A’D’ và AQ với Q là giao điểm của (AKI) và<br /> CC’.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản