Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Trường THPT Tân Kỳ

Chia sẻ: Nguyễn Thu Thúy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

0
97
lượt xem
30
download

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Trường THPT Tân Kỳ

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Trường THPT Tân Kỳ" với nội dung xoay quanh kiến thức: Tìm nghiệm phương trình, chứng minh hình tam giác, giá trị biểu thức , số tự nhiên,... Mời các em tham khảo để ôn tập và củng cố kiến thức môn học, làm quen với cách thức ra đề và biết cách phân bổ thời gian hợp lý trong từng bài thi nhé!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Trường THPT Tân Kỳ

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD&ĐT NGHỆ AN<br /> <br /> KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013 - 2014<br /> <br /> TRƯỜNG THPT TÂN KỲ<br /> <br /> MÔN : TOÁN – KHỐI 11<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> Thời gian: 150 phút<br /> <br /> Câu 1.(3 điểm) Cho phương trình: (2sin x  1)(2co s 2 x  2sin x  m)  1  2cos 2 x (Với m là tham<br /> số)<br /> Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc 0;  <br /> <br /> Câu 2 . (4 điểm) Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC.<br /> a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : sin A <br /> <br /> b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M <br /> <br /> cos B  cosC<br /> sin B  sin C<br /> <br /> sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C<br /> cos 2 A  cos 2 B  cos 2C<br /> <br /> Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: 4x 2  4 x  2   11 x 4  4<br /> <br /> Câu 4: (2 điểm) Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5  k  2011.<br /> Chứng minh rằng:<br /> <br /> C0 .C k  C1 .C k 1  ...  C5 .C k 5  Ck<br /> 5<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 2016 .<br /> <br /> u1  2<br /> <br /> 2<br /> un  2012un<br /> Câu 5. (2 điểm) Cho dãy {un} xác định bởi: <br /> un 1 <br /> 2013<br /> <br /> n<br /> <br /> Thành lập dãy: {Sn} xác định bởi: S n <br /> <br /> <br /> i 1<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> ui<br /> u i 1  1<br /> <br /> .<br /> <br /> n N*<br /> <br /> Tìm lim Sn<br /> n <br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> n 3  8n 2  1<br /> Câu 6: (2 điểm) Tìm n  Z sao cho phần nguyên của<br /> là một số nguyên tố.<br /> 3n<br /> *<br /> <br /> <br /> Câu7.(2 điểm) Trong mp Oxy cho hai đường tròn (C1) : x 2  y 2  13 , (C2) : ( x  6)2  y 2  25 .<br /> Gọi giao điểm có tung độ dương của (C1) và (C2) là A viết phương trình đường thẳng đi qua A<br /> cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.<br /> <br /> Câu 8: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh: BC = DA = a; CA = DB = b; AB = DC = c.<br /> .Chứng minh rằng:<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 9<br />  2 2 2 2 2<br /> a 2b 2 b c c a<br /> S<br /> <br /> (S là diện tích toàn phần của tứ diện)<br /> ---------- Hết ----------<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM<br /> Câu<br /> Câu1<br /> <br /> Lời giải<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Phương trình đã cho tương đương với : (2sin x  1)(2co s 2 x  m  1)  0<br /> Với sin x <br /> <br /> 1<br /> <br /> 5<br /> x x<br />   0;  <br /> 2<br /> 6<br /> 6<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc 0;   thì phương trình :<br /> cos 2 x <br /> <br /> 1 m<br /> <br /> 5<br /> vô nghiệm hoặc có hai nghiệm x  ; x <br /> .<br /> 2<br /> 6<br /> 6<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> Từ đó ta được m 3 v m =0 .<br /> <br /> 0.5<br /> a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : sin A <br /> Câu 2<br /> <br /> cos B  cosC<br /> sin B  sin C<br /> <br /> A<br /> cos B  cosC<br /> A<br /> A sin 2<br /> A<br /> Từ sin A <br />  2sin .cos <br />  2cos 2  1  cos A  0 <br /> sin B  sin C<br /> 2<br /> 2 cos A<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> Â là góc vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A.<br /> <br /> 1.0<br /> sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C<br /> sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C<br /> b, M <br />  M 1 <br /> 1<br /> cos 2 A  cos 2 B  cos 2C<br /> cos 2 A  cos 2 B  cos 2C<br /> 3<br /> 3<br /> M 1 <br />  cos 2 A  cos 2 B  cos 2C <br /> . Biến đổi về<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> cos A  cos B  cos C<br /> M 1<br /> <br /> 3<br /> 0<br /> M 1<br /> 3 <br /> 3 <br /> <br /> <br /> 2<br />    cos 2 ( A  B )  4  1 <br />   0  4 1 <br />   cos ( A  B)  1<br />  M 1<br />  M 1 <br /> 3<br /> 1<br />  1<br />   M 3<br /> M 1 4<br /> cos 2 C  cos C .cos( A  B)  1 <br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> cos 2 ( A  B)  1<br /> <br /> M 3 <br />  A  B  C  600<br /> 1<br /> cos C  cos( A  B)<br /> <br /> 2<br /> <br /> Vậy MaxM = 3 khi tam giác ABC đều.<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Câu 3:<br /> <br /> Giải phương trình: 4x 2  4 x  2   11 x 4  4 ĐK: x  R<br /> <br /> <br /> <br /> 0.5<br /> <br /> <br /> <br /> 4 x 2  4 x  2  11 x 4  4<br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  2 3 x 2  2 x  2  x 2  2 x  2  11 x 2  2 x  2 x 2  2 x  2<br /> <br /> <br /> <br />  6t 2  11t  2  0(*)<br /> <br /> Với t <br /> <br /> x 2  2x  2<br /> 0<br /> x 2  2x  2<br /> <br /> Giải (*) được t = 2 thỏa mãn yêu cầu<br /> Nên t <br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br /> x 2  2x  2<br /> x 2  2x  2<br /> 5 7<br /> 2 2<br />  4  3 x 2  10 x  6  0  x <br /> 2<br /> 3<br /> x  2x  2<br /> x  2x  2<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> Câu 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5  k  2011.<br /> Chứng minh rằng:<br /> 5<br /> <br /> Dễ thấy 1  x  1  x <br /> <br /> 2011<br /> <br /> C0 .C k  C1 .C k 1  ...  C5 .C k 5  Ck<br /> 5<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 2016<br /> <br />  1  x <br /> <br /> 2016<br /> <br /> ; và<br /> <br /> 5<br /> <br /> 2<br /> 3<br /> 4<br /> M  1  x   C0  C1 x1  C5 x 2  C5 x 3  C5 x 4  C5 x 5<br /> 5<br /> 5<br /> 5<br /> <br /> N  1  x <br /> <br /> 2011<br /> <br /> k<br /> 2011<br />  C0  C1 x1  ...  C2011x k  ...  C2011x 2011.<br /> 2011<br /> 2011<br /> <br /> 2016<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 2016<br />  C0  C1 x  ...  Ck x k  ...  C2016 x 2016 .<br /> 2016<br /> 2016<br /> 2016<br /> <br /> P  1  x <br /> <br /> Ta có hệ số của x k trong P là Ck .<br /> 2016<br /> Vì P  M.N , mà số hạng chứa x k trong M.N là :<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 2<br /> 4<br /> C0.Ck xk C1xCk1 xk1 C5x2Ck2 xk2 C3x3Ck3 xk3 C5x4Ck4 xk4 C5x5Ck5 xk5<br /> 5 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> <br /> nên C0 .C k  C1 .C k 1  ...  C5 .C k 5  Ck<br /> 5<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 2016<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> Tacó:<br /> Câu 5<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> un  2012un un  2013un  un<br /> <br /> 2013<br /> 2013<br /> u  u  1<br />  n n<br />  un (*) ; n  N *<br /> 2013<br /> u1  2  u1  u2  .........  un  un 1  ........<br /> <br /> un1 <br /> <br /> Suy ra un là dãy tăng<br /> Giả sử un bị chặn trên lúc đó tồn tại số L sao cho lim un  L ( L  2) . Từ<br /> n <br /> <br /> L  1<br /> un (un  1)<br /> L( L  1)<br /> (vô lý)<br />  lim un  L <br /> L <br /> n<br /> n <br /> 2013<br /> 2013<br /> L  0<br /> 0.5<br /> <br /> (*) ta có: lim(un1 )  lim<br /> n <br /> <br />  un không bị chặn trên.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 1<br /> 0<br /> n  u<br /> n<br /> <br /> Suy ra lim un    lim<br /> n <br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản