Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Thái Nguyên

Chia sẻ: Nguyễn Thu Thúy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

0
101
lượt xem
22
download

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Thái Nguyên

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Thái Nguyên". Thông qua đề thi quý thầy cô có thêm tài liệu ôn tập cho học sinh, tích lũy kiến thức bài giảng và tích lũy kinh nghiệm ra đề, các em học sinh có thêm tài liệu ôn thi hữu ích. Hy vọng, đây sẽ là tài liệu tham khảo hay dành cho quý thầy cô và các em học sinh!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Thái Nguyên

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD&ĐT THÁI NGUYÊN<br /> <br /> KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> NĂM HỌC2014-2015<br /> MÔN: TOÁN – LỚP 11<br /> Thời gian: 150 phút<br /> <br /> Bài 1 (4 điểm).<br /> Giải phương trình:<br /> <br /> 2 2<br />  2  2sin 2 x .<br /> tan x  cot 2 x<br /> <br /> Bài 2 (4 điểm).<br /> <br /> Cho dãy số  un <br /> <br /> u1  4<br /> <br /> xác định bởi <br /> 1<br /> un1  9 un  4  4 1  2un<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> n  N *<br /> <br /> .<br /> <br /> Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số.<br /> <br /> Bài 3 (4 điểm).<br /> Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc<br /> <br /> BAE  CAF , gọi<br /> <br /> M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt<br /> đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Chứng minh rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC<br /> có diện tích bằng nhau.<br /> Bài 4 (4 điểm)<br /> Cho tập hợp A  1;2;3;...;18 . Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A sao cho<br /> hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Bài 5 (4 điểm).<br /> Cho các số dương a, b, c thoả mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng:<br /> <br /> a 1 b 1 c 1<br /> <br /> <br /> 3<br /> 1  b2 1  c2 1  a2<br /> <br /> ---------- Hết ----------<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH<br /> MÔN: TOÁN<br /> Bài<br /> Bài 1<br /> <br /> Lời giải<br /> Giải phương trình:<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 2 2<br />  2  2sin 2 x .<br /> tan x  cot 2 x<br /> <br /> cos x  0<br /> <br /> Lời giải : Điều kiện : sin 2 x  0<br />  tan x  cot 2 x  0<br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 2sin 2 x  cos 2 x<br /> 1<br /> <br /> Ta có : tan x  cot 2 x <br /> sin 2 x<br /> sin 2 x<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> Do đó phương trình đã cho tương đương với :<br /> <br />  2  2  sin 2 x  2  sin 2 x<br />   sin 2 x  1 . 2 sin 2 x  2   0<br />  sin 2 x  1<br /> <br /> 2<br /> <br /> sin 2 x <br /> <br /> <br /> 2<br /> sin 2 x  1<br /> <br /> ( Thỏa điều kiện (1) )<br /> sin 2 x  1<br /> <br /> 2<br /> Giải các phương trình trên ta được :<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> <br /> <br /> 5<br /> x   k ; x   k ; x <br />  k  k  Z <br /> 2<br /> 12<br /> 12<br /> Bài 2<br /> <br /> <br /> <br /> Cho dãy số  un  xác định bởi<br /> <br /> u1  4<br /> <br /> <br /> 1<br /> un1  9 un  4  4 1  2un<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> n  N *<br /> <br /> .<br /> <br /> Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số.<br /> Lời giải:<br /> <br /> *<br /> Đặt xn  1  2un n  N<br /> 2<br /> n<br /> <br /> Ta có xn  0 và x  1  2un , n  N<br /> <br /> *<br /> <br /> xn2  1<br /> hay un <br /> 2<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> Thay vào giả thiết, ta được:<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> xn21  1 1  xn2  1<br /> <br />  <br />  4  4 xn <br /> 2<br /> 9 2<br /> <br />  9x<br /> <br /> 2<br /> n 1<br /> <br /> 1đ<br /> 2<br /> <br />  9  x  1  8  8 xn   3 xn 1    xn  4 <br /> 2<br /> n<br /> <br /> 2<br /> <br /> Suy ra: 3xn 1  xn  4 n  N * ( Do xn  0 , n  N * )<br /> n 1<br /> <br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> Hay 3 xn1  3 xn  4.3 , n  N<br /> <br /> *<br /> <br /> Đặt yn  3n xn , n  N * . Ta có: yn 1  yn  4.3n , n  N *<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> n<br /> n 1<br /> *<br /> Từ đó yn 1  y1  4  3  3  .....  3 , n  N<br /> <br /> Hay yn 1  y1  6  2.3n 1 , n  N *<br /> n<br /> Theo cách đặt ta có: x1  3  y1  9  yn  3  2.3 .<br /> <br /> 1<br /> , n  N *<br /> n 1<br /> 3<br /> 1<br /> 4<br /> 1 <br /> *<br /> Do đó un   3  n 1  2 n 2  , n  N<br /> 2<br /> 3<br /> 3 <br /> <br /> 1đ<br /> <br /> Suy ra: xn  2 <br /> <br /> Bài 3<br /> <br /> Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc<br /> BAE  CAF , gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường<br /> <br /> thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D.<br /> Chứng minh rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC có diện tích bằng nhau.<br /> Lời giải:<br /> A<br /> <br /> M<br /> <br /> O<br /> <br /> N<br /> <br /> 0,5đ<br /> B<br /> <br /> E<br /> <br /> F<br /> <br /> C<br /> <br /> D<br /> <br /> Đặt BAE  CAF   ,<br /> <br /> S ABC <br /> <br /> EAF   . Tacó<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> AF<br /> AB. AF .sin      AC. AF .sin  <br />  AB.CD  AC.BD <br /> 2<br /> 2<br /> 4R<br /> <br /> (R-là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (1)<br /> Diện tích tứ giác ADMN là<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 1,5 đ<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> S AMDN <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> AM . AD.sin   AD. AN .sin(   )<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> =<br /> <br /> 1<br /> AD.  AF .cos     .sin   AF .cos  .sin      <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> AF<br /> AD. AF .sin  2    <br /> . AD.BC . (2)<br /> 2<br /> 4R<br /> <br /> 1,5 đ<br /> <br /> Vì tứ giác ABDC nội tiếp trong đường tròn nên theo định lí Ptoleme ta có :<br /> AB.CD + AC.BD = AD.BC<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> (3).<br /> <br /> Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh.<br /> Bài 4<br /> <br /> Cho tập hợp A  1;2;3;...;18 . Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A<br /> sao cho hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2.<br /> Lời giải:<br /> <br /> Ta cần tìm số phần tử của tập T sau:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> T  (a1 ,a 2 ,...,a 5 ) : a1  a 2  ...  a 5 ; 1  a i  18; a i  a j  2<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> Xét tập hợp H  (b1 ,b 2 ,..., b 5 ) : b1  b 2  ...  b5 ; 1  bi  14<br /> Xét ánh xạ f cho tương ứng mỗi bộ (a1 ,a 2 ,...,a 5 ) với bộ (b1 , b 2 ,..., b5 ) xác<br /> <br /> 1,5 đ<br /> <br /> định như sau:<br /> <br /> b1  a 1 , b 2  a 2  1, b 3  a 3  2,b 4  a 4  3, b 5  a 5  4 .<br /> Dễ thấy khi đó f là một song ánh, suy ra T  H .<br /> Mặt khác mỗi bộ (b1 , b 2 ,..., b5 ) trong H là một tổ hợp chập 5 của 14 phần tử. 1,5 đ<br /> 5<br /> Do đó H  C14  2002 . Vậy T  2002 .<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản