Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2015-2016 - Trường THPT Trần Phú

Chia sẻ: Nguyễn Thu Thúy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

0
204
lượt xem
66
download

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2015-2016 - Trường THPT Trần Phú

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn học sinh tham khảo "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2015-2016 - Trường THPT Trần Phú". Thông qua việc giải các bài tập trong đề thi sẽ giúp các bạn nâng cao kiến thức môn Toán và tư duy Toán học.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2015-2016 - Trường THPT Trần Phú

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD&ĐT THANH HÓA<br /> <br /> ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG<br /> <br /> TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ<br /> <br /> NĂM HỌC 2015-2016<br /> MÔN: TOÁN –KHỐI 11<br /> (Thời gian làm bài: 180 phút)<br /> <br /> Câu I (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:<br /> 1. cos2x  cos x  1  0<br /> 2. 2 sin 2 x  sin 2 x  cos x  sin x  0<br /> Câu II (4,0 điểm).<br /> 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x 2010 trong khai triển của nhị thức Niu-tơn:<br /> <br /> 2 <br /> x  2 <br /> x <br /> <br /> <br /> 2.<br /> <br /> 2016<br /> <br /> ; x  0<br /> <br /> Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 11A, 3 học sinh lớp 11B và 2 học<br /> <br /> sinh lớp 11C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng năm<br /> học. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp<br /> 11A.<br /> Câu III (4,0 điểm).<br /> x 2 x  1  3 3x  2  2<br /> x 1<br /> x2 1<br /> <br /> 1. Tính giới hạn sau: A  lim<br /> <br /> 2. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 5 chữ số<br /> khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 6.<br /> Câu IV (4,0 điểm.)<br /> Cho hình chóp SABC có SC   ABC  và tam giác ABC vuông tại B với AB  a; AC  a 3 ;<br /> H, K lần lượt là hình chiếu của C lên SA, SB biết CHK   với sin  <br /> <br /> 13<br /> .<br /> 19<br /> <br /> 1. Chứng minh rằng CK  ( SAB), SA  (CHK ) .<br /> 2. Tính độ dài SC theo a.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Câu V (4,0 điểm).<br /> <br />  x  y  x  y  3  (x  y)2  2 x  y<br /> <br /> (x, y  R) .<br /> 1. Giải hệ phương trình: <br /> x2  x  y  2  x  y  3<br /> <br /> <br /> 2. Cho ba số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a  b  c  2 . Tìm giá trị lớn nhất của của<br /> biểu thức :<br /> <br /> S<br /> <br /> ab<br /> bc<br /> ca<br /> <br /> <br /> ab  2c<br /> bc  2a<br /> ca  2b<br /> <br /> ------------------------------Hết------------------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN 11 NĂM HỌC 2015-2016<br /> Câu<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> cos2x  cos x  1  0  2cos x  1  cos x  1  0  2cos x  cos x  0<br /> <br /> I.1<br /> <br />  cos x  0<br /> <br /> 2<br /> 2<br />  k 2 , x  <br />  k 2 (k  Z )<br /> <br /> 1  x   k , x <br />  cos x  <br /> 2<br /> 3<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> 2<br />  k 2 , x  <br />  k 2 (k  Z )<br /> 2<br /> 3<br /> 3<br /> 2 sin 2 x  sin 2 x  cos x  sin x  0  sin x  cos x 2 sin x  1  0<br />  sin x  cos x  0 hoặc 2 sin x  1  0<br /> <br /> <br />  x  6  k 2<br /> 1<br /> <br />  tan x  1 hoặc sin x   x   k hoặc <br /> 2<br /> 4<br />  x  5  k 2<br /> <br /> 6<br /> <br /> <br /> Đáp số: x <br /> <br /> I.2<br /> <br /> <br /> <br /> Xét khai triển:  x <br /> II.1<br /> <br /> <br /> Số hạng chứa x 2010<br /> <br /> 2<br /> <br /> x2 <br /> <br /> <br /> <br /> 2,0<br /> <br />  k , x <br /> <br /> 2016<br /> <br /> k<br /> <br /> 2016<br />  2 <br /> k<br />  Ck x 2016 k  x 2    2 k C2016 x 2016 3k<br /> 2016<br /> k 0<br /> k 0<br />  <br /> ứng với 2016  3k  2010  k  2 là 22 C2 x 2010 có hệ số là<br /> 2016<br /> <br /> 2016<br /> <br /> 2,0<br /> <br /> <br /> <br /> 2,0<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 22 C2016  4C2016 .<br /> <br /> Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là <br /> Số phần tử của không gian mẫu là: C95  126<br /> Gọi A là biến cố “Chọn 5 học sinh từ đội văn nghệ sao cho có học sinh ở cả ba<br /> lớp và có ít nhất 2 học sinh lớp 11A”.<br /> Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là :<br /> II.2<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> + 2 học sinh lớp 11A, 1 học sinh lớp 11B, 2 học sinh lớp 11C<br /> + 2 học sinh lớp 11A, 1 học sinh lớp 11B, 2 học sinh lớp 11C<br /> + 3 học sinh lớp 11A, 1 học sinh lớp 11B, 1 học sinh lớp 11C<br /> 1<br /> 1<br /> 3<br /> 1<br /> 1<br /> Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: C42 .C3 .C22  C42 .C32 .C2  C4 .C3 .C2  78 .<br /> <br /> Xác suất cần tìm là P <br /> <br /> 78 13<br />  .<br /> 126 21<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> x 2 x  1  3 3x  2  2<br /> x 2 x  1  1  3 3x  2  1<br />  lim<br /> x 1<br /> x 1<br /> x2 1<br /> x2 1<br />  x 2 x  1 1 3 3x  2  1<br />  lim <br /> <br /> <br /> 2<br /> x 1<br /> x2  1 <br />  x 1<br /> <br /> Ta có lim<br /> <br /> III.1<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2 x3  x 2  1<br /> 3x  3<br />  lim <br /> <br /> <br /> 2<br /> x 1<br />  3 3 x  2 2  3 3 x  2  1 <br /> 2<br />  x 1 x 2x 1 1<br /> x 1<br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> 2,0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2 x2  x  1<br /> 3<br />  lim <br /> <br /> <br /> x 1<br />   x  1 x 2 x  1  1  x  1  3  3x  2  2  3 3 x  2  1 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 4 3 3<br />  <br /> 4 6 2<br /> <br /> Số cần lập có dạng a1a 2a 2 a 4a 5 , trong đó luôn có mặt chữ số 6.<br /> Xảy ra các trường hợp:<br /> Trường hợp 1: Nếu a1  6 . Khi đó, ta chọn 4 chữ số trong 6 chữ số<br /> III.2<br /> <br /> 4<br /> 0;1;2;3;4;5 cho 4 vị trí còn lại  trường hợp này có A 6 số.<br /> Trường hợp 2: Nếu a1  6 , có 4 cách chọn vị trí của chữ số 6. Khi đó, có 5<br /> cách chọn a1  1;2;3;4;5 . Sau khi chọn a1 và vị trí cho chữ số 6, còn lại 3<br /> <br /> 2,0<br /> <br /> vị trí được chọn từ 4 chữ số còn lại, nên số cách chọn là A 3  trường hợp<br /> 5<br /> này có 4.5. A 3 số.<br /> 5<br /> 4<br /> Vậy số các số thoả mãn yêu cầu là A 6 + 4.5. A 3 =1560.<br /> 5<br /> <br /> Vì H, K là hình chiếu của C lên SA, SB.<br /> Do đó :<br /> <br /> S<br /> <br /> CK  ( SAB), SA  (CHK ) .<br /> <br /> IV.1<br /> <br /> H<br /> <br /> 2,0<br /> <br /> x<br /> <br /> Suy ra CHK vuông tại K và SA  KH .<br /> <br /> K<br /> C<br /> <br /> A<br /> B<br /> <br /> Đặt SC  x  0 . Trong tam giác vuông SAC ta có<br /> <br /> IV.2<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 3a 2 x 2<br /> <br /> <br />  CH 2  2<br /> .<br /> CH 2 CA 2 CS 2<br /> 3a  x 2<br /> <br /> Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có CK 2 <br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 2,0<br /> 2a 2 x 2<br /> .<br /> 2a 2  x 2<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Ta có sin  <br /> <br /> 13<br /> CK 2 13<br /> 2(3a 2  x 2 ) 13<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  x  6a , vì x > 0. Vậy<br /> 19<br /> CH 2 19<br /> 3(2a 2  x 2 ) 19<br /> <br /> SC  6a<br /> <br />  x  y  x  y  3  (x  y)2  2 x  y (1)<br /> <br /> (x, y  R) .<br /> Giải hệ: <br /> x2  x  y  2  x  y  3<br /> (2)<br /> <br /> <br /> x  y  0<br /> (*)<br /> x  y  0<br /> <br /> Điều kiện: <br /> <br /> Đặt t  x  y  0 , từ (1) ta có: t <br /> <br /> t  3  t2  2 t<br /> <br />  t  t2  t  3  2 t  0<br />  t(1  t) <br /> <br /> <br />  0  (1  t)  t <br /> t 3 2 t<br /> <br /> 3(1  t)<br /> <br /> 3<br /> <br />  t  1 (Vì t <br /> <br /> <br /> 0<br /> t 3 2 t <br /> 3<br /> <br />  0, t  0 ).<br /> <br /> 2,0<br /> <br /> t 3 2 t<br /> V.1<br /> Suy ra x  y  1  y  1  x (3).Thay (3) vào (2) ta có:<br /> <br /> x2  1<br /> <br /> 2<br /> <br />  ( x  3  2)  ( 2x  1  1)  0 <br /> <br /> x 2  3  2x  1  3<br /> <br /> x2  3  2<br /> <br /> <br /> <br /> 2x  2<br /> <br /> 0<br /> <br /> 2x  1  1<br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> 2<br />  (x  1) <br /> <br /> 0<br />  2<br /> 2x  1  1 <br />  x 3 2<br /> <br /> <br />  x  1 (Vì<br /> <br /> x 1<br /> x2  3  2<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2x  1  1<br /> <br />  0, x <br /> <br /> 1<br /> ).<br /> 2<br /> <br /> Suy ra (x = 1; y = 0), thoả mãn (*). Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất<br /> ( x = 1; y = 0).<br /> <br /> V.2<br /> <br /> Ta có<br /> <br /> ab<br /> ab<br /> <br /> <br /> ab  2c<br /> ab   a  b  c  c<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> ab<br /> 1 a<br /> b <br />  <br /> <br />  a  c  b  c  2  a  c b  c <br /> <br /> <br /> 2,0<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản