Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2016 - Trường THPT Chu Văn An

Chia sẻ: Nguyễn Thu Thúy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

0
212
lượt xem
74
download

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2016 - Trường THPT Chu Văn An

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn học sinh lớp 11 tham khảo "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2016 - Trường THPT Chu Văn An". Đề thi gồm 7 bài tập trong vòng 150 phút, tham khảo để các bạn củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải đề và chuẩn bị thật tốt cho kì thi sắp diễn ra nhé!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2016 - Trường THPT Chu Văn An

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2016<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> Môn thi: TOÁN khối 11<br /> <br /> (Đề thi gồm 01 trang)<br /> <br /> Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề<br /> <br /> Câu 1 (3,0 điểm): Cho phương trình 3x 2 − 4(m − 1)x + 2m 2 − m + 2 = 0 (1) . Tìm các giá trị của<br /> tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x 2 phân biệt sao cho x1 + x 2 + 4x1x 2 = 4<br /> Câu 2 (2,0 điểm): Giải phương trình cos 2x = 2 sin2 x + 4 cos x<br /> Câu 3 (4,0 điểm):<br /> a) Tìm hệ số của số hạng chứa x 14 trong khai triển của biểu thức P (x ) = x (x 2 − 2x )9 thành<br /> một đa thức ẩn x .<br /> b) Trong một kỳ thi chọn học sinh giỏi toán khối 11 của trường THPT Chu Văn An có 52<br /> học sinh đăng ký dự thi, trong đó có 1 em tên Thành và 1 em tên Đạt. Dự kiến Ban tổ chức<br /> kỳ thi sẽ sắp xếp 3 phòng thi (phòng 1 và phòng 2 có 18 thí sinh, còn phòng 3 có 16 thí sinh).<br /> Nếu phòng thi được sắp xếp một cách ngẫu nhiên, hãy tính xác suất để Thành và Đạt ngồi<br /> thi chung trong một phòng.<br /> Câu 4 (3,0 điểm):<br /> Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi O là tâm của mặt<br /> đáy ABCD và P là trung điểm của cạnh bên SD.<br /> a) Chứng minh rằng đường thẳng OP vuông góc với cả hai đường thẳng AC và SD.<br /> b) Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAD ) và (SCD ).<br /> Câu 5 (3,0 điểm):<br /> Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M và N là các điểm tương<br /> ứng lấy trên cạnh AB và BC sao cho AM = BN = 3NC . Biết điểm D có toạ độ nguyên,<br /> điểm N (4; −2) và đường thẳng DM có phương trình 2x − y + 3 = 0. Hãy viết phương trình<br /> của đường thẳng AN và xác định toạ độ đỉnh D của hình vuông ABCD .<br /> <br />  xy 2 + x 2y + xy + x 2 − y − 1 = 0<br /> <br /> <br /> Câu 6 (3,0 điểm): Giải hệ phương trình <br />  3 3x − y = 3 3x + y<br /> <br /> <br /> Câu 7 (2,0 điểm):<br /> <br /> Cho hai số thực dương a và b thoả mãn a + b = a 2 + b 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br /> <br /> a 2 b2<br /> 8<br /> P=<br /> + +<br /> b<br /> a<br /> a +b<br /> ----- Hết ----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br /> Họ và tên thí sinh: ……………………………………………………….; Số báo danh: ………………..<br /> <br /> ĐÁP ÁN - ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 (KHỐI 11)<br /> Câu<br /> <br /> Lược giải<br /> <br /> Điểm Câu<br /> <br /> Lược giải<br /> <br /> 3x 2 − 4(m − 1)x + 2m 2 − m + 2 = 0<br /> <br /> ∆′ = −2m 2 − 5m − 2 > 0<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> 2<br /> <br /> ⇔ m ∈ −2; − 1<br /> <br /> 4(m − 1)<br /> ;<br /> 3<br /> 2m 2 − m + 2<br /> x1x 2 =<br /> 3<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> x1 + x 2 =<br /> <br /> ⇔ 4 cos2 x − 4 cos x − 3 = 0<br /> <br /> 1<br /> (do cos x ∈ [−1;1])<br /> 2<br /> 2π<br /> ⇔x =±<br /> + k 2π (k ∈ ℤ)<br /> 3<br /> P(x ) = x(x 2 − 2x )9<br /> <br /> ⇔ cos x = −<br /> <br /> =<br /> <br /> A<br /> <br /> B<br /> <br /> 4a<br /> <br /> 1,0<br /> <br />  AC ⊥ BD<br /> <br /> <br /> ⇒ AC ⊥ (SBD )<br /> <br />  AC ⊥ SO<br /> <br /> <br /> <br /> 0,75<br /> <br /> ⇒ AC ⊥ OP<br /> <br /> ∆SBD có<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> BD 2 = 2a 2 = SB 2 + SD 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ⇒ SB ⊥ SD<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> SB ta suy ra<br /> Kết hợp OP€<br /> OP ⊥ SD<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> k =0<br /> <br /> Cho 19 − k = 14 ⇔ k = 5.<br /> <br /> Tính góc ((SAD ), (SCD ))<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 5<br /> Hệ số cần tìm: C 9 .(−2)5 = −4032<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  SD ⊥ OP<br /> <br /> <br /> ⇒ SD ⊥ (PAC )<br /> <br />  SD ⊥ AC<br /> <br /> <br /> <br /> Xác suất để Thành, Đạt thi chung phòng<br /> 18 18<br /> n(Ω) = C 52 .C 34<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  SD ⊥ PA<br /> <br /> ⇒<br /> <br />  SD ⊥ PC<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ⇒ ((SAD ),(SCD )) = (PA, PC )<br /> <br /> “Thành, Đạt thi chung P1 hoặc P2”<br /> 16 18<br /> n(A1 ) = 2 × (C 50 .C 34 )<br /> <br /> 18 18<br /> n(A2 ) = C 50 .C 32<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Tam giác OPC vuông tại O có<br /> <br /> tan OPC =<br /> <br /> Xét biến cố A:<br /> “Thành, Đạt thi chung phòng” thì<br /> 16 18<br /> 18 18<br /> n(A) = 2 × (C 50 .C 34 ) + C 50 .C 32<br /> <br /> P (A) =<br /> <br /> n(A)<br /> 71<br /> =<br /> n(Ω) 221<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> 4b<br /> <br /> “Thành, Đạt thi chung Phòng 3”<br /> 3b<br /> <br /> C<br /> <br /> Chứng minh OP ⊥ AC , OP ⊥ SD<br /> <br /> 9<br /> <br /> ∑C 9k .(−2)k .x 19−k<br /> <br /> D<br /> O<br /> <br /> cos 2x = 2 sin 2 x + 4 cos x<br /> <br /> 3a<br /> <br /> P<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> Đáp số: m = −1<br /> <br /> 2<br /> <br /> S<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> x1 + x 2 + 4x1x 2 = 4 ⇔ m = ±1<br /> <br /> 1<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> OC<br /> = 2<br /> OP<br /> <br /> ⇒ OPC ≈ 54 44′8 ′′<br /> 0,5<br /> <br /> Từ đó,<br /> ((SAD ),(SCD )) ≈ 70 31′ 44 ′′<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> Câu<br /> <br /> Lược giải<br /> <br /> Điểm Câu<br /> M<br /> <br /> A<br /> <br /> Lược giải<br /> TH2 : xy + x 2 − 1 = 0<br /> <br /> B<br /> <br /> 1<br /> − x , (2) trở thành<br /> x<br /> 1<br /> 1<br /> 3 3x − + x = 3 2x + (3)<br /> x<br /> x<br /> 1<br /> Đặt a = 3x , b = 2x + thì<br /> x<br /> 1<br /> a, b ≥ 0 và a 2 − b 2 = x −<br /> x<br /> ⇔y=<br /> <br /> H<br /> N<br /> C<br /> <br /> D<br /> <br /> Viết phương trình đường thẳng AN<br /> và tìm toạ độ đỉnh D<br /> <br /> 3<br /> tan BAN = = cot AMD<br /> 4<br /> <br /> 6<br /> <br /> Từ đó viết được AN : x + 2y = 0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ⇔ (a − b)(a + b + 3) = 0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Như vậy,<br /> <br /> ⇒ AN = DM = 5a<br /> <br /> ⇒ ND = 17a 2 = 85<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> GTNN của P =<br /> <br /> ⇒ a + b = a 2 + b2 ≤ 2<br /> 1<br /> 1<br /> ⇒<br /> ≥<br /> a +b<br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> xy 2 + x 2y + xy + x 2 − y − 1 = 0 (1)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (2)<br /> <br /> 3 3x − y = 3 3x + y<br /> <br /> 0,5<br /> (1) ⇔ (y + 1)(xy + x 2 − 1) = 0<br /> TH1 : y = −1 thì (2) trở thành<br /> <br /> ⇔3<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> 3x − 3x − 1 + 1 = 0<br /> <br /> (vô nghiệm do 3x > 3x − 1 )<br /> <br /> a 2 b2<br /> ⇒<br /> + ≥ a +b<br /> b<br /> a<br /> <br /> 7<br /> <br /> Vậy D(2; 7)<br /> <br /> 3 3x + 1 = 3 3x − 1<br /> <br />  a2<br />   b2<br /> <br /> <br /> + b  +  + a  ≥ 2a + 2b<br />  <br /> <br /> <br />  <br /> <br />  b<br /> <br />   a<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ND = 85 ⇔ (t − 4)2 + (2t + 5)2 = 85<br /> <br /> 6<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Do a, b > 0 nên theo CauChy ta có<br /> <br /> ⇒ ND = (t − 4;2t + 5)<br /> ⇔ t = 2 (do t ∈ ℤ)<br /> <br /> a 2 b2<br /> 8<br /> +<br /> +<br /> b<br /> a<br /> a +b<br /> <br /> (a 2 + b 2 )2 = (a + b)2 ≤ 2(a 2 + b 2 )<br /> <br /> Do D ∈ DM : 2x − y + 3 = 0 nên<br /> D(t;2t + 3) (t ∈ ℤ)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Cho a, b > 0, a + b = a 2 + b 2 . Tìm<br /> <br /> 13<br /> 13<br /> a = d (N , DM ) =<br /> 5<br /> 5<br /> ⇒a = 5<br /> <br /> ∆NCD có ND = (4a )2 + a 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> 1<br /> ≥ 0 ⇔x =1<br /> x<br /> Đáp số: (x ; y ) = (1; 0)<br /> <br /> ⇒ AM = BN = 3a<br /> <br /> ⇒ HN =<br /> <br /> 3x = 2x +<br /> <br /> ⇔ 3x = 2x +<br /> <br /> AM .AD 12<br /> = a<br /> DM<br /> 5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ⇔ a = b (do a, b ≥ 0)<br /> <br /> Gọi H = AN ∩ DM<br /> Đặt AB = 4a > 0<br /> <br /> ⇒ AH =<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> (3) trở thành a 2 + 3a = b 2 + 3b<br /> <br /> ⇒ BAN + AMD = 90 ⇒ AN ⊥ DM<br /> <br /> 5<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> ⇒<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> a 2 b2<br /> 8<br /> 8<br /> + +<br /> ≥ a +b +<br /> b<br /> a<br /> a +b<br /> a +b<br /> <br /> <br /> 4<br /> ⇒ P ≥  a +b +<br /> <br /> <br /> a +b<br /> <br /> ⇒ P ≥ 2 (a + b) ⋅<br /> <br /> <br /> 1<br /> + 4⋅<br /> <br /> <br /> a +b<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 4<br /> 1<br /> + 4⋅ = 6<br /> a +b<br /> 2<br /> <br /> Ngoài ra a = b = 1 thoả điều kiện<br /> 0,5<br /> <br /> a + b = a 2 + b 2 và lúc đó P = 6<br /> Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng 6.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU<br /> -<br /> <br /> Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn<br /> cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.<br /> Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải<br /> cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.<br /> Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh<br /> kiến thức và tối ưu kết quả học tập.<br /> <br /> -<br /> <br /> CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ<br /> -<br /> <br /> Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát,<br /> hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.<br /> Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung<br /> thời gian tốt nhất để học.<br /> Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):<br /> <br /> + Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý<br /> thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên<br /> cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn<br /> cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.<br /> + Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này<br /> Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em<br /> thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm<br /> các dạng toán mới.<br /> <br /> HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM<br /> -<br /> <br /> -<br /> <br /> Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn<br /> cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt<br /> đầu học Online trực tiếp như ở lớp.<br /> Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động<br /> thời gian học tập của mình.<br /> Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian<br /> ngắn nhất.<br /> Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề<br /> nhanh hơn - hiệu quả hơn.<br /> Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên<br /> toàn quốc.<br /> Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá<br /> trình học.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản