Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hải Dương

Chia sẻ: Hương Nắng Mai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

0
34
lượt xem
4
download

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hải Dương

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kì thi học sinh là kì thi vô cùng quan trọng đối với những bạn nằm trong đội tuyển dự thi. Nhằm giúp các bạn đỡ áp lực hơn trong việc ôn tập và tìm tài liệu, mời các bạn tham khảo "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hải Dương" và các tài liệu liên quan tại trang tailieu.vn. Thông qua giải đề, các bạn sẽ được làm quen với cấu trúc đề thi, các dạng bài tập và được cọ sát thực tế với đề thi trước kì thi.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hải Dương

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG<br /> <br /> KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> NĂM HỌC 2013 – 2014<br /> MÔN THI: TOÁN - LỚP 12<br /> Thời gian làm bài: 180 phút<br /> <br /> Câu I (2,0 điểm)<br /> 1) Cho hàm số y  x 3  2mx 2  3x (1) và đường thẳng () : y  2mx  2 (với m là tham số).<br /> Tìm m để đường thẳng () và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao<br /> cho diện tích tam giác OBC bằng 17 (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ<br /> độ).<br /> 2) Cho hàm số y <br /> <br /> 2x  3<br /> có đồ thị (C) và đường thẳng d: y  2 x  m . Chứng minh rằng d cắt<br /> x2<br /> <br /> (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi k1 , k 2 lần lượt là hệ số góc của tiếp<br /> tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để P = k1 2013  k 2 2013 đạt giá trị nhỏ nhất.<br /> Câu II (2,0 điểm)<br /> <br /> <br /> <br /> 1) Giải phương trình: sin 4 x  cos 4 x  4 2 sin  x <br /> <br /> 2) Giải hệ phương trình:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  1<br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> 3 xy 1  9 y  1 <br /> x 1  x<br /> <br />  x 3 (9 y 2  1)  4( x 2  1) x  10<br /> <br /> <br /> Câu III (2,0 điểm)<br /> 1) Rút gọn biểu thức:<br /> <br /> S<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br />  ... <br /> 1.0!.2013! 2.1!.2012! 3.2!.2011! 4.3!.2010!<br /> 2014.2013!.0!<br /> <br /> 5<br /> <br /> u1  2<br />  n 1<br /> <br /> 2) Cho dãy số (un) thỏa mãn: <br /> ( n  N *) . Tìm lim  <br />  u<br />  k 1 k<br /> u  1 u 2  u  2<br /> n<br />  n1 2 n<br /> <br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> <br /> .<br /> <br /> <br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Câu IV (3,0 điểm)<br /> 1) Cho khối chóp S . ABC có SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a, ASB  SAC  900 , BSC  1200 . Gọi<br /> M, N lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a. Chứng minh tam giác AMN<br /> vuông. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) theo a.<br /> 2) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng trên các đoạn AB và CD sao<br /> cho BM = DN. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN.<br /> Câu V (1,0 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn: xyz  2 2<br /> Chứng minh rằng:<br /> <br /> x8  y 8<br /> y8  z8<br /> z 8  x8<br />  4<br />  4<br /> 8<br /> x4  y4  x2 y2 y  z4  y2 z2 z  x4  z2x2<br /> <br /> ……………..Hết………………..<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> Câu<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> I1<br /> <br /> 1) Cho hàm số y  x 3  2mx 2  3x (1) và đường thẳng () : y  2mx  2 (với m là<br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> tham số). Tìm m để đường thẳng () và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm<br /> phân biệt A, B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 17 (với A là điểm có<br /> hoành độ không đổi và O là gốc toạ độ).<br /> Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và (  ) là nghiệm phương trình:<br /> x 3  2mx 2  3 x  2mx  2  x3  2mx 2  (2m  3) x  2  0<br /> <br /> x 1<br />  ( x  1)  x 2  (2m  1) x  2   0   2<br /> .<br /> <br /> <br />  x  (2m  1) x  2  0(2)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vậy () và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt  phương trình (2)<br /> <br /> (2m  1) 2  8  0<br />  m  0.<br /> có hai nghiệm phân biệt x  1  <br /> 1  2m  1  2  0<br /> Khi đó, ba giao điểm là A(1;2m-2), B( x1 ;2mx1  2), C( x2 ;2mx2  2) , trong đó<br /> 0,25<br /> <br /> x1; x 2 là nghiệm phương trình (2) nên x1  x 2  2m  1, x1x 2  2<br /> Tam giác OBC có diện tích S <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> BC.d . Trong đó d = d(O;  ) =<br /> 2<br /> 1+4m 2<br /> <br /> BC 2  ( x2  x1 ) 2  (2mx2  2mx1 ) 2  ( x1  x2 )2  4 x1 x2   4m 2  1<br /> <br /> <br /> 2<br />  BC   2m  1  8  4m 2  1<br /> <br /> <br /> <br /> S<br /> <br />  2m  1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 8<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Vậy S = 17 <br /> <br /> I2<br /> 1,0đ<br /> <br /> m  1<br /> 4m 2  4m  9  17  <br /> (TM)<br />  m  2<br /> <br /> 2) Cho hàm số y <br /> <br /> 2x  3<br /> có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = - 2x + m. Chứng<br /> x2<br /> <br /> minh rằng d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi k1 , k 2 lần<br /> lượt là hệ số góc của<br /> <br /> tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> P =<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> k1 2013  k 2 2013<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> đạt giá trị nhỏ nhất.<br /> <br /> Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d:<br />  x  2<br /> 2x  3<br />  2 x  m   2<br /> x2<br /> 2 x  (6  m) x  3  2m  0(*)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Xét phương trình (*), ta có:   0, m  R và x = -2 không là nghiệm của (*) nên<br /> d luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là<br /> k1 <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> , trong đó x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình (*), ta<br /> , k2 <br /> 2<br /> ( x1  1)<br /> ( x 2  1) 2<br /> <br /> thấy k1 .k 2 <br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> x1  22 x2  22<br /> <br /> 1<br /> <br /> x1 x2  2 x1  2 x2  42<br /> <br />  4 (k1>0, k2>0)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Có P = k1 2013  k 2 2013  2. k1 k 2 2013  2 2014 , do dó MinP = 22014 đạt được khi<br /> k1  k 2 <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> <br />  ( x1  2) 2  ( x 2  2) 2<br /> 2<br /> 2<br /> ( x1  2)<br /> ( x 2  2)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> do x1 , x2 phân biệt nên ta có x1 +2 = - x2 - 2<br />  x1 + x2 = - 4  m = - 2. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.<br /> <br /> II1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1) Giải phương trình: sin 4 x  cos 4 x  4 2 sin  x <br /> <br /> <br /> <br />   1 (1)<br /> 4<br /> <br /> 1,0đ<br /> PT(1)  2sin2x.cos2x + 2cos22x =4(sinx – cosx)<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  (cosx – sinx). (cos x  sin x)(sin 2 x  cos 2 x)  2  0<br /> <br /> *) cos x  sin x  0  x <br /> <br /> <br /> 4<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  k<br /> <br /> *) (cosx + sinx)(sin2x + cos2x) + 2 = 0  cosx + sin3x + 2 = 0 (2)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> cos x  1<br />  hệ vô nghiệm.<br /> sin 3 x  1<br /> <br /> *) Vì cos x  1; sin 3 x  1, x nên (2)  <br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> 0,25<br /> Vậy PT có nghiệm là: x   k (k  Z )<br /> 4<br /> <br /> II2<br /> 2) Giải hệ phương trình:<br /> 1,0đ<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> (1)<br /> 3 xy 1  9 y  1 <br /> x 1  x<br /> <br />  x 3 (9 y 2  1)  4( x 2  1). x  10(2)<br /> <br /> <br /> ĐK: x  0<br /> NX: x = 0 không TM hệ PT<br /> Xét x > 0<br /> PT (1)  3 y  3 y 9 y 2  1 <br /> <br /> x 1  x<br /> x<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> <br />  3 y  3 y (3 y )  1 <br /> x<br /> x<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 2<br /> <br />  1 <br /> <br />   1 (3)<br /> <br /> <br />  x<br /> <br /> Từ (1) và x > 0 ta có: y > 0. Xét hàm số f(t)= t + t. t 2  1 , t > 0.<br /> Ta có: f’(t) = 1 + t 2  1 <br /> <br /> t2<br /> t 2 1<br /> <br /> >0. Suy ra f(t) luôn đồng biến trên (0,+∞)<br /> <br /> 1<br />  1 <br />   3y =<br /> <br /> x<br />  x<br /> <br /> PT(3)  f(3y)= f <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Thế vào pt(2) ta được PT: x 3  x 2  4( x 2  1). x  10<br /> Đặt g(x)= x 3  x 2  4( x 2  1). x  10 , x > 0. Ta có g’(x) > 0 với x > 0<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  g(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0,+∞)<br /> <br /> Ta có g(1) = 0<br /> Vậy pt g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1<br /> Với x =1  y =<br /> <br /> 1<br /> 3<br /> 1<br /> 3<br /> <br /> KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (1; ).<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản