Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2015-2016 - Trường THPT Lý Thái Tổ

Chia sẻ: Lê Ngọc Mai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

0
16
lượt xem
3
download

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2015-2016 - Trường THPT Lý Thái Tổ

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn học sinh làm quen với cách thức ra đề cũng như các dạng bài tập hay ra trong đề thi học sinh giỏi môn Toán. Xin gửi đến các em "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2015-2016 - Trường THPT Lý Thái Tổ", tham khảo để các em ôn tập lại kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải đề nhé!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2015-2016 - Trường THPT Lý Thái Tổ

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD & ĐT BẮC NINH<br /> <br /> ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI<br /> <br /> TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ<br /> <br /> NĂM HỌC 2015 – 2016<br /> MÔN THI: TOÁN – LỚP 12<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> <br /> Câu 1 (3.0 điểm) Cho hàm số: y  mx 3  3mx 2  3  m  1 , với m là tham số. Chứng minh rằng<br /> với mọi m  0 , hàm số luôn có hai điểm cực trị A,B . Khi đó tìm các giá trị của tham số m để<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2AB2  OA 2  OB2  20 (trong đó O là gốc toạ độ).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Câu 2 (3.0 điểm) Giải phương trình: cosx  cos3x  1  2 sin  2x   .<br /> 4<br /> Câu 3 (3.0 điểm) Giải hệ phương trình:<br /> <br />  2027  3x  4  x   6y  2024 3  2y  0 (1)<br /> <br /> (x,y  )<br /> <br /> 2<br /> 2 7 x  8y  3 14x-18y  x  6x  13<br /> ( 2)<br /> <br /> Câu 4 (4.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có E,F lần<br /> lượt thuộc các đoạn AB,AD sao cho EB  2EA; FA  3FD , F(2;1) và tam giác CEF vuông tại<br /> F. Biết đường thằng x  3y  9  0 qua hai điểm C, E. Tìm toạ độ điểm C biết C có hoành độ<br /> dương.<br /> Câu 5 (3.0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AD  a,AB  b,AC  c và BAC  CAD  DAB  600 .<br /> 1. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo a,b,c .<br /> 2. Cho a  b  c  2015  Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi của tam giác BCD.<br /> 1<br /> 3<br /> <br /> 1<br /> 5<br /> <br /> Câu 6 (2.0 điểm) Tính: S  C0  C2  C4   <br /> 2015<br /> 2015<br /> 2015<br /> <br /> 1<br /> 2014<br /> C2015<br /> 2015<br /> <br /> Câu 7 (2.0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br /> 1<br /> <br /> P<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 6 xy  8 xz  7z 9 x  y  z<br /> <br /> -------------------------- Hết -------------------------www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM<br /> Câu<br /> 1<br /> (3.0<br /> điểm)<br /> <br /> Điể<br /> m<br /> <br /> Đáp án<br /> Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị…..<br /> Ta có: y '  m(3x 2  6x)<br />  x  0  y  3m  3<br /> <br /> Với mọi m  0 , ta có: y '  0  <br /> <br /> 1.0<br /> <br /> x  2  y  m  3<br /> <br />  Hàm số luôn có hai điểm cực trị.<br /> <br /> Vai trò A, B như nhau nên giả sử A(0; 3m  3), B(2;  m 3) . Ta có:<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2AB  (OA  OB )  20  2 4  16m  9(m  1)  4  (m  3)<br /> m  1<br /> (thỏa mãn đk)<br />  11m  6m  17  0  <br />  m  17<br /> <br /> <br /> 11<br /> <br /> 2<br /> <br />   20<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> 2<br /> <br /> Vậy giá trị m cần tìm là: m  1 và m <br /> 2<br /> (3.0<br /> điểm)<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> 17<br /> .<br /> 11<br /> <br /> Giải phương trình:<br /> PT  cosx  cos3 x  1  sin 2 x  cos2 x<br />  2 cos2x cosx  2 cos2 x  2 sinx cosx<br /> <br /> 1.0<br /> <br />  2 cosx  cos2x  cosx  sin x   0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  2 cosx  cos2 x  sin2 x   cosx  sinx    0<br /> <br /> <br /> <br /> 1.0<br />  2 cosx  cosx  sin x   cosx  sinx  1  0<br /> <br /> <br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  x   k<br />  x  2  k<br /> 2<br /> <br />  cosx  0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br />   cosx  sinx  0   2 cos x    0   x <br />  k<br /> <br /> 4<br /> 4<br /> <br /> <br />  cosx  sin x  1<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  x     k 2<br /> <br />  2 cos x    1<br /> <br /> 4<br /> <br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> (2.0<br /> điểm)<br /> <br /> (k  )<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> Giải hệ phương trình…<br /> 3<br /> 2<br /> <br /> ĐKXĐ: x  4,y  , 7x  8y  0,14x  18y  0 (Thiếu điều kiện trừ 0.5)<br /> 0.5<br /> <br /> PT (1) 3(4  x)  2015 4  x  3(3  2y)  2015 3  2y (3)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Xét hàm số: f (t)   3t  2015 t liên tục trên  0;   <br /> <br /> Có f '(t)  3 t <br /> <br /> 3t  2015<br /> <br />  0, t  0<br /> <br /> 2 t<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> Suy ra hàm số đồng biến trên  0;   <br /> Nên pt (3) f  4  x   f  3  2y   4  x  3  2y  y <br /> Thay y <br /> <br /> x 1<br /> 2<br /> <br /> x 1<br /> vào pt (2) ta được pt:<br /> 2<br /> <br /> 2 7 x  4(x  1)  3 14x  9(x  1)  x 2  6x  13<br /> <br />  2 3x  4  3 5x+9  x 2  6x  13<br />  2 3x  4  2(x  2)  3 5x+9  3(x  3)  x 2  x<br /> <br /> <br /> <br /> 2x(x  1)<br /> 3x  4  (x  2)<br /> <br /> 3x(x  1)<br /> <br /> <br /> <br /> 1.0<br /> <br />  x(x  1)<br /> <br /> 5x  9  (x  3)<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 3<br />  x(x  1) <br /> <br />  1  0<br /> 5x  9  (x  3) <br />  3x  4  (x  2)<br /> <br /> <br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> x  0<br /> .( Vì<br />  x(x  1)  0  <br />  x  1<br /> <br /> <br /> 2<br /> 3x  4  (x  2)<br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br />  1  0 với<br /> <br /> 5x  9  (x  3)<br /> <br /> 4<br /> x 4)<br /> 3<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Vậy hệ pt có hai nghiệm:  0;   ;  1; 1 .<br /> <br /> <br /> 4<br /> (3.0<br /> điểm)<br /> <br /> AEF<br /> <br /> góc<br /> <br /> và<br /> <br /> DFC<br /> <br /> F1  C1 (vì<br /> <br /> 0<br /> F2 ), A  D  90   AEF<br /> <br /> B<br /> <br /> AE AF EF<br /> <br /> <br /> <br /> DF DC FC<br /> H<br /> DF <br /> <br /> x-3y-9=0<br /> <br /> có:<br /> <br /> AD<br /> E<br /> 4<br /> <br /> ,AF <br /> <br /> A<br /> <br />  DFC<br /> <br /> AB<br /> mà AE  C ,<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1<br /> <br /> 3AD<br /> AB 3 .<br /> <br /> <br /> 4<br /> AD 4<br /> 1<br /> <br /> cùng phụ với<br /> <br /> Do đó:<br /> <br /> 2<br /> <br /> D<br /> F(2;1)<br /> <br /> Gọi H là hình chiếu củaF trên EC. Khi đó: CF  2FH  2d(F,CE)  2 5<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> Gọi C(3t  9; t) với t  3 (vì x C  0 ). Ta có: CF  2 5  CF2  20<br /> <br /> 1.0<br /> <br />  t  1<br />  (3t  7)2  (t  1) 2  20  t 2  4t  3  0  <br />  t  3 (L)<br /> <br /> 1.0<br /> Với t  1  C(6; 1) . Vậy C(6; 1)<br /> 0.5)<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> (không loại nghiệm trừ<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 5<br /> Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm B',C' sao cho:<br /> <br /> (3.0 đ)<br /> <br /> AB'  AC'  AD  a . Khi đó tứ diện AB'C'D là tứ<br /> A<br /> <br /> diện đều cạnh a có thể tích:  VAB'C'D <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> a3 2<br /> 12<br /> <br /> c<br /> <br /> Ta có:<br /> B'<br /> <br /> D<br /> <br /> B<br /> <br /> C'<br /> <br /> VAB'C'D AB' AC' a a a2<br /> <br /> <br /> <br /> VABCD<br /> AB AC b c bc<br /> <br /> 1.5<br /> <br /> C<br /> <br />  VABCD <br /> <br /> bc a3 2 abc 2<br /> bc<br /> VAB'C'D  2<br /> <br /> 12<br /> a2<br /> a 12<br /> <br /> Chu vi tam giác BCD:<br /> p  DC  BC  BD  a2  ac  c2  b2  bc  c2  a2  ab  b2<br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> 1<br /> 3<br /> 1<br /> 3<br /> 1<br /> (a  c)2  (a  c)2 <br /> (b  c)2  (b  c)2 <br /> (a  b)2  (a  b)2<br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> 1.5<br /> <br /> a c b  c a b<br /> <br /> <br /> <br />  a  b  c  2015<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Vậy pmin  2015 khi a  b  c <br /> <br /> 6<br /> <br /> Chứng minh:<br /> <br /> (2.0 đ)<br /> Khi đó: S <br /> <br /> 2015<br /> .<br /> 3<br /> <br /> Ck<br /> Ck 1<br /> n<br />  n1<br /> k  1 n 1<br /> <br /> 1<br /> C1  C3  C5  ...  C2015<br /> 2016<br /> 2016<br /> 2016<br /> 2016 2016<br /> <br /> Ta lại có: 1  1<br /> <br /> <br /> <br /> 2016<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> <br /> <br />  C0  C1  C2  C3  ....  C2015  C2016<br /> 2016<br /> 2016<br /> 2016<br /> 2016<br /> 2016<br /> 2016<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 1  1<br /> <br /> 2016<br /> <br />  C0  C1  C2  C3  ....  C2015  C2016<br /> 2016<br /> 2016<br /> 2016<br /> 2016<br /> 2016<br /> 2016<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản