Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2016 - Sở GD&ĐT Tp Hồ Chí Minh

Chia sẻ: Hương Nắng Mai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

0
42
lượt xem
8
download

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2016 - Sở GD&ĐT Tp Hồ Chí Minh

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các em học sinh lớp 12 tham khảo "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2016 - Sở GD&ĐT Tp Hồ Chí Minh" để ôn tập chuẩn bị kiến thức cho kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh sắp diễn ra. Nội dung đề thi bám sát chương trình học, cấu trúc đề thi được biên soạn theo hình thức ra đề mới của Bộ GD&ĐT. Tham khảo để các em rèn luyện cách giải đề và ôn tập tốt nhé!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2016 - Sở GD&ĐT Tp Hồ Chí Minh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT<br /> CẤP THÀNH PHỐ<br /> KHÓA THI NGÀY 09/03/2016<br /> Môn thi: Toán<br /> Thời gian làm bài:150 phút<br /> (không kể thời gian phát đề)<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> (đề thi gồm 01 trang)<br /> Bài 1. (3 điểm)<br /> Giải phương trình:<br /> <br /> x2  1 <br /> <br /> ( x 2  1)(2  x) 4<br />  .<br /> x<br /> x<br /> <br /> Bài 2. (4 điểm)<br /> Giải hệ phương trình:<br /> <br /> y  y2  1<br /> 2<br /> 2<br /> ( x  y )( x  xy  y  2)  2ln<br /> <br /> x  x2  1<br /> <br /> ( x  2) log 3 x  y log 3 y  x  1<br /> Bài 3. (3 điểm)<br /> Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x 2  y 2 <br /> <br /> 3<br />  2( x  y ) . Tìm giá trị lớn<br /> 2<br /> <br /> nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br /> 6  2( x  1)( y  1)<br /> .<br /> P<br /> ( x  1)2  ( y  1)2<br /> Bài 4. (3 điểm)<br /> Tìm m để phương trình: m(sin 2 x  1)  1  (m  3)(sin x  cos x) có đúng<br /> <br /> hai nghiệm phân biệt trên đoạn [0; ] .<br /> 2<br /> Bài 5. (4 điểm)<br /> Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết AB = 2, CD = 2 3 ,<br />   BAD  900 và góc giữa AD và BC bằng 300.<br /> ABC <br /> Bài 6. (3 điểm)<br /> Trong một buổi tọa đàm về “Tình yêu tuổi học đường” tại lớp 12A, có tất<br /> cả 21 bạn tham gia và có 4 cặp có tình cảm với nhau (không có học sinh nào<br /> thuộc về nhiều cặp). Cô giáo chọn ra 5 bạn để tham gia một trò chơi tập thể.<br /> Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong đó, có ít nhất một cặp có tình cảm với<br /> nhau?<br /> HẾT<br /> <br /> ĐÁP ÁN<br /> Bài 1. (3 điểm)<br /> <br /> ( x 2  1)(2  x) 4<br /> Giải phương trình: x  1 <br /> <br /> x<br /> x<br /> 2<br /> <br /> (*) .<br /> <br /> Lời giải.<br /> ( x 2  1)(2  x)<br />  0  x   1;0   1; 2 .<br /> (0,5đ)<br /> x<br /> 4<br /> Vế trái của (*) dương nên  0  x  0 , do đó, ta chỉ cần xét x  1;2 và ta có:<br /> x<br /> <br /> Điều kiện<br /> <br /> x3  x  x( x 2  1)(2  x)  4<br />  x3  x  4  x( x 2  1)(2  x)  0<br /> <br /> (0,5đ)<br /> <br />  ( x  x)  2(2  x)  ( x  x)(2  x)  0<br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> Đặt u  x3  x  0, v  2  x  0 thì ta có<br /> <br /> u 2  2v 2  uv  0  (u  v)(u  2v)  0<br /> u  v<br /> <br /> u  2v  0<br /> <br /> (1đ)<br /> <br /> Phương trình thứ hai vô nghiệm vì u, v không thể đồng thời bằng 0. Do đó<br /> <br /> u  v  x3  x  2  x<br />  x3  x  2  x  x 3  2  x  3 2<br /> So sánh điều kiện, ta thấy nghiệm này thỏa mãn nên phương trình (*)<br /> có nghiệm duy nhất là x  3 2<br /> Bài 2. (4 điểm) Giải hệ phương trình:<br /> <br /> y  y2  1<br /> ( x  y )( x 2  xy  y 2  2)  2ln<br /> <br /> x  x2  1<br /> <br /> ( x  2) log 3 x  y log 3 y  x  1<br /> Lời giải.<br /> Điều kiện xác định: x, y  R<br /> <br /> (1đ)<br /> <br /> Phương trình đầu  x3  y 3  2( x  y)  2ln( y  y 2  1)  2ln( x  x 2  1)<br /> <br />  x3  2 x  2ln( x  x 2  1)  y 3  2 y  2ln( y  y 2  1)<br /> Xét f (t )  t 3  2t  2ln(t  t 2  1)<br /> Tập xác định: R<br /> <br /> f '(t )  3t 2  2 <br /> <br /> 2<br /> t 1<br /> 2<br /> <br /> Đặt u  t 2  1; u  1<br /> <br /> 2 3u 3  5u  2<br />  3(u  1)  2  <br /> => 3t  2 <br /> u<br /> u<br /> t2 1<br /> 2<br /> (u  1)(3u  3u  2)<br />  0 u  1<br /> =<br /> u<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> (1đ)<br /> <br />  f / (t )  0 t  R hay f (t ) là hàm đồng biến trên R<br /> Từ f ( x)  f ( y )  x  y<br /> Thay vào phương trình thứ hai, ta được: (2 x  2)log 3 x  x  1<br /> <br /> (1đ)<br /> <br /> x = 1 không là nghiệm  x  1<br /> <br /> (0,25đ)<br /> <br /> x 1<br /> ( x  0, x  1)<br /> 2x  2<br /> VT là hàm đồng biến trên (0, )<br /> VP nghịch biến trên từng khoảng (;1) và (1;+)<br /> nên phương trình trên có không quá 2 nghiệm.<br /> 1<br /> Nhẩm được x  3 và x  là nghiệm<br /> 3<br /> 1<br /> Suy ra phương trình có đúng 2 nghiệm là x  3 và x  .<br /> 3<br /> <br /> Phương trình  log 3 x <br /> <br /> 1 1 <br /> <br /> Kết luận : Tập nghiệm của hệ là : (x ;y)  (3;3);( ; ) <br /> 3 3 <br /> <br /> <br /> (0,25đ)<br /> (0,25đ)<br /> (0,25đ)<br /> (0,5đ)<br /> <br /> (0,5đ)<br /> <br /> Bài 3. (3 điểm)<br /> Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x 2  y 2 <br /> <br /> 3<br />  2( x  y ) . Tìm giá trị lớn<br /> 2<br /> <br /> nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br /> 6  2( x  1)( y  1)<br /> .<br /> P<br /> ( x  1)2  ( y  1)2<br /> Lời giải.<br /> 3<br /> 1<br /> x 2  y 2   2( x  y )  ( x  1) 2  ( y  1) 2 <br /> 2<br /> 2<br /> Đặt a  x  1, b  y  1<br /> 1<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> Do (a  b )  2ab  a  b nên 11  P  13<br /> 3 1<br /> GTLN của P là 13 khi ( x, y)   ; <br /> 2 2<br /> 1 1<br /> GTNN của P là 11 khi ( x, y)   ; <br /> 2 2<br /> <br /> Ta có P = 12 – 4ab với a2 + b2 =<br /> <br /> (1đ)<br /> (1đ)<br /> (0,5đ)<br /> (0,5đ)<br /> <br /> Bài 4. (3 điểm)<br /> Tìm m để phương trình: m(sin 2 x  1)  1  (m  3)(sin x  cos x) (*) có<br /> <br /> đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn [0; ] .<br /> 2<br /> Lời giải.<br /> Đặt t  sin x  cos x (1  t  2) ,<br /> (0,5đ)<br /> 2<br /> 2<br /> (*)  mt  1  (m  3)t  m(t  t )  3t  1 (**)<br /> t = 1 không thỏa phương trình (**)<br /> 3t  1<br />  f (t ) (1  t  2)<br /> (**)  m <br /> (0,5đ)<br /> t  t2<br /> 3t 2  2t  1<br /> f / (t ) <br />  0 t  (1; 2]<br /> (t  t 2 )2<br /> (0,5đ)<br /> <br /> Suy ra f đồng biến trên (1; 2]<br /> <br /> <br /> Ứng với mỗi t  (1; 2) ptrình t  sin x  cos x có đúng 2 nghiệm x  (0; ) (0,75đ)<br /> 2<br /> <br /> Như vậy (*) có đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn [0; ] khi<br /> 2<br /> 87 2<br /> (0,75đ)<br /> m  f ( 2)  <br /> 2<br /> Bài 5. (4 điểm)<br /> ABC <br /> Cho tứ diện ABCD có AB = 2, CD = 2 3 ,   BAD  900 và góc giữa<br /> AD và BC bằng 300. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.<br /> Lời giải.<br /> <br /> D<br /> <br /> K<br /> <br /> O<br /> E<br /> <br /> J<br /> A<br /> <br /> C<br /> I<br /> B<br /> <br /> Dựng hình chữ nhật ABCE. Ta có AB, CE vuông góc với mp(ADE) và (AD,AE) =300.<br /> <br /> Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, AE; K là tâm đường tròn ngoại tiếp<br /> tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp D.ABCE.<br /> Suy ra OK  (ADE) và OI  (ABCD), KJ  AE<br />  OIJK là hình chữ nhật.<br /> <br />  ADE; O là<br /> (1đ)<br /> (1đ)<br /> (0,5đ)<br /> <br /> Ta có DE  DC 2  CE 2  2 2<br /> DE<br />  AK <br /> 2 2<br /> 2sin( AD, AE )<br /> <br /> (0,5đ)<br /> <br />  OA  AK 2  OK 2  AK 2  IJ 2  3<br /> Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 3.<br /> <br /> (0,5đ)<br /> <br /> (0,5đ)<br /> <br /> Bài 6. (3 điểm)<br /> Trong một buổi tọa đàm về “Tình yêu tuổi học đường” tại lớp 12A, có tất<br /> cả 21 bạn tham gia và có 4 cặp có tình cảm với nhau (không có học sinh nào<br /> thuộc về nhiều cặp). Cô giáo chọn ra 5 bạn để tham gia một trò chơi tập thể.<br /> Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong đó, có ít nhất một cặp có tình cảm với<br /> nhau?<br /> Lời giải.<br /> Gọi A là nhóm các học sinh có tình cảm với nhau (gồm 8 học sinh) và B là nhóm các<br /> học sinh còn lại (gồm 13 học sinh)<br /> (0,25đ)<br /> * Trường hợp 1: Có đúng 1 cặp có tình cảm với nhau.<br />  Đầu tiên chọn 1 cặp có tình cảm với nhau: Có 4 cách chọn.<br /> (0,25đ)<br />  Tiếp theo ta chọn 3 học sinh trong đó không có 2 em nào có tình cảm với nhau,<br /> có 4 trường hợp:<br /> + 3 HS thuộc nhóm A: Có 23 cách chọn.<br /> (0,25đ)<br /> 2 2<br /> 1<br /> + 2 HS thuộc nhóm A và 1 HS thuộc nhóm B: Có C3 .2 .C13 cách chọn.<br /> (0,25đ)<br /> 1<br /> 2<br /> + 1 HS thuộc nhóm A và 2 HS thuộc nhóm B: Có C3 .2.C13 cách chọn.<br /> <br /> + 3 HS thuộc nhóm B: Có C cách chọn.<br /> <br /> (0,25đ)<br /> (0,25đ)<br /> <br /> 3<br /> 13<br /> <br /> Như vậy số cách chọn trong trường hợp 1 là 4(2  C .2 .C  C .2.C  C )<br /> =3672 (0,25đ)<br /> * Trường hợp 2: Có đúng 2 cặp có tình cảm với nhau.<br /> 2<br />  Đầu tiên chọn 2 cặp có tình cảm với nhau: Có C4  6 cách chọn.<br /> (0,25đ)<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> 1<br />  Tiếp theo ta chọn 1 học sinh còn lại: có C17 cách chọn.<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 13<br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> 13<br /> <br /> 3<br /> 13<br /> <br /> (0,25đ)<br /> <br /> 1<br /> Như vậy số cách chọn trong trường hợp 2 là 6C17  102 .<br /> (0,25đ)<br /> Vậy tổng cộng có 3774 cách chọn ra 5 bạn mà trong đó, có ít nhất một cặp có tình cảm<br /> với nhau.<br /> (0,5đ)<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản