Đề thi học sinh giỏi Ngệ An

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

0
113
lượt xem
41
download

Đề thi học sinh giỏi Ngệ An

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi học sinh giỏi Ngệ An nhằm giúp cho học sinh ôn tập, luyện tập và vận dụng các kiến thức vào việc giải các bài tập và đặc biệt khi giải những bài tập cần phải tính toán một cách nhanh nhất, thuận lợi nhất đồng thời đáp ứng cho kỳ thi tuyển sinh đại học và cao đẳng.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi Ngệ An

  1. MATH.VN ð THI H C SINH GI I T NH NGH AN MÔN TOÁN B NG B Câu 1: a)Tìm giá tr c a tham s m ñ phương trình sau có nghi m (m-3)x + (2− m) x + (3 − m) = 0 b) Ch ng minh r ng : 3 sin x π ( ) 〉 cosx v i x ∈ (0; ) x 2 Câu 2: a) Tìm GTNN và GTLN c a π A = x + 1−x 2 v i x ∈ (0; ) 2 b, gi i h phương trình  x − y sin x e = sin y   sin 2 x − cos 2 y = sin x + cos y −1  π  x, y ∈ (0; )   4 Câu 3:Gi i phương trình nghi m nguyên π cos[ (3x + 9 x 2 + 160 x + 800 )] = 1 8 Câu 4: 3 a)Trong h tr c 0xy cho tam giác ABC có di n tích là 2 . ði m A(3; −2) ; B(2; −3) và tr ng tâm G thu c ñư ng th ng 3x − y − 8 = 0. Tính bán kính ñư ng tròn n i ti p tam giác ABC b) Cho ñư ng tròn (C) có phương trình : x2 − 2x + y2 − 4y + 4 = 0. ði m M thu c ñư ng th ng (d) x − y + 3 = 0. t M k 2 ti p tuy n t i C t i hai ti p ñi m là A và B .Ch ng mình r ng ñư ng th ng AB ñi qua 1 ñi m c ñ nh khi M di chuy n trên (d ) NGH AN CH N TUY N QU C GIA VÒNG 1  y = x −3   Bài 1:gi i h : (2 z − 2 + y ) y = 1 + 4 y  x2 + z − 4x = 0   Bài 2:cho s nguyên a,ch ng minh r ng phương trình: x 4 − 7 x3 + ( a + 2) x 2 − 11x + a = 0 không th có nhi u hơn 1nghi m nguyên.  x0 = 1  Bài 3:cho dãy s th c xn xác ñ n b i:   xn +1 = 2 + xn − 2 1 + xn , ∀n ∈ N .  1
  2. MATH.VN n Ta xác ñ nh dãy yn b i công th c yn = ∑ xi 2i , ∀n ∈ N * ,tìm công th c t ng quát c a dãy yn. i =1 Bài 4:cho các s nguyên dương a,b,c khác 0 th a mãn: a b c b + c + a ∈ z   a + b + c ∈ z c a b  3a 4 2b 4 c 4 Ch ng minh: 2 + 2 + 2 − 4 a − 3 b − 2 c ≥ 0 b c a Bài 5:Trong m t ph ng t a ñ oxy cho 9 ñi m có t a ñ là các s nguyên,trong ñó không có 3 ñi m nào th ng hang.Ch ng minh r ng t n t i ít nhát 1 tam giác có 3 ñ nh là 3 trong 9 ñi m trên có di n tích là 1 s ch n. Bài 6:Cho 2 ñư ng tròn (O) và (O’) ti p xúc trong t i ñi m K,(O’) n m trong (O).ði m A N m trên (O) sao cho 3 ñi m A,O,O’ không th ng hang.Các ti p tuy n AD và AE c a (O’) c t (O) l n l ot t i B và C(D,E là các ti p ñi m).ðư ng th ng AO’ c t (O) t i F.Ch ng minh r ng các ñư ng th ng BC,DE,FK ñ ng quy. Bài 7:cho n ≥ 2, n ∈ N . Kí hi u A = {1, 2,..., n } ,t p con B c a A ñư c g i là 1 t p t t n u B khác r ng và trung bình c ng c a các ph n t c a B là 1 s nguyên,G i Tn là s các t p t t c a A.Ch ng minh r ng Tn – n là 1 s ch n. NGH AN CH N TUY N QU C GIA VÒNG 2 Bài 1:gi i phương trình: 16 x − 24 x 2 + 12 x − 3 = 3 x 3 Bài 2:Tìm t t c các s nguyên a,b,c th a mãn ñi u ki n 1
  3. MATH.VN 1 + cos8x Bài 2: a) Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s : f ( x) = 6 + 2cos4x b) Tìm m ñ t n t i c p s (x,y) không ñ ng th i b ng o và th a mãn phương trình: (4m − 3) x + (3m − 4) y + (m − 1) x 2 + y 2 = 0 1 Bài 3:Tìm t t c c các ña th c p(x) th a mãn: P( x) + P(1) = [P(x+1)+P(x-1)],∀x 2 Bài 4: a) cho a,b,c,d là 4 s th c th a mãn ñi u ki n: a + b 2 = 1, c + d = 3 ,ch ng minh r ng; 2 9+6 2 ac + bd + cd ≤ 4 b) Trong m t ph ng Oxy cho h ñư ng tròn (Cm): x 2 + y 2 − 2(m − 1) x − ( m + 6) + m + 10 , m ≠ 0 Ch ng minh r ng: các ñư ng tròn (Cm) luôn luôn ti p xúc v i nhau tai m t ñi m c ñ nh khi m thay ñ i. S GIÁO D C VÀ ðÀO T O KỲ THI H C SINH GI I T NH KH I NGH AN 12 THPT 1997-1998 Bài 1: cho phương trình: x 2 + x + 12 x + 1 − 36 = 0 a) Ch ng minh r ng phương trình có nghi m s trên (0,10) b) Tìm nghi m nguyên c a phương trình trên. Bài 2: a) Xác ñ nh s ño c a góc A trong tam giác ABC,bi t r ng t ng các nghich ñ o s ño c a 2 c nh AB,AC b ng ngh ch ñ o s ño ñư ng phân giác c a góc xen gi a 2 c nh y. b) Gi i phương trình: SinxSin2xSin3x+CosxCos2xCos3x=1 Bài 3:V i giá tr nào c a m thì s nghi m c a phương trình: 15 x 2 − 2(6m 2 + 1) x − 3m 4 + 2m 2 = 0 không nhi u hơn s nghi m c a phương trình: (3m − 1) 2 .12 x + 2 x 3 + 6 x = (36 m − 9) 28 m − 0, 25 x 2 − (k − 1) x + k 2 Bài 4: a) Tìm giá tr nh nh t c a y = ,khi 0 < x ≤ k 2 − k + 1 ,k là tham s dương. x b) Trong h tr c t a ñ cho ñi m M(2,4).Xét các tam giác có m t c nh vuông góc v i Oy và hai ñ nh n m trên parabol y = 3 x 2 ; x ∈ [-1,1] nh n M là trung ñi m c a m t trong 2 c nh c n l i.Xác ñ nh tam giác có di n tích l n nh t.Tính di n tích y. S GIÁO D C VÀ ðÀO T O KỲ THI H C SINH GI I T NH KH I NGH AN 12 THPT 1999-2000  2 2 xy x + y + x + y = 1 2 Bài 1: a) Gi i h phươmng trình:   x + y = x2 − y  b) Ch ng minh r ng v i m i s nguyên a phương trình: x 4 − 2001x 3 + (2000 + a ) x 2 − 1999 x + a = 0 không th có 2 nghi m nguyên. 17 − 1 Bài 2: a) Cho xy + yz + zx = −1 ,ch ng minh r ng: x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 ≥ 2 b) Cho x và y là hai s dương thay ñ i có t ng b ng 1,m là m t s dương cho trư c.Tìm giá tr 1 m bé nh t c a t ng: S = 2 + x +y 2 xy 3
  4. MATH.VN U1 = 1  Bài 3:cho dãy s {U n } xác ñ nh như sau:  2 +Un U n +1 = 1 − 2U , ∀n ≥ 1  n Ch ng minh r ng dãy s {U n } không tu n hoàn. Bài 4: Cho t di n SABC ,trên các c nh SA,SB,SC l n lư t l y các ñi m D,E,F.Bi t r ng các m t ph ng (ABF),(BCD),(ACE) c t nhau tai M và ñư ng th ng SM c t m t ph ng (DÈ) t i N,c t m t NP MP ph ng (ABC) t i P.Ch ng minh: =3 NS MS Bài 5: Cho hình h p ABCDA1 B1C1 D1 có t t c các c nh ñ u b ng nhau và b ng AC1 .Các góc ph ng ñ nh c a góc tam di n ñ nh A t o b i 3 m t c a hình h p ñ u b ng nhau. a) Tính s ño các góc ph ng ñ nh c a góc tam di n ñ nh A nói trên. b) M t m t ph ng c t các c nh AB,AD,AA1 tương ng t i M.N.P và c t AC1 t i Q.Ch ng 1 1 1 1 minh: = + + AQ AM AN AP S GIÁO D C VÀ ðÀO T O KỲ THI H C SINH GI I T NH KH I NGH AN 12 THPT 2000-2001 a b c Bài 1: a) Cho a,b,c,m là nh ng s th c ( a ≠ 0, m > 0) th a mãn ñi u ki n: + + =0 m + 2 m +1 m Ch ng minh r ng: b 2 − 4ac ≥ 0 b) Hãy xác ñ nh t t c các hàm liên t c f : R → R th a mãn ñ ng th c : f ( x 2 ) + f ( x) = x 2 + x Bài 2: a) Cho n,m là nh ng s t nhiên không nh hơn 2,hãy tìm t t c các nghi m nguyên c a phương trình: n x + n x + ... + n x = y b) Hãy xác ñ nh m ñ phương trình: sin 4 x + (1 + s inx) 4 = m có nghi m. Bài 3:Trong m t ph ng cho 2001 ñi m và trong 3 ñi m b t kỳ ñ cho bao gi cũng tìm ñư c 2 ñi m có kho ng cách giũa chúng nh hơn 4.Ch ng minh r ng t n t i m t hònh tròn có bán kính b ng 4 ch a không ít hơn 1001 ñi m. Bài 4: a) Cho h ñư ng cong (Cm) có phương trình: m( x 2 + y 2 ) − 2(2m + 1) x + 2 y + m + 1 = 0 ,m là tham s . Ch ng t r ng (Cm) là ñư ng tròn v i m i m khác không.Tìm t p h p tâm các ñư ng tròn ñó. b) Trong m t ph ng t a ñ Oxy cho ñi m (3,1).Tìm phương trình ñư ng th ng ñi qua M và c t hai n a tr c Ox,Oy tương ng t i A và B sao cho t ng (OA + OB) có giá tr bé nh t. S GIÁO D C VÀ ðÀO T O KỲ THI H C SINH GI I T NH KH I NGH AN 12 THPT 2001-2002 x 2 + (sin α ) x + sin α − 1 Bài 1: Cho hàm s y = x +1 a) Tìm α ñ hàm s có c c ñ i – c c ti u và ycñ + yct = -6. b) Tìm α ñ ycñ.yct > 0 Bài 2: a) ch ng minh r ng ∀x : −1 ≤ x ≤ 1 ta có: 4 2 ≤ 4 1 − x + 4 1 + x ≤ 2 c) Tìm các giá tr c a k ñ phương trình sau có nghi m: sin 4 x + cos 4 x = k 2 cos 2 4 x 4
  5. MATH.VN  2− 3 a0 = Bài 3: a) Cho dãy {an } xác ñ nh như sau:  2 a = a (4a 2 − 10a + 5) 2 , ∀n ≥ 0  n +1 n n n Tìm s h ng t ng quát an π b) Cho a,b,c là ñ dài 3 c nh c a m t tam giác.Xét các s x,y,z th a mãn x + y + z = 2 s inx sin y sin z Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P ( x, y, z ) = + + a b c Bài 4: a) M t m t ph ng Oxy cho ñi m A (-4,0),B(4,0).ði m M di ñ ng trong m t ph ng sao cho tam 1 giác MAB có tích c a tang hai góc ∠MAB, MBA b ng .Ch ng minh r ng M luôn ch y trên 1 elip 4 (E) c ñ nh. b) Cho tam giác ABC.m là m t ñi m di ñ ng trên c nh CB.h MN,MQ tương ng vuông góc và song song v i AB( N ∈ AB, Q ∈ AC ) .G i P là hình chi u c a Q trên AB và I là tâm hình ch nh t MNPQ.Tìm qu tích c a I khi M ch y trên CB. S GIÁO D C VÀ ðÀO T O KỲ THI H C SINH GI I T NH KH I NGH AN 12 THPT 2002-2003 Bài 1: a) Cho x ≤ t ,ch ng minh r ng x3 − 3 x ≤ t 3 − 3t + 4 ,ñ ng th c x y ra khi nào? b) Ch ng minh r ng phương trình x3 + 2 y 3 − 4 z 3 = 0 không có nghi m nguyên x, y, z ≠ 0 . sin 2 x sin 3 x Bài 2: a) Tìm các ñi m trong[0,π ] ,t i ñó hàm s f ( x) = s inx+ + ñ t giá tr c c ñ i-c c 2 3 ti u.  x2 = y3 + y 2 + y + k  b) Ch ng minh r ng h phương trình:  y 2 = z 3 + z 2 + z + k có m t nghi m duy nh t.  z 2 = x3 + x2 + x + k  Bài 3: Tren m t ph ng v i h tr c t a ñ vuông góc Oxy cho h ñư ng tròn ( C ): x 2 + y 2 − 2α x = 0 và h ñư ng th ng ( D ) : ax+ay-aα =0 ( a là tham s , α là h ng s dương). a) Ch ng minh r ng ñư ng th ng (D) luôn ñi qua tâm c a ñư ng tròn ( C ) và luôn ñi qua ñi m c ñ nh. b) Tìm qu tích giao ñi m c a (D) và ( C ). cos(x-y)=1   x − y = 2π  Bài 4:xác ñ nh giá tr c a m ñ 2 h sau tương ñương:  m + xy 1 , 2  x3 − y 3 = x − y  x + y = m 2   S GIÁO D C VÀ ðÀO T O KỲ THI H C SINH GI I T NH KH I NGH AN 12 THPT 2003-2004  xf ( x − 1) = ( x − 3) f ( x), ∀x ∈ R Bài 1: a) Tìm hàm s f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , a ≠ 0 ,bi t   f (3) = 6 − bx  ( x + a ) e , x < 0 b) Xác ñ nh a,b ñ hàm s : f ( x) =  2 có ñ o hàm t i x = 0. ax + bx + 1, x ≥ 0  Bài 2: a) Cho dãy s un có un = −n 4 + 8n3 − 0, 5n 2 + 4n, n ∈ N * ,tìm s h ng l n nh t c a dãy s ñ cho. b)Cho các s th c a,b,c và s nguyên dương n th a mãn: 5c( n + 2) + 6( a + b) = 0 π Ch ng minh phương trình: asin n x + bcos n x + c s inx+c=0 luôn có nghi m trong kho ng (0, ). 2 5
  6. MATH.VN Bài 3: a) Nh n d ng tam giác ABC bi t r ng: 1 1 1 1 1 1 + + = + + 1 + cos AcosB 1 + cos BcosC 1 + cos CcosA 1 + Cos A 1 + Cos B 1 + Cos 4C 3 3 3 4 4 b) Có 120 qu c u như nhau x p sát nhau v a ñ y m t hình chop tam giác ñ u có tát c các c nh b ng nhau( m i qu c u l p trên ti p xúc ñúng v i 3 qu c u l p dư i).H i có bao nhiêu qu x p ñáy hình chóp. Bài 4: Trong h t a ñ tr c chu n Oxy. a) Cho 3 ñi m A(1;3),B(7;0),C(2;5).Tìm phương trình ñư ng tròn có bán kính nh nh t ch a bên trong ho c trên nó c ba ñi m ñ cho. x2 y 2 b) Cho elip có phương trình: 2 + 2 = 1, a > b > 0 a b Hai ñi m M,N di ñ ng trên elip sao cho góc MON b ng 900.Ch ng minh MN luôn ti p xúc v i m t ñư ng tròn c ñ nh và tìm giá tr l n nh t và bé nh t c a di n tích tam giác MON. ð THI SINH VIÊN GI I ðHXD HÀ N I GI I TÍCH u1 > 2, n ≥ 2  Bài 1: Cho dãy s th c {un }n =1 ,bi t  ∞ 6(un + 1) ,tìm lim un un +1 = u + 7 n →∞  n Bài 2:Cho hàm s f ( x) liên t c trên[2;+∞) ,kh vi trên kho ng (2; +∞) và th a mãn ñi u  f (2) = 1  2 ki n  2 .Ch ng minh r ng t n t i x0 > 2 sao cho f '( x0 ) = − 2  f ( x) ≤ x , ∀x ≥ 2  x0 Bài 3:Cho hàm s f ( x) kh vi trên R.G a thi t r ng t n t i các s th c a < b < c < d , b − a = d − c sao b d cho ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx .Ch ng minh r ng t n t i x0 ∈ R ñ f '( x0 ) = 0 a c Bài 4:Cho hàm s f ( x) có ñ o hàm liên t c trên ño n[a,b],a
  7. MATH.VN  a1 = a2  Bài 1: cho dãy s {an } ñư c xác ñ nh như sau:  1 .Tính a2008  an + 2 = a + an , n = 1, 2,...  n +1 1 + 2 + ... + n 2008 2008 2008 Bài 2:Tính lim n →∞ n 2009 Bài 3:G a s hàm s f ( x) liên t c trên [ 0, π ] , f (0) = f (π ) = 0 và th a mãn ñi u ki n f '( x) < 1, ∀x ∈ ( 0, π ) Ch ng minh r ng: i) ∃c ∈ ( 0, π ) sao cho f '(c) = t anf(c) π ii) f ( x) < , ∀x ∈ ( 0, π ) . 2 Bài 4:Cho hàm s f ( x) liên t c trên [ 0,1] và th a mãn ñi u ki n: xf ( y ) + yf(x) ≤ 1,∀x,y ∈ [ 0,1] 1 π Ch ng minh r ng: ∫ f ( x)dx ≤ 0 4 Bài 5:G a s f ( x) là hàm s liên t c trên [ 0,1] v i f (0) = 0, f (1) = 1 và kh vi trong ( 0,1) .Ch ng minh α 1−α r ng v i m i α ∈ ( 0,1) luôn t n t i x1 , x2 ∈ ( 0,1) sao cho: + =1 f '( x1 ) f '( x2 ) Bài 6:Cho hàm s g ( x) có g ''( x) > 0, ∀x ∈ R .G a s hàm s f ( x) xác ñ nh và liên t c trên R và th a  f (0) > g (0)  mãn các ñi u ki n: π π 2 g '(0) ∫ f ( x)dx < π .g (0) + 2 0 Ch ng minh r ng t n t i c ∈ [ 0, π ] sao cho f (c) = g (c). H I TOÁN H C VI T NAM B GIÁO D C VÀ ðÀO T O OLYMPIC TOÁN H C SINH VIÊN TOÀN QU C NĂM 2008 ð THI:MÔN GI I TÍCH  x1 = x2 = 1 Bài 1:G a s dãy s { xn } ñư c xác ñ nh theo công th c:  ,Tính x2009 ?  xn = (n − 1)( xn −1 + xn − 2 ), n = 3, 4... Bài 2:Cho hàm s f : [ 0,1] → R có ñ o hàm c p hai liên t c và f ''( x) > 0 trên [ 0,1] .Ch ng minh 1 1 r ng: 2 ∫ f (t )dt ≥ 3∫ f (t 2 ) dt − f (0). 0 0  f ( x) ≤ 4 + 2009 x, ∀x ∈ R Bài 3:Tìm t t c các hàm s : f : R → R th a mãn các ñi u ki n:   f ( x + y ) ≤ f ( x) + f ( y ) − 4, ∀x, y ∈ R. Bài 4:G a s f ( x), g ( x ) là các hàm s liên t c trên R và th a mãn ñi u ki n: f ( g ( x)) ≡ g ( f ( x)), ∀x ∈ R. Ch ng minh r ng n u phương trình f ( x) = g ( x) không có nghi m th c thì phương trình f ( f ( x)) = g ( g ( x)) cũng không có nghi m th c.  x = y = 3  1 1  Bài 5:Cho hai dãy s { xn } và { yn } xác ñ nh theo công th c:  xn +1 = xn + 1 + xn , n = 2,3,... 2  yn  yn +1 = , n = 2,3,...  1 + 1 + yn 2  7
  8. MATH.VN Ch ng minh r ng: xn . yn ∈ ( 2, 3) , n = 2,3,... và lim yn = 0 n →∞ Bài 6:Thí sinh làm m t trong hai câu sau: a) Cho P ( x) là ña th c b c n v i h s th c.Ch ng minh r ng phương trình 2 x = P ( x) có không quá n + 1 nghi m th c. b) Cho f ( x) − x và f ( x) − x 3 là nh ng hàm s ñơn ñi u tăng trên R.Ch ng minh r ng hàm 3 2 s f ( x) − x cũng là hàm ñơn ñi u tăng trên R. 2 H I TOÁN H C VI T NAM B GIÁO D C VÀ ðÀO T O OLYMPIC TOÁN H C SINH VIÊN TOÀN QU C NĂM 2008 ð THI:ð I S x + y + z = 0  Bài 1:Cho x,y,z là các s th c th a mãn ñ ng th c sau:  x 2 + y 2 + z 2 = 2  x3 + y 3 + z 3 = 0  2 n +1 Ch ng t r ng v i m i s t nhiên n ta luôn có x + y 2 n +1 + z 2 n +1 = 0  −2008 2010  Bài 2:T n t i hay không m t ma tr n th c A vuông c p 2 sao cho: A2010 =    0 −2009  Bài 3:Cho A,B,C là các ma tr n vuông c p n sao cho C giao hoàn v i A và B, C 2 = E (E là ma tr n ñơn v ) và AB = 2( A + B )C a) Ch ng minh r ng AB = BA b) N u có thêm ñi u ki n A + B + C = 0 ,hãy ch ng t rank ( A − C ) + rank ( B − C ) = n  0 0 0 0 −1    0 −7 5 3 0  Bài 4:Tính A2009 ,trong ñó: A =  0 −5 4 2 0     0 −9 6 4 0  1 0 0 0 0    Bài 5:Tìm t t c các ma tr n vuông A c p n (n ≥ 2) sao cho v i m i ma tr n vuông B c p n,ta ñ u có det( A + B) = det A + det B. BÀI 6:Thí sinh ch n m t trong hai câu sau: 2 x1 + x2 − x3 + 2 x4 + x5 − x6 = 1  − x1 + 2 x2 + 2 x3 + x4 + x5 − x6 = 1  x1 − 2 x2 + 2 x3 + x4 + x5 − x6 = 1  a) Gi i h phương trình:  −2 x1 − x2 − x3 + 2 x4 + x5 − x6 = 1 2 x1 + x2 + x3 − x4 − x5 + 2 x6 = 1  − x1 + 2 x2 + x3 − x4 + 2 x5 + 2 x6 = 1  b) Ưng v i m i ña th c P(x) v i h s th c và có nhi u hơn m t nghi m th c,g i d(P) là kho ng cách nh nh t gi a hai nghi m th c b t kỳ c a nó.G a s các ña th c v i h s th c P(x) và P(x) + P’(x) ñ u có b c k(k>1) và có k nghi m th c phân bi t.Ch ng minh r ng d(P + P’) ≥ d ( P ) . ð THI CH N ð I TUY N OLYMPIC TOÁN H C SINH VIÊN TOÀN QU C ðHXD HÀ N I MÔN:GI I TÍCH 8
  9. MATH.VN  α u1 = 2  Bài 1: Tìm s α sao cho dãy s {un } ñư c xác ñ nh b i  h it . u = 1 (α + u 2 ), ∀n ∈ N *  n +1 2  n Khi ñó tính lim un n →∞ Bài 2:Cho hai hàm s f ( x), g ( x ) xác ñ nh và liên t c trên ño n [ a, b ] ,kh vi trên kho ng ( a, b ) và f ( a ) = f (b) = 0 .Ch ng minh r ng phương trình: g '( x) f ( x) + f '( x) = 0 có nghi m trên [ a, b ] . Bài 3:Cho hàm s f ( x) liên t c trên [ 0,1] th a mãn ñi u ki n f (0) = f (1) .Ch ng minh r ng t n 1 t i c ∈ [ 0,1] sao cho f (c) = f (c + ). 4 1 Bài 4: v i m i n ∈ N * ñ t I n = ∫ x n e x dx 0 Ch ng minh r ng { I n } là m t dãy gi m.Hãy tìm m i liên h gi a I n +1 và I n .Tính lim nI n n →+∞ Bài 5:Tìm tát c các hàm liên t c f : R → R th a mãn các ñièu  f (1) = −1 ki n:  ∀x, y ∈ R : f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + 2 xy MÔN:ð I S  3 1 Bài 1:Cho A là m t ma tr n c p 2 xác ñ nh b i: A =   ,tính A 2008  −1 1 Bài 2:Cho A là m t ma tr n vuông c p n th a mãn A3 = I n ,trong ñó I n là ma tr n ñơn v c p n. Ch ng minh r ng: Rank ( A − I n ) + Rank ( A2 + A + I n ) = n ( A − I n ) 2008 = 0  Bài 3: Cho A,B là hai ma tr n vuông c p n sao cho AB = BA,gi thi t thêm r ng  ( B − I n ) =0 2009  a) Tìm t t c các giá tr riêng c a A và B. b) Ch ng minh r ng AB,A + B là các ma tr n kh ngh ch. Bài 4: Cho V và W là hai không gian véc tơ h u h n chi u trên trư ng s th c R.G a s U là m t không gian con c a W, f : V → W là m t ánh x tuy n tính.ð t S = f −1 (U ) .Ch ng minh r ng: dim S + dim W ≥ dim V + dim U Bài 5:Cho A là m t ma tr n ñ i x ng xác ñ nh dương cõ 2008.G a s y = (1,2,…,2008)∈ R 2008 . yAm +1 yT tính lim ,trong ñó yT ch ma tr n vec tơ c t c a Y. m →∞ yAm y T Bài 6: Cho M n là m t không gian các ma tr n vuông c p n và cho Pk [x] là không gian véc tơ các ña th c theo n 2 bi n s ,b c k.M t ánh x f : M n → Pk [x] ñư c coi là b t bi n n u f ( B −1 AB) = f ( A) v i m i ma tr n kh ngh ch B ∈ M n .G a s r ng X là m t ma tr n cho trư c,kí hi u: P( X ) = det(λ.I n − X ) = λ n + a1 ( X )λ n −1 + ... + an −1 ( X )λ + an ( X ) .Ch ng minh r ng: a) f k ( X ) là ña th c thu n nh t b c k t c là f k (tX ) = t k . f k ( X ), ∀t ∈ R. b) f k ( X ) là ánh x b t bi n. Bài 7: Cho P ( x) và Q ( x) là các ña th c v i h s ph c có b c khác 0.G a s v i ω ∈ c th a mãn P(ω ) = 0 thì ñ u suy ra Q (ω ) = 0 và ngư c l i.ð ng th i n u ω ∈ c th a mãn P(ω ) = 1 thì suy ra Q (ω ) = 1 và ngư c l i.Ch ng minh r ng P( x ) ≡ Q( x). TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I ð THI TUY N CH N H K SƯ TÀI NĂNG VÀ CH T LƯ NG CAO NĂM 1999 9
  10. MATH.VN Bài 1:Kh o sát s bi n thiên c a hàm s f ( x) xác ñ nh trên toàn R,ñư c cho như  x x + 1 ,x ≠ 0 sau: f ( x) =  1 + e x  0, x = 0 Bài 2:Tìm các s th c a,b,c th a mãn a − 2b + 3c − 16 = 0 sao cho bi u th c f = 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 4a − 4b − 4c + 15 ñ t giá tr nh nh t. Bài 3:Ch ng minh r ng phương trình: a.cosx+b.sin2x+c.cos3x=x có nghi m trên [ −π , π ] , ∀a, b, c ∈ R. Bài 4:Tìm hàm s f ( x) xác ñ nh và liên t c trên [ 0,1] ,bi t r ng 0 ≤ f ( x) ≤ 1, ∀x ∈ [ 0,1] và f ( x1 ) − f ( x2 ) ≥ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ [ 0,1] TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I ð THI TUY N CH N H K SƯ TÀI NĂNG VÀ CH T LƯ NG CAO NĂM 2000  xn > 0 Bài 1: cho dãy s { xn } xác ñ nh như sau:  ,ch ng mình r ng dãy s { xn } h it  xn = ln(1 + xn −1 ), ∀n ≥ 1 ñ n m t gi i h n l và tính l. Bài 2:Ch ng minh r ng n u f ( x) là hàm s xác ñ nh trên R, th a mãn ñi u 3 ki n f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ R. thì f ( x) là hàm h ng. Bài 3: f ( x) là m t hàm s xác ñ nh và liên t c t i m i x ≠ 0 ,l y giá tr không âm,th a mãn ñi u x ki n: f ( x ) ≤ k ∫ f (t ) dt , ∀x ≥ 0 ,trong ñó k là m t h ng s dương.Ch ng minh r ng: f ( x ) = 0, ∀x ≥ 0. 0 x G i ý:xét s bi n thiên c a hàm s F ( x) = e − kx ∫ f (t ) dt trên ( 0, +∞ ) 0 Bài 4: Hàm s f ( x) th a mãn ñi u ki n f ''( x) ≥ 0, ∀x ∈ R. .Ch ng minh r ng: f [tx+(1-t)y] ≤ tf(x)+(1-t)f(y),∀x,y ∈ R,∀t ∈ ( 0,1) Bài 5: Cho các s th c k1 , k2 ,..., kn khác nhau t ng ñôi m t.Ch ng minh r ng: a1e k1x + a2 ek2 x + ... + an e kn x = 0, ∀x ∈ R. khi và ch khi a1 = a2 = ... = an. TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I ð THI TUY N CH N H K SƯ TÀI NĂNG VÀ CH T LƯ NG CAO NĂM 2001 ex u0 = 1  Bài 1:Cho hàm s f ( x) = . Xét dãy s {un } xác ñ nh b i  + ( x + 1) 2 un +1 = f (un ), ∀n ∈ Z  1  a) Ch ng minh r ng phương trình f ( x) = x có m t nghi m duy nh t α ∈  ,1 . 2  1  b) Ch ng minh r ng un ∈  ,1 , ∀n ∈ Z + 2  1  c) Ch ng minh r ng f '( x) tăng trên  ,1 .Suy ra t n t i m t s k ∈ ( 0,1) sao 2  cho un − α = k un − α v i m i n nguyên dương. d) Ch ng minh r ng lim un = α n →∞ x− y Bài 2: V i hai s x,y thu c R ta ñ t d ( x, y ) = ,ch ng minh r ng v i ba s x,y,z thu c R ta luôn 1+ x − y có: d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, y ) Bài 3: Cho hàm s f ( x) có f ''( x) và a < b,ch ng minh r ng: 10
  11. MATH.VN a) f [λ x1 + (1 − λ ) x2 ]>λ f(x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ), ∀x1 , x2 ∈ [ a, b ] , ∀λ ∈ ( 0,1) a+b b b) a ∫ f ( x)dx ≤ (b − a) f ( 2 ) Bài 4: Cho a < b và hàm s f ( x) có f '( x) liên t c trên R thòa mãn f (a ) = f (b) = 0 và b m ∫ f '( x) dx = m. Ch ng minh r ng: f ( x) ≤ , ∀x ∈ [ a, b ] a 2 TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I ð THI TUY N CH N H K SƯ TÀI NĂNG VÀ CH T LƯ NG CAO NĂM 2002 x Bài 1:Cho b t phương trình: ≥ mx 2 + x 1+ x a) G i b t phương trình khi m = 2. b) Tìm m ∈ R l n nh t sao cho b t phương trình có nghi m ñúng v i m i x ∈ R.  1  x1 = − 3  Bài 2: cho dãy s { xn } xác ñ nh như sau:  2 ,ch ng minh r ng dãy { xn } có gi i h n xn  x = − 1, n ≥ 1  n +1 2  khi n → ∞ và tìm gi i h n ñó. a0 = 0  Bài 3: Cho các s th c ai , i = 0, 2002 th a mãn:  a1 a2002 a0 + 2 + ... + 2003  Ch ng minh r ng phương trình: a0 + a1 x + ... + a2002 x 2002 = 0 có nghi m trên [ 0,1] Bài 4:cho hàm s y = f ( x) có ñ o hàm c p hai f ''( x) ≥ 0 trên toàn b R và a ∈ R c ñ nh.Tìm giá tr l n nh t c a hàm s g ( x) = f ( x) + ( a − x ) f '( x) trên R. TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I ð THI TUY N CH N H K SƯ TÀI NĂNG VÀ CH T LƯ NG CAO NĂM 2003 Bài 1:Tìm ña th c P ( x) có b c bé nh t,ñ t c c ñ i t i x = 1 v i P(1) = 6 và ñ t c c ti u t i x = 3 và P(3) = 2.  P( x) ≥ P ''( x), (i ) Bài 2: Có t n t i hay không m t ña th c P(x) th a mãn hai ñi u ki n:  , ∀x ∈ R.  P '( x) ≥ P ''( x).(ii ) Bài 3: a) Cho hàm s f(x) xác ñ nh và f’(x) > 0 v i ∀x ∈ R. Bi t r ng t n t i x0 ∈ R sao cho f ( f ( f ( f ( x0 )))) = x0 .Ch ng minh r ng f ( x0 ) = x0 .  x = y3 + 2 y − 2   y = z + 2z − 2 3 c) Gi i h phương trình:   z = t + 2t − 2 3 t = x 3 + 2 x − 2   x1 = 2 Bài 4:Cho dãy s { xn } th a mãn:  ,tính lim(n 2 xn )  x1 + x2 + ... + xn = n xn 2 n →∞ TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I ð THI TUY N CH N H K SƯ TÀI NĂNG VÀ CH T LƯ NG CAO NĂM 2004 a (2 x3 − x 2 ) + b( x3 + 5 x 2 − 1) − c(3 x3 + x 2 ) Bài 1:Tìm các s a,b,c sao cho: lim =1 x ±∞ a (5 x 4 − x ) − bx 4 + c (4 x 4 + 1) + 2 x 2 + 5 x Bài 2:Ch ng minh r ng v i m i tham s m,phương trình: x3 − 9 x − m( x 2 − 1) luôn có 3 nghi m. 11
  12. MATH.VN Bài 3: f(x) là m t hàm s xác ñ nh trên [0,1],l y giá tr trên [0,1] th a mãn ñi u ki n: f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ [ 0,1] .Ch ng minh r ng t n t i duy nh t x0 ∈ [ 0,1] sao cho f ( x0 ) = x0 b b Bài 4: a) Ch ng minh r ng n u f(x) liên t c trên [a,b] thì: ∫ a f ( x) dx ≤ ∫ f ( x) dx a b) Ch ng minh r ng n u hàm s f(x) có ñ o hàm liên t c trên ño n [a,b] và th a mãn ñi u ki n f(a) = M (b − a ) 2 b f(b) = 0 thì: ∫ f ( x)dx ≤ ,trong ñó M = max a ≤ x ≤ b f '( x) .D u ñ ng th c x y ra khi nào? a 4 TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I ð THI TUY N CH N H K SƯ TÀI NĂNG VÀ CH T LƯ NG CAO NĂM 2005 u0 = 1  Bài 1: Cho dãy s {un } xác ñ nh như sau:  1 un = un −1 + u , n ≥ 1  n −1 a) Ch ng minh r ng dãy s y không d n t i gi i h n h u h n khi n → ∞ b) Ch ng minh r ng: lim un = +∞ n →∞ Bài 2:Cho hàm sô f(x) liên t c,ñơn ñi u trên ño n [0,b] và a ∈ [ 0, b ] ,ch ng minh r ng: a b b ∫ f ( x )dx ≥ a ∫ f ( x)dx 0 0  f ( x) > 0  π  Bài 3: f(x) là m t hàm s liên t c trên ño n 0,  th a mãn: π ,ch ng t r ng phương  2 ∫ 2 f ( x)dx < 1 0  π trình f ( x) = s inx có m t nghi m trong kho ng  0,   2  α 1  x sin( ), x ≠= Bài 4:Cho hàm s f ( x) =  x , α là h ng s dương.V i giá tr nào c a α ,hàm s f(x) có 0, x = 0  ñ o hàm t i m i x. Bài 5:Tìm t t c các hàm s f(x) có ñ o hàm liên t c trên R và th a mãn h th c f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + 2 xy, ∀x, y ∈ R. TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I ð THI TUY N CH N H K SƯ TÀI NĂNG VÀ CH T LƯ NG CAO NĂM 2006 Bài 1:Phương trình: x3 − ax 2 + 4 = 0 ,(a là tham s ) có bao nhiêu nghi m? u0 ∈ R  Bài 2:Cho dãy s {un } xác ñ nh như sau:  1 un +1 = un + ∫ t − un dt , ∀n ∈ N .  0 1 a) Ch ng minh r ng: ðó là m t dãy s tăng và n u u0 ≥ 1 thì: un +1 = 2un − ,t ñó ch ng minh 2 r ng lim un = +∞ n →∞ b) Ch ng minh r ng n u 0 ≤ u0 < 1 hay n u u0 < 0 thì lim un = +∞ n →∞ 1 Bài 3: V i m i n nguyên dương,ñ t I n = ∫ x n ln(1 + x 2 ) dx 0 12
  13. MATH.VN a) Tính lim I n n →∞ c 1 An b) G a s c ∈ ( 0,1) ,ñ t An = ∫ x n ln(1 + x 2 )dx, Bn = ∫ x n ln(1 + x 2 ) dx ,ch ng minh: lim =0 n →∞ Bn 0 c Bài 4: a) Tìm nh ng hàm s f(x) xác ñ nh trên R liên t c t i x = 0 sao cho f(2x)= f(x) , ∀x ∈ R. c) Tìm nh ng hàm s g(x) xác ñ nh trên R,có ñ o hàm t i x = 0 sao cho g(2x) = 2g(x) , ∀x ∈ R. Bài 5:Cho x và y là hai ñư ng th ng chéo nhau.A và B là hai ñi m c ñ nh trên x.CD là ño n th ng có chi u dài l cho trư c trư t trên y.Tìm v trí c a CD sao cho di n tích toàn ph n c a t diên ABCD là nh nh t. TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I ð THI TUY N CH N H K SƯ TÀI NĂNG VÀ CH T LƯ NG CAO NĂM 2007 Bài 1:Cho phương trình: ( 1 − x + x )3 − x(1 − x) = m (1) (m là tham s ) a) G ai phương trình (1) khi m = 1. b) Tìm m ñ phương trình (1) có nghi m. π π 4 4 Bài 2:V i n là s nguyên dương ñ t: U n = ∫ x 2 n −1 (s inx) 2n dx, Vn = ∫ x 2 n −1 (cosx) 2n dx 0 0 Ch ng minh r ng: a) lim U n = lim Vn = 0 n →+∞ n →+∞ π2 b) 2U n + Vn ≤ , ∀n ≥ 1. 32 Bài 3: Gi s f : R + → R + là m t hàm s liên t c th a mãn f ( f ( x)) = 5 ( x + 1)5 + 1 .Ch ng minh r ng: a) N u f ( x1 ) = f ( x2 ) thì x1 = x2 f ( x + 1) b) Hàm s f(x) ñơn ñi u tăng và lim =1 f ( x) x →+∞ Bài 4: Cho m t ph ng (P) và hai ñi m C,D v hai phía ñ i v i (P) sao cho CD không vuông góc v i (P).Hãy xác ñ nh v trí hai ñi m A,B thu c (P) sao cho AB = a (a > 0 cho trư c) và t ng ñ dài CA + AB + BD ñ t giá tr nh nh t. Bài 5: Cho ki , i = 1, n là các s th c dương khác nhau t ng ñôi m t.Ch ng minh n r ng: ∑ λi cos(k i x) = 0, ∀x ∈ R ⇔ λi = 0 i =1 13

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản