Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

0
320
lượt xem
133
download

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và chuẩn bị kì thi sắp tới được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12

  1. KỲ THI TOÀN QUỐC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2009 MÔN: TOÁN 12 (THPT) THỜI GIAN: 150 PHÚT NGÀY THI: 13/03/2009 Câu 1: Tính nghiệm giá trị của hàm số sau tại x  0,5 : x 2  sin x  1 3 f ( x)  ln( x 2  x  3) Câu 2: Tìm tọa độ giao điểm của của đồ thị hai hàm số y  x 2  7 x  5 và 8 x 2  9 x  11 y x 1 Câu 3: Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  4 x 2  x  2 đi qua điểm A(1; 4) Câu 4: Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  x 1  5  2x Câu 5: Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình: 2 x  3 y  7   x 4  9  25 y  Câu 6: Cho dãy số (un ) có u1  1; u2  2; u3  3 và un  2un1  3un2  un3 (n  4) . Tính u20 Câu 7: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: 3x  5x  7 x (log3 x  1) . Câu 8: Tính diện tích hình tứ giác ABCD biết AB  4cm, BC  4cm, CD  5cm , DA  6cm và góc B  70o Câu 9: Một hộp nữ trang ( xem hình vẽ) có mặt bên ABCDE với ABCE là hình chữ nhật, cạnh cong CDE là một cung của đường tròn tâm tại trung điểm M của cạnh AB. AB = 10cm, BC = 6cm và BQ = 45cm. Hãy tính: 1. Góc CME theo radian. 2. Độ dài cung CDE 3. Diện tích hình quạt MCDE 4. Diện tích toàn phần của hộp nữ trang. 5. Thể tích của hộp nữ trang. Câu 10: Với việc tính toán trên máy thì thời gian thực hiện các phép tính nhan và chia lớn gấp bội so với thời gian thực hiện các phép tính cộng và trừ. Cho nên, một tiêu chí để đánh giá tính hiệu quả của một công thức ( hay thuật toán ) là ở chỗ cho phép sử dụng ít nhất có thể các phép tính nhân và chia Với số e , người ta có thể tính xấp xỉ nó theo công thức sau đây: n  1 e  lim 1   (1) n   n
  2.  1 e (2) n 0 n ! 1025  1  Theo em, để tính được giá trị của biểu thức A  1   thì cần tới bao  1025  nhiêu phép nhân và chia, và khi ấy kết quả thu được xáp xỉ số e chính xác tới bao nhiêu chữ số thập phân sau dấu phẩy. 6 1 Câu hỏi tương tự như trên đối với biểu thức B   . n 0 n ! KỲ THI TOÀN QUỐC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2009 MÔN: TOÁN 9 (THCS) THỜI GIAN: 150 PHÚT NGÀY THI: 13/03/2009 Câu 1: Tính giá trị của biểu thức 1, 252 15,373  3, 754 a) A = 3 4 1  3 2   5 2   2         4  7 5   7 3     3  5  3  5  2009  13,3 b) B = 3 2 5 3 7  2 3 5  4 7 (1  sin 3 1734`) 2 (1  tg 2 2530`)3 (1  cos 2 5013`)3 c) C = (1  cos3 3525`)2 (1  cot g 2 2530`)3 (1  sin 2 5013`)3 Câu 2: Hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh AB = m, BC = n. Từ A kẻ AH vuông góc với đường chéo BD a) Tính diện tích tam giác ABH theo m, n b) Cho biết m = 3,15 cm và n = 2,43 cm. Tính ( chính xác đến 4 chữ số thập phân) diện tích tam giác ABH Câu 3: Đa thức P( x)  x6  ax5  bx4  cx3  dx 2  ex  f có giá trị là 3; 0; 3; 12; 27; 48 khi x lần lượt nhận giác trị là 1; 2; 3; 4; 5; 6 a) Xác định các hệ số a, b, c, d, e, f của P(x) b) Tính giá trị của P(x) với x = 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20 Câu 4: 1. Hình chóp tứ giác đều O. ABCD có độ dài cạnh đáy BC  a , độ dài cạnh bên OA  l a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp O. ABCD theo a và l . b) Tính ( chính xác đến 2 chữ số thập phân) diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp O. ABCD khi cho biết a  5,75cm, l  6,15cm 2. Người ta cắt hình chóp O. ABCD cho trong câu 1 bằng mặt phẳng song song với đáy ABCD sao cho diện tích xung quanh của hình chóp
  3. O.MNPQ được cắt ra bằng diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều MNPQ. ABCD được cắt ra. Tính thể tích hình chóp cụt được cắt ra ( chính xác đến 2 chữ số thập phân ) Câu 5: 1. Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5 giờ 10 phút, một chiếc canô chạy từ A đuổi theo và gặp thuyền đó cách bến A 20,5 km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng canô chạy nhanh hơn thuyền 12,5km / h . ( Kết quả chính xác với 2 chữ số thập phân) 2. Lức 8 giờ sáng, một ô tô đi từ A đến B, đường dài 157 km. Đi được 102 km thì xe bị hỏng máy phải dừng lại sửa chữa mất 12 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc ít hơn lúc đầu là 10,5km / h . Hỏi ô tô bị hỏng lúc mấy giờ, biết rằng ô tô đến B lúc 11 giờ 30 phút. ( Kết quả thời gian làm tròn đến phút) 1  2   1  2  n n Câu 6: Cho dãy số U n  với n =1,2,…,k,…. 2 2 1. Chứng minh rằng: U n1  2U n  U n1 với n  1 2. Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n 1 theo U n và U n 1 với U1  1,U 2  2 3. Tính các giá trị từ U11 đến U 20 Câu 7: Hình thang vuông ABCD ( AB // CD) có góc nhọn BCD   , độ dài các cạnh BC  m, CD  n a) Tính diện tích, chu vi và các đường chéo của hình thang ABCD theo m, n và  . b) Tính ( chính xác đến 4 chữ số thập phân ) diện tích, chu vi và các đường chéo của hình thang ABCD với m  4, 25cm, n  7,56cm,   54o30, Bài 8: 1. Số chính phương P có dạng P  17712ab81 . Tìm các chữ số a, b biết rằng a  b  13 2. Số chính phương Q có dạng Q  15cd 26849 . Tìm các chữ số c, d biết rằng c2  d 2  58 3. Số chính phương M có dạng M  1mn399025 chia hết cho 9. Tìm các chữ số m, n 3  13xn2 Bài 9: Cho dãy số xác định bởi công thức : xn 1  với x1  0, 09 , n = 1,2,3,…, 1  xn 2 k,… a) Viết quy trình bấm phím liên tục tính xn 1 theo xn . b) Tính x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ( với đủ 10 chữ số trên màn hình ) c) Tính x100 , x200 ( với đủ 10 chữ số trên màn hình ) Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A . Từ A kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) Tính độ dài cạnh AB ( chính xác đến 2 chữ số thập phân), biết rằng diện tích tam giác AHC là S  4, 25cm2 , độ dài cạnh AC là m  5,75cm .
  4. KỲ THI TOÀN QUỐC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2009 MÔN: TOÁN 12 (THBT) THỜI GIAN: 150 PHÚT NGÀY THI: 13/03/2009 Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo góc thì lấy đến số nguyên giây. Bài 1: Tính gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 2sin 2 x  5sin 2 x  1 Bài 2: Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 3x  4  5  2 x 2 Bài 3: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Tính gần đúng diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là 1 dm3 . 2 x2  5x  3 Bài 4: Tính gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số y  2x 1 log 3 x  9 y  8  2 Bài 5: Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình:  log 3 x  3  2 y  Bài 6: Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (1;2) và là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  3x2  4 x  5 Bài 7: Tính gần đúng bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD có các cạnh AB = AC = AD = 8dm, BC = 7dm, CD = 6dm, BD = 5dm. Bài 8: Tính a, b, c nếu đồ thị hàm số y  x3  ax2  bx  c đi qua ba điểm A( 5;1), B(6;2), C(7;3). Bài 9: Tính gần đúng thể tích khối chóp S.ABCD nếu đáy ABCD là hình bình hành, cạnh SA vuông góc với đáy, AB = 7dm, AC = 9dm, SD = 11dm, góc ABC = 80o . x2 y 2 Bài 10: Tính gần đúng tọa độ giao điểm của elip :   1 và đường thẳng 9 4 5x  6 y  7  0
  5. SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU LỚP 12 DỰ THI QUỐC GIA, NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài thi 180 phút Ngày thi: 07/12/2010 Câu 1( 4 điểm ) a/ Giải phương trình: 2( x  x  1)(1  x 2  1)  x x . b/ Giải bất phương trình: log 3 ( x 2  2 x  1)  1  log 2 x . Câu 2( 4 điểm ) Cho tam giác ABC vuông ở A và nội tiếp trong đường tròn (O) .Trên tia đối của các tia BA, CA ta lấy các điểm E và F sao cho BE = CF = BC . M là điểm chạy trên (O). Chứng minh rằng : MA + MB + MC  EF. Câu 3( 4 điểm ) Cho dãy số (un) thỏa :   1 1  61  u1   ;  4    8    3 15 * un 1  un  64 , n  N  a) Chứng minh dãy số (un) có giới hạn. b) Tìm lim un . Câu 4( 3 điểm ) Tìm tất cả các hàm số f :[0; )  [0; ) , thoả mãn: f ( x  f ( y ))  f ( y  f ( x))  2( f ( y )  3 x  y ); x, y  0 . Câu 5( 5 điểm ) a) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số sao cho 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau và khác không? b) Trên mặt phẳng cho 2 x 2010 điểm ; trong đó không có bất kì 3 điểm nào thẳng hàng.Người ta tô 2010 điểm bằng màu đỏ và tô 2010 điểm còn lại bằng màu xanh. Chứng minh rằng:bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2010 đoạn thẳng không có điểm nào chung. ---------------------------------------------------------HẾT-----------------------------------------------
  6. SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU LỚP 12 DỰ THI QUỐC GIA, NĂM HỌC 2010-2011 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ MÔN THI:TOÁN ( Hướng dẫn chấm có : 5 trang ) Câu Nội dung kiến thức Điểm Câu 1 4điểm 1. Giải phương trình: 2( x  x  1)(1  x 2  1)  x x (1) 1 1 1 * Điều kiện: x  1 . (1)  2(1  1  )(  1  ) 1 0,5 x x x2 1  Đặt  cos 2t , 0  t  . x 4 0,5 * (1) trở thành: 2(1  2 sin t )(cos 2t  sin 2t )  1 (2) * (2)  2(1  2 sin 2 t )(cos 2t  sin 2t )  1  2 sin t  0,5 *  sin(4t  )  sin t 4 3 1 * t ;x  20 3 cos 0,5 10 2. Giải bất phương trình: log 3 ( x 2  2 x  1)  1  log 2 x (1) * (1)  2 log 3 ( x  1)  1  log 2 x . Điều kiện x > 0. Đặt t  log 2 x  x  2t 1 t t t t  2   1  (1) trở thành: 2  1  3 2      3. 0,5  3  3 t t t t  2   1   2  2  1  1 0,5 * f (t )       , f '(t )    ln   ln  3  3  3 3  3 3 t t  2  2 2  1  2 1 0,5 f ''(t )    ln   ln  0, t  3 3  3 3 * f(1) = f(3) = 3 , lập luận được f’ có nghiệm duy nhất t0 và t0  (1;3) . * Lập BBT, suy ra f (t )  3  1  t  3 . * Nghiệm: 2 < x < 8. 0,5
  7. Câu 2 4điểm A C B 1 F E M Áp dụng định lí ptoleme vào tứ giác ABMC ta có : MA.BC = MB.AC + MC.AB AF AE MA  MB  MC  MB.  MC . BC BC 1 Áp dụng bất đt B.C.S ta có : 2  AF AE  AE 2  AF 2 1  MB.  MC .   MB 2  MC 2   BC BC   BC 2 EF 2  BC 2 . 2  EF 2 BC MB MC Dấu “=” xảy ra    MBC AFE  MBC  EFA AF AE 1 Câu 3 4điểm 15 15 a) un1  un   un 1  3 un  , n  N * 64 64 1 15 Xét hs : f(x) = 3 x   f tăng trên R 64 Chứng minh : un1  un , n  N * (1) bằng QN
  8. 15 Thật vậy : Với n = 1 : u2  u1  u1   u13 64  1 1  61  1  (4u1  1)(16u12  4u1  15)  0 ( HN đúng vì u1    ;  4  )  8   Giả sử ( 1) đúng vớ n = k 1 , nghĩa là : uk 1  uk Với n = k + 1, (1)  uk  2  uk 1  f (uk 1 )  f (uk ) ( HN đúng vì f tăng)  1 1  61  * Chứng minh : un    ;   , n  N (2) bằng QN   4 8   1 1  61  Thật vậy : Với n = 1 : u1    ;    4 8    1 1  61  Giả sử ( 2) đúng vớ n = k 1 , nghĩa là : uk    ;    4 8   1 15 Với n = k + 1 uk 1  3 uk   f (uk ) 64  1 1  61   1  1  61  uk    ;  4  , f tăng nên: f     f  uk   f   8   8    4    1 1  61 Suy ra :   uk 1  4 8 (1), (2) suy ra Đpcm b) Đặt L = lim un n  1 1  61 Từ Câu a) suy ra   L 4 8  1 1 L   4  3 15 3 15 3  1  61 un 1  un   L  L   L  64 L  15  0   L  64 64 8   1  61 L  8  1  61 So với đk suy ra: lim un  n  8 Câu 4 3điểm Giải pt hàm: f ( x  f ( y ))  f ( y  f ( x))  2( f ( y )  3 x  y ); x, y  0 * Đặt f(0) = a  0 , cho x  y  0  f (a )  a .
  9. Cho x  0, y  a  f (2a )  3a ; cho x  a, y  0  f (2a )  7a . Vậy 7a = 3a nên a = 0. Suy ra f(0) = 0. 0,5 * Cho y = 0 ta có f ( f ( x ))  f ( x )  6 x . Xét dãy số (xn) : x1 = x, x2 = f(x), xn+1 = f(xn) , n = 1,2,3,… Ta có : xn+2 + xn+1 – 6xn = 0. Pt đặc trưng : t2 + t – 6 = 0 có 2 nghiệm -3, 2. Vậy xn   (3) n   .2n , với n =1 và n = 2 ta có : 1  f ( x)  2 x 3  2   x    15 *   9  4   f ( x)    f ( x)  3 x   10 1 x  0 * Vì xn  0, n  1, 2,...   2n ; n  1, 2,..  x2 n 1  0 2n 2 n 1 2 2           ; n . 3 3 * Cho n dần đến vô cực, ta có   0 . Vậy f(x) = 2x. * Thử lại, ta thấy f(x) = 2x thoả đề bài. 0,5 Câu 5 5điểm a/ Số phải tìm có dạng : aabb a, b  N ,1  a , b  9 Ta có aabb  k 2 (1) , k  N , 31  k  100 (1)  1100a  11b  k 2  11(100a  b)  k 2 (2) 1 Từ (2)  k 2 chia hết 11, 11 nguyên tố suy ra k chia hết 11 Mà 31 < k < 100 nên suy ra k  {33;44;55;66;77;88;99} Thay vào ( 1) ta được k = 88 Vậy số cần tìm : 7744 1 b/ Xét tất cả các cách nối 2010 cặp điểm( đỏ với xanh ) bằng 2010
  10. đoạn thẳng .các cách nối như vậy luôn tồn tại và do đó chỉ có 2010 cặp điểm cho nên 1 số tất cả cách nối như vậy là hữu hạn. Do đó, ắt tìm được một cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắt nhất.Ta chứng minh rằng đây chính là cách nối phải tìm. Thật vậy: giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng AX và BY mà cắt nhau tại điểm O(Giả sử A và B tô màu đỏ , còn X và Y tô màu xanh).Khi đó , nếu ta 1 Thay đoạn thẳng AX và BY bằng hai đoạn thẳng : AY và BX , các đoạn đã nối khác giữ nguyện thì ta có cách nối này có tính chất : AY + BX < (AO +OY) + (BO + OX) = (AO +OX) + (BO + OY) Suyra : AY+BX
  11. KỲ THI GIẢI TOÁN HỘI ĐỒNG THI TỈNH BẠC LIÊU TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY 2010 Ngày thi: 10/01/2010 Số báo danh HỌ VÀ TÊN THÍ SINH ................................................. MÔN THI: TOÁN 12 cấp THPT Ngày sinh: tháng năm , nam hay nữ:......... Đơn vị dự thi ............................................ HỌ, TÊN CHỮ KÝ SỐ PHÁCH Giám thị số 1: (Do chủ tịch hội đồng ghi) Giám thị số 2: Chú ý: - Thí sinh phải ghi đủ các mục ở phần trên theo sự hướng dẫn của giám thị; - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi có phách đính kèm này; - Bài thi phải được viết bằng một loại bút, một thứ mực; không viết bằng mực đỏ, bút chì; không được đánh dấu hay làm kí hiệu riêng; phần viết hỏng phải dùng thước gạch chéo; không được tẩy, xóa bằng bất kỳ cách gì (kể cả bút xóa). - Trái với các điều trên, thí sinh sẽ bị loại. 1
  12. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC 1 Môn thi: TOÁN Lớp 12 cấp THPT Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/01/2010 *Chú ý: - Đề thi này gồm 03 trang, 10 bài, mỗi bài 5 điểm. - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này. SỐ PHÁCH ĐIỂM CỦA TOÀN BÀI THI CÁC GIÁM KHẢO (Do Chủ tịch Hội đồng ghi) Bằng số Bằng chữ Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Bài 1: (5 điểm) Tính gần đúng ( độ, phút, giây ) nghiệm của phương trình 4cos2x + 3sinx = 2 Cách giải Kết quả ( x 3  10 x 2  31x  30)( x 2  5 x  4) Bài 2: (5 điểm) Tính giá trị biểu thức P = 5 khi x = 2010 ( x 2  4 x  3)( x  5)( x  2)( x  4) Cách giải Kết quả 2
  13. Bài 3: (5 điểm) Cho hàm số y  f ( x )  x 2  sin x  2 cos x  4   5   a. Tính giá trị gần đúng của f '  f    .   2  b. Gọi y = ax + b là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 5 x= . 2 Tìm giá trị gần đúng của a, b. Cách giải Kết quả Bài 4: (5 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = 5cosx - cos5x trên     4 , 4    Cách giải Kết quả Bài 5: (5 điểm) Tìm tất cả các nghiệm gần đúng của phương trình: 23 x  4  3x 2  lg x  2  0. Cách giải Kết quả 3
  14. Bài 6: (5 điểm) Tìm một số có 5 chữ số, biết rằng nếu ta xóa đi 3 chữ số cuối cùng thì sẽ được một số mới bằng căn bậc ba của số ban đầu. Cách giải Kết quả Bài 7: (5 điểm) Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bời công thức (13  3 ) n  (13  3 ) n Un  với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . . 2 3 a) Tính U 1 ,U 2 ,U 3 ,U 4 ,U 5 ,U 6 ,U 7 ,U 8 b) Lập công thức truy hồi tính U n 1 theo U n và U n 1 Cách giải Kết quả Bài 8:(5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N. Tính diện tích tứ giác MDEN khi AB= 3 2 , AC= 5 3 Cách giải Kết quả 4
  15. Bài 9: (5 điểm) Trong mp (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB=3,54 và BC=2,43. Một điểm M nằm trên đường tròn (C) đường kính BD trong mp (Q) vuông góc với mp (P) theo giao tuyến BD. Tính gần đúng thể tích hình chóp M.ABCD khi BM= 5 . Cách giải Kết quả Bài 10. (5 điểm) Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ , các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp ( sắt tây ) là ít nhất , tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất . Em hãy cho biết diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là 314cm 3 Cách giải Kết quả --- HẾT --- 5
  16. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC 1 Môn thi: TOÁN Lớp 12 cấp THPT Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/01/2010 Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: Tính gần đúng ( độ , phút , giây ) nghiệm của phương trình 4cos2x +3 sinx = 2 Cách giải Kết quả Điểm 4cos2x +3 sinx = 2  8sin 2 x  3sin x  2  0 sin x  0, 7215 1đ  sin x  0,3465 x1  46 010 ' 43"  k 360 0 1đ x 2  133 0 49 '17 "  k 360 0 1đ x3  20 016 ' 24 "  k 360 0 1đ 0 ' " 0 x 4  200 16 24  k 360 1đ ( x 3  10 x 2  31x  30)( x 2  5 x  4) Bài 2: Tính giá trị biểu thức P = 5 khi x = 2010 ( x 2  4 x  3)( x  5)( x  2)( x  4) Cách giải Kết quả Điểm Dùng máy để tính P=1 5đ (Hoặc có thể phân tích thành thừa số rồi rút gọn) Bài 3: Cho hàm số y  f ( x )  x 2  sin x  2 cos x  4  5  a. Tính giá trị gần đúng của f '  f    .     2  b. Gọi y = ax + b là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 5 x= . 2 Tìm giá trị gần đúng của a, b. Cách giải Kết quả Điểm  5  a. Tính giá trị gần đúng của f '  f       131,3066 2đ   2  b. a  17,7080 1.5đ b  - 72,3930 1.5đ 1
  17.    Bài 4: Tính gần đúng giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = 5cosx - cos5x trên   ,   4 4 Cách giải Kết quả Điểm f '( x)  5sin 5 x  5sin x f '( x)  0  2 cos 3x sin 2 x  0 1đ   Giải PT ta tìm được các nghiệm: x1  0, x2   , x3  1.5đ 6 6      Tính f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ), f    , f   ; so sánh để xác max f ( x)  5,1962 2.5đ  4  4   định max f(x) Bài 5: Tìm tất cả các nghiệm gần đúng của phương trình: 23 x  4  3x 2  lg x  2  0. Cách giải Kết quả Điểm 3x4 2 Đặt f  x   2  3 x  lg x  2 với x   0;   . 1 Vì f '  x   23 x  4.3ln 2  6 x   0, x  0 nên nếu phương x trình đã cho có nghiệm dương, thì nghiệm đó là duy nhất. 2.5đ ( có thể nhận xét: trên miền  0;   , y  23 x  4 ; y  3 x 2 ; y  lg x  2 đều là các hàm số đồng biến nên f(x) đồng biến) Giải trực tiếp trên máy, ta được nghiệm : x  0, 7743. 2.5đ Bài 6: Tìm một số có 5 chữ số, biết rằng nếu ta xóa đi 3 chữ số cuối cùng thì sẽ được một số mới bằng căn bậc ba của số ban đầu. Cách giải Kết quả Điểm 3 abcde  1000ab  cde  ( ab)  M là số phải tìm 1đ Đặt m= ab , n= cde  m3  1000m  n  m3  1000m  m  32 (1) 1đ n  1000 nên m3  1000m  1000  m(m 2  1000)  1000 1đ Nếu m=33 thì m(m 2  1000)  1000  m  33 (2) Từ (1) và (2)  m=32 m  323  32768 2đ Bài 7: Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bời công thức (13  3 ) n  (13  3 ) n Un  với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . . 2 3 a) Tính U 1 ,U 2 ,U 3 ,U 4 ,U 5 ,U 6 ,U 7 ,U 8 b) Lập công thức truy hồi tính U n 1 theo U n và U n 1 2
  18. Cách giải Kết quả Điểm a. U1  1, U 2  26,U 3  510, U 4  8944, U 5  147884 U 6  2360280,U 7  36818536,    b. Vì 13  3  13  3  26 và  U 8  565475456 3đ 13  3 13  3   166 nên phương trình đặc trưng của dãy là: x 2  26 x  166  0 b)U n 1  26U n  166U n 1 2đ Bài 8: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N. Tính diện tích tứ giác MDEN khi AB= 3 2 , AC= 5 3 Cách giải Kết quả Điểm M, N lần lượt là các trung điểm của BH và HC 1đ OHN  OEN ; MDO  MHO 1đ 1 1 S  S ,S  S OHN 4 AHC MHO 4 AHB 1đ 1 S  S MDEN 2 ABC S MDEN  18,3712 2đ Bài 9: Trong mp (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB=3,54 và BC=2,43. Một điểm M nằm trên đường tròn (C) đường kính BD trong mp (Q) vuông góc với mp (P) theo giao tuyến BD. Tính gần đúng thể tích hình chóp M.ABCD khi BM= 5 . Cách giải Kết quả Điểm Đặt AB = a, BC = b, BM = x Vẽ MK  BD  MK  (ABCD) 1đ 2 x  vuông BMD cho ta: MK = x 1  1.5đ a  b2 2 V  5,4737 1 x2 M . ABCD VM . ABCD  abx 1  2 2.5đ 3 a  b2 Bài 10. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ , các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp ( sắt tây ) là ít nhất , tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất . Em hãy cho biết diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là 314cm 3 Cách giải Kết quả Điểm V   r 2 h  314 1 1  1 1 1 1.5đ Stp  2 r  h  r   2 r 2 h     2 r 2 h     r h  2r 2r h  1.5đ 1   628.3. 3 2  628.3. 3 Stp nhỏ nhất 4r h 4.314  255, 7414 2đ --- HẾT --- 3
  19. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT ĐỒNG THÁP DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2010 ------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đề chính thức ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 15 tháng 11 năm 2009 (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1: ( 5 điểm) 1a) Giải hệ phương trình sau: 3x ln( x 2 x 1) y x3 3 3 y ln( y 2 y 1) z y3 3 3z ln( z 2 z 1) x z3 3 U1 4 2a) Cho dãy số (Un), biết rằng : U 2 10 , n N *. Un 2 Un 1 6U n 12 Chứng minh rằng : (Un + 4) chia hết cho n, với mọi số nguyên tố n. Câu 2: ( 4 điểm) Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0,1] thỏa mãn điều kiện 1 f 0 f 1 . Chứng minh rằng phương trình f x f x có nghiệm 2009 x 0,1 . Câu 3: ( 5 điểm) 3a) Cho tam giác ABC và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Các đường phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh đối diện tại AI .BI .CI 8 A’, B’, C’. Chứng minh rằng: AA'.BB '.CC ' 27 3b) Gọi , , là góc giữa đường thẳng (d) và theo thứ tự với các đường thẳng chứa ba cạnh BC, CA, AB của tam giác đều ABC. Tính M = sin2 .sin2 .sin2 + cos2 .cos2 .cos2 Câu 4: (3 điểm) Tìm ba số nguyên tố a, b, c thỏa ab – c + 1 = 0. Câu 5: (3 điểm) Trong một giải đấu thể thao vòng tròn một lượt có n vận động viên P1 , P2 ,..., Pn n 1 .Mỗi vận động viên đấu với tất cả mọi đấu thủ còn lại và nguyên tắc đấu không có hòa. Đặt Wr và Lr là số trận thắng và số trận thua tương ứng của đấu n n thủ Pr .Hãy chứng tỏ rằng: Wr2 L2 . HẾT r r 1 r 1
Đồng bộ tài khoản