Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Quảng Ninh

Chia sẻ: Hoàng Gia Bảo | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

0
1
lượt xem
0
download

Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Quảng Ninh

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các em học sinh đang chuẩn bị bước vào kì thi HSG có thêm tài liệu ôn tập, TaiLieu.VN giới thiệu đến các em Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Quảng Ninh để ôn tập nắm vững kiến thức. Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Quảng Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> QUẢNG NINH<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> LỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> MÔN: TOÁN<br /> (Bảng A)<br /> Ngày thi: 20/3/2013<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> (không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> Họ và tên, chữ ký<br /> của giám thị số 1:<br /> ...............................<br /> ...............................<br /> <br /> (Đề thi này có 01 trang)<br /> Bài 1. (4,5 điểm)<br /> a) Chứng minh đẳng thức:<br /> <br /> 3 3<br /> <br /> 2 −1 =<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1 32 34<br /> .<br /> −<br /> +<br /> 9<br /> 9<br /> 9<br /> <br />  x 2 (2013 y − 2012) = 1<br /> <br /> b) Giải hệ phương trình :  2<br /> .<br />  x( y + 2012) = 2013<br /> <br /> <br /> Bài 2. (3,5 điểm)<br /> Cho hàm số bậc nhất y = mx + m - 1 (*) (với m là tham số).<br /> a) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số (*) tạo với các trục tọa độ Oxy một<br /> tam giác có diện tích bằng 2.<br /> b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (*) luôn đi qua một điểm cố định với mọi<br /> giá trị của m.<br /> Bài 3. (4,0 điểm)<br /> Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn xyz = 1.<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> + 3<br /> + 3<br /> Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3<br /> .<br /> 3<br /> 3<br /> x + y + 1 y + z + 1 z + x3 + 1<br /> Bài 4. (6,0 điểm)<br /> Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là một điểm<br /> trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của<br /> điểm I trên các đường thẳng BC, AC, AB.<br /> a) Chứng minh rằng ba điểm M, N, P thẳng hàng.<br /> b) Xác định vị trí của điểm I để đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất.<br /> Bài 5. (2,0 điểm)<br /> Giải phương trình sau: (x+3) (4 − x)(12 + x) + x = 28 .<br /> <br /> .......................Hết.....................<br /> Họ và tên thí sinh:.............................................................Số báo danh:...............<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> QUẢNG NINH<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> LỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> Họ và tên, chữ ký<br /> của giám thị số 1:<br /> <br /> MÔN: TOÁN<br /> (Bảng B)<br /> Ngày thi: 20/3/2013<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> (không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> ..............................<br /> ...............................<br /> <br /> (Đề thi này có 01 trang)<br /> <br /> Câu 1. (4,0 điểm)<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> <br />  x x −1 x x +1   2 x − 2 x +1<br /> <br /> Cho biểu thức P = <br />  x − x − x + x :<br /> <br /> x −1<br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> với x >0 ; x ≠ 1.<br /> <br /> a) Rút gọn biểu thức P.<br /> b) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên.<br /> Câu 2. (4,0 điểm)<br /> <br /> a + b + c = 6<br /> Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời:  2<br /> .<br /> a + b 2 + c 2 = 12<br /> <br /> Tính giá trị của biểu thức P = (a - 3) 2013 + (b - 3) 2013 + (c - 3) 2013 .<br /> Câu 3. (4,0 điểm)<br /> Giải phương trình: 2( x 2 − 4 x) + x 2 − 4 x − 5 − 13 = 0 .<br /> Câu 4. (6,0 điểm)<br /> Cho đường tròn (O) và BC là một dây cung không đi qua tâm O. Điểm A bất kì<br /> nằm trên cung lớn BC của đường tròn (O) sao cho điểm O luôn nằm trong tam giác<br /> ABC (A ≠ B; C). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.<br /> a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.<br /> b) Đường cao AD cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I đối xứng với H qua BC.<br /> c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2OM.<br /> Câu 5. (2,0 điểm)<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> +<br /> +<br /> ≥ 2.<br /> Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn<br /> 1+ x 1+ y 1+ z<br /> Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz.<br /> -----------------Hết----------------<br /> <br /> Họ và tên thí sinh :……………………………………………..Số báo danh :………...<br /> <br /> `SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> LỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> Môn: TOÁN (BẢNG A)<br /> (Hướng dẫn chấm này có 04 trang)<br /> <br /> Bài<br /> <br /> Sơ lược bài giải<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Đặt 2 = a ⇔ 2 = a .<br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 3 a − 1 =<br /> Câu a<br /> 2,5<br /> điểm<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1− a + a2<br /> 3<br /> <br /> 9<br /> <br /> 3<br /> <br /> ⇔ 9(a − 1) = a − a + 1 ⇔ (a − a + 1) = 9(a − 1).<br /> 3<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> Biến đổi vế trái:<br /> (a 2 − a + 1)3 = (a 2 − a + 1) 2 (a 2 − a + 1)<br /> = 3(a 2 − 1)(a 2 − a + 1) = 3(a − 1)(a + 1)(a 2 − a + 1)<br /> = 3(a − 1)(a 3 + 1) = 3(a − 1)(2 + 1) = 9(a − 1)<br /> <br /> 1,5<br /> <br /> Vậy đẳng thức được chứng minh.<br /> 2. ta thấy x = 0 không là nghiệm. hệ phương trình tương đương<br /> với:<br /> Bài 1<br /> 4,5đ<br /> <br /> Câu b<br /> 2,0<br /> điểm<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2013 y − 2012 = x 2<br /> <br /> (*)<br /> <br />  y 2 + 2012 = 2013<br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> t − 2013 y + 2012 = 0<br /> Đặt: = t , hệ (*) ⇒  2<br /> ⇔ t 2 − 2013 y = y 2 − 2013t<br /> x<br />  y − 2013t + 2012 = 0<br /> <br /> y = t<br /> ⇔ (t − y )(t + y + 2013) = 0 ⇒ <br />  y = −t − 2013<br /> <br /> * Trường hợp y = t ⇒ t 2 − 2013t + 2012 = 0,<br /> Giải PT được : t1 = 1; t2 = 2012<br /> * Trường hợp y = −t − 2013 ⇒ t 2 + 2013t + 20132 + 2012 = 0 , PT vô<br /> nghiệm<br /> <br /> Câu a<br /> 2,0<br /> điểm<br /> Bài 2<br /> 3,5đ<br /> <br /> 1<br /> Vậy hệ có nghiêm ( ( x1 = 1; y1 = 1); ( x2 =<br /> ; y2 = 2012)<br /> 2012<br /> Vì (*) là hàm số bậc nhất nên m ≠ 0 .<br /> (1)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> <br /> Điều kiện để đồ thị của (*) tạo với các trục tọa độ Oxy một tam<br /> giác là m ≠ 1.<br /> (2)<br /> Gọi A là giao điểm của đường thẳng (*) với trục tung<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ⇒ A(0; m-1) nên độ dài OA = | m - 1|.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Gọi B là giao điểm của đường thẳng (*) với trục hoành<br /> ⇒ B(<br /> <br /> 1− m<br /> 1− m<br /> ; 0) nên độ dài OB = |<br /> |.<br /> m<br /> m<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> SABC = 2 ⇔<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> OA.OB = 2 ⇔ OA.OB = 4.<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ⇔ (m - 1) = 4|m|<br /> <br /> *Với m > 0 thì m2 - 2m + 1 = 4m<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> ⇔ m - 6m + 1 = 0<br /> <br /> ⇔ m1 = 3 – 2 2 ; m2 = 3 + 2 2 .<br /> <br /> *Với m < 0 thì m2 - 2m + 1 = - 4m<br /> 2<br /> <br /> ⇔ m + 2m +1 = 0<br /> <br /> ⇔ m = -1<br /> Vậy m ∈ { -1; 3 - 2 2 ; 3 + 2 2 } thỏa mãn điều kiện (1) và (2).<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Câu b<br /> 1,5<br /> Điểm<br /> <br /> Bài 3<br /> 4đ<br /> <br /> 4<br /> điểm<br /> <br /> Gọi M(x0; y0) là điểm cố định thuộc đồ thị (*) khi và chỉ khi:<br /> y0 = mx0 + m – 1<br /> ∀m ∈R<br /> ⇔ (x0 + 1)m – (y0 + 1) = 0 ∀m ∈ R<br />  x0 + 1 = 0<br />  x0 = −1<br /> Vậy đồ thị của (*) luôn đi qua một điểm<br /> ⇔<br /> ⇔<br />  y0 + 1 = 0<br />  y0 = −1<br /> cố định M(-1; -1) ∀m ∈ R<br /> <br /> Ta có (x - y)2 ≥ 0 với ∀ x, y ∈ R ⇔ x2 - xy + y2 ≥ xy.<br /> Mà x; y > 0 nên x + y > 0.<br /> Mà x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2 ) ≥ (x + y)xy.<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br /> ⇒ x + y +1 = x + y + xyz ≥ (x + y)xy + xyz.<br /> 3<br /> 3<br /> ⇒ x + y +1 ≥ xy(x + y + z) > 0.<br /> Tương tự chứng minh được:y3 + z3 +1 ≥ yz(x + y + z) > 0.<br /> z3 + x3 +1 ≥ zx(x + y + z) > 0.<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> +<br /> +<br /> xy(x + y + z) yz(x + y + z) xz(x + y + z)<br /> 1<br /> x+y+z<br /> =<br /> ⇔ A≤<br /> ⇔ A≤1.<br /> xyz(x + y + z) xyz<br /> <br /> ⇒ A≤<br /> <br /> Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 khi x = y = z = 1.<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> 0,75<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0<br /> <br /> Bài 4<br /> 6đ<br /> <br /> Câu a<br /> 3 điểm<br /> <br /> Câu b<br /> 3 điểm<br /> <br /> Từ giả thiết ta có: ∠IPA + ∠INA = 180 ⇒ tứ giác IPAN nội tiếp<br /> (1)<br /> ⇒ ∠IPN = ∠IAN ( cùng chắn cung IN)<br /> 0<br /> Lại có ∠IPB = ∠IMB = 90 ⇒ tứ giác IPMB là tứ giác nội tiếp<br /> 0<br /> (2)<br /> ⇒ ∠MPI + ∠IBM = 180<br /> 0<br /> Vì I ∈ (O) ⇒ ∠ CAI + ∠IBM = 180<br /> (3)<br /> Từ (2) và (3) ⇒ ∠MPI = ∠CAI<br /> (4)<br /> Từ (4) và (1) ⇒ ∠MPI +∠IPN = ∠CAI + ∠IAN = 1800<br /> Suy ra M, P, N thẳng hàng.<br /> Tứ giác IPMB là tứ giác nội tiếp nên ∠IBA = ∠IMN<br /> ( cùng chắn cung IP)<br /> (5)<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,75<br /> 0,75<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> Tứ giác INAP là tứ giác nội tiếp nên ∠INM = ∠IAB<br /> ( cùng chắn cung IP)<br /> (6)<br /> Từ (5) và (6) ⇒ tam giác IMN đồng dạng với tam giác IBA<br /> MN IM IN<br /> =<br /> =<br /> ≤ 1 ⇒ MN ≤ AB<br /> BA IB IA<br /> M ≡ B<br /> 0<br /> Dấu “ =’’xảy ra ⇔ <br /> ⇔ ∠IAC = ∠IBC = 90<br /> N ≡ A<br /> ⇒<br /> <br /> ⇔ CI là đường kính của (O).<br /> Vậy MN lớn nhất bằng AB ⇔ I đối xứng với C qua O.<br /> <br /> Bài 5<br /> 2đ<br /> <br /> 2 điểm<br /> <br /> (x+3). (4 − x)(12 + x) + x = 28<br /> (*)<br /> Điều kiện xác định: - 12 ≤ x ≤ 4<br /> Đặt x + 3 = u; (4 − x)(12 + x) = v<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> ⇒ u + v = x + 6x + 9 + 48 - 8x – x = 57 - 2x<br /> 2<br /> 2<br /> ⇒ u + v - 1 = 2(28 - x)<br /> (1)<br /> Theo đề bài ta có uv = 28 - x<br /> (2)<br /> 2<br /> 2<br /> Từ (1) và (2) ta có u + v - 1 = 2uv ⇔ (u - v)2 = 1<br /> u − v = 1<br /> ⇔<br /> ⇔<br />  u − v = −1<br /> <br /> u = v + 1<br /> u = v − 1<br /> <br /> i) Với u = v +1 ⇒ (4 − x)(12 + x) = x + 2 (điều kiện: x ≥ −2 )<br /> <br /> Giải phương trình được x = - 3 + 31 ( thỏa mãn).<br /> ii) Với u = v - 1 ⇒ (4 − x)(12 + x) = x + 4 (điều kiện: x ≥ −4 )<br /> Giải phương trình được x = - 4 + 4 2 ( thỏa mãn)<br /> => S = {-4 +4 2 ; -3 + 31 }.<br /> <br /> 3<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản