Đề thi HSG lớp 12 năm 2013 môn Toán vòng 1 tỉnh Quảng Bình

Chia sẻ: mayin_123

Tham khảo đề thi - kiểm tra 'đề thi hsg lớp 12 năm 2013 môn toán vòng 1 tỉnh quảng bình', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Nội dung Text: Đề thi HSG lớp 12 năm 2013 môn Toán vòng 1 tỉnh Quảng Bình

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán - Vòng I
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012)
SỐ BÁO DANH: Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)



Câu 1 (2.5 điểm):
Giải phương trình: x 4n  x 2n  2012  2012 (n  *
).
Câu 2 (2.5 điểm):
Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức:
u1  3

 1 3
 un1   2un  2  ; (n  * ).
 3 un 
Tính: lim un ?
Câu 3 (1.5 điểm):
Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
1 1 1 36
   .
x y z 9  x y  y 2 z 2  z 2 x2
2 2



Câu 4 (2.0 điểm):
Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, N là chân đường phân giác góc
BAC . Đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường thẳng AB, AM lần lượt tại P,
Q theo thứ tự đó. Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt AN tại O. Chứng minh OQ
vuông BC.

Câu 5 (1.5 điểm):
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x2 3  y  z .

--------------------HẾT----------------------
SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán - Vòng I
(Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012)
HƯỚNG DẪN CHẤM

(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
yªu cÇu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập
luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải
sau có liên quan.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là
0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng
bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.

Câu Nội dung Điểm
1 2,5 điểm
Phương trình: x 4n  x 2n  2012  2012 (n  N*) (1)
Đặt t = x2n  0, phương trình (1) trở thành: 0,25
t 2  t  2012  2012
1 1 0,5
 t 2  t   t  2012  t  2012 
4 4
2 2
 1  1
0,5
  t     t  2012  
 2  2
 t  1  t  2012 0,25
 t 2  t  2011  0. (2) 0,25
1  8045
Giải phương trình (2) ta được: t  thỏa mãn điều kiện 0,25
2
Phương trình có 2 nghiệm:
1  8045 1  8045 0,5
x1  2n và x 2   2n , n  *.
2 2

2 2,5 điểm
*
Theo công thức xác định dãy (un ) , ta có un  0; n  . 0,5
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
Trang: 1 - Đáp án Toán - Vòng 1
1 3  1 3 2 3 *
un1   2un  2    un  un  2   3 un . 2  3 3 ; n  .
0,5
3 un  3  un  un
Do đó: un  3 3 ; n  * .
3
2 1 1 3  1  3  un 
Mặt khác: un1  un  un  2  un   2  un    2   0 . 0,5
3 un 3  un  3  un 
Vậy (un ) là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. 0,5
2 1 3
Giả sử, lim un  a .Ta có: a  a  2  a  2  a  3 3 .
3 a a 0,5
Vậy: lim un  3 3

3 1.5 điểm
1 1 1 36
  
x y z 9  x y  y 2 z 2  z 2 x2
2 2


1 1 1
 (9  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )      36 . 0,25
x y z
3
2  xy  yz + zx 
Ta có:  xyz    xy  yz  zx     . 0,25
 3 
Do đó:
2 2 2
 1 1 1   xy  yz+zx  27  xy  yz+zx 
 x  y  z    3
   xyz   xy  yz+zx 
0,25
27
 .
xy  yz+zx
Mặt khác:
9  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2  6   x 2 y 2  1   y 2 z 2  1   z 2 x 2  1
0,25
 2  3  xy  yz  zx  .
2
  1 1 1 
 (9  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )     
  x y z 
2 27
 4 3   xy  yz+zx   .
  xy  yz+zx
 9 
 108.   6   xy  yz  zx  
 xy  yz  zx 



Trang: 2 - Đáp án Toán - Vòng 1
 9 
 108  6  2  xy  yz  zx    1296 . 0,25
 xy  yz  zx 
1 1 1
Suy ra: (9  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )      36 .
x y z 0,25
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 1.
4 2.0 điểm
A

0,25
y

Q
B C
N M
P
O

x

Chọn hệ trục tọa độ Nxy sao cho A, N nằm trên trục hoành. 0,25
Vì AB không song song với các trục tọa độ nên phương trình của nó có
 b 
dạng : y = ax + b (a  0). Khi đó : A    ;0  , P  (0; b) . 0,25
 a 
AC đi qua A và đối xứng với AB qua trục hoành nên có phương trình :
y = -ax – b.
1
PO đi qua P, vuông góc với AB nên có phương trình : y   x  b .
a
O là giao điểm của PO và trục hoành nên O  (ab,0) . 0,25
BC đi qua gốc tọa độ nên :
+) Nếu BC không nằm trên trục tung thì phương trình BC có dạng y = cx
với c  0,c   a (vì B, C không thuộc trục hoành, BC không song song
0,25
với AB và AC).
B là giao điểm của BC và AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ :
 y  ax  b  b bc 
  B ; .
 y  cx ca ca
C là giao điểm của BC và AC nên tọa độ C là nghiệm của hệ :


Trang: 3 - Đáp án Toán - Vòng 1
 y   ax  b  b bc  0,25
 C  ; .
 y  cx  ca ca
 ab abc  
 bc
2 
Do đó : M   2 2
; 2 2 
, suy ra : AM  2
c; a 2  .
c a c a  a (c  a )
a2 ab
Từ đó ta có phương trình của AM là : y  x .
c c
Q là giao điểm của AM với trục tung nên
 ab    1
Q   0;   QO  ab 1;   .
 c   c

Do đó QO là một vectơ pháp tuyến của BC nên QO vuông góc BC. 0,25
+) Nếu BC nằm trên trục tung thì tam giác ABC cân tại A nên M  N, do
đó O thuộc AN nên QO vuông góc BC. 0,25
5 1,5 điểm
Giả sử  x, y, z  là nghiệm nguyên dương của phương trình. Ta có:
x+2 3  y  z  2 yz
 x  ( y  z )  2 yz  2 3
2
  x  ( y  z )  4 yz  8 3 yz  12 0,25
 4 yz  4 3  x  ( y  z )  12
2
  x  ( y  z )  4 3  x  ( y  z )   12  4 yz 0,25
2
  x  ( y  z )   4 yz  12 0,25
Nếu x  ( y  z ) thì 4 3   (vô lý).
x  ( y  z)
y 1

z  3
Nếu x  y  z thì yz  3    x  4. 0,5
 y  3

 z  1

0,25
Thử lại, ta thấy: (4; 3; 1) và (4; 1; 3) là nghiệm của phương trình.
Vậy: nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là (4; 3; 1) và (4; 1;
3).




Trang: 4 - Đáp án Toán - Vòng 1
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản